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2025北京中关村中学初二（下）期中
数 学
班级_____________ 姓名______________ 考号______________
考试时间：90 分钟；满分：100 分
一、选择题（共 30 分，每题 3 分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是
1
A． 12 B． C． 2 D． 1.5
3
2. 式子 x 6 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
A． x 6 B． x 6 C． x 6 D． x 6
3. 下列各组数中，能作为直角三角形边长的是
A．1、2、3 B． 5、12、13 C．1、1、 3 D．6、7、8
4. 下列计算正确的是
2
A． ( 2) = 2 B． 2 + 5 = 7 C． 3 2 2 = 3 D． 6 2 = 3
5. 如图，数轴上点 A 表示的数为 1，AB⊥OA，且 AB=OA. 以原点 O 为圆
心，OB 为半径画弧，交数轴的负半轴于点 C，则点 C 所表示的
A． 2 1 B．1 2 C． 2 D． 2
6．如图，在 ABCD 中，AB=AC，∠D=70°，则∠CAB 的度数是 D C
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9cm，内壁高 A B
12cm．若这支铅笔长为 18cm，设这只铅笔在笔筒外．面．部．分．长度为 x，则 x 的取值范围是
A． 2cm x 5cm B．3cm x 6cm
C． 4cm x 7cm D．5cm x 8cm
8．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，
若菱形 ABCD 的周长为 24，则 OE 的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图， ABC 中，AB=AC=5，BC=6. 沿着中线 AD 将 ABC 剪开得到两个
直角三角形，然后再将这两个直角三角形拼成一个平行四边形(无缝隙不重叠)，
则所拼成的平行四边形的周长不．可．能．是
A．12 B．14 C．16 D．18
10．在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点，点 E 为 AB 边上一动点(点 E 不与
点 A，B 重合)，连接 EO 并延长交 CD 于点 F，连接 AF，CE，若四边形 AECF 一定不．是．矩形，则∠
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BAD 应满足的条件是
A. 90 BAD 180 B. 0 BAD 180
C. 0 BAD 90 D. 45 BAD 135
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
2
11. 因式分解： 2xy 18x = .
3 2
12.方程 = 的解为 .
x x 3
13. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOD=120°，AC=16，
则矩形 ABCD 的周长为______．
14．如图，菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 交于点 O，DE⊥AB 于点 E，若
AC=16，BD=12，则 DE 的长为 ______．
15．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去
根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=十尺)，一阵风将
竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远，求折断处离地面的高
度．设竹子折断处离地面 x 尺，根据题意，可列方程为 ．
16．如图，A，B 为5 5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为
格点矩形，在此图中以 A，B 为顶点的格点矩形共可以画出 个．
17.如图，在平面直角坐标系 xOy中，正方形 ABCD的顶点 D在 y轴上，且 A(3，0)，
B(-1，b)，则正方形 ABCD 的面积是______．
18.定义:对非负实数 x “四舍五入”到个位的值记为 f (x) ,即:当n为非负整数时，
1 1
如果 n x n+ ，则 f (x)= n ．
2 2
如: f (0)= f (0.48)= 0， f (0.64)= f (1.49)=1， f (4)= f (3.68)= 4
试解决下列问题
f ( 32 ① +3)= ;
1 1 1
② + + + +
(√12+1) (√22+2) (√22+2) (√32+3) (√32+3) (√42+4)
1
= ．
(√20242+2024) (√20252+2025)
三、解答题（共 54分，第 19题，每题 5分，第 20-24题，每题 5分，第 25-26题 6分，第 27题 7分）解
答写出文字说明、演算步骤或证明过程．
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2
2 1
19.计算：① ( 2) 3 + 8 ②
3 312 10 5 + 27
2
( )220.化简： x 2 + (x + 5)(x 1)．
21. 已知：在△ABC 中， ABC = 90 .
求作：矩形 ABCD. A
作法：如下，
1
① 分别以点 A，C 为圆心，大于 AC 的同样长为半径作弧，
2
两弧分别交于点 M，N；
C
② 作直线 MN，交边 AC 于点 O； B
③ 作射线 BO，以点 O 为圆心，以 BO 长为半径作弧，与射线 BO 的
另一个交点为 D，连接 CD，AD；
所以四边形 ABCD 就是所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明: ∵直线 MN 是 AC 的垂直平分线，
∴AO=OC．
∵BO=OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形（____________________________________）
（填推理的依据）.
∵ ABC = 90 ，
∴四边形 ABCD 是矩形（____________________________________）
（填推理的依据）.
22.如图，在 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，
求证：AF=CE.
4y2 2x
23. 已知 x + 2y = 2 ，求代数式（x ） 的值.
x x 2y
24. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，过点 A 作 BE 的 垂线交 BE 于
点 F，交 BC 于点 G，连接 EG、 CF，
（1）求证：四边形 ABGE 是菱形；
（2）若 ABC = 60 ，AB=4，AD=5，则 CF 的长为 ．
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25．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又
得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数 a，b，
a +b
M = 称为 a，b 这两个数的算术平均数，
2
N = ab 称为 a，b 这两个数的几何平均数，
a2 +b2
P = 称为 a，b 这两个数的平方平均数．
2
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若 a = -2，b = -3，则 M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当 a，b 两数异号时，在实数范围内 N 没有意义，所以决定只研究当 a，b 都是正数时这
三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法
解决问题：
2
如图，画出边长为 a+b 的正方形和它的两条对角线，则图 1 中阴影部分的面积可以表 N ．
2 2
①请分别在图 2，图 3 中用阴影标出一个面积为M ， P 的图形；
②借助图形可知当 a，b 都是正数时，M，N，P 的大小关系是：__________
（把 M，N，P 从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
26．在△ABC 中，∠ACB=90°延长线段 AC 到点 D，使得 CD=2BC+AC，过点 B 作 BE⊥BD,且 BE=BD,连
接 CE.
(1) 如图 1，当 AC=BC=1 时，直接写出 CE 的长为： ；
(2) 如图 2，取 BE 的中点 F，连接 CF，
① 按要求补全图形；
②用等式表示线段 CF 与 AB 的数量关系，并证明．
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27. 对于定点 M 和图形 W，给出如下定义:若图形 W 上存在两个不同的点 P，Q，使得四边形 MPNQ 是
平行四边形，则称点 N 是点 M 关于图形 W 的衍生点。特别地，当平行四边形 MPNQ 的面积最大时，称点
N 是点 M 关于图形 W 的最佳衍生点.
在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，2)，B(-2，2)，C(0，4)，D(0，6)，E(-3,4)
(1)点 C，D，E 中，点 O 关于线段 AB 的衍生点是 ;
(2)将点 O 关于线段 AB 的最佳衍生点记为 T,
① 请直接写出点 T 的坐标: ;
② 将直线 y=x 向上平移 b（b>0）个单位，得到直线 l ，若直线 l 上存在点 O 关于四边形 ABTC 的衍生
点,求 b 的取值范围．
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