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2024-2025学年浙江省杭州市S9联盟高一下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知角和的终边关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
5.在中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.若向量，，则“”是“向量，的夹角为锐角”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.设平面内三个非共线的单位向量，，两两之间的夹角相等，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 若函数周期为，则
B. 当时，函数的对称轴为，
C. 若函数在单调，则有最大值
D. 若函数 可以由先向右平移个单位长度，再横坐标变为原来的倍得到，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，，，体积分别为，，，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. D.
11.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是 ．
A. 若 ，则
B. 若 ，则为等腰三角形
C. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
D. 若为锐角三角形，且，则其周长范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，直角边，则原图形的面积是________．
13.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为________答案用坐标表示
14.已知函数，若，则实数的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
写出函数的最小正周期，的单调递增区间；
当，时求实数的值．
16.本小题分
如图，一个直三棱柱形容器，侧棱容器出口在上底面点处，大小可忽略
若底面是边长为的正三角形，求这个容器的表面积与容积；
若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？
17.本小题分
已知平面向量，．
若，求向量的坐标；
若，求的值；
若向量，若与共线，求的值．
18.本小题分
在中角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，且求的值；
若的面积为，且，求的最小值．
19.本小题分
如图，点是重心，，分别是边，上的动点可以与端点重合，且，，三点共线．
设，，将用，表示；
设，，求的最小值；
在的条件下，记与的面积分别为，，求的取值范围．
参考答案
1.
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5.
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10.
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13.
14.
15.解：最小正周期，
单调递增区间由，
得，
，或，
或．
16.解：表面积，
容积；
设三棱锥的体积为，
按侧面水平放置时液面以上部分的体积为，
故水的体积为，
设按底面放置时液面的高为，
则，故．
17.解：因为，所以，则，解得，
故，
则．
因为，所以，则，．
，，
若与共线，则，解得，即，
故．

18.解因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理可得，
因为，所以．
因为，所以，
由，得，
所以；
由已知，所以．
因为，所以，
可得，
所以
，
又，当且仅当，时取等号，
所以的最小值为
19.解：因为为中点，所以，
因为为重心，所以；
由得，
因为，，三点共线，
所以，
所以，
所以，
所以的最小值为，此时，；
，且为重心，
所以，
由得：，
所以，
由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线，
所以，则，
所以，
所以
所以的取值范围时．
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