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2024-2025 学年浙江省新力量联盟高一下学期 4 月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 是虚数单位，若复数 满足 = 1 + ，则 2 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
2.已知向量 ， ，则“ = ”是“ 2 = 2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.如图，△ ′ ′ ′是水平放置的△ 的直观图，则△ 的周长为( )
A. 12 B. 3 2 C. 10 + 2 13 D. 10 + 4 13
4.“平面 内有一条直线 ，则这条直线上的一点 必在这个平面内”用符号语言表述是( )
A. ∈ B. ∈
C. ∈ ∈ D.
∈
∈
5.在平行四边形 中， ， 相交于点 ，点 在线段 上，且 = 3 ，则 =( )
A. 1 + 1 B. 1 34 2 4 + 4
C. 3 1 4 + 4
D. 1 + 1 2 4
6.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. = 4， = 5， = 6 B. = 3， = 2， = 45
C. = 10， = 45 ， = 70 D. = 3， = 2， = 60
7.设非零向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“向量积”: × 是一个向量，它的模| × | = | || |sin ，若 =
( 2, 0)， = ( 3, 2)，则| × | =( )
A. 1 B. 3 C. 2 3 D. 2
8.已知点 为△ 外接圆的圆心，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 4，若 = 2，则当角
取到最大值时△ 的面积为( )
A. 2 3 B. 2 5 C. 10 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.如图，在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 1 1， 1 的中点，则以下四个结论中，正确的有
( )
A.直线 与 1是相交直线 B.直线 与 1是异面直线
C. 与 平行 D.直线 1 与 共面
10.已知复数 1， 2，下列结论正确的有( )
A. 1 + 2 = 1 + 2 B.若 1 2 = 0，则 1 = 2 = 0
C.若 12 = 1，则 1 = 1 D. | 1 2| = | 1|| 2|
11.已知△ 内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，△ 内一点 满足 sin + sin + sin =
0, 与 交于点 ，则下列说法正确的是( )
A. + + = 0 B.

(
|
+ ) = 0
| | |

C. + = 12 sin D.
= + + +
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 2， = 3， = 60 ，△ 的面积=
13.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取 ， 两点，从 ， 两点分别测得树尖的仰角为 30°，45°，
且 ， 两点间的距离为 8 ，则树的高度为 .
14.在△ 中，∠ = 90 ， = 4， = 6， 为△ 内一点，且 = 2，若 = + ，则 2 + 3
的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 与 的夹角为4，且| | = 2，|
| = 2．
(1)求 和| |;
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(2)求向量 与向量 的夹角．
16.(本小题 15 分)
正四棱锥 中， = 2， = 3，其中 为底面中心， 为 上靠近 的三等分点．
(1)求四棱锥 的表面积
(2)求四面体 的体积．
17.(本小题 15 分)
在复平面内复数 1 = 1 ， 2 = 1 2 ，其所对应的点分别为 ， ， 为坐标原点， 是虚数单位．
(1)求| 1 2 |;
(2)当 为何值时，关于 的二次方程 2 (tan 1 + 1) ( 2 + 3 + 3 ) = 0 有一个实根．
18.(本小题 17 分)
已知 ， ， 分别为锐角△ 三个内角 ， ， 的对边，且 cos + 3 sin = 0．
(1)求 :
(2)若 = 3:
(ⅰ)求△ 周长的取值范围。
(ⅱ)当△ 周长最大时，设点 为 边的中点，点 在边 上(包括端点)，求 的最小值。
19.(本小题 17 分)
据报道，2024 年 4 月 15 日，正值全民国家安全教育日，田湾核电 8 号机组穹顶球冠吊装成功(如图(1))，
标志着国内最重核电机组薄壳钢村里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，
助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部
分(不包含截面)，垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆(过球心的
截面圆)周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截
面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的体，
称作“球锥”(如图(2)).当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图
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(2)，设一个“球锥”所在球的半径为 ，其中球冠高为 ( < )．
(1)类比球体积公式的推导过程(可参考图(3))，写出“球锥”的体积公式;
(2) 在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求 的值;
(3)已知一个棱长为 的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的 有且只有一

个，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 32
13.4 + 4 3
14. 2
15. 解：(1) ∵向量 与 的夹角为4，且| | = 2，| | = 2，
∴ = | || |cos 4 = 2 × 2 ×
2
2 = 2．
∴ |
2
| = ( )2 = 2 + 2 = 4 + 2 4 = 2；
(2)设向量 与向量 的夹角 ，
2
∴ = ( ) = | | = 4 2 = 2，
| | | | | | | | 2×2 2
∵ ∈ [0, ] ∴ = ， 4，∴向量
与向量 的夹角为4．
16.解：(1)取 的中点 ，连接 ， ，∠ = 90 ，
所以 = 1 2 22 = 1， = + = 10，
因为 = ，所以 ⊥ ，
1
所以 △ = △ = △ = △ = 2 × = 10，
正方形 = × = 4，
所以四棱锥 的表面积为 4 + 4 10;
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(2)因为 = 2， = 3，
1 1 1
所以 = 3 △ = 3 × 3 × 2 × 2 × 2 = 2，
又 为 上靠近 的三等分点，
2 4
所以， = = 3 = 3．
17.解：(1) ∵ 1 = 1 ， 2 = 1 2 ，∴ 1 2 = (1 )(1 2 ) = 1 3 ， (1, 1)， (1, 2)，
= 1 × 1 + ( 1) × ( 2) = 3，
∴ | 1 2 | = | 4 3 | = 5；
(2)设 1是二次方程 2 (tan 1 + 1) ( 2 + 3 + 3 ) = 0 的一个实根，
将 21， 1， 2代入方程得： 1 (tan + ) 1 (1 + 3 + ) = 0，
1 + 1 = 0
由复数相等的意义得 2 ,1 tan 1 1 3 = 0

解得： 1 = 1，tan = 3， = + 3 ( ∈ )，
所以当 = + 3 ( ∈ )时，原方程有一实根 1 = 1．
18.解：(1) ∵ cos + 3 sin = 0．
∴由正弦定理得 sin cos + 3sin sin sin sin = 0．
在△ 中，∵ + + = ，∴ sin = sin( + ) = sin cos + cos sinC.
代入上式化简得： 3sin sin cos sin sin = 0．
因为 sin ≠ 0，所以 3sin cos = 1，即 2sin( 6 ) = 1．
∵ 为锐角，∴ = 3．
(2)( ) 2 由正弦定理得 2 = sin = sin = sin = 2 3， + = 3，
所以 + = 2 sin + 2 sin = 2 3(sin + sin ) = 2 3[sin + sin( 2 3 )]
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3 3
= 2 3(2 sin + 2 cos ) = 6sin( + 6 ).
∵△ 是锐角三角形，
∴ 0 < < 0 < < 2， 2，0 <
2
3 <

2，
∴ 2 6 < < 2，∴ 3 < + 6 < 3，
3
即 2 < sin( +

6 ) ≤ 1，∴ 3 3 < + ≤ 6，∴ 3 + 3 3 < + + ≤ 9.
所以△ 周长的取值范围为(3 + 3 3, 9]．
( )当三角形周长最大时，三角形为等边三角形，以 所在直线为 轴，过 垂直于 的直线为 轴，建立直
角坐标系，
3
由题意可知 (0,0)， ( 2 , 0)， (0,
3 3
2 )，
( , 3 3设 2 3 )，0 ≤ ≤
3
2，
3 3
则 = ( , 2 3 )，
= ( , 3 )，
所以 = 4 2 9 9 2 812 = 4( 16 ) 64，
= 9 81当 16时，
取最小值 64，
所以 的最小值是 8164．
19.解：(1) 2“球锥”的体积公式为 2球锥 = 3 .
(2)设圆锥半径为 ，则 2 = 2 ( )2 = 2 2，
当球缺的体积与圆锥的体积相等时， 球锥 = 2 圆锥，
2
即3
2 = 2 × 1 23 ( )
2 2
，消去 2，得 23 = 3 (2
2)( )，
整理得 2 3 + 2 = 0，因为 < ，所以 3 5．
= 2
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(3)设正四面体 内接“球锥”，顶点 与球心重合，棱长为 ，则△ 外接圆半径为 3 ，正四面3
体的高为 6 ，显然 > 不满足条件．3
注意到，当顶点 ， ， 在圆锥底面圆周上时， = ， = 6 ，得 = 1 6，当 = 1 6时，3 3 3
作平行于圆锥底面的平面截正四面体 ，所得棱长小于 的正四面体均可内接该“球锥”．
因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则 ≠ 1 6，且顶点 ， ， 在球冠上． 3
即 = ，且 < 6 .又因为 < ，所以3 1
6 ．
3 < < 1
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