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2025年中考数学对标考点：二次函数
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用配方法将二次函数化为的形式为( )
A. B.
C. D.
2.已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点若为的中点，则的长为( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线与轴相交于点，点在点左侧，顶点为平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上则平移后的抛物线解析式为( )
A. B. C. D.
4.关于二次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为
5.下列关于二次函数的图象与轴交点的判断，正确的是( )
A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于轴右侧
C. 有两个交点，且它们均位于轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于轴右侧
6.已知抛物线为常数，经过点，，其对称轴在轴右侧有下列结论：
抛物线经过点
方程有两个不相等的实数根
．
其中，正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
7.抛物线有三点，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知经过原点的抛物线的对称轴是直线，下列结论中：
，，当时，正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.已知二次函数为常数，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
10.已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A. 图象的开口向上 B. 当时，的值随值的增大而减小
C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元，且为整数出售，可卖出件若使利润最大，每件的售价应为 元
12.若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
13.如图，若抛物线上的，两点关于它的对称轴对称，则点的坐标为 ．
14.如图，壮壮同学投掷实心球，出手点处的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是若实心球落地点为，则 ______
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用表示已知抛物线上，两点到地面的距离均为，到墙边的距离分别为，
求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离
若该墙的长度为，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案
16.本小题分
某超市销售一种商品，成本每千克元，规定每千克售价不低于成本，且不高于元经市场调查，每天的销售量千克与每千克售价元满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价元
销售量千克
求与之间的函数表达式
设商品每天的总利润为元，求与之间的函数表达式利润收入成本
试说明中总利润随售价的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少
17.本小题分
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本．
求出每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
如果该企业要使每天的销售利润不低于元，且每天的总成本不超过元，那么销售单价应控制在什么范围内？每天的总成本每件的成本每天的销售量
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．
判断点是否在直线上，并说明理由；
求，的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得的抛物线与轴交点的纵坐标的最大值．
19.本小题分
若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
已知关于的二次函数和，其中的图象经过点，若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值．
20.本小题分
某超市购入一批进价为元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量盒与销售单价元是一次函数关系，下表是与的几组对应值．
销售单价元
销售量盒
求与的函数表达式；
糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为元，求的值．
21.本小题分
已知抛物线的对称轴为直线．
求的值；
若点，都在此抛物线上，且，比较与的大小，并说明理由；
设直线与抛物线交于点、，与抛物线交于点，，求线段与线段的长度之比．
22.本小题分
已知在平面直角坐标系中如图，已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为．
求这条抛物线的表达式和点的坐标
点在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为，连接，用含的代数式表示正切值的倒数
将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点在轴上原抛物线上一点平移后的对应点为点，如果，求点的坐标．
23.本小题分
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价元件
销量件
计算这天销售额的平均数销售额单价销量
通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量件与单价元件之间存在一次函数关系，求关于的函数关系式不需要写出函数自变量的取值范围
预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在中的关系，且该产品的成本是元件为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少
24.本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
求二次函数的表达式；
若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的倍，求点的坐标．
25.本小题分
如图，隧道截面由抛物线的一部分和矩形构成，矩形的一边为米，另一边为米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表米．是抛物线的顶点．
求此抛物线对应的函数表达式；
在隧道截面内含边界修建“”型或“”型栅栏，如图、图中粗线段所示，点，在轴上，与矩形的一边平行且相等．栅栏总长为图中粗线段，，，长度之和，请解决以下问题：
(ⅰ)修建一个“”型栅栏，如图，点，在抛物线上．设点的横坐标为，求栅栏总长与之间的函数表达式和的最大值；
(ⅱ)现修建一个总长为的栅栏，有如图所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围在右侧．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选C．
本题考查的是二次函数解析式的变形，以及配方法．
利用配方法的步骤变形即可．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出中点的坐标是解决问题的关键．
由为的中点，知的坐标，时，，求出的坐标，根据勾股定理求出即可．
【解答】
解：由题意知，抛物线的对称轴为直线
点是抛物线的对称轴与轴的交点，所以点的坐标为．
对于，令，得，所以．
所以．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：令，则，
解得，，
，．
，
点的坐标为，
平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，
抛物线向上平移了个单位长度，向左平移了个单位长度，
平移后的抛物线解析式为，
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：当时，，所以图像与轴的交点坐标为，错
，对称轴为直线，错
当时，的值随值的增大而增大，错
二次函数的图像开口向上，有最小值，D正确．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．
根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．
【解答】
依题意得，，，，
故二次函数图象与轴有两个交点，故选项AB错误．
C.设二次函数图象与轴的交点的横坐标分别为，，
显然，是方程的两根，
则，，故，，
则二次函数的图象与轴的两个交点均位于
轴右侧，故选项C错误，
D.故选项D正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系、不等式的性质等知识，掌握的符号决定抛物线的开口方向、的符号决定抛物线对称轴的位置、的值决定了抛物线与轴的交点坐标．
抛物线经过点，其对称轴在轴右侧，由对称性可以判断错；由条件得抛物线开口向下作直线直线与抛物线有两个交点可判断正确；根据抛物线所经过的点及对称轴的位置可判断正确；从而得结论．
【解答】
解：抛物线为常数，经过点，其对称轴在轴右侧，
抛物线不能经过点，
错误；
抛物线、、为常数，经过点、，其对称轴在轴右侧，抛物线开口向下，与直线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，故正确；
抛物线的对称轴在轴右侧，
，
，
，把点、分别代入得，
，，
，，
，故正确；
故选C．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，，
抛物线的开口向下，对称轴为直线．
离直线最远，离直线最近，
最小，最大．
．
故选：．
依据题意，根据抛物线的性质得抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口向上，对称轴在轴左侧，判断，与的关系，得到；故正确；由时，得；故正确；根据对称轴和抛物线与轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可．
【解答】解：因为对称轴为直线，所以，所以正确
当时，，所以正确
由图象可知抛物线与轴的交点坐标为，，所以时，图象在轴下方，即，所以正确．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
若，当时，取得最小值，
可得：，
解得：或舍；
若，当时，取得最小值，
可得：，
解得：或舍．
综上，的值为或，
故选：．
由解析式可知该函数在时取得最小值、当时，随的增大而增大、当时，随的增大而减小，根据时，函数的最小值为可分如下两种情况：若，当时，取得最小值；若，当时，取得最小值，分别列出关于的方程求解即可．
本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由题知，
，
解得，
所以二次函数的解析式为．
因为，
所以抛物线的开口向下．
故A选项不符合题意．
因为，
所以当时，随的增大而减小．
故B选项不符合题意．
令得，
，
解得，，
所以抛物线与轴的交点坐标为和．
又因为抛物线的顶点坐标为，
所以抛物线经过第一、三、四象限．
故C选项不符合题意．
因为二次函数解析式为，
所以抛物线的对称轴为直线．
故D选项符合题意．
故选：．
根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题．
本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，能用待定系数法求出二次函数解析式及熟知二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【解答】解：设利润为元，
则
，
所以当每件的售价为元时，利润最大．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是记住抛物线与轴只有一个交点，抛物线与轴有两个交点，抛物线与轴没有交点，属于中考常考题型．根据抛物线与轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．
【解答】解：当二次函数的图象与轴有两个交点时，
方程有两个不相等的实数根，
所以，
解得．
所以的取值范围是．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数是轴对称图形可知抛物线上两点是对称点，由可得点的坐标．
【解答】
解：设点的坐标为，
抛物线上的，两点关于它的对称轴对称，
所以，，
所以，
所以点的坐标为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：如图，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立直角坐标系，
由题意可知，，，其中点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为：，
将代入上式，
解得：，
即抛物线的解析式式为：，
为抛物线与轴的交点，
即，
解得：，舍，
故答案为：．
以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立直角坐标系，由题意可知，，，其中点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为：，将代入上式，求出的值，进而求出抛物线表达式，最后将代入表达式中即可得出答案．
本题主要考查二次函数的应用，建立合适的直角坐标系是解题的关键．
15.【答案】解：由题意可知，，
代入得解得
．
答：该抛物线的函数关系式是，图案最高点到地面的距离是．
当时，，，，个．
答：最多可以连续绘制个抛物线型图案．
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正确的求出二次函数的解析式是解题的关键．
根据题意求得，，解方程组求得拋物线的函数关系式为；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果；
令，即，解方程得到，，即可得到结论．
16.【答案】解：设．
由题意，得解得
所求函数表达式为．
．
，其中．
，
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
当售价为元时，获得最大利润，最大利润为元．

【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、根据实际问题列二次函数关
根据图表，用待定系数法求出与之间的函数表达式即可；
根据公式即可求出与之间的函数表达式
利用配方法和二次函数的性质即可求出最大利润．
17.【答案】解：，
．
，
，抛物线开口向下．
，对称轴是直线，
当时，．
销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为元．
当时，，
解这个方程，得，．当时，每天的销售利润不低于元．
由每天的总成本不超过元，得，
解这个不等式，得．．，
销售单价应该控制在元至元之间．
【解析】 本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程，再求解．
根据“利润售价成本销售量”列出方程；
把中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
分别由每天的销售利润不低于元和每天的总成本不超过元，列不等式得出的范围，然后取它们的公共部分即可．
18.【答案】【小题】
点在直线上
理由：直线经过点，，解得．
直线对应的函数解析式为把代入，
得，点在直线上
【小题】
易得直线：与抛物线都经过点，且，两点的横坐标相同，易得抛物线只能经过，两点．
把，代入，得解得
【小题】
由，知抛物线对应的函数解析式为．
设平移后的抛物线对应的函数解析式为，其顶点坐标为．
顶点仍在直线上，．
抛物线与轴的交点的纵坐标为，
．
当时，平移后所得的抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为

【解析】 略
略
略
19.【答案】解：本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可，
如：，；
函数的图象经过点，
则，
解得，
，
与为“同簇二次函数”，
可设，
则，
由题可知函数的图象经过点，
则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为．

【解析】本题考查了二次函数的性质，新定义．
写出顶点在原点，开口方向向上的两个二次函数解析式即可；
先把点坐标代入可计算出，则，根据新定义可设，进而得到，再根据经过，求出的解析式，再根据二次函数的性质求解即可．
20.【答案】解：设．
．
解得：．
；
设日销售利润为元．
．
答：糖果销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元；
．
最大利润为元，
．
整理得：．
．
解得：，．
当时，，
每盒糖果的利润元．
舍去．
答：．
【解析】设与的函数表达式为：，把表格中的两组数值代入可得和的值，即可求出与的函数关系式；
设日销售利润为元，每盒糖果的利润销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少；
得到新的日销售利润的关系式，根据二次函数的性质，最大利润为元，那么求得相应的的值后，取合适的解即可．
本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数的二次项系数小于，求二次函数的最大值，可整理成，二次函数的最大值为；也可整理成一般式：，最大值为：．
21.【答案】解：根据题意可知，
抛物线的对称轴直线，
．
由可知，抛物线的解析式为：，
，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，抛物线图象开口向上，
抛物线上点的横坐标离对称轴越远，对应的点的纵坐标越大，
，，
，
．
联立与，
可得交点为和，
，
联立与，
可得交点为和，
，
．
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合思想等，题目难度适中，
根据对称轴公式，代入数据即可求出；
根据二次函数的开口方向和对称轴可得出结论；
分别联立直线与两抛物线的解析式，得出线段和线段的长度，即可得出结论．
22.【答案】解：依题意，得
解得
所求抛物线的表达式为．
将代入上式，得．
顶点的坐标为．
过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为．
则，，
；
原二次函数配方得，则平移后的抛物线的解析式为，即．
设点的横坐标为，则，．
，
轴垂直平分，
，解得，
．
或
【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点与点关于轴对称，从而得到点的纵坐标是解题的关键．
依据抛物线的对称轴方程可求得的值，然后将点的坐标代入可求得的值；
过点作，垂足为，从而可得到，，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；
由平移后抛物线的顶点在轴上可求得平移的方向和距离，故此，设点的横坐标为，则，然后由点，轴可得到点和关于对称，可求得点的纵坐标，将点的纵坐标代入可求得对应的的值，则可得到点的坐标．
23.【答案】解：件．
设所求一次函数关系式为，将、代入，得解得
．
设利润为元，根据题意，得，则当时，取最大值即当该产品的单价为元件时，工厂获得最大利润元．
【解析】【分析】本题考查了算术平均数的计算，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一次函数的应用和二次函数的应用以及二次函数的最值．
根据算术平均数的计算方法即可得出结果；
可用待定系数法确定关于的函数关系式；
根据题意可得出利润的函数表达式，将二次函数的一般形式配成顶点式即可得到函数的最值．
24.【答案】

【解析】【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等．
根据待定系数法求解即可；
设，因为点在第二象限，所以依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标．
【详解】解：将代入，
得
解得
所以，二次函数的表达式为．
设，因为点在第二象限，所以．
依题意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得舍去，
所以点坐标为．
25.【答案】解：由题意可得：，，
又是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为，将代入，
，
解得：，
抛物线对应的函数表达式为；
点的横坐标为，且四边形为矩形，点，在抛物线上，
的坐标为，
，，
，
，
当时，有最大值为，
即栅栏总长与之间的函数表达式为，的最大值为；
(ⅱ)方案一：设，则，
矩形面积为，
，
当时，矩形面积有最大值为，
此时，，
令，
解得：，
此时的横坐标的取值范围为横坐标，
方案二：设，则，
矩形面积为，
，
当时，矩形面积有最大值为，
此时，，
令，
解得：，
此时的横坐标的取值范围为：横坐标．
【解析】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
通过分析得出点坐标，结合顶点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
结合矩形性质分析得出的坐标为，然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
(ⅱ)设，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
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