资源简介

三角形相似
模型原理
一、 相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两三角形叫作相似三角形
(2)性质:
①对应角相等，对应边成比例；
②对应的高线、中线、角平分线、周长的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.
(3)判定:
①有两个角对应相等的两个三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③三边对应成比例的两个三角形相似.
(4)模型:
二、 高分宝典
很多时候有关相似的题目中作辅助线都是为了构造出相似的模型，再用相似模型的结论去引导解题思路.
1.类型一借助比例端点作平行线
如果题目中有比例条件且条件中线段和所求相关线段能
尽可能地放在“A”字模型或“X”字模型中，
则可借助比例端点作平行线构造“A”字模型或“X”字模型.
2.类型二作垂直
题目中有直角，可以考虑依托这个直角作垂直
构造“射影定理”模型或“三垂直”模型 .
3.类型三 借助中位线作平行线
题意中出现多个中点时，可以考虑构造中位线型平行线.
4.类型四 延长线段
一般题目中出现“残缺”的“A”字模型或“X”字模型时，
可以通过延长线段将其补全，如果出现相等的角但不在完整三角形内时，
也可以通过延长线段将图形补全，当然有时延长就是使得两条直线相交以方便分析它们所成的角度.
5.类型五借助三大变换作辅助线
通过平移和对称来转移角度和线段可以构造相似模型，
更多的情况是和旋转相关的“旋转相似”模型的构造.
真题精炼
1如图,在△ABC中,. D为BC上一点，且满足 过D作DE⊥AD交AC延长线于点E,则
2矩形ABCD中, AF平分∠BAC,矩形沿直线EF折叠, 使点A, B分别落在边AD、 BC上的点A', B'处, EF , A'F分别交AC于点G , H .若( 则BF长为( )
D.5
3如图, AB与CD交于点O,且AC∥BD .若 则
4边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 .
5如图, 在△ABC中, ，D为AB的中点.若点E在边AC上，且 则AE的长为( ) .
A.1 B. 2 C. 1或 D.1或2
6如图，在四边形ABCD中， ,对角线AC,BD相交于点O .若 BC=6,∠ADB=2∠CBD,则AD的长为 .
7在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3, BC=4,点D是AC边上一点,过点D作DF∥AB,交BC于F,作∠BAC的平分线交DF于E,连接BE .若△ABE面积是2, 则 值是 .
8如图,△ABC中, AB= AC,∠B=72°,∠ACB的平分线CD交AB于点D ,则点D是线段AB的黄金分割点.若AC=2,则BD= .
9如图, 四边形ABDC中, AC= BC,∠ACB =90°, AD⊥BD于点D .若I ，则线段AB的长为 .
10如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC的中点,点F在CD上,且CF=3DF , AE,BF相交于点G，则△AGF的面积是 .
11如图,在正方形ABCD中, E ,F分别是边AD, AB上的点,连接CE, EF ,CF .
(1)若正方形ABCD的边长为2, E是AD的中点 . ①如图1, 当∠ C=90°时, 求证:△AEF∽△DCE;
②如图2，当 时，求AF的长；
(2)如图3, 延长CF , DA交于点G , 当 时, 求证: AE= AF.
12解答下列各题.
(1) 如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,交AB于点D ,DE∥AC,交BC于点E .
① 若 求BC的长.
②试探究 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
(2) 如图2,∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角, CD平分 交AB的延长线于点D ,DE∥AC,交CB的延长线于点E .记 的面积为 的面积为S ,△BDE的面积为S .若 求cos∠CBD的值 .
13如图(1) , 在4 中， D是AC的中点，延长BC至点E，使 延长ED交AB于点F，探究 的值.
(1)先将问题特殊化 .如图(2)，当∠BAC=60°时,直接写出 的值.
(2)再探究一般情形.如图(1)，证明(1)中的结论仍然成立.
(3)如图 (3) , 在 中 , D是AC的中点，G是边BC上一点， 延长BC至点E，使 ，延长ED交AB于点F .直接写出- 的值(用含n的式子表示).
14如图，在平行四边形ABCD中，. 的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F, BG⊥AE于点G, 若. 则 的周长为( )
A. 16 B. 17 C. 24 D.25
15如图，在四边形ABCD中，AB与CE相交于点O， 则
16如图，在 中， ,矩形DEFG的顶点D、E在AB上, 点F、G分别在BC、AC上，若( ,且DE=2EF ,则EF的长为 .
17如图,BC//DE,且 ，则 的值为
18如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M ，N重合)，. NE平分 ,交PM于点E,交PQ于点F .
(2) 若. 则
19如图,在Rt△ABC中, ，垂足为D，E为BC的中点, AE与CD交于点F , 则DF的长为 .
20如图,在△ACD中,. ，且 若AD=3AP,点Q是线段AB上的动点, 则PQ的最小值是( )
21如图，在正方形ABCD中，E ，F是对角线AC上的两点，且 ，连接DE并延长交AB于点M ,连接DF并延长交BC于点N ,连接MN ,则
C. 1
22由四个全等直角三角形和一个小正方形组成大正方形ABCD如图所示.过D作DF垂线交小正方形对角线EF的延长线于G,连接CG ,延长BE交CG于H .若A =2BE,则 值为( )
23如图BE是△ABC的中线, F在BE上,延长AF交BC于D .若BF =3FE,则
24如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,且AD =3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED =45°,且( ,则AB的长为 .
25已知正方形ABCD的边长为3，E为CD上一点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF,交AF于点H,交BF于点G, N为EF的中点, M为BD上一动点, 分别连接MC,MN.若 则MN+MC的最小值为 .
26如图，一个由8个正方形组成的“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O ，P ，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为
27如图,△ABC中,. .四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点,且CD=1. P是线段DE上一点, 且 过点P作直线l于BC平行，分别交AB，AD于点G , H , 则GH的长是 .
28如图， 的顶点B在反比例函数 的图象上，顶点C在x轴负半轴上，. 轴，AB, BC分别交y轴于点D, E .若 则
29如图， 中， 将 绕A点顺时针方向旋转角 得到 连接 则 与 的面积之比等于 .
30如图DE是 中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于G ，若 ——— ·
31如图，在 中， ，以其三边为边向外作正方形，过C作于点R ，再过点C作 分别交边DE, BH于点P , Q .若 则CR长为( ) .
A. 14 B. 15
32如图，在 中,, ,点D , E分别在边AB, AC上,且 , AE=3EC,连接BE, CD, 相交于点O, 则∠ ABO面积最大值为 .
33如图，直线 A,B ,C分别为直线 上的动点, 连接AB, BC, AC, 线段AC交直线l 于点D .设直线 之间的距离为m，直线 之间的距离为n, 若∠ABC=90°,BD=4,且 则m+n的最大值为 .
34如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°, AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上, PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP= .
35如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为AB的中点,OD平分∠AOC交AC于点G,OD=OA,BD分别与AC,OC交于点E , F ,连接AD,CD,则 的值为 ；若CE=CF,则 的值为 .
36如图, 在△ABC中, AD⊥BC, 垂足为D ,. ，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E、F、G、N , M都在 的边上，那么 与四边形BCME的面积比为 .
37如图所示,在△ABC中, BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射线EF上,BP交CE于D ,∠CBP的平分线交CE于Q , 当 E时,
38如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H ，连接AF，有以下五个结论：( ②△ABF∽△DBE;③AF⊥BD;④2BG =BH·BD;⑤若CE:DE=1:3,则BH:DH=17:16.你认为其中正确是 . (填写序号)
39如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD,点E在边BC上,且AE∥CD,DE∥AB,作CF//AD交线段AE于点F ,连接BF.
(1) 求证:△ABF≌△EAD.
(2)如图2,若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求BE的长.
(3)如图3，若BF的延长线经过AD的中点M ，求 的值.
40如图1, 四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,OA=OC,OB=OD+CD .
(1) 过点A作AE∥DC交BD于点E,求证: AE=BE.
(2) 如图2, 将△ABD沿AB翻折得到△ABD'
① 求证:BD'//CD.
② 若AD'//BC, 求证:
41如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P ，点 分别在线段PF、PH上,. 连接 与 相于点Q .已知 设
(1) 四边形EBHP的面积 四边形GPFD的面积(填“>”、 “=”或“<” )
(2) 求证:
(3)设四边形 的面积为/ ，四边形CFQH的面积为S ，求 的值.
42我们知道 ：如图① ，点B把线段AC分成两部分，如果 那么称点B为线段AC的黄金分割点，它们的比值为
(1) 在图①中, 若. 则AB的长为 cm.
(2)如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG .试说明G是AB的黄金分割点.
(3)如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点 连接BE,作( 交AB于点F ，延长EF、CB交于点P .他发现当PB与BC满足某种关系时E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点 .请猜想小明的发现，并说明理由.
43如图，在 中， 将 绕点A按逆时针方向旋转 得到 连接CD.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为 同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为 . PQ交AC于点F ,连接CP , EQ, 设运动时间为 解答下列问题：
(1) 当 时，求t的值 .
(2)设四边形PCDQ的面积为求S与t之间的函数关系式.
(3)是否存在某一时刻t，使. 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
1.如图,在△ABC中,AB=BC,tan∠B= D为BC上一点，且满足 过D作DE⊥AD交AO延长线于点E,则
【答案】2021
【解析】如图,过点A作AH⊥CB垂足为H,
设AB=BC=13x,
∴BD=8z,DC=5x,
AB=BC=13x,
解得AH=5x,BH=12x,
∴DH=12x-8x=4x,HC=5x-4x=x.
过点C作CM⊥AD垂足为M,
∵DE⊥AD,CM⊥AD,
. MO//DE
故答案为：
2如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A',B'处,EF,A'F分别交AC于点G,H、若GH=2,HC=8,则BF的长为( )
D.5
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、先证明AG=GF=GO,设AG=GF=CO=x,证明△AEG∽△CFG和△AA'H∽△CFH.推出 x 由AA'=2AE,列式计算求得 在Rt△CFG中，求得CF的长，据此求解即可.
解:如图,A'B'交AC于点O,
.矩形ABCD,∴AD∥BC,由折叠的性质得AE=A'E,BF=B'F,四边形ABFE和四边形A'B'FE都是矩形,. ,∵AF平分∠BAC,AB∥GF,∴∠GAF=∠BAF=∠GFA,∴AG=GF=GO,设
AG=GF=GO=x.∵GH=2,HC=8,∴HO=z-2,GC=8+2=10.∴
AE∥FC,∴△AEG∽△CFG, 即
AA'∥FC,∴△AA'H∽△CFH, 即△E==+2②,∵AA'=2AE,由
①②得 解得 则 在Rt△CFG中,
即 故答案为：A.
【标注】【知识点】矩形的性质
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】勾股定理
3如图,AB与CD交于点O,且AC∥BD.若 则
【答案】
【解析】∵AC//BD.
∴△AOC∽△BOD,
故答案为：
【标注】【知识点】相似三角形的性质
4边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】15
【解析】如图，
由题意可知AD=DC=10,CG=CE=GF=EF=6,∠CEF=∠EFG=90°,GH=4,
∴CH=10=AD,
∵∠D=∠DCH=90°,∠AJD=∠HJC,
∴△ADJ≌△HCJ(AAS),
∴CJ=DJ=5.
∴EJ=1,
∵GI//CJ.
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∴△HGI∽△HCJ,
∴GI=2,
∴FI=4,
故答案为15.
5如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D为AB的中点,若点E在边AC上,且 则AB的长为( ) .
A.1 B.2 C. 1或 D.1或2
【答案】D
【解析】在△ABO中,∠B=90°,∠A=30°,BO=2,
∴AC=2BC=4,AB=2 ,∠C=60°,
∵点D是AB的中点，
∴DE=1,
如图,当∠ADE=90°时,
∴△ADE∽△ABC,
∴AE=2,
如图,当∠ADE≠90°时,取AC的中点H,连接DH,
∵点D是AB的中点，点H是AC的中点，
∴∠ADE=∠A=30°,
∴AE=DE=1,
故选D.
6如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,对角线AC,BD相交于点O.若AB=AC=5,BC=6,∠ADB=2∠CBD,则AD的长为 .
【答案】
【解析】过点A作AH⊥BC于点H,延长AD,BC交于点E ,如下图所示:
则∠AHC=∠AHB=90°,
∵AB=AC=5,BC=6,
∵∠ADB=∠CBD+∠CED,∠ADB=2∠CBD,
∠CBD=∠CED,
. DB=DE.
:∠BCD=90°,
DC⊥BE,
CE=BC=6,
∵EH=CE+CH=9,
. DC⊥BE,AH⊥BC,
∴CD∥AH,
解得：
∵CD∥AH,
解得：
因此正确答案为：
7如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D是AC边上的一点,过点D作DF//AB,交BC于点F,作∠BAC的平分线交DF于点E,连接BE.若△ABE的面积是2,则 的值是 .
【答案】
【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB=5,
∵△ABE的面积是2,
∴点E到AB的距离为
在Rt△ABC中,点O到AB的距离为
∴点C到DF的距离为
∵DF∥AB,
△CDF∽△CAB,
∵AE平分∠CAB,
∴∠BAE=∠CAE,
∵DF∥AB,
∴∠AED=∠BAE,
∴∠DAE=∠DEA,
∴DA=DE=1,
因此正确答案为：
8如图,△ABC中,AB= AC,∠B=72°,∠ACB的平分线CD交AB于点D ,则点D是线段AB的黄金分割点.若AC=2,则BD=
【答案】3-
【解析】∵AB=AC=2,
∴∠B=∠ACB=72°,∠A=36°,
∵OD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=36°,
∴∠A=∠ACD,
∴AD=CD,
·∠CDB=180°-∠B-∠BCD=72°,
.∠CDB=∠B.
∴BC=CD,
. BC=AD,
∠B=∠B,∠BCD=∠A=36°,
∴△BCD∽△BAC,
. BC:AB=BD:BC,
∴AD:AB=BD:AD,
∴点D是AB边上的黄金分割点,AD>BD.
故答案为：
【标注】【能力】推理论证能力
9如图,四边形ABDC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥BD于点D.若BD=2,CD=4 ，则线段AB的长为 .'
【答案】2
【解析】
在AD上截取DE=DB,
连接BE,
∵∠ADB=90°,DE=DB,
∵∠ACB=90°,CA=CB,
∴∠CBA=∠DBE,
∴∠CBA-∠CBE=∠DBE-∠CBE,
即∠ABE=∠CBD,
∵DE=DB=2,
∴AD=AE+DE=8+2=10,
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
10如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC的中点;点F在CD上,且CF=3DF,AE,BF 相交于点G，则△AGF的面积是 .
^^
【答案】5611
【解析】方法一：∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，
故以点B为坐标原点，以BC边为x轴，以BA边为y轴建立直角坐标系，
. A(0,4), D(4,4),C(4,0), B(0,0),
∴点E为BC的中点，
∴点E(2,0),
∵CF=3DF,且CD=4,
∴F(4,3),
设直线AE的解析式为y= kx+b,
∵A(0,4), E(2,0),
则有 解得
设直线BF的解析式为y= ax+m,
∵B(0,0),F(4,3)
则有解得
∵点G为BF,AE的交点,
则有
解得
则.
则△AGF的面积为
故答案为
方法二:作FM⊥AB于点M,作GN⊥AB于点N,如图所示,
∵正方形ABCD的边长为4,点E是BC的中点,点F在CD上,且CF=3DF,. BE=2,MF=4,BM=CF=3,
∵GN⊥AB,FM⊥AB,
∴GN//FM,
∴△BNG∽△BMF,
设BN=3x,则NG=4x,AN=4-3x,
:GN⊥AB,EB⊥AB,
∴△ANG∽△ABE,
即
解得
∴△AGF的面积是:
故答案为：
【标注】【知识点】正方形与平面直角坐标系综合
11如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,AB上的点,连接CE,EF,CF.
(1)若正方形ABCD的边长为2, E是AD的中点.
①如图1,当∠FEC=90°时,求证:△AEF∽△DCE;
②如图2，当 时，求AF的长；
(2)如图3,延长CF,DA交于点G,当GE=DE, sin 时,求证:AE=AF
【答案】(1)①详见解析;
(2)详见解析
【解析】
(1)解：如下图所示，
正方形ABCD中,CD=AD=2,
①∵∠ADC=∠BAD=∠FEC=90°,
∴∠AEF=∠ECD.
∴△AEF∽△DCE,
②如下图所示，
延长DA,OF交于点G,
作GH⊥CE,垂足为H,
∵∠EDC=∠EHG=90°且∠CED=∠GEH,
∴△CED∽△GEH,
方法一:设EH=m,
∵在Rt△CHG中,
方法二:在Rt△GHE中,由 设GH=2n,CH=3n,
又∵∠GAF=∠GDC=90°且∠AGF=∠DGC,
∴△AGF∽△DGC,
(2)如图
延长CE,作GH⊥CE,垂足为H,
∵∠EDC=∠EHG=90°且∠CED=∠GEH.
∴△CED∽△GEH.
设AD=CD=a,GE=DE=t,EH=x,GH=y,CE=n,
在Rt△CHG中, sì
∵在Rt△CDE中
又∵∠GAF=∠GDC=90°且∠AGF=∠DGC,
∴△AGF∽△DGC,
∵AE=a-t,
∴AE=AF.
12解答下列各题.
(1) 如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE∥AC,交BC于点E.
①若 求BC的长.
②试探究 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
(2) 如图2,∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角,∠BCF=2∠CBG,CD平分∠BCF,交AB的延长线于点D ,DE∥AC,交CB的延长线于点E .记△ACD的面积为S ,△CDE的面积为S ,△BDE的面积为S .若 s .求cos∠CBD的值.
【答案】(1)①
② 是;1.
(2)
【解析】(1)①;CD平分∠ACB;
∵∠ACB=2∠B,
∴∠ACD=∠DCB=∠B,
∵DE∥AC,
∴∠ACD=∠EDC,
∴∠EDC=∠DCB=∠B,
∴CE=DE=1,△CED∽△CDB,
②∵DB//AC,
由①可得,CE=DE,
是定值，定值为1.
(2)∵DE∥AC,
s ,
设BC=9x,则CB=16=,
∵CD平分∠BCF,
∵∠BCF=2∠CBG,
∴∠ECD=∠FCD=∠CBD.
∴BD=CD,
∵DE//AC,
∴∠EDC=∠FCD,
∴∠EDO=∠CBD=∠ECD,
∴CE=DE,
∵∠DOB=∠ECD,
∴△ODB∽△CED,
∴OD=12x,
过点D作DH⊥BO于点H,
∵BD=OD=12=.
13如图(1) ,在△ABC中,AB=AC,D是AC的中点,延长BC至点E,使DE=DB,延长ED交AB于点F，探究 的值.
(1)先将问题特殊化.如图(2) ,当∠BAC=60°时,直接写出 的值.
(2)再探究一般情形.如图(1)，证明(1)中的结论仍然成立.
(3)如图(3) ,在△ABC中, AB=AC , D是AC的中点, G是边BC上一点, 延长BC至点E,使DE=DG,延长ED交AB于点F .直接写出 的值(用含n的式子表示).
【答案】
(2)证明见解析.
【解析】(1)如图,取AB的中点G,连接DG,
点D是AC的中点，
DG是△ABC的中位线,
DG//BC,
AB=AC,∠BAC=60°,
.△ABC是等边三角形，
点D是AC的中点，
.∠DBC=30°,
·BD=DE,
.∠E=∠DBC=30°.
∵DF⊥AB,
·△ADG是等边三角形，
(2)取BC的中点H ,连接DH,
：点D为AC的中点，
∴AB=AC,
∴DH=DC.
∴∠DHC=∠DCH,
∵BD=DE,
∴∠DBH=∠DEC,
∴∠BDH=∠EDC,
∴△DBH≌△DEC(ASA),
∴BH=EC,
∵DH∥AB,
∴△EDH∽△EFB,
(3)取BC的中点H,连接DH,
由(2)同理可证明△DGH≌△DEC(ASA),
∴GH=CE,
∴HE=CG,
∵DH∥BF.
∴△EDH∽△EFB,
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
14如图,在平行四边形ABOD中,AB=10,AD=15,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE于点G,若BG=8,则△CEF的周长为( ).
A.16 B. 17 C. 24 D.25
【答案】A
【解析】方法一：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠BAE=∠AFD,∠DAF=∠AEB,
∵AF为∠BAD的角平分线,
∴∠BAE=∠EAD,
∴∠AFD=∠EAD,∠BAE=∠AEB,∠CEF=∠CFE.
∴△ABE,△ADF,△CEF都是等腰三角形,
又∵AB=10,AD=15,
∴AB=BE=10,AD=DF=15.
∴CE=CF=5,
∵BG⊥AE,BG=8,
由勾股定理可得
∴AE=12,
∵AB∥CD,
∴△ABE∽△FCE,
∴EF=6,
∴△EFC的周长=EF+FC+CE=16,
故选A.
方法二：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AB//DF.
∴∠DAE=∠BEA.
∵∠DAE=∠BAE.
∴∠BAE=∠BEA,
∴BE=AB=10,
∴EC=BC-BE=5,
∵BG⊥AE,
∵在Rt△ABG中,AB=10,BG=8,
∴AE=2AG=12.
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=10+10+12=32.
∵AB//DF.
∴△ABE∽△FCE且相似比为
解得C△CBP=16.
故选A.
【标注】【知识点】平行四边形与角平分线结合
15如图,在四边形ABCD中,AB与CB相交于点O,∠ACB=∠EAB=90°,tan∠ABC= 只
【答案】
【解析】方法一:作CH⊥AB.
∵AC⊥CB,
(射影定理)，
∵AE⊥AB,
(8字相似).
共边定理).
方法二:作CH⊥AB.
∵AE⊥AB,
(8字相似),
∵∠ACH=∠ABC,
∴令AO=3a,HO=4a,
则AH=7a,CH=2AH=14a,
∴BH=28a,
方法三：作ED⊥AC，交CA的延长线于点D，
方法四：作EH⊥CA的延长线交于点H，延长EH、BA交于点Q.
则BC=2a易证△OBC∽△OQE,
令HE=b,
易得:AH=2b,
∵QH∥BC,
∴∠Q=∠ABC,
∴QH=4b,QE=5b,
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
16如图,在△ABC中,AC=BC,矩形DEFG的顶点D、E在AB上,点F、G分别在BC、AC上,若CF=4,BF=3,且DE=2EF,则EF的长为 .
【答案】
【解析】如图,过点C作CH⊥AB交AB于点H,交GF于点M,
∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥AB,GF=DB,GD=EF,EF⊥AB.
∴∠CAB=∠CGF,∠CFG=∠CBA.
∵AC=BC,
·∠CAB=∠CBA.
∠CGF=∠CFG.
∴CG=CF.
设EF=z,则GF=2x,
∵CH⊥AB,
∴EF∥CH.
∵CH⊥AB,GF∥AB,
∴CM⊥GF.
∵CG=CF,
在Rt△CMF中,
解得 (舍去),
故EF的长为
故答案为
【标注】【知识点】矩形的性质
17如图,BC∥DE,且BC【答案】2
【解析】设AB=x,则DE=10-x.
∵BC∥DE,AD=BC=4,
解得:z =2,z =8.
∵BC∴AB∴AB=2,
故答案为：2.
17如图,点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M,N重合) ,PQ⊥MN,NE平分∠MNP,交PM于点E,交PQ于点F.
(2)若PN =PM·MN,则
【答案】(1)1
【解析】(1)过点E作EG⊥MN,
∵∠MPN为圆周角,
∴∠MPN=90°,
∵NE平分∠MNP,
∴∠PNE=∠ENM,PE=EG.
∵PQ⊥MN,
∴∠PEN+∠PNE=∠FNQ+∠QFN=90°.
∴∠QFN=∠PEN,
又∵∠QFN=∠PFE,
∴∠PEN =∠PFE,
∴PE=PF,
则PF=EG.
易证△MGE∽△MQP,
则
故答案为：1.
(2)由(1)知,∠MPN=∠MQP=90°,
∴∠MPQ+∠QPN=∠MPQ+∠PMQ=90°,
∴∠PMQ=∠QPN,
∵∠PNQ=∠PNM,
∴△PQN∽△MPN,
∴PM=QN.
同理可证△PMQ∽△NMP,
Y
解得 (舍去),
故答案为：
18如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为 .
【答案】5485
【解析】如图,过点F作FH⊥AC于H,
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
又CD⊥AB于点D,
则
设AD=x,则BD=AB-AD=5-x,
∵∠CAD+∠CBD=90°,∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠CBD,
又∠ADC=∠CDB=90°,
∴△AOD∽△CBD,
即
(舍),
∵E为BC的中点,
设FH=v,
∵FH⊥AC,
∴∠FHA=∠ECA=90°,
又∠FAH=∠EAC,
∴AAFR∽^4EC.
在Rt△ADF中,
19如图,在△ACD中,AD=6,BC=5,AC =AB(AB+BC),且△DAB∽△DCA,若AD=3AP,点Q是线段AB上的动点,则PQ的最小值是( ).
B. D.
【答案】A
【解析】
如图,过点B作BH⊥AD于点H,
∵△DAB∽△DCA,
解得:BD=4(负值舍去) ,
∵△DAB∽△DCA,
∴AB=4,
∴AB=BD=4,
过B作BH⊥AD于H,
∵AD=3AP,AD=6,
∴AP=2,
当PQ⊥AB时, PQ的值最小,
∵∠AQP=∠AHB=90°,∠PAQ=∠BAH,
∴△APQ∽△ABH,
故选A.
20如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且EF=2AE=2CF,连接DE并延长交AB于点M ,连接DF并延长交BC于点N,连接MN,!则
A. B. C.1 D.
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD,AD//BC,AB=AD=BC=OD,
∵EF=2AE=2CF,
∴AE=OF,
∴AF=OE,
∵△AME∽△CDE,△CFN∽△AFD,
. AM=CN,
设AM=CN=a,
则CD=AB=AD=BC=3a,
∴BM =BN=2a,
故选A.
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
21由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H .若AE=2BE，则 的值为( ).
A. B.
【答案】C
【解析】过点G作GK⊥CD,交CD的延长线于点K,
依题意可知，
△AEB≌△BMO≌△CFD≌△DNA,
∴AE=BM=CF=DN,
BE=CM=DF=AN,
∵AE=2BE,
∴设BE=CM=DF=AN=a,
则AE=BM=CF=DN=2α,
∵DG⊥DN,NE⊥DN,
∴∠GDF=∠ENF=90°,
在△GDF和△ENF中,
∴△GDF≌△ENF(ASA),
. DG=NE=a,
:GK⊥CK,
∴∠DGK=∠CDF,
.△DKG∽△CFD,
∵DG⊥DF,CF⊥DF,
∴DG∥CF,
∴△CFR∽△GDR,
又∵MH⊥CF,DF⊥CF,
∴MH∥DF,
∵CM=MF=a,
故选C.
22如图,BE是△ABC的中线,点F在BE上,延长AF交BC于点D.若BF=3FE,则 — .
【答案】
【解析】过点E作EK//AD,
·BE是△ABC的中线,
∴AE=EC,
又∵EK∥AD,
. CK=KD,
BF=3FE,
故答案为：
23如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且 ，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若 ，且 则AB的长为 .
【答案】4
【解析】延长BE交AC于F,
过D作DH⊥BE于H,
∴∠ACD=∠BED=45°,
∴∠FEC=∠BED=45°.
..∠AFB=∠CFE=90°,FE=FC.
∴E是CD中点,
∵DH⊥BF,
∴∠DHE=∠DHB=90°,
∴△HED是等腰直角三角形，
∴AD=3BD,AB=AD+BD,
∵∠BHD=∠BFA=90°,∠HBD=∠FBA,
.△BHD∽△BFA.
. AF=12,BH=2,
:BF=8,
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
24已知正方形ABCD的边长为3，E为CD上一点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF,交AF于点H,交BF于点G, N为EF的中点,M为BD上一动点,分别连接MC,MN、若 则MN+MC的最小值为 .
【答案】2
【解析】
在正方形ABCD中,∠ADC=90°,∴∠DAE+∠AED=90°,
又∵DG⊥AF,∴∠DHE=90°,∴∠HDE+∠AED=90°,
∴∠DAE=∠HDE.
∴在△ADE与△DCG中,
∴△ADE≌△DCG(ASA)
又
又∵AD∥BF,∴△ADB∽△FCE,相似比为1:2,
又∵DC=3,∴DE=1,∴CE=2,
由相似可知:EF=2AE=2 ,且N为EF的中点,.
∴MN+MC的最小值为2
∴答案为：2
【标注】【知识点】正方形与全等综合
25如图，一个由8个正方形组成的“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为 .
【答案】
【解析】∵小正方形的面积为1，则小正方形的边长为 如图,延长NO,QP交于点E,
∵MN=MQ=4,∠ONM=∠NMQ=∠MQP=90°,
∴四边形MNEQ是正方形，
∵NO=2,PQ=1,
∴OE=4-NO=2,PE=4-PQ=4-1=3,
设MB=a,AM=b,
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∵∠NMQ=∠A=90°,
∴∠AMN+∠BMQ=90°,∠AMN+∠ANM=90°,
∴∠ANM=∠BMQ,
:∠A=∠B,MN=MQ,
在△AMN和△BQM中,
∴△AMN≌△BQM(AAS),
∴AN=BM=a,BQ=AM=b,
∵∠MNO=∠A=90°,
∴∠ANM+∠DNO=90°,∠AMN+∠ANM=90°,
∴∠DNO=∠AMN,
∵∠A=∠D,
∴△AMN∽△DNO,
∵∠MQP=∠C=∠D=90°,
∴∠PQO=∠QMB,
∴△PQO∽△QMB,
∵AB=DC,
∴DO+OP+PC=AB,
B
∵AD=BO,
∴AN+DN=BQ+QO
艮
联立①,(
解得
26如图,△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.四边形ABEF是正方形,点D是直线BC上一点,且CD=1. P是线段DE上一点..且 过点P作直线于BC平行，分别交AB，AD于点G,H,则GH的长是 .
【答案】 或
【解析】解:∵△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,
∴△ABC为直角三角形，
①当点D位于C点左侧时，如图：
设直线l交BE于点M，
∵1/1BC.
又·.·四边形ABEF是正方形，且
∴BE=AB=5,∠EBA=90°.
即
解得：
∵∠MGB=∠ABC,∠EBA=∠ACB=90°,
∴△GBM∽△BCA,
解得：
∵l//BC,
解得：
②当点D位于C点右侧时，如图：
与①同理，此时
解得：
综上所述GH的长为 或
因此正确答案为： 或
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
27如图，△ABC的顶点B在反比例函数 )的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴.AB, BC分别交y轴于点D, E.若 则k= .
【答案】18
【解析】解：如下图所示，过点B作BF⊥x轴于点F.
∵AB//x轴,
∴△DBE∽△COE,
设CO=3a,DE=3b,则AD=2a,OE=2b,
又∵反比例函数图象在第一象限，
∴k=18,
因此正确答案为18
【标注】【知识点】反比例函数与几何综合
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
28如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,tan∠ABC= 将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB'C',连接BB',CC',则△CAC'与△BAB'的面积之比等于 .
【答案】
【解析】由旋转性质可知△ABC≌△AB'C'.
∴AB=AB',AC=AC',∠BAO=∠B'AC'=90°.
∴∠BAO-∠B'AO=∠B'AC'-∠B'AC,
即
Rt△ABO中,
29如图,DE是△ABC的中位线,F为DB中点,连接AF并延长交BC于点G,若S△EFO=1,则
【答案】24
【解析】
∵DE为△ABC的中位线,
.. D、E分别为AB、BC的中点,
如图过点D作DM//BC交AG于点M,
∵DM∥BC,
∴∠DMF=∠EGF.
∵点F为DE的中点，
∴DF=EF.
在△DMF和△EGF中,
∴△DMF≌△EGF(ASA).
∴S△DMP=S△BCP=1,GF=MF,DM=EG,
∵点D为AB的中点,且DM∥BC,
∴AM=MG,
∴DM为△ABG的中位线,
∠D=∠CBQ=90°,
∠DCP=∠BCQ,
∴△DCP∽△BCQ,
设PE=z,AC=a,BC=b,
∴QH=2PE=2x,
即
整理可得:b=2a,
设CR交AB于点S,
∵PQ//AB,CR⊥AB,
∴∠ACB=∠ASC=∠CSB=90°,
又∵∠CBS=∠SBC,
∴△BSC∽△BCA,
∵PQ//AB,
∴∠ABC=∠BCQ=∠PCD,
∵点E为BC的中点，
∴BE=EC,
=8+16
=24.
30如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,过点C作CR⊥FG于点R,再过点C作PQ⊥CR分别交边DE,BH于点P,Q.若( ，则CR的长为().
A.14 B. 15 C. 8 D.6
【答案】A
【解析】由题可知：
又
又∵△DCP∽△BCQ,
:PQ=15,则PC=5,
将a=2 代入①式得CR=14.
故选A.
31如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,点D,E分别在边AB,AC上,且DB=2AD,AE=3EC,连接BE,CD,相交于点O,则△ABO面积最大值为 .
【答案】
【解析】过点D作DF//AC交BE于F(如图1),
易得△BDF∽△BAE,
∴AE=3EC,∴DF=2EC,
点C显然在以AB为直径的圆弧上运动，取AB中点为M，
∴当CM⊥AB时，即点C在圆弧最高处时，
△ABC面积最大，此时面积为
故答案为：
32如图,直线l //l //l ,A,B,C分别为直线l . l ,l 上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l 于点D.设直线l ,l 之间的距离为m,直线l ,l 之间的距离为n,若∠ABC=90°,BD=4,且 则m+n的最大值为 .
【答案】
【解析】过B作BE⊥l 于E,延长EB交l 于F,过A作AN⊥l 于N,过C作CM⊥l 于M ,
设AE=x,CF=y,BN=x,BM=v.
:BD=4,
∴DM=y-4,DN=4-x,
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°,
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°,
∴∠EAB=∠CBF,
∴△ABE~△BFC,
即
∴xy= mn,
∵∠ADN=∠CDM,
∴△CMD~△AND,
即
∴当m最大时
∴当 时
∴m+n的最大值为
故答案为：
33如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP= .
【答案】3
【解析】如图所示:作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H,
在四边形PEBF中,∵∠ABC=90°,∠MPN=90°,
∴∠BEP+∠BFP=360°-∠ABC--∠MPN
又∵∠PEG+∠PEB=180°,
∴∠PEG=∠PFH,
∴△PEG∽△PFH,
设PH=x,则PG=2x,
在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,
∴AB:BC:AC=3:4:5,
∵PG∥BC,PH∥AB,
∴△AGP∽△PHC∽△ABC,
∴AP:GP=AC:BC=5:4,PC:PH=AC:AB=5:3,
34如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为AB的中点,OD平分∠AOC交AC于点G,OD=OA,BD分别与AC,OC交于点E,F,连接AD,CD,则 的值为 ；若CE=CF,则OF的值为
【答案】
【解析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为AB中点,
∵OD平分∠AOC,
∴∠AOG=∠COG,
在△AOG和△COG中,
∴△AOG≌△OOG(SAS),
∴AG=CG,
∴G是AC中点,
∵O是AB中点,
∴OG是△ABC的中位线,
∴∠DGE=∠AGO=90°,
∵CE=CF,
∴设∠CEF=∠CFE=α,
.∠AED=∠CEF=α,∠OFB=∠CFE=α,
:OD=OA,
OD=OB,
. CO⊥AB.
OC=OB,
CB= OB,
CB= OD,
:OD//BC,
△ODF∽△CBF,
35如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E、F、G、N,M都在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为 .
【答案】1:3
【解析】∵四边形EFGH和四边形HGNM都为正方形，EF=EH=HG=HM=MN,EF⊥BC,MN⊥BC,EH//BC,E、H,M在同一直线上,
∴AD⊥BC,
∴PD=MN,
设MN=a,则EM=EH+HM=2x,
PD=∞,
∵EH//BC,即EM//BC,
∵△AEM∽△ABC,且AP⊥EM,
(相似比等于对应高的比)，
解得：
则
36如图所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射线EF上, BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于Q,当 E时,EP+BP= .
【答案】12
【解析】如图，延长BQ交射线EF于M，
:E、F分别是AB、AC的中点,
∴EF∥BC,
∴∠M=∠CBM,
∵BQ是∠CBP的角平分线,
∴∠PBM=∠CBM,
∴∠M=∠PBM,
∴BP=PM,
∵EP+BP=EP+PM=EM,
∵EQ=2CQ,
由EF//BC得,△MEQ∽△BCQ,
∴EM=2BC=2×6=12,
即EP+BP=12.
故答案为：12.
37如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H ，连接AF，有以下五个结论：
①∠ABF=∠DBE;
②△ABF∽△DBE;
③AF⊥BD;
⑤若CE:DE=1:3,则BH:DH=17:16.
你认为其中正确是 ，(填写序号)
【答案】①②③④
【解析】①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形,BD ,BE是对角线,∴∠ABD=∠FBE=45°,
又∵∠ABF=45°-∠DBF,∠DBE=45°-∠DBF,
∴∠ABF=∠DBE,
∴①正确:
②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，
∴AD=AB,BF=EF,
又∵∠ABF=∠DBE,
∴△ABF∽△DBE,
∴②正确;
③由②知:△ABF∽△DBE,
又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BAF=∠BDE=45°,
∴AF在正方形ABCD另外一条对角线上，
∴AF⊥BD,
∴③正确,
④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形,BD,BE是对角线,
∴∠BEH=∠BDE=45°,
又∵∠EBH=∠DBE,
∴△EBH∽△DBE,
即BE =BH·BD.
又∵BE= BG,
∴④正确;
⑤∵CE:DE=1:3,
∴设CE=x,则DE=3x,BC=CD=4x,
∴BH:DH=17:15.
故⑤错误，
综上所述：①②③④正确，
故答案是:①②③④.
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
38如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD,点E在边BC上,且AE//CD,DE//AB,作CF//AD交线段AE于点F,连接BF.
(1)求证:△ABF≌△EAD.
(2)如图2,若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求BE的长.
(3)如图3，若BF的延长线经过AD的中点M ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析.
(2) BE=6.
【解析】(1)
∵AE∥CD,
∴∠AEB=∠DCE.
DE∥AB,
∴∠ABE=∠DEC,∠1=∠2,
∵∠ABC=∠BCD,
∴∠ABE=∠AEB,∠DCE=∠DEC,
∴AB=AE,DE=DC,
∵AF∥CD,AD∥CF,
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AF=CD,
∴AF=DE,
在△ABF与△EAD中
∴△ABF≌△EAD(SAS).
(2)
∵△ABF≌△EAD,
∴BF=AD,
在平行四边形AFCD中,AD=CF,
∴BF=CF,
∴∠FBC=∠FCB,
又∵∠FCB=∠2,∠2=∠1,
∴∠FBC=∠1,
在△EBF与△EAB中,
∴△EBF∽△EAB,
AB=9,
∴AE=9,
∵CD=5,
∴AF=5,
∴EF=4,
∴BE=6或-6(舍).
(3)延长BM , ED交于点G,
图3
∵△ABE与△DOE均为等腰三角形,∠ABC=∠DCE,.△ABE∽△DCE,
设CE=1,BE=x,DC=DE=a,
则AB=AE= ax,AF=CD=a,
. EF=a(x-1).
∵AB//DG,
∴∠3=∠G,
在△MAB与△MDG中,
∴△MAB≌△MDG(AAS),
. DG=AB= ax,
∴EG=a(x+1),
:AB∥EG,
∴△FAB∽△FEG,
∴x(x-1)=x+1,
(舍),x =1+
39【答案】(1)证明见解析.
(2)①证明见解析.
② 证明见解析.
【解析】(1)连接EC.
AB//DC,
∠OAE=∠OCD ,
:∠OAE=∠OCD,OA=OC,∠AOE=∠COD,
△OAE≌△OCD.
. AE=CD,
.四边形AECD为平行四边形，
.. AE=CD,OE=OD,
∵OB=OD+CD=OE+BE,
. CD=BE ,
AE=BE.
(2)① 过A作AE//CD交BD于E,交BC于F,连接CE,
由(1)得,AE=BE,
∴∠ABE=∠BAE,
由翻折的性质得∠D'BA=∠ABE,
∴∠D'BA=∠BAE ,
∴BD'//AF ,
∴BD'//CD .
②∵AD'//BC,BD'//AF ,
∴四边形AFBD'为平行四边形，
∴∠D'=∠AFB,BD'=AF,
∴AF=BD ,
∵AE=BE ,
∴EF=DE,
∵四边形AECD是平行四边形，
∴CD=AE=BE ,
∵AF∥CD,
∴∠BEF=∠CDE,
∵EF=DE,CD=BE,∠BEF=∠CDE,
∴△BEF≌△CDE(SAS) ,
∴∠BFE=∠CED ,
∵∠BFE=∠BCD,
∴∠CED=∠BCD,
又∵∠BDC=∠CDE,
∴△BCD∽△CDE ,
即CD =BD×DE.
40如图,在矩形ABCD中,线段EF、GH分别平行于AD、AB,它们相交于点P ,点P 、P ,分别在线段PF、PH上,PP =PG,PP =PE,连接P H、P F,P H与P F相于点Q.已知AG:GD=AE:EB=1:2.设AG=a,AE=b.
(1) 四边形EBHP的面积 四边形GPFD的面积(填“>”、 “=”或“<”)
(2)求证:
【答案】(1)=
(2)证明见解析.
(3)
【解析】(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠B=∠C=90°
∵GH//AB,
∴∠B=∠GHC=90°,∠A=∠PGD=90°.
:EF//AD,
∴∠PGD=∠HPF=90°.
∴四边形PFCH为矩形.
同理可得:四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形.
∵AG=a,AE=b,AG:GD=AE:EB=1:2,
∵PE=a,PG=b,GD=PF=2a,EB=PH=2b.
∴四边形EBHP的面积= PE·PH=2ab,
四边形GPFD的面积= PG·PF=2ab.
四边形EBHP的面积=四边形GPFD的面积.
由(1)中PE·PH=2ab,PG·PF=2ab,
又1
∠P QF=∠P QH,
△P FQ∽△P HQ.
(3)方法一:连接P P 、FH.
由(2)中△P FQ∽△P HQ,得
方法二:连接P P 、FH、
又∠P PP =∠C,∠P QP =∠FQH,
∴四边形PP QP ∽四边形CFQH.
41我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果 那么称点B为线段AC的黄金分割点，它们的比值为
(1) 在图①中,若AC=20cm,则AB的长为 cm.
(2)如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG.试说明G是AB的黄金分割点.
(3)如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E(AE>DE)，连接BE,作CF⊥BE,交AB于点F ,延长EF、CB交于点P .他发现当PB与BC满足某种关系时E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点，请猜想小明的发现，并说明理由.
【答案】
(2)证明见解析.
(3)当PB=BC时,E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点;证明见解析.
【解析】
故答案为：10 -10.
(2)如图,连接GE,设BG= zcm,则GA=(20-x) cm,
四边形ABCD是正方形.
∠A=∠B=∠D=90°,
由折叠性质得:CH=BC=20cm,GH=BG= zcm,∠GHC=∠B=90°,AE=ED=10cm,
在Rt△CDE中,
在Rt△GHE中,
在Rt△GAE中,
解得:z=10 -10,
即
∴G是AB的黄金分割点.
(3)当PB=BC时,E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.
∵CF⊥BE,
∴∠BCF+∠CBE=90°,又∠CBE+∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠BCF,
∴△BAE≌△CBF(ASA),
∴AE=BF,
设AE=BF=x,则AF=a-x,
:AD//BC即AE//PB,
解得 或 (舍去)
即
∴E、F分别是AD、AB的黄金分割点.
【标注】【知识点】黄金分割
42如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1cm/s. PQ交AC于点F,连接CP, EQ,设运动时间为t(s)(0(1)当EQ⊥AD时,求t的值.
(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm )，求S与t之间的函数关系式.
(3)是否存在某一时刻t，使PQ//CD 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
【解析】(1)如图:
在Rt△ABC中,
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,
∴AD=AB=5cm,DE=BC=3cm,AE=AC=4cm,∠AED=∠AOB=90°,
∵EQ⊥AD,
∴∠AQE=∠AED=90°.
∵∠EAQ=∠DAE.
∴△AQE∽△AED,
即
答：t的值为
(2)过P作PN⊥BO于N,过C作OM⊥AD于M,如图:
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,
∴∠BAD=90°,即∠BAC+∠CAM=90°,
∴∠B=∠CAM,
即
,
∴△PBN∽△ABC,
即
答：S与t之间的函数关系式是
(3)存在某一时刻,使PQ//CD,理由如下:
过C作CM⊥AD于M,如图:
由(2)知
∵PQ//CD,
∴∠AQP=∠MDC,
目
解得：
答：存在时刻t 使PQ//CD.

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