资源简介

2024-2025 学年云南省昆明市第八中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从 4 名女同学和 3 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为( )
A. 12 种 B. 7 种 C. 4 种 D. 3 种
2 (1+ ) (1).设 ( )是可导函数，且 lim
→0
= 2，则 ′(1) =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
3.国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应.某县有 7 个自然村，其中有 4 个自然村根据自身特点推出乡
村旅游，被评为“旅游示范村”.现要从该县 7 个自然村里选出 3 个作宣传，则恰有 2 个村是“旅游示范村”
的概率为( )
A. 12 18 4 335 B. 35 C. 7 D. 7
2
4 .以椭圆 2 +
2 = 1 的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是( )
A. 2 = 4 B. 2 = 4 或 2 = 4
C. 2 = 4 D. 2 = 4 或 2 = 4
5.随机变量 的分布列如表格所示，若 ， ， 构成等差数列，则 ( = 0) =( )
1 0 1

A. 2 B. 13 4 C.
1 1
2 D. 3
6 ( ) = 2 + .已知函数 ，若 ( )在(2, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,16] B. ( ∞,8)
C. ( ∞, 8) ∪ (8, + ∞) D. ( ∞, 16] ∪ [16, + ∞)
7.一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成( )对异
面直线
A. 174 B. 180 C. 210 D. 368
8.已知定义在 上的函数 的导函数为 ′ ，且满足 ′ > 0，则不等式 4 3 4 > 2
的解集为( )
A. 2, + ∞ B. , + ∞ C. ∞, D. ∞,2
第 1页，共 7页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 2 828 = 28 ，则 的值为( )
A. 8 B. 5 C. 12 D. 7
10 1.已知( 2 + ) ( > 0)的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为
1024，则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B.展开式中第 6 项的系数最大
C.展开式中存在常数项 D.展开式中含 15项的系数为 45
3 2
11.已知函数 ( ) = 3

2 + +
10
3， ∈ ，下列说法正确的是( )
A.当 < 0 时，函数 有两个极值点
B.当 < 0 时，函数 在(0, + ∞)上有最小值
C.当 = 2 时，函数 有三个零点
D.当 > 0 时，函数 在( ∞,0)上单调递增
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.3 名老师和 2 名学生站成一排.若老师不相邻，则不同排法种数为 . (用数字做答)
13.某游泳队共有 20 名队员，其中一级队员有 10 名，二级队员有 5 名，三级队员有 5 名，若一、二、三
级队员通过选拔进入比赛的概率分别是 0.8，0.7，0.5，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为 ．
14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前 262 年至前 190 年)与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲
| |
线论》八卷.书中介绍到：平面内两个定点 ， 及动点 ，若| | = ( > 0 且 ≠ 1)，则点 的轨迹是圆.
后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.现已知点 为圆 : ( 1)2 + 2 = 4 上一动点，
为圆 : ( 3)2 + ( 4)2 = 1 上一动点，点 ( 3,0)，点 (3,4)，则| | + | | + | |的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }满足 1 = 1， +1 = + + 1( ∈ ).
(1)求数列{ }的通项公式;
(2) { 1设 为 }的前 项和，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 22 4 +
2ln 在 = 1 处取得极大值．
(1)求 的值;
第 2页，共 7页
(2) 1求 ( )在区间[ , ]上的最大值．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右顶点分别为 1( 1,0)， 2(1,0)，离心率为 2．
(1)求双曲线 的方程;
(2) 为坐标原点，过点 ( 2,0)且斜率不为 0 的直线 交双曲线 于 ， 两点(点 在第一象限，点 在第二
象限)，直线 交双曲线 于点 ，求 1 2 ．
18.(本小题 17 分)
某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为合格品，小于 82 为次品，现抽取
这种元件 100 件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标 [20,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]
元件数(件) 12 18 36 30 4
(1)现从这 100 件样品中随机抽取 2 件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率;
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
2
若随机变量 具有数学期望 ( ) = ，方差 ( ) = 2，则对任意正数 ，均有 (| | ≥ ) ≤ 2成立．
(ⅰ)若 (100, 1 12 )，证明： (0 ≤ ≤ 25) ≤ 50 ;
(ⅱ)利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工
厂声称本厂元件合格率为 90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的
合格率是否可信 (注：当随机事件 发生的概率小于 0.05 时，可称事件 为小概率事件)
19.(本小题 17 分)
定义：若函数 图象上恰好存在相异的两点 ， 满足曲线 = 在 和 处的切线重合，则称 ， 为曲
线 = 的“双重切点”，直线 为曲线 = 的“双重切线”．
(1)直线 = 2 是否为曲线 = 3 + 1 的“双重切线”，请说明理由；
2
(2) = , ≤ 0,已知函数 求曲线 = 的“双重切线”的方程；
ln , > 0,
(3)已知函数 = sin ，直线 为曲线 = 的“双重切线”，记直线 的斜率所有可能的取值为 1，
2，…， ，若 1 > 2 > ( = 3,4,5, , )
15
，证明： 1 < ．2 8
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.0.7
14.9
15.解：(1)由 +1 = + + 1( ∈ )，
有 +1 = + 1，又 1 = 1，∴
≥ 2 时， = ( 1) + ( 1 2) + + ( 2 1) + 1 =
+ ( 1) + … + 2 + 1 = (1+ ) 2 ，
= 1 (1+ ) 当 时，也满足 = 2 ，
∴数列{ } (1+ ) 的通项公式为 = 2 ；
(2) 1 2由(1)知 = (1+ ) = 2(
1 1

+1 )，
∴ = 2[(1
1
2 ) + (
1 1
2 3 ) + … + (
1 1 1 +1 )] = 2(1 +1 ) =
2
+1．
16.解：(1)由题意得 ( )的定义域为(0, + ∞)，
2
′( ) = 3 4 + = ( )(3 ) ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增， ( )无极值，所以 > 0，
由 ′( ) > 0 得 ∈ (0, 3 ) ∪ ( , + ∞);由 ′( ) < 0

得 ∈ ( 3 , )，
第 4页，共 7页
( ) (0, 所以 在 3 )上单调递增，在( 3 , )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
所以 = 3为极大值点，即3 = 1，则 = 3;
(2) 3由(1)得 ( ) = 2
2 12 + 9ln ， ′( ) = 3( 1)( 3) ，
1
所以 ( )在[ , 1)上单调递增，在(1, ]上单调递减，
( ) 1 21故 在[ , ]上的最大值为 (1) = 2．
= 1,
17. 解：(1)由题意可得 = 2, 解得 = 2， 2 = 3，
2 = 2 + 2,
2
所以双曲线 的方程为 2 3 = 1．
(2)设直线 : = 2( > 33 )，点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 ( 2, 2).
= 2
联立 2 2 22 ，得(3 1) 12 + 9 = 0， 3 = 1
12 91 + 2 = 3 2 1， 1 2 = 3 2 1．
1 = ( 2 + 1, 2)， 2 = ( 1 1, 1)，
则 1 2 = ( 2 + 1)( 1 1) 1 2 = ( 2 + 2 + 1)( 1 2 1) 1 2
= ( 2 + 1) 1 2 + 3 ( 1 + 2) 9
= ( 2 + 1) 9 12 3 2 1 + 3 3 2 1 9 = 0，
所以 1 2 = 0．
18.解：(1)记事件 为抽到一件合格品，事件 为抽到两个合格品，
2
( ) = 70 = 1612 ， 100 330
2 2
( ) = 100 30 = 301，
2100 330
( ) 161 23
( | ) = ( ) = 301 = 43 ;
(2)(ⅰ)由题：若 ∽ (100, 12 )，则 ( ) = 50， ( ) = 25，
1 100
又 ( = ) = 100 2 = = 100 ，
所以 (0 ≤ ≤ 25) = 12 (0 ≤ ≤ 25 或 75 ≤ ≤ 100) =
1
2 (| 50| ≥ 25)，
第 5页，共 7页
25 1
由切比雪夫不等式可知， (| 50| ≥ 25) ≤ 252 = 25，
1
所以 (0 ≤ ≤ 25) ≤ 50 ;
(ⅱ)设随机抽取 100 件产品中合格品的件数为 ，
设厂家关于产品合格率为 90%的说法成立，
则 ∽ (100,0.9)，
所以 = 90, = 9，
9
由切比雪夫不等式知， ( = 70) 90 20 400 = 0.0225，
即在假设下 100 个元件中合格品为 70 个的概率不超过 0.0225，此概率极小，
由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，
据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．
19.解：(1) = 3 + 1 的定义域为 ∞,0 ∪ 0, + ∞ ，求导得 ′ = 3
2 1 2，
直线 = 2 的斜率为 2，
令 ′ = 3 2 1 2 = 2，解得 =± 1，不妨设切点 1, 2 , 1,2 ，
则点 处的切线方程为 + 2 = 2 + 1 ，即 = 2 ，
点 处的切线方程为 2 = 2 1 ，即 = 2 ，
1
所以直线 = 2 是曲线 = 3 + 的“双重切线”；
2

, ≤ 0 , 0(2)函数 = ，求导得 ′( ) = 1 ,
ln , > 0 , > 0
1
显然函数 = 在 ∞,0 上单调递增，函数 = 在 0, + ∞ 上单调递减，
设切点 1, 1 , 2, 2 ，则存在 1 < 0 < 2，使得 ′ 1 = ′ 2 ，
( 1 2则在点 处的切线方程为 ) = 1 ( 1)，
ln = 1在点 处的切线方程为 2 2 ，2
1 = 1
因此 2 1 1
2
1 1 2
，消去 2可得 1 + 1
= ln 1
+ 1 = 0，
1 2
令 = + 2 + 1 < 0 ，求导得 ′( ) =
(1 + ) + 1 = + 1 > 0，
则函数 在 ∞,0 上单调递增，又 1 = 0，函数 的零点为 1，
因此 1 = 1, 2 = ，
第 6页，共 7页

所以曲线 = 的“双重切线”的方程为 = ；
(3)证明：设 1对应的切点为( 1, sin 1), ( 1, sin 1), 1 < 1，
2对应的切点为( 2, sin 2), ( 2, sin 2), 2 < 2，
由 sin ′ = cos ，得 1 = cos 1 = cos 1， 2 = cos 2 = cos 2，

由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑 1 + 1 = 2 ， 2 + 2 = 4 ，其中 1, 2 ∈ ( 2 , 0)，
> 由 1 2及余弦函数在 2 , 0 上单调递增知， 2 < 2 < 1 < 0，
= sin 1 sin 1 = sin 2 则 1 sin 1 2sin 1 sin 11 1 1 2 1
= 2 2 = ，1 1 1
= sin 2 sin 2 = sin 4 2 sin 2 2sin 2 sin 22 2 2 4
= 4 2 = 2 2 2 2
，
2
1 = sin 1 2 因此 2 sin ，又 = cos
sin 1 sin 2
1 1 = ， 2 = cos 2 = ，
2 2 1 1 2 2
则 sin 1 = ( 1 )cos 1 tan 1 1 + = 0，同理 tan 2 2 + 2 = 0，
2
令 = tan + ( 2 < < 0)，求导得 ′ =
1 2
2 1 = 2 = > 0，
( , 0) 3 则 在 2 上单调递增，显然 ( 3 ) > 0，且 ( ) < tan + 2，
函数 = tan + 3 2在( 2 , 0)上的值域为( ∞,
3
2 )

，即函数 ( )在( 2 , 0)上存在零点，则有 2 < 1 < 3，
tan + 2 = 0 < < < < < < 由 2 2 ，同理可得 2 2 3，而 2 1，因此 2 2 1 3，
sin < sin < 0 0 < sin 于是 ，即有 12 1 sin < 1，2
2 +

所以 1 =
sin 1 2 2
sin <
2 2 < 2 15 1 15 + = 8，即 < 8．2 2 1 1 3 2
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑