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重庆市第八中学2024-2025学年 九年级下学期第一次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．－3 B．0 C．1 D．2
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．2024年9月13日，第二十二届中国国际摩托车博览会在重庆开幕，此次博览会共设有8个场馆，总展示面积达到160000平方米．其中数160000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题，假命题是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5．如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为4，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．估计的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间
C．8和9之间 D．7和8之间
7．根据海关总署数据，2022年我国汽车出口总量为311.1万辆，到2024年，这一数字强势增长至641万辆，稳居全球第一．假设我国汽车出口总量的年平均增长率为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在正方形中，为边上一点，连接交对角线于点，过点作交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．有一组正整数，，，，……，，，满足，令，例如：，，则下列说法：（ ）
①，是方程的一组解
②连续四个正整数一定是方程的一组解
③若，则方程共有20组解
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
10．如图，在矩形中，，取的中点，以为圆心，为半径画半圆，再以为圆心，为半径画扇形，两条弧交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
11． ．
12．已知，是反比例函数图象上的两个点，则 （用“”“”或“”填空）．
13．亮亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．若售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是高铁内同一排座位，，的排列示意图．则亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的概率为 ．
窗 过道
14．若关于的不等式组有且只有5个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值的和为 ．
15．如图，以为直径的垂直弦于点，过点作于点，交于点，交于点，连接，，，，，则 ，线段 ．
16．若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足百位数字的平方恰好等于千位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“志学数”，例如四位数3485，因为，所以3485是“志学数”．若是“志学数”，则这个数最大为 ，若是“志学数”，将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，规定，，若，均为整数，则满足条件的的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．学习了角平分线后，小高进行了拓展性探究．她发现，三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，作的平分线，与的平分线交于点，连接（只保留作图痕迹）．
已知：如图，在中，点，分别在，的延长线上，平分．
求证：．
证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图）
平分，，
①________
平分，，
②________
在与中
③________
请你依照题意完成下面命题：
小高通过向老师请教后知晓三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，交点叫做旁心，他又回顾总结了三角形中一些重要线段的交点，三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做④________；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做⑤________；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做⑥________．
19．某校通过开设劳动基础知识必修课、组织学生参与校园劳动，社区服务等方式积极开展劳动教育．为进一步激发学生的学习兴趣，学校举办了劳动基础知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行收集，整理，描述，分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D． ），部分信息如下：
七年级20名学生的竞赛成绩为：88，93，88，92，82，85，97，95，77，93，75，96，78，89，78，96，79，91，88，90．
八年级20名学生的成绩在组的数据是：90，93，90，90，92．
七、八年级所抽学生的成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 87.5 88.5 b
八年级 88.8 c 90
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中________，________，_______；
(2)通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的劳动基础知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七年级有1400名学生，八年级有1500名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有多少人？
20．为了进一步推动垃圾分类，创建绿色社区，某社区计划购置一批可回收垃圾桶用以美化环境．计划购买中型和大型垃圾桶共140个，其中中型垃圾桶每个100元，大型垃圾桶每个160元，预计花费17600元．
(1)计划购买中型垃圾桶和大型垃圾桶各多少个？
(2)实际购买时，经与商家协商：中型垃圾桶打九折；大型垃圾桶的单价每降低5元（大型垃圾桶的价格不低于中型的实际销售价格），社区就多购买10个大型垃圾桶．最后，社区购买的中型垃圾桶数量不变，大型垃圾桶的数量增加了，实际付款金额比计划多3600元，求该社区实际购买的大型垃圾桶的数量．
21．如图1，在矩形中，，，动点以每秒1个单位的速度，从点出发，按的顺序在边上运动．动点以相同的速度，从点出发，按的顺序在边上运动．当动点运动到点时，动点、都停止运动．在运动路径上，设点的运动时间为秒，此时点，点之间的路径距离（注：路径距离是从一个点到另一个点的实际路径长度，而不是简单的直线距离）与点，点之间的路径距离之和为，点所走总路径距离（即）与点所走路径距离之比为．
(1)分别求出，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在如图2的平面直角坐标系中，画出为，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当一次函数与的图象有两个交点时，的取值围________．
22．小明和小亮两人相约周末自驾从点出发前往位于点南偏东方向处的露营基地处游玩，小明选择驾驶燃油车从点出发，沿西南方向行驶到超市花费20分钟时间购买物资，再驾车前往位于超市正东方向千米处的露营基地．小亮驾驶电动汽车从出发，到位于点东北方向的充电站充电，充电时间为100分钟，完成充电后立即从点出发，前往位于点正南方向的露营基地．
(1)求出发点与超市的距离；（结果保留根号）
(2)已知小明驾驶燃油车的速度为80千米／小时，小亮驾驶电动汽车的速度为100千米／小时，请计算说明小明和小亮谁先到达露营基地．（参考数据：，，，）
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，．
(1)求拋物线的解析式；
(2)如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值．
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标．
24．在中，，点是边上一点．
(1)如图1，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，使点刚好落在的延长上，交于点，若，，求线段的长度；
(2)如图2，将线段绕点顺时针旋转，使点刚好落在的延长线上，作的角平分线，交于点，作，垂足为点，，连接，取的中点，连接，若，试猜想和的数量关系并证明；
(3)如图3，，点是边的中点，连接，将沿直线翻折至同一平面内得，点，分别是边，上的点且，连接和，当最小，同时最小时，请直接写出的值．
《 重庆市第八中学2024-2025学年 九年级下学期第一次月考数学试卷》参考答案
1．A
∵，
∴最小的数是-3，
故选：A．
2．C
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．C
解：数160000用科学记数法表示为，
故选：C．
4．D
解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，A是真命题；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，B是真命题；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，C是真命题；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，D是假命题；
故选：D.
5．B
解：与位似，点为位似中心，相似比为，
的周长的周长，
的周长为4，
的周长，
故选：B．
6．C
解：，
，
，
故该式的值应在8和9之间，
故选：C．
7．D
解：根据题意得，
故选：D．
8．C
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
如图，连接，
在和中，
，
，
，
，
∴在中，，
又，
，
，
，
，
过点F作交于点，交于点，
∵，
∴，
∴，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
∵，
∴设，则，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．D
解：∵，
，
，
，
∴，
①，，则，
∴，，是方程的一组解，故①正确；
②∵，且为正整数，
∴，
∴，
∴和为连续的整数，
∴连续四个正整数一定是方程的一组解，故②正确；
③由②知和为连续的整数时，一定是方程的一组解，
∴和和为连续的整数时，一定是方程，
∵，，
∴，
∴，，，，，
当时，则或或或，
当，时，则或或或，
当，时，则或或，
当，时，则或，
当，时，则，共10组解；
当，时，则或或，
当，时，则或，
当，时，则，共6组解；
当，时，则或，
当，时，则，共3组解；
当，时，则，共1组解；
∴若，则方程共有组解，故③正确；
故选：D．
10．B
解：如图，连接，过点作交于点，
根据题意可得，
三角形为等边三角形，
，，
，
，
，
则阴影部分的面积为，
故选：B．
11．/
解：，
故答案为：．
12．
解：，是反比例函数图象上的两个点，
则，
，
故答案为：．
13．
解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的结果有：，，共2种，
亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的概率为，
故答案为：．
14．2
解：∵ ，
解不等式①得：；
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有5个奇数解，
∴，
解得：；
∵，
解得：，
∵方程有整数解，且，，
∴符合题意的整数m的值为，
∴符合条件的所有整数m的和是，
故答案为：．
15． 3 2
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
连接，
则，，则垂直平分，
∴，
∵直径垂直弦于点，
∴垂直平分，
∴，，，则，
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，即，解得：，（舍去）
∴，
故答案为：3，2．
16． 8426 1326
解：是“志学数”，则，
一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，
当或1时，符合题意，
当时，（负值舍去），
故这个数最大为；
是“志学数”，
，
，
为整数，
结合题意，或，
将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，
，
，
，
当时，，
则为的倍数，
为正整数，且为偶数，
，即，
，
可得，
解得（负值舍去），此时的最小值为；
当时，，
则为的倍数，
为正整数，且为偶数，
，即，不符合题意，
综上，的最小值为，
故答案为：；．
17．(1)
(2)
（1）解：
．
（2）解：
．
18．图见解析；；；；三角形的内；三角形的外心；三角形的重心
解：如图，即为所求；
证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图）
平分，，
，
平分，，
，
在与中
，
，
三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做三角形的内心；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做三角形的外心；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做三角形的重心．
故答案为：；；；三角形的内；三角形的外心；三角形的重心．
19．(1)30；88；90
(2)根据平均数看，八年级的平均数为，七年级的平均数为，所以八年级的劳动基础知识竞赛成绩较好（答案不唯一）
(3)人
（1）解：；
七年级学生的竞赛成绩中众数为，故；
八年级学生的竞赛成绩中中位数为，故，
故答案为：30；88；90；
（2）解：根据平均数看，八年级的平均数为，七年级的平均数为，所以八年级的劳动基础知识竞赛成绩较好；
根据中位数看，八年级的中位数为，七年级的中位数为，所以八年级的劳动基础知识竞赛成绩较好；
根据众数看，八年级的众数为，七年级的众数为，所以八年级的劳动基础知识竞赛成绩较好；
（3）解：人，
答：该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有人．
20．(1)购买中型垃圾桶个，购买大型垃圾桶个
(2)个
（1）解：设购买中型垃圾桶个，购买大型垃圾桶个，
由题意可得，
解得，
答：购买中型垃圾桶个，购买大型垃圾桶个；
（2）解：设垃圾桶降价元，则社区多购买个大型垃圾桶，
则可得，
解得，
由题意可得，解得，
故，
该社区实际购买的大型垃圾桶的数量为个
21．(1)
(2)图见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而不变；当时，随的增大而增大
(3)
（1）解：由题意得：
①当在上，即时，则有：，
；
②当在上，即时，则有：；
③当在上，即时，；
综上，；；
（2）解：函数图象如下所示：
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而不变；当时，随的增大而增大；
（3）解：∵一次函数恒过点，
如图，当一次函数过点时，，解得：，
当一次函数过点时，，解得：，
故根据图象可得一次函数与的图象有两个交点时，．
22．(1)；
(2)小亮先到达露营基地．理由见解析
（1）解：作于点，设，
在中，，
∴，，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
（2）解：小亮先到达露营基地．理由如下：
作于点，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
同理，是等腰直角三角形，
∴，，
∴千米，
千米，
∴小明用时小时，
小亮用时小时，
∵，
∴小亮先到达露营基地．
23．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
（1）解：将，代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1，
∴当时，，即，
设的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，
则，
在中，当时，，即，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，此时，即，
由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，由勾股定理可得
（3）解：，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵将抛物线沿射线方向平移，
∴设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为，
∵平移后的拋物线经过点，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线，
∵为平移后抛物线上一点，
∴，即，
设点的坐标为，
∵点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的，
∴点为、、的中点，
∴，，，
∵中恰有两个点落在平移后的抛物线上，
∴当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时；
当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时，与点重合，故不符合题意，舍去；
当点、在平移后的抛物线上时，，
解得：，此时；
综上所述，点的坐标为或．
24．(1)
(2)，理由见解析
(3)
（1）解：如图，过点作于点，
由旋转知，，
∴，，
∵，
∴,
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长至，使，连接，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵点是边的中点，
∴，
由翻折得，
∴，
∴点的轨迹为以为直径的，如图，
利用点到圆上一点的距离可得当，，依次共线时，最小，此时如图，
过点作，并截取，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当且仅当，，依次共线时，最小为，此时如图，
过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，
设，则，
∴，
∵，
∴，
又由翻折得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∵，
∴．

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