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2024-2025学年浙江省9+1联盟高一下学期4月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.设，，若，则下列不等式中不正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，为常数，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知与是平面内两个非零向量，，，，点是平分线上的动点当取最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则以下说法正确的是( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 与垂直
D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是
10.对于复数，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 表示复平面上对应的点到点的距离
11.如图，在棱长为的正方体中，，，，下列结论正确的是( )
A. 若时，三棱锥的体积为定值
B. 若时，周长的最小值为
C. 若时，三棱锥外接球体积为
D. 若为中点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则 ．
13.已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为 ．
14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求不等式的解集
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，，，点是的中点，是线段上靠近点的三等分点，，设，．
若，求的大小
若，，求，
17.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，请在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
求角的大小
若 ，求面积的取值范围．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，，，且三棱锥的体积，是上靠近点的三等分点，是中点，连接、交于点，在线段上，直线交平面于点，且．
若，求的值
求三棱锥的体积
若，求此三棱锥的高．
19.本小题分
在中，，，，
当时，是内一点，
若是的内心，求线段的长
若，，求线段的长
当时，，，分别在边，，上，且是正三角形，求的面积的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：令，
则原不等式可化为，解得，
即，
所以，
不等式的解集为．
由题意得：，
因为，所以
令，．
原不等式可化为对于能成立，
因为，当时取等号．
故，
所以，
即的取值范围是．
16.解：，，
，
故
，，
，
故，
故，．
17.解：，
，，，
，，
若选
由正弦弦定理可知：，
，
又因为锐角三角形，，故
若选，
由正弦定理可知，，
，
又因为锐角三角形，，
18.解：设，，，三点共线，故
同理，，，三点共线，故，
由可得，，
故，故F为中点，故AF，即；
连接，，平面，平面，
又平面，且平面平面，，
连接，在和中，，且，
故∽，故，故A，
又为中点，故为中点，

；
，当时，取到等号，
在中，设，，，边上的高为，
则，
则，则，故，
又因为，故，当且仅当时取到最大值，
设三棱锥的高为，则，
则，当时且且时，取到等号，
故三棱锥的高为．
19.因为，，，，所以，
三角形周长为
设内切圆半径为，则
故A
设，则，
在中，，在中，，
所以， 于是，所以．
设，，，则，，，
在中，，所以，
在中，，
所以，因为，
所以在中，，
所以，，
所以
因为，
所以，
所以面积的最小值为．
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