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2024-2025 学年浙江省浙东北县域名校发展联盟高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中既是偶函数，又在区间(0, + ∞)上单调递增的是( )
A. = B. = 1 C. = | | D. =
2
2.已知随机变量 X~N(2, 2),且 P(X<0)=0.2,则 P(X> 4)=( )
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1
3.下列函数求导正确的是( )
A. (2ln ) = 2′ B. (sin )′ = cos C. (
2 ) 1 1′ = 2 D. ( )′ = 2

4.已知函数 ( ) = 10 , < 10,lg , 10, 则 [ (100)] =( )
A. 1010 B. 100 C. 2 D. 1
5.某活动共包含 、 、 、 、 这 5 个环节，其中环节 、 必须相邻，环节 、 不能相邻，那么不同的安
排方式一共有( )
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
6 1 1 1.对于随机事件 、 ，若 ( ) = 2， ( | ) = 3， ( | ) = 4，则 ( ) =( )
A. 1 B. 2 3 32 3 C. 4 D. 8
7.已知随机变量 ， ( > 0, > 0)呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设 = 3ln ， = (4 5)2，
1
利用最小二乘法，得到线性回归方程 = 4 + 3，则变量 的估计值有( )
A.最大值为 B.最小值为 C.最大值为 3 D.最小值为 3
8.已知函数 ( )， ( )的定义域为 ， ( + 1) + ( + 1) = ( + 2) ( ) = 1，且 ( )满足 ′( +
1) + ′( + 1) = 0， (1) = 1，则2025 =1 ( ) =( )
A. 1 B. 1 C. 2025 D. 2026
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
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C.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的绝对值越接近于 0
( )2
D.决定系数 2 = 1 =1 ( )2可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好 =1
10
2+2 2
.已知函数 ( ) = ，则下列结论正确的有( )
A. ( )共有 3 个零点
B. ( )既存在极大值，也存在极小值
C. 6若 ∈ [ , + ∞)时， ( )max = 2，则 的最大值为 2
D.若函数 = ( ) 有 2 个零点，则 ∈ ( 2 2, 0] ∪ { 6 2 }
11.高考数学新课标Ⅰ卷试题的第二部分为多选题，每题设有 4 个选项，其中正确选项的数量为 2 个或 3 个.
若正确答案共 2 个选项，每选对 1 个得 3 分;若正确答案共 3 个选项，每选对 1 个得 2 分.需要注意的是，
全部选对才能得 6 分，一旦选中任何错误选项，该题即得 0 分.张三对其中的某题完全不会，若该题共有三
2
个正确选项的概率是3，记 、 、 分别为张三随机选择 1 个、2 个、3 个选项的得分，则( )
A. ( = 2) = 12 B. ( = 4) = ( = 3) + ( = 6)
C. ( ) < ( ) < ( ) D. ( ) > ( ) > ( )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设(2 + 1)4 = 0 + + 21 2 + 3 3 + 44 ，则 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = ．
13.已知具有线性相关关系的变量 ， ，设其样本点为 ( , )( = 1,2,3, , 8)，经验回归方程为 = 2 + ，
若8 8 =1 = 40， =1 = 64，则 = ．
14 4.已知函数 ( ) = | + |( , ∈ )，当 ∈ [1,4]时，设 ( )的最大值为 ( , )，则 ( , )的最小值
是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 3 ．
(1)求函数 ( )的单调区间;
(2)求曲线 = ( )在 = 2 处的切线方程．
16.(本小题 15 分)
2025 年 3 月 30 日，第 20 届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机
抽取了 200 位观众开展相关调查，得到满意率为 80%．
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(1)根据所给数据，完成 2 × 2 列联表;
满意度
性别 合计
满意 不满意
男性 20
女性 40
合计
(2)在(1)的条件下，依据小概率值 = 0.005 的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题 15 分)
( 2已知 )
的展开式中共有 7 项．
(1)求 的值;
(2)求展开式中二项式系数最大的项;
(3)求(2 + 2)( 2 ) 的展开式中含
2的项的系数．
18.(本小题 17 分)
近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一. 2025 年初，中国动画电影《哪吒 2》火爆上映，引发观影热
3
潮.随后，某手办店乘势推出一系列单价相同、款式各异的手办盲盒，其中开出哪吒手办的概率是5，开出敖
2
丙手办的概率是5．
(1)若张三到该店购买 3 个盲盒，设其开出哪吒手办的个数为 ，求 的分布列和期望;
(2)若张三到该店购买 8 个盲盒，求其开出的哪吒盲盒最有可能的数量;
(3)若该店开展活动，当顾客在购买手办盲盒过程中，连续开出 2 个哪吒手办时，可获赠 1 个齐天大圣手
办.已知手办盲盒单价为 9 元，那么平均花多少钱能获得 1 个齐天大圣手办
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln .
(1)求 ( )的最小值，并求出相应的 ;
(2)若 ( ) ≥ ( )对任意 ∈ (0, + ∞)恒成立，求实数 的值;
(3)若直线 = (其中 1 < < 0)与 ( )图象的交点横坐标分别为 1， 2，求证： + 1 < | 1 2| <
2 + 1．
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参考答案
1.
2.C
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.81
13.２
14.12
15.解：(1) 已知函数 ( ) = 3 3 ，则 ′( ) = 3 2 3，
令 ′( ) > 0，得 < 1 或 > 1，
所以 ( )的单调递增区间为( ∞, 1)，(1, + ∞);
( )的单调递减区间为( 1,1)．
(2) = ′(2) = 9，
(2) = 2，所以切线方程为 2 = 9( 2)，即 = 9 16．
16.解：(1)2 × 2 列联表如下：
满意度
性别 合计
满意不满意
男性 120 20 140
女性 40 20 60
合计 160 40 200
(2)零假设 0：性别与满意度无关联，
200(120×20 20×40)2
此时 2 = 160×40×60×140 ≈ 9.524 > 7.879，
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根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，推断 0不成立，
即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.005．
17.解：(1)由 + 1 = 7，解得 = 6;
(2)由(1) 2知展开式的通项为 +1 = 6 6 ( ) = ( 2)
6 6 2 ，
所以 = 3 34 6 (
2 )3 = 160;
(3)令 6 2 = 2，得 = 2，即 3 = ( 2)2 2 2 = 60 26 ;
令 6 2 = 0，由(2)知 4 = 160；
综上：展开式中 2的系数为 60 × 2 + ( 160) × 1 = 40．
18. 3解：(1) 可取 0，1，2，3，由题可知 (3, 5 ).
则 ( = ) = 3(
3 ) 5 (1
3 )3 5 ．
则 ( = 0) = 03(
3 0 3 3 8
5 ) (1 5 ) = 125
3 3 36
( = 1) = 13( )15 (1 5 )
2 = 125
3 3 54
( = 2) = 23( )25 (1 5 )
1 = 125
3 3 3 27 ( = 3) = 3(5 )
3(1 05 ) = 125
分布列：
0 1 2 3
8 36 54 27
125 125 125 125
3 9
期望： ( ) = = 3 × 5 = 5 ;
(2)设其开出的哪吒手办的数量为 ，则 (8, 35 ).
3
所以 ( = ) = 8( 5 )
(1 3 )8 5 ( = 0,1,2, , 8)．
( = ) ( = 1)
由 ( = ) ( = + 1) ,
8 1 9
3 1 3 1 3 38 5 5 8 5 1 5
得 8 +1 7 ，其中 0 ≤ ≤ 8 且 ∈ .
3 1 3 +1 3 38 5 5 8 5 1 5
8! 3 8! 3
!(8 )! × 5 × (1 )( 1)！(9 )！ 5
即 8! 3 ，解得 4.4 ≤ ≤ 5.4．
!(8 )! × (1 5 )
8! × 3
( +1)！(7 )！ 5
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又 ∈ ，则 = 5
所以开出的哪吒手办的最有可能的数量为 5 个．
(3)设通过活动购买第 个盲盒时，恰好连续开出 2 个哪吒手办，设其期望为 ，
= 2 ( + 1) + 3 × 2 ( + 2) + 3 × 3则 5 5 5 5 5 × 2.
40
解得 = 9．
40
故平均需花费 9 × 9 = 40 元．
19.解：(1)由 ′( ) = ln + 1( > 0)．
令 ′( ) > 0，得 > 1 ，
1 1
所以 ( )在(0, )单调递减，在( , + ∞)单调递增．
1 1
即当 = 时， ( )min = ( ) =
1
．
(2)由切线不等式 ln ≤ 1(当且仅当 = 1 时等号成立)，
ln 1 1可得 ≤ 1，则 ln ≥ 1
1
，进一步 ln ≥ 1 1 1 ，化简得 ln ≥ 2(1 )，
所以 ln ≥ 2( )，即 = 2．
验证充分性：
由题可知 ln ≥ ( )，即 ln ( 1) ≥ 0 对任意 ∈ (0, + ∞)恒成立．
当 = 2 时，可设 ( ) = ln 2 + 2，设 = > 0，可得 = 2 ln 2 + 2， ′ = 2ln ，
进而可得 = 2 ln 2 + 2 在(0,1]单调递减，在[1, + ∞)单调递增，所以 min = | =1 = 0，
所以 ( ) ≥ 0，
综上所述，可得 = 2．
(3)设 (0,0)， (1,0) ( 1 , 1， )，
由(1)、(2) 1知：当 ∈ (0, )时，ln < ln
1
= 1，此时 2( ) < ln < ．
1 1 2
当 ∈ ( , 1)时，令 ( ) = ln 1 ( 1)，所以 ′( ) = ln + 1，
由 ′( ) 1在( , 1)
1
单调递增，又 ′( ) < 0， ′(1) > 0，
1
所以存在 0 ∈ ( , 1)，使得 ′( 0) = 0，
1
所以函数 ( )在( , 0)上单调递减，在( 0, 1)上单调递增，
又 ( 1 ) = (1) = 0，
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1
所以当 ∈ ( , 1)时， ( ) < 0，
即 ln < 1 1 1 ( 1)，此时 2( ) < ln < 1 ( 1)，
设直线 = 与直线 = 的交点横坐标为 = 13，与 1 ( 1)的交点横坐标为 4，
联立方程得： 3 = ， 4 = ( 1) + 1，则| 1 2| > | 3 4| = + 1，
设直线 = 与函数 = 2( )的交点横坐标为 5和 6，联立方程得：
+1± 2 +1
5.6 = ，2
则| 1 2| < | 5 6| = 2 + 1，
综上所述， + 1 < | 1 2| < 2 + 1．
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