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吉林省松原市前郭县北部学区2024~2025学年下学期第一次月考九年数学 试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，这是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若去掉一个小正方体，从左面看到几何体的形状不发生变化，则去掉的小正方体的编号是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
3．下列运算正确的是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（ab2）2＝ab4
C．x6÷x2＝x3 D．（a+b）2＝a2+b2
4．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ）
A． B．4 C． D．
5．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，半径为2的的弦，且于点，连接、，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
二、填空题
7．分解因式： ．
8．不等式的解集为 ．
9．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接，交于点．若的周长为21，，则的长为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．

11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
12．先化简，再求值：，其中，．
13．现有四张正面印有四种珍珠的不透明卡片，依次记为、、、，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．
(1)若随机抽取一张，求抽到卡片的概率；
(2)若小张随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法求卡片和同时被抽中的概率．
14．如图，点在上，．求证：．
15．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产________件产品（用含的式子表示）；
(2)更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品．
16．在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图．
(1)在图①中，画等腰直角三角形，使其面积为；
(2)在图②中，画矩形，使其面积为10；
(3)在图③中，画平行四边形，使其面积为5（不包括正方形）．
17．为了解九年级学生“居家学习”的自主学习能力，某校随机抽取该年级部分学生，对他们的自主学习能力进行了测评统计，（其中自主学习能力指数级别“1”级，代表自主学习能力很强；“2”级，代表自主学习能力较强；“3”级，代表自主学习能力一般；“4”级，代表自主学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题．
(1)本次抽查的学生人数______人，并将条形统计图补充完整．
(2)扇形统计图中3级对应圆心角的度数为______．
(3)本次抽查学生“居家学习”自主学习能力指数级别中位数为______级．
(4)根据上述统计结果，估计该校九年级850名学生自主学习能力较强及以上的学生有多少名？
18．如图①，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅：图②是上课期间椅子摆放样式，已知座面，座面高，背垫为，点到地面的垂直距离为，．求背垫的长（参考数据：，，，）．
19．如图，某超市的送货员小强和小明从超市门口出发，准备给相距的同一客人送货，小强比小明先出发，且速度保持不变，小明出发一段时间后将速度提高到原来的倍．设小强行走的时间为（分钟）．
(1)求的值；
(2)若顾客要求小强的送货时间不能超过22分钟，则小强送到目的地是否超时（说明理由）？
(3)求小明离开超市提速后行驶的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式；
(4)若小明送货过程中与小强相距100米时，直接写出小强行走的时间是多少分钟．
20．【问题原型】（1）如图①，在中，，，．平分交边于点，则________；
【提出问题】如图②，点是图①中边上的点（不与点重合），连接，以为直角边，向左侧作，，，边与边交于点，连接．判断与的位置关系，并加以证明．
【解决问题】小明利用所学知识，给出了如下不完整的证明过程．
解：．理由如下：
，平分，．， ．，，，．，……
（2）根据小明的解答思路，将过程补充完整；
【结论应用】（3）在图②中，当四边形是轴对称图形时，则四边形的周长为________．
21．如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，过点作交折线于点，以为斜边向其右侧作等腰直角三角形．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
(1)点到的距离为________，________；
(2)当点落在线段上时，求的值；
(3)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中、为常数）的图象经过和两点，点在该抛物线上，其横坐标为，点A在轴上，其横坐标为，以点为对称中心构造矩形，轴．
(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)当该抛物线的顶点在矩形的边上时，求的值；
(3)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，求的取值范围；
(4)当以点、和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积是矩形的面积的时，直接写出此时的值．
《吉林省松原市前郭县北部学区2024~2025学年下学期第一次月考九年数学 试卷 》参考答案
1．D
解：；
故选：D．
2．C
解：原几何体从左面看到几何体的形状如下，

若去掉小正方体①，从左面看到几何体的形状如下，

从左面看到几何体的形发生变化，不符合题意；
若去掉小正方体②，从左面看到几何体的形状如下，

从左面看到几何体的形状不发生变化，符合题意；
若去掉小正方体③，从左面看到几何体的形状如下，

从左面看到几何体的形状没发生变化，符合题意；
若去掉小正方体④，从左面看到几何体的形状如下，

从左面看到几何体的形状发生变化，不符合题意．
故选：C
3．A
解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，正确，符合题意；
B、（ab2）2＝a2b4，故原式错误，不合题意；
C、x6÷x2＝x4，故原式错误，不合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故原式错误，不合题意；
故选：A．
4．D
解：关于的方程有两个相等的实数根
故选：D．
5．B
解：如图：
，
，
，
．
故选：B．
6．A
解：如图，连接，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．
解：
故答案为：．
8．
解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
故答案为：．
9．12
解：由作图可知，，
∵的周长，
∴，
∵，
∴．
故答案为：12．
10．8
解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，

∵，
∴，
∴设，则，
∴点，
∵点A在反比例函数上，
∴，
∴（负值已舍），则点，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴点，
∵点B落在反比例函数上，
∴，
故答案为：8．
11．2π
解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，
∵把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′C B′＝45°，A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝4，∠C A′B′＝∠CAB＝90°，
∴阴影部分的面积＝ ×4×4＋×4×4 ＝2π，
故答案为2π．
12．，
解：原式
；
当时，原式的值为：．
13．(1)
(2)
（1）解：抽到卡片的概率为；
（2）解：画树状图如图，
共有12种等可能的结果，共中卡片和同时被抽中的结果数为2，
所以卡片和同时被抽中的概率．
14．见解析
证明：，
∴
即．
在和中，
，
，
∴，
∴．
15．(1)
(2)125
（1）解：因为更新设备后生产效率比更新前提高了，
所以更新设备后每天生产件产品，
故答案为：；
（2）解：由题意知：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
所以更新设备后每天生产件．
16．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
（1）解：等腰直角三角形如图所示：
（2）解：矩形如图所示：
（3）解：平行四边形如图所示：
17．(1)50，图见解析
(2)
(3)3；
(4)人．
（1）解：本次抽查的学生人数为人，
故答案为：50；
“1”级的学生数为（人），将条形统计图补充完整如图所示：
（2）根据题意，扇形统计图中3级对应圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）解：根据条形统计图， “1”级4人， “2”级12人， “3”级20人， “4”级14人，中位数是第25位和底26位所在的等级，显然为3级，
故答案为：3；
（4）解：根据题意，自主学习能力指数级别“1”级，代表自主学习能力很强，有人；“2”级，代表自主学习能力较强，有人；
抽取样本中九年级50名学生自主学习能力较强及以上的学生占比为，
估计该校九年级850名学生自主学习能力较强及以上的学生有（人）．
18．
解：过点作的延长线于点，
∴，
∴，
∵点到地面的垂直距离为，
∴，
∵，
∴，
在中，．
答：的长约为．
19．(1)
(2)不超时，理由见解析
(3)
(4)或
（1）解：小明原来的速度为（米/分），
小明后来的速度为（米/分），
，
的值为16．
（2）解：不超时，理由如下：
由（1）得，，
小强的速度为（米/分），
（米/分），
，
小强送到目的地不超时．
（3）解：设函数关系式为，
代入和得，，
解得：，
函数关系式为．
（4）解：设小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为，
代入得，，
解得：，
小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为，
当时，，
此时小明和小强的距离为（米），
，
当时，小明和小强不能相距100米；
当时，小明和小强的距离为（米），
小明与小强相距100米，
，
解得：或；
综上所述，小强行走的时间是或分钟．
20．（1）；（2）见解析；（3）或
解：（1）平分，
，
，
．
（2）．理由如下：
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）四边形是轴对称图形，
①如图，设与关于对称，对称轴为时：
垂直平分，
由（1）得，
，
在中，，
，
在中，，
，
四边形的周长；
②如图，设四边形关于直线或关于直线对称，
由（2）得，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，
四边形的周长为；
③如图，当时，四边形非轴对称图形：
综上所述，当四边形是轴对称图形时，则四边形的周长为或．
21．(1)4，
(2)
(3)与之间的函数关系式为
（1）解：如图所示，过点作于点，即为点到的距离，
∵，
∴，
∴，
∴，则，
在中，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：如图所示，点在线段上，过点作于点，作于点，设与交于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是以为斜边向其右侧作等腰直角三角形，
∴，，
∴，且，，
∴是等腰直角三角形，则四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
已知动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，点的运动时间为秒
∴（秒）；
（3）解：由上述计算可得，当点与点重合时，，当点在线段上时，，当点与点重合时，，
∴①当时，如图所示，
已知，，
∴设，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
∵是以为斜边向其右侧作等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵设与重叠部分图形的面积为，
∴；
②当，如图所示，设与交于点，过点作于点，则，
由上述计算可得，四边形是矩形，
∴，，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，设，则，
∵，
∴，
∴,
∴，
解得，，
∴
∴，
∴
，
∴；
③当时，如图所示，设与交于点，过点作于点，则，
∴，
∴，，
∴，
解得，，
∵，
∴是等腰直角三角形，设，则，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，与之间的函数关系式为．
22．(1)
(2)
(3)或
(4)或或或
（1）解：把和分别代入，得
，
解得：，
∴．
（2）解：∵点A在轴上，其横坐标为，
∴
∵点在该抛物线上，其横坐标为，
∴当时，，
∴
设
∵点为对称中心构造矩形，
∴，
∴，，
∴
∵
∴抛物线的顶点坐标为，
当该抛物线的顶点在矩形的边上时，点在y轴右侧，则，
∴
解得：，（舍去），
∴当该抛物线的顶点在矩形的边上时，的值为．
（3）解：∵点P坐标为，
∴令，
解得：，，
令，即，
解得：或，
则抛物线过点，
当，如图①，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大；
当时，如图②，抛物线在矩形内部无图象，
当时，如图③，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大；
当时，如图④，抛物线在矩形内部无图象；
当时，如图⑤，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大先增大后减小；
综上，m的取值范围为或；
（4）解：由（2）知，，
则，，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点到的距离为，
∴矩形的面积为：；
以点、和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积为：，
∵以点、和该抛物线的顶点为顶点的三角形的面积是矩形的面积的时，
∴，
整理得：，即或，
当时，即，
解得：或；
当时，即，
解得：或；
综上，或或或．

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