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2024-2025学年浙江省杭州市 S9联盟高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 2 9 < 0}， = { ∈ | = 2 1, ∈ }，则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. {1,2} C. [ 1,3) D. ( 3,3)
2.在复平面内，复数 = (2 5 )( 1 2 )对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知 (3,1)， (1, 2)， (1,1)，则过点 且与线段 平行的直线方程为( )
A. 3 + 2 5 = 0 B. 2 3 + 1 = 0 C. 3 2 1 = 0 D. 2 + 3 5 = 0
4.设 ∈ ，则“ > 1”是“ 2 > ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数 ( ) = ( 2) 的单调递增区间是( )
A. ( ∞,2) B. (2, + ∞) C. ( ∞,1) D. (1, + ∞)
2 26.椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点分别为 1、 2，以 1、 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角
形的另两边，则椭圆的离心率 为( )
A. 3+1 3+22 B. 3 1 C. 4(2 3) D. 4
7.正方体 1 1 1 1中，直线 1与平面 1 所成角的正弦值为( )
A. 24 B.
2 6 3
3 C. 3 D. 2
8.定理：如果函数 ( )及 ( )满足：①图像在闭区间[ , ]上连续不断；②在开区间( , )内可导；③对 ∈
( , )， ′( ) ≠ 0 ( ) ( ) ′( )，那么在( , )内至少存在一点 ，满足 ( ) ( ) = 成立，该定理称为柯西中值定理．请 ′( )

利用该定理解决下面问题：已知 ( ) = 2 ，若存在正数 ， ( < )，满足 ( ) = ln + ( )，则实数
的取值范围是( )
A. 32 1 8 2 4 1 4 2 4 , B. 4 , C. 4 , D. 4 ,
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }的前 项和为 ，公差 ≠ 0， 11 = 110， 7是 3与 9的等比中项，则下列选项正确的
是
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A. 12 = 3 + 9 = 20 B. = 2
C. 有最大值 D.当 > 0 时， 的最大值为 21
10 .已知函数 ( ) = sin 2 + 3 .则下列结论正确的有( )
A. ( )的最小正周期为
B. 2 是 ( )的最大值
C. 把函数 = sin 2 的图像上所有点向左平移6个单位长度，可得到函数 = ( )的图像
D.将函数 = ( ) 的图像向右平移 ( > 0)个单位长度，所得图像关于原点对称，则 的最小值为6
11.如图所示，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 ， 的中点，则以下四个结论
正确的是( )
A.棱 1 1上存在一点 ，使得 / /平面 1
B. 2直线 1 1到平面 1 的距离为3
C. 9过 1 1且与面 1 平行的平面截正方体所得截面面积为8
D. 3 过 的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 8
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 1 1.甲射手击中靶心的概率为3，乙射手击中靶心的概率为2，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中
靶心的概率为________．
13.已知向量 与 的夹角为 60°，| | = 2，| | = 1，则| + 2 | = ．
14.已知斜率为 1 的直线与抛物线 2 = 4 交于 ， 两点，若△ 的外心为 ( | |为坐标原点)，则当| |
最大时，| | =________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， = 2， = 3．
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(1)若 = 4，求 ；
(2)若△ 的面积 = 3，求 ， ．
16.(本小题 15 分)
2
已知数列{ }的前 项和 =
+
2 ( ∈
)，数列{ }是正项等比数列，满足 1 = 2， 3 = 8．
(1)求{ }，{ }的通项公式;
, ( = 2 1)
(2)设 = , ( = 2 ) ( ∈
)，记数列{ }的前 项和为 ，求 99．

17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1， ( ) = ln .
(1)若 ( )存在极小值，且极小值为 1，求 ;
(2)若 ( ) ≥ ( )，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱锥 中， = ， 为 的中点，平面 ⊥平面 ．
(1)证明： = ；
(2)若 ⊥ ， = 2， = = 1，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2

2 = 1( > 0, > 0) 4
2
的实轴长为 ，一条渐近线的方程为 = 2 ，过点(6,0)的直线 与
的右支交于 ， 两点．
(1)求 的标准方程；
(2) 是 轴上的定点，且∠ = 90°．
(ⅰ)求 的坐标；
(ⅱ)若△ 的外接圆被 轴截得的弦长为 16，求外接圆的面积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.56
13.2 3
14.4 10
15.解：(1) 由 sinA = sinC，
2×
3
得 = 2 = 2 = 6．
2
(2) = 12 ，
1
即2 × 2 ×
3
2 = 3，得 = 2，
又 = 2， = 3，
故△ 为等边三角形，
所以 = 2．
2 2
16.解：(1)当 ≥ 2 时， = =
+
1 2
( 1) +( 1)
2 = ，
又 = 1 时， 1 = 1 = 1，符合 = ，故 = ， ∈ ，
= = 2
设等比数列 的公比为 ( > 0)，则 1 2 3 = 8 = 8
,
= 2
解得 1 = 2
,
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∴ = 1 1 = 2 ， ∈ ；
, = 2 1(2) ∵ = ( ∈ N , = 2
),
∴ + + + + = + + + + = 50×(1+99)1 3 5 99 1 3 5 99 2 = 2500，
+ + + + = + + + + = 4(1 4
49) 450 4
2 4 6 98 2 4 6 98 1 4 = 3 ，
450 4 450+7496
所以 99 = 3 + 2500 = 3 ．
17.解：(1)求导 ′( ) = ，令 ′( ) = 0，则 = ，
因为 ( )存在极小值，且极小值为 1，
所以 ( ) = ln 1 = 1，所以 = ，
经检验， = 符合题意；
(2)由 ( ) ≥ ( )可得 1 ≥ ln ，

> 0(ln > 0) ln 1因为 中 的定义域为 ，移项可得 在(0, + ∞)上恒成立，

设 ( ) = ln 1 ( > 0)，则 ( )min，

( ) = ( 1)+1 = ( 1)(
1)
求导 ′ 2 2 ，
( ) = 0 ( 1)(
1)
令 ′ ，即 2 = 0，
因为 2 > 0， 1 > 0( > 0 时)，所以 1 = 0，解得 = 1，
当 0 < < 1 时， 1 < 0， 1 > 0，则 ′( ) < 0，所以 ( )在(0,1)上单调递减，
当 > 1 时， 1 > 0， 1 > 0，则 ′( ) > 0，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
1
( ) = 1 (1) = 1×ln1 1由单调性可知 在 处取得最小值， 1 = 1，
所以 的取值范围是( ∞, 1]．
18.(1)证明：因为 为 的中点， = ，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 为 的中点，所以 = ；
(2)解：如图，取 的中点 ，连接 ，
因为 = ，所以 ⊥ ，
由(1) ⊥平面 ， 平面 ，
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所以平面 ⊥平面 ，
因为平面 ∩平面 = ， 平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，
如图，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，
过点 且与 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
因为 ⊥ ， = ， = 2 1， 为 的中点，所以 = 2 = 2，
因为 = = 1，所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， ( 1 , 1 , 2 )，2 2 2
所以 = ( 1 , 1 , 2 )，2 2 2
= (2,0,0)， = (0,2,0)，
设平面 的一个法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
1 = 0 1 + 12 1 2 1 +
2
2 所以 ，即 1 = 0，
1 = 0 2 1 = 0
令 1 = 1，解得 1 = 0， 1 = 2，所以 1 = (0, 2, 1)，
设平面 的一个法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 = 0 12
1 2
所以 ，即 2
+ 2 2 + 2 2 = 0，
2 = 0 2 2 = 0
令 2 = 1，可得 2 = 2， 2 = 0，所以 2 = ( 2, 0, 1)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
= | 1 则 2
|
| || | =
1 = 1
1 2 3× 3 3
，
平面 与平面 1的夹角的余弦值为3
19. 解：(1)因为 的实轴长为 2 ，渐近线方程为 =± ，
2 = 4 = 2所以 ， 2 ，
解得 = 2， = 2，
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2 2
所以 的标准方程为 4 2 = 1；
(2) 是 轴上的定点，且∠ = 90 ，
故直线斜率不为 0，设直线 的方程为 = + 6，
设 ， 两点坐标为 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 6
联立 2 2 ，化简得，( 2 2) 2 + 12 + 32 = 0，
4 2 = 1
2 2 ≠ 0
2 2
则 = 12 4 × 32 × 2 > 0，解得 2 < < 2，
1 2 =
32
2 2 < 0
+ = 12 所以 1 2 2 2， 1 2 =
32
2 2．
设 ( , 0)，则 = ( 1 , 1)， = ( 2 , 2)，
所以 = ( 1 )( 2 ) + 1 2 = ( 1 + 6 )( 2 + 6 ) + 1 2
= ( 2 + 1) 1 2 + (6 ) ( 1 + 2) + (6 )2
2 2
= 32( +1) 12 (6 ) 2 2 2 2 2 + (6 ) = 0，
得 32( 2 + 1) + 12( 6) 2 + (6 )2( 2 2) = 0，
[(6 )2 + 12( 6) + 32] 2 + 32 2( 6)2 = 0，
(6 )2 + 12( 6) + 32 = 0
所以
32 2( 6)2
,
= 0
解得 = 2，所以 的坐标为(2,0);
(3)因为 ⊥ ，所以△ 外接圆是以 为直径的圆，记为圆 ，
因为△ 外接圆被 轴截得的弦长为 16，且 (2,0)，
所以圆 交 轴于另一点 (18,0)，
所以圆心 在直线 = 10 上，显然 ≠ 0，
= + 6 4
联立 = 10 ，得 = ，
所以△ 4的外接圆圆心 (10, )，即为 中点，
4 = 1+ 所以 2 2 =
6
2 2，即
2 = 45，
4
所以圆 半径的平方 2 = | |2 = 10 2 2 + ( 0)
2 = 84，
所以△ 外接圆的面积为 84 ．
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