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2024-2025 学年浙江省温州十校联合体高一下学期 4 月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量 = (1,1)， = (2, )，若 // ，则实数 =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
2 3.在△ 中，cos = 5， = 1， = 5，则 △ =( )
A. 2 B. 32 C. 3 D. 4
3.下列选项是真命题的是( )
⊥
A. ⊥ ⊥ } ⊥ B. ⊥ } //
// //
C. // ⊥ D. ∩ = //
⊥ ∩ =
4.已知△ 中 = 0 3， = ，∠ = 30 2 ，则
在 上的投影向量为( )
A. 34 B.
1 C. 3 4 4
D. 1 4
5.在长方体 1 1 1 1中，若 = = 2， 1 = 4，则异面直线 1 ， 1所成角的余弦值为( )
A. 35 B.
4 3 1
5 C. 2 D. 2
6.一艘渔船航行到 处时看灯塔 在 的南偏东30 ，距离为 6 海里，灯塔 在 的北偏东60 ，距离为 6 3海
里，该渔船由 沿正东方向继续航行到 处时再看灯塔 在其南偏西30 方向，则此时灯塔 位于渔船的( )
A.北偏东60 方向 B.北偏西30 方向 C.北偏西60 方向 D.北偏东30 方向
7 2.已知△ 的重心为 ，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 若 + + 2
= 0，则△ 的形状
是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
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8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑 中， = = 4，
⊥平面 ，当该鳖臑的外接球的表面积为 48 时，则它的内切球的半径为( )
A. 22 B. 3 C. 2 2 2 D. 3 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为非零实数，复数 1 = + ， 2 = 2 ，则( )
A. 11 2的实部为 2 B. | 1|的最小值为 2
C. | 1 2| = | 1|| 2| D.当 = 1 时， 1 < 2
10.在底面是菱形的四棱锥 中，∠ = 60 ， = = ， = = 2 ，点 在 上，且
: = 2: 1，点 是棱 的动点，则下列说法正确的是( )
A. ⊥
B.三棱锥 3的体积为 336
C.当 是棱 的中点时， //平面
D.直线 与平面 所成的角的正切值最大为 6
11.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类
九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三
角形三边 ， ， ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中
斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上
1 2 2 2
这段文字写成公式，即： = [ 24
2 ( + 2 )
2]，现有△ 满足 : : = 2: 3: 4，且△ 的面积
△ = 3 15，请运用上述公式判断下列命题正确的是( )
A. △ 周长为 9
B.若点 为△ 的外心，则 ( + ) = 50
C. △ 5内切圆的面积为3
D. △ 的中线 长为 46
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 = 1+ .已知复数 2 ，则 的虚部为
13.已知正三角形 的边长为 4，设点 是以边 为直径的圆上的动点，则 ( + )的最大值为
14.如下图，已知正四面体 中，侧棱长为 2， 为 中点， 为 中点， 是 上的动点， 是平面
上的动点，则 + 最小值是
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 不是纯虚数，且满足| |2 2 = 1 + 2 。
(1)求| |
(2)若复数 是关于 的方程 2 + = 0(其中 ， 为实数)的根，求 + ．
16.(本小题 15 分)
在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计。灯笼不仅要考虑美
观，还要具备结构上的合理性和稳定性。现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具
体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为 2 ，下底边长为 4 ，高度为 2 ;中间结
构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为 4 ，高度为 4 ;底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱
台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同。
(1)求灯笼总体积。
(2)灯笼所需纸张的总表面积。(备注：灯笼上下底不糊纸。)
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17.(本小题 15 分)
如图，设 ， 是平面内相交成60 角的两条数轴， 1， 2分别是与 ， 轴正方向同向的单位向量.若 =
1 + 2则把有序数对( , )叫做向量 在坐标系 中的坐标，记作 = ( , )，已知点 ， 分别在 ，
轴， = ( ,0)， = (0, )， ， 为非零实数，点 满足 = 2 ．
(1)求向量 在坐标系 中的坐标;
(2)若 = (1,0)， ⊥ ，求向量 在坐标系 中的坐标;
|(3) |求 的最小值．
| |
18.(本小题 17 分)
如图，多面体 中，四边形 为矩形，∠ = 60°， // ， ⊥ ， = 2， = 3， = 4，
= 5．
(1)求证：平面 ⊥平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(3)求点 到平面 的距离．
19.(本小题 17 分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ 的三个内角均
小于120 时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120 的点 即为费马点;当△ 有一个内角大于或等于120
时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ，点 为△ 的费马点，且满足(2 )cos cos = 0， 2 ( )2 = 4
(1)求 ;
(2)求 + + 的值;
(3)求| | | |的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.35
13.12
14.2 63
15.解：(1)设 = + ( , ∈ , ≠ 0)，
代入| | 2 = 1 + 2 ，并整理得： 2 + 2 2 2 = 1 + 2
2 + 2 2 = 1
2 = 2 ，
≠ 0
= 2
解得 = 1，
所以 = 2 ，
所以| | = 22 + ( 1)2 = 5．
(2) ∵ = 2 是方程的根，
∴ 2 + 也是方程的根，
由一元二次方程根与系数的关系得 2 + 2 + = ，(2 )(2 + ) = ，
解得 = 4， = 5，
则 + = 9．
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16. 1解：(1) 正六棱台 = 3 ( + ′ + ′) =
1
3 × 2 [
3
4 (2 )
2 6 + 34 2 4 6 +
3 2 3
4 (4 ) 6] = 28 3 ;
3 2 3六棱柱 = = 4 (4 ) 6 4 = 96 3 ；
灯笼 = 2
3 3 3
正六棱台 + 六棱柱 = 2 28 3 + 96 3 = 152 3 ；
(2) = 6 × 7 (2 +4 ) = 18 7 2六棱台侧面 2 ，
2 2六棱柱侧面 = 6 (4 ) = 96 ；
2表 = 2 六棱台侧面 + 六棱柱侧面 = (36 7 + 96)
17.解：(1)由 = 2 ，得 = 2( )
解得： = 2 3 +
1 2 1 2 1 2
3 = 3 ( , 0) + 3 (0, ) = 3 1 + 3 2 = ( 3 ,
1
3 )，
即向量 在坐标系 ( 2 , 1中的坐标为 3 3 );
(2)若 = (1,0)，则 = ( 23 ,
1 2 1
3 ) = 3 1 + 3 2，
= = (0, ) (1,0) = 1+ 2，
因为 ⊥ ，
则 = ( 23
1
1+ 3 2) ( 1 + 2) = 0，
即： 2 2 2 13 1 + ( 3 3 ) 1 2 +
1 2
3 2
2 = 23 +
1 1
6 + 3
2 = 0 1± 33，解得 = 4 ，
所以，向量 在坐标系 1± 33中的坐标为(0, 4 );
2 2
(3)因为 = ( 23 +
1 2 4 2 2
1 3 2) = 9 + 9 +
1 2， 9 =
2，
4 2 1| | 2+ + 2 1
所以： = 9 9 9 2 2 = 3 ( ) + 2·

+ 4 =
1 ( 2
| | 3
+ 1) + 3，
| | 3
当 = 1，即 = 时，| |取得最小值，最小值为 3 ．
18.(1)证明：∵ ⊥ ， ⊥ ，又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(2)作 ⊥ 于 ，因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
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又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
连结 ，
∵ // ， 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
设直线 与平面 所成角为 ，则 = 13， = 3，
所以 sin = 3 39， = 13 = 13
直线 与平面 所成角的正弦值为 39；
13
(3)由(2)得 ⊥平面 ，又 = ，
所以距离 =
△ 15
又由已知可得 = ， △ △ 2 △ = 3， = 3，
所以 = 52 3．
19.解：(1)由(2 )cos cos = 0 得(2sin sin )cos sin cos = 0
2sin cos sin( + ) = 0，
2sin cos sin = 0 1可得 cos = ，又 ∈ (0, ), ∴ = 60 2
(2)由 = 60 可得△ 的三个内角均小于120 ，点 为△ 的费马点，则∠ = ∠ = ∠ = 120 ，
由 2 ( )2 = 4， 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 可得 = 4，
1△ = 2 sin = 3，又有 = + +
1
= 2 (| | | | + | | | | + | |
| |)sin120
可得| | | | + | | | | + | | | | = 4，
所以 + + = 2
(3)设∠ = ，则∠ = 60 ，∠ = ，∠ = 60 ，其中0 < < 60 ，
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△ 2中，由正弦定理可得 sin∠ = sin∠ ，则 = 3 sin(60 )，
△ 2中，由正弦定理可得sin∠ = sin∠ ，则 = 3 sin ，
| | | | = 4 sin sin(60 3 ) =
16
3 sin sin(60
)，
16
3 sin sin(60
) = 163 sin (
3
2 cos
1
2 sin ) =
8
3 ( 3sin cos sin
2 ) = 83 (
3
2 sin2
1 cos2
2 ) =
8 1
3 [sin(2 + 30 ) 2 ]，
10 < < 60 30 < 2 + 30 < 150 2 < sin(2 + 30 ) ≤ 1
所以| | | | 4的取值范围是(0, 3 ]
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