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2024-2025 学年福建省漳州市十校联盟高二下学期期中质量检测联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = ( 1, , 2)， = (3,2,1)，且 ⊥ ，则|2 + | =( )
A. 4 B. 4 2 C. 5 D. 34
2.如图，函数 ( )的图象是线段 ，求 lim (1+ ) (1)2 的值为( ) →0
A. 3 32 B. 4 C.
3
2 D. 3
3.在四面体 中， = ， = ， = ， = ， 是线段 上靠近 点的三等分点，且 =
3
4 +
2 + 13 3 ，则 =( )
A. 1 B. 37 C. 3 D.
3
7
4.厦门湾南岸漳州海岸线像一条珍珠项链，串联了一个个美丽的景点。现有甲，乙，丙三人从南炮台公园，
卡达凯斯，镇海角，滨海火山口四个景点随机选择一个景点游玩， =“三人选择的景点各不相同”， =“三
人至少有一人去了镇海角”，则 ( | ) = ( )
A. 18 6 3 137 B. 37 C. 8 D. 8
5.已知定义在 的函数 ( )的导数为 ′( )， ( 1) = 1 ，且对任意 的满足 ( ) ′( ) >
，则不等式
( ) + > 0 的解集是( )
A. ( 1, + ∞) B. ( ∞, 1) C. ( 1 , + ∞) D. ( ∞,
1
)
6.在三棱锥 中， ⊥底面 ， = = 2， = 2 3， 是线段 中点，∠ = 120 ，则异
面直线 与 所成角为( )
A. 2 B.

3 C. 4 D. 6
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7.已知函数 ( ) = 2 + + 1， ( ) = ，若曲线 = ( )与 = ( )存在公切线，且公切线的斜率为 ，
则实数 的值为( )
A. ± 2 B. + 2 C. 2 ± D. 2
8.在三棱锥 中， ⊥平面 ，且 = = = 2， = 2 3，三棱锥各顶点均在球 的表面
上，则球心 到平面 的距离为( )
A. 2 B. 103 5 C.
15 D. 155 15
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数 ( ) = 3 3 2 + 2，则( )
A. ( )的极小值为 2 B. ( )的对称中心为(1,0)
C. ( )在区间[ 3,3]上的最小值 2 D. ( )在 = 0 处的切线方程为 = 2
10.袋子中有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件 =“取出的
球的数字之和为奇数”，事件 =“取出的球的数字之和为偶数”，事件 =“取出的球的数字之积为偶数”，
则( )
A.事件 与 是互斥事件 B. ( ) = 35
C. ( | ) = 34 D.事件 与 相互独立
11.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 是棱 1的中点，点 是侧面 1 1 (含边界)内一动点，
则( )
A. 在 11上的投影向量为 14
B.若点 为该正方体外接球球面上的点，则有无数个点 ，使得 //面 1
C. 3 10过三点 ， 1， 的截面面积为 2
D.若 1 =
3 2
2 ， 1 与平面 1 所成的角为 ，则 sin
6
的最小值为 9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 12
2 3 4ln 的单调递减区间为 ．
13.在空间直角坐标系中，已知 (1,1,1)， (1,2,3)， (2,3,4)， ( , 4,5)，则当 = 时， ， ， ， 四
点共面。
14.若 ， ∈ ，且满足 +2 2 + 2 2 = ( 为自然对数的底数)，则 + = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投
放量占比分别为 30%、40%、30%。环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在
已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为 0.02;是中午投放的条件下，违规混投的概率为 0.03;是晚
上投放的条件下，违规混投的概率为 0.04。现随机抽查一袋垃圾，求：
(1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率;
(2)这袋垃圾存在违规混投的概率;
(3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率。
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，∠ = ∠ 1 = ∠ 1 = 60°， = = 1 = 1， ， 分别是 1 ，
1 1上的点，且 1 = 2 ， 1 = 2 1.设 = ， = ， 1 = ，
(1)试用 ， ， 表示向量 ，并求 的长;
(2)求异面直线 ， 所成角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 3 ， ∈ .
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2) ∈ [1,2]时，不等式 ( ) ≥ 20 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱锥 中， = ， 为 的中点， 为 上的动点，平面 ⊥平面
(1)证明： =
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(2)若 ⊥ ， = 2， = = 1，线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦
2 5
值为 5 若存在，求 的长;若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln( ) + ( ∈ );
(1)求 ( )的极值;
(2)若 < 1， 1， 2为函数 ( )
2 ( +1) 1 1
的两个零点，证明： 1 + 2 < 2 +1 . (参考：重要不等式 ln < 2 ( )( >
1))
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(0,4)，(0,4]均可
13.3
14.4
15.解：设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 ， ， ;垃圾违规混投为事件 ，
由已知： ( ) = 0.3， ( ) = 0.4， ( ) = 0.3;
( | ) = 0.02， ( | ) = 0.03， ( | ) = 0.04，
(1) ( ) = ( ) ( | ) = 0.4 × 0.03 = 0.012，
即中午时段且违规混投的概率为 0.012．
(2) ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) + ( ) ( | )
= 0.3 × 0.02 + 0.4 × 0.03 + 0.3 × 0.04 = 0.006 + 0.012 + 0.012 = 0.03，
即违规混投的概率为 0.03．
(3) ( | ) = ( ) = ( ) ( | ) = 0.3×0.04 ( ) ( ) 0.03 = 0.4，
即已知违规混投，垃圾来自晚上时段投放的概率为 0.4．
16.解：(1)由题意，可得 = 1+ 1 +
2 1
1 1 = 1 + 1 3 1
+ 3 1 1

= 2 ( 1 ) + +
1 ( ) = 1 + 2 + 2 3 3 3 3 3
1，
又 = ， = ， 1 = ，
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∴ = 1 2 23 + 3 + 3 ，
因为 = = 1 = 1，
所以| | = | | = | | = 1，
又因为∠ = ∠ 1 = ∠ 1 = 60°，
所以 = = = 12，
2
∴ | |2 = ( 13 +
2 + 2 )2 = 1 ( 2 + 4 3 3 9 + 4
2 4 4 + 8 ) = 1，
∴ | | = 1;
(2)设异面直线 ， 所成角为 ，
因为 = = ，
又| | = | | = | | = 1， = = = 12，
所以|
2
| = ( )2 = 2 + 2 = 1，
又由(1)， = 13 +
2
3
+ 23 ，|
| = 1，
1 2 2
所以 = ( 3 +

3 + 3 ) ( )
= 1 + 2
2
+ 2 3 3 3 +
1 2 2 2
3 3 3 =
1
2，
· 1所以 cos = |cos < ， > | = = 2，
所以异面直线 ， 1所成角的余弦值为2．
17.解：因为 ( ) = 3 3 ，
所以 ′( ) = 3 2 3 ，
当 ≤ 0 时， ′( ) = 3 2 3 ≥ 0 恒成立，
即 ( )在 上单调递增；
当 > 0 时，令 ′( ) = 3 2 3 = 0，则 =± ，
令 ′( ) > 0，得 > 或 < ，
令 ′( ) < 0，得 < < ，
∴ ( )在( , + ∞)，( ∞, )上单调递增，在( , )上单调递减；
(2) ∵ ∈ [1,2]，不等式 ( ) ≥ 20 恒成立，
∴ 3 3 ≥ 20 恒成立，
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∴ 3 ≤ 3 + 20，
∵ 1 ≤ ≤ 2，
∴ 3 ≤ 2 + 20 恒成立，
只需 3 ≤ ( 2 + 20 )min，
20 3
设 ( ) = 2 + ， ′( ) = 2
20 = 2 20 2 2 ，
3
∵ ∈ [1,2] ( ) = 2 20， ′ 2 < 0，
则 ( )在[1,2]单调递减，
∴ ( )min = (2) = 14，
∴ 3 ≤ 14 ≤ 14，解得 3，
即 14的取值范围为( ∞, 3 ].
18.解：(1)因为 为 中点， = ，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 为 的中点，所以 = ．
(2)假设存在 满足条件．
取 的中点 连接 ，因为 = = 1，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥平面 ， ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 面 ， 所以 ⊥面 ，
如图，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，过点 且与 / /平行的直线为 轴，
建立空间直角坐标系 :
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则 ( 2, 0,0)， (0, 2, 0)， (0, 2, 0)， ( 22 , 0,
2
2 )，
则 = (0,2 2, 0)， = ( 22 , 0,
2 )，2
设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = = ( 22 , 0,
2
2 )，
= + = ( 2 ( + 1), 2, 22 2 (1 ))，
设平面 的法向量为 1 = ( , , )
1 = 0 2 2 = 0由 ,
，得
21 = 0 2 (1 + ) 2 +
2
2 (1 ) = 0
+1 +1
令 = 1，则 = 0， = 1，所以 1 = (1,0, 1 )，
又易知平面 的法向量 2 = (0,0,1)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
由图像可知， 为锐角，
| +1|
所以 cos =
| 1· 2| 1 2 5
1 2
= =
1+( +1)2 5 1
1
化简得 3 2 10 + 3 = 0，所以 = 3或 = 3(舍去)，
1
所以存在 点，当 = 3时平面 与平面 的夹角 的余弦值为
2 5．
5
19.解：(1)因为函数 ( ) 1的定义域为( , + ∞)，且 ′( ) = + ，
若 ≥ 0，则 ′( ) > 0，故函数 ( )在( , + ∞)上单调递增，
所以函数 ( )既没有极大值，也没有极小值；
< 0
1
∈ ( , 1 ) ( ) > 0 ∈ ( 1若 ， ′( ) = ，当 时， ′ ；当 , + ∞)时， ′( ) < 0;
则函数 ( )在( , 1 1 )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，
1 1
故当 = 时，函数 ( )取得极大值，其值为
2 1+ ln( )，但没有极小值；
(2)由(1)知，当 < 0 时， ( ) 1 1的单调递增区间为( , )，单调递减区间为( , + ∞)，
又当 < 1 时， (1 + ) = (1 + ) > 0 1，且 < 1 + ，
不妨设 1 <
1
2，则有 < 1 < < 1 + < 2，
故有 0 < 1 < 1 < 2 ，
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1 1
由不等式 ln < 2 ( )( > 1)，及 ln >
1
2 (
1
)(0 < < 1)，
可知
化简并整理得(2 + 1)( 2 22 1) > 2 ( + 1)( 2 1)，
则 + < 2 ( +1)1 2 2 +1 ．
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