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山西省实验中学2024-2025学年下学期3月月考八年级数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元一次不等式的最小整数解是（ ）
A．0 B．1 C． D．3
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是( )
A． B． C． D．
4．不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是等边三角形，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，过点D分别作，垂足分别为点E，F，且，连接与相交于点O．则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．一个工程原定在10天内至少要挖土；在前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，以后6天平均每天至少要挖土（ ）
A．56 B．60 C．72 D．80
9．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（3，0），与正比例函数y＝mx的图象相交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x的不等式kx+b＜mx的解集为（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3
10．如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设 ．
12．函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ．

13．如图，在等腰中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
14．已知不等式组的解集为，则的值为 ．
15．如图，中，，延长至点，交的延长线于点，若，，，则的长为 ．
三、解答题
16．下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：
解：…….第一步
……..第二步
第三步
……第四步
……第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的．
②第______步出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集______．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
17．解不等式组将解集在数轴上表示出来．
18．如图，在中，，D是上的一点，，过点D作的垂线交于点，交于点．求证：垂直平分．
19．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．”为了感受大自然，描绘大自然的美景，小明和同学打算购买画板与画笔两种写生工具．已知购买1个画板需要15元，1盒画笔需要17元．若需要画板个数和画笔盒数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，请问最少购买多少个画板？
20．已知长方形纸片，点P是上一点，将纸片沿折叠，使点B的对应点刚好落在上．
(1)请用直尺和圆规作出点P；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，求的长．
21．某小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元．
(1)A型健身器材和B型健身器材的单价各是多少元？
(2)该小区计划购买B型健身器材的数量不得超过A型健身器材，购买资金不低于10800元．请通过计算说明共有几种购买方案？
22．项目化学习．
项目主题：优化运输方案
项目背景：临沂被称为物流之都，在临沂你没有发不出的货，也没有临沂物流到不了的地方，物流产业为我们的社会生产生活带来了极大的方便．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展了项目化学习．
驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系
研究步骤：
①收集某公司每月运往各地商品的信息；
②对收集的信息，用适当的方法描述；
③信息分析，形成结论．
数据信息：
信息1，某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的总费用与运往A地总费用相同；
信息2，各地的运费如下表所示：
运送地点 A地 B地 C地
运费（元/件） 40 20 30
问题解决：
(1)设每月运往A地的商品x件，运往B地的商品y件，则运往C地的商品为 件（用含x，y的式子表示），请写出y与x之间的数量关系为 ；
(2)设运往A，B，C三地的总运费为w（元），试写出w与x的函数关系式；
(3)若某月运往B地的商品件数不超过运往A地的商品件数，求最少可运往A地商品多少件才能使总运费最少？最少为多少元？
23．综合与实践
如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接．
特例感知
（1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
拓展应用
（2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设．
①的面积为_______（用含x的代数式表示）；
②当时，请直接写出的长度．
《 山西省实验中学2024-2025学年下学期3月月考八年级数学试卷》参考答案
1．C
解：A. 不等式的两边都减，不等号的方向不变，故A错误；
B. 不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故B错误；
C. 不等式的两边都加，不等号的方向不变，故C正确；
D. 不等式的两边都除以5，不等号的方向不变，故D错误；
故选：C．
2．C
解：
，
解得：，
∴最小整数解是，
故选：C．
3．A
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，AC=2，
A、此选项利用ASA能判定三角形全等，故此选项正确；
B、只有一对边与一对角相等不能判定三角形全等，故此选项错误；
C、此选项中是60°角所对的直角边是2，不能判定三角形全等，故此选项错误；
D、此选项对应边不相等，不能判定三角形全等，故此选项错误．
故选A．
4．B
解：3x＋1＜2x
解得：
在数轴上表示其解集如下：
故选B
5．D
解：，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：D．
6．D
解：∵为等边三角形，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
7．C
解：∵，且，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故A、B、D均正确，不符合题意，
现有条件证明不出C选项，故符合题意，
故选：C．
8．D
解：设后6天平均每天要挖土，
则，
解得：，
∴平均每天至少要挖土，
故选：D．
9．B
解：由图象可知：P点横坐标为1，
当x＞1时，y＝mx的函数在y＝kx+b的函数图象上方，即kx+b＜mx，
所以关于x的不等式kx+b＜mx的解集是x＞1．
故选：B．
10．B
解：如图，延长至点，使，连接．
因为，，
所以．
所以，．
因为，
所以．
又因为，
所以，
所以．
所以．
故选B．
11．一个三角形中有两个角是直角
用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
故答案为一个三角形中有两个角是直角．
12．/
由函数的图象可知，当时，，
当时，函数图象在x轴上方，
当时，即，
∴，
答案为：．
13．
解：如图，由垂线段最短，过点A作于N交于M，
∵是等腰三角形，是的平分线，
∴垂直平分，，
∴A、C关于对称，，
由轴对称性质，，
∴， 此时值最小，
∴由等面积法可得：，
∴，
∴，
∴的最小值是 ．
故答案为： ．
14．
解：，
解不等式①：
，
，
，
解不等式②：
，
，
不等式组的解集为：，
不等式组的解集为，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
15．
解：如图，延长至点，使得，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．不等式的基本性质；五，不等号的方向未改变；，见解析
解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质进行变形的；
②乐乐同学解答过程在第五步出错，错误原因是不等号的方向未改变．
任务二：
，
，
，
，
；
任务三：去分母和化系数为可能用到性质，不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号方向改变，其它都不会改变不等号方向．
故答案为：不等式的基本性质；五，不等号的方向未改变；，不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号方向改变，其它都不会改变不等号方向．
17．，图见解析
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集：，
解集数轴表示：
18．见详解
证明：，且，
，
在和中，
，
∴，
，
，
是等腰三角形，
，，
垂直平分．
19．最少购买7个画板．
解：设购买m个画板，则购买盒画笔．
根据题意，得，
解得．
为正整数，
的最小值为7．
故最少购买7个画板．
20．(1)见解析
(2)的长为．
（1）解：如图，点P即为所作；
（2）解：由作图知，，，，
∴，
∴，
设，则，
∵长方形纸片，
∴，，，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理得，即，
解得，
∴的长为．
21．(1)A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元
(2)共有2种购买方案
（1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元，
依题意得：，
解得：
答：A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元．
（2）设购买m台A型健身器材，则购买台B型健身器材，
依题意得：
解得：．
又为整数，
可以为5，6，
共有2种购买方案．
22．(1)；
(2)
(3)最少可运往A地商品600件才能使总运费最少，最少为60000元
（1）解：根据题意得：运往C地的商品为件，
运往C地的总费用与运往A地总费用相同，
，即
y与x之间的数量关系为：；
（2）解：运往A地的总费用为：，
运往B地的总费用为：，
运往C地的总费用为：，
；
（3）解：根据题意得：，
解得：，
由（2）知总费用关系式为，
，
随的增大二增大，
当时，总费用有最小值，最小值为（元），
答：最少可运往A地商品600件才能使总运费最少，最少为60000元．
23．（1）, （2）① ②或
（1），，
∵， ，
∵，
∴， ，
∴，
∴， ，
∴， 即；
（2）解：①连接交于， 则， ，
，
，且，，
，
∵点与点关于对称，
∴垂直平分，
∴， ，
∵，
，
，
∴四边形是正方形，
，
∴故答案为：；
②过作于， 则是等腰直角三角形，
，
，
连接，由直角三角形性质得，
，
，
，
，
则，
，
，
解得或
或 ．

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