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重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列4个艺术汉字示意图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为4，则的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
4．若反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是的三角形是等边三角形
C．相等的弦，所对的圆周角相等
D．平行于同一条直线的两条直线互相平行
6．估计的值应在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
7．如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第1个图形中有6个等边三角形，第2个图形中有10个等边三角形，第3个图形中有14个等边三角形，……按照此规律排列下去，则第8个图形中等边三角形的个数是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
8．如图，在矩形中，点F是上一点，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，再以点C为圆心，长为半径画弧，使得弧与恰好相切于点H，与交于点G．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在边长为2的正方形中，点P是延长线上一点，连接，将沿翻折至，连接，交于点F．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．已知多项式，满足，且为正整数，将其中的个“”改为“”后得到一个新多项式．下列说法中正确的个数是（ ）
①当（为偶数）时，新多项式的值可能为；
②当时，若，，均为正整数且，得到的新多项式的值恒为非负数，则；
③当，时，对新多项式取绝对值后化简的结果共有种．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．计算： ．
12．为庆祝西南大学附属中学110周年，该校准备举办音乐庆典活动，现从音乐团的2个男生和3个女生中选取2个同学参加表演，恰好选中一个男生和一个女生的概率是 ．
13．如图，在中，，过点C作交于点D，作的平分线交于点E．若，，则 ．
14．如果关于y的分式方程的解为负整数，且关于y的一元一次不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
15．如图，是的外接圆，过圆心O作交于点D，延长交于点F，连接，，在延长线上取一点E，连接，使得．若，，则的半径为 ， ．
16．若一个四位正整数，其各数位上的数字互不相符且均不为，且千位数字与百位数字之差等于十位数字与个位数字之差，则称这个四位数为“等差数”．将“等差数”的千位数字与百位数字交换，十份数字与个位数字交换得到新数，令，．若是一个完全平方数，则最小的为 ．已知（，，，，且，，，都是整数）是“等差数”．若为的倍数，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．在学行四边形的相关知识后，小西同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作两条互相垂直的直线，这两条直线与矩形各边的交点所构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
(1)如图，在矩形中，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交于点E，F．用尺规过点O作的垂线，分别交于点M，N，连接．（不写作法，保留作图痕迹）

(2)已知在矩形中，点E，F，M，N分别在，，，上，经过对角线的中点O，且．求证：四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴①________，
在和中，，
∴，
∴③______
同理可得
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作直线，再作这条直线的垂线，与平行四边形四边相交的四点构成的四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的④______．
19．年初，DeepSeek以黑马姿态横空出世，在世界范围内引起轩然大波．近期某校举办了关于DeepSeek的科普知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息：
七年级20名同学的成绩在C组的数据为：82，83，83，84，85，86；A组的数据为：96．
八年级20名同学的成绩为：79，79，79，79，80，80，81，81，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，92．
七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 82.05 a 77
八年级 82.05 81 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中：______，______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好 请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在87分及以上的学生人数共有多少人？
20．直播带货作为一种新兴的销售模式，在抖音平台上尤为流行．一月份，某直播间推出两款电话手表，分别是带摄像头的升级款和不带摄像头的普通款，一开播就引起了很多网友关注．已知普通款的单价是升级款的85%，一月份升级款和普通款的销售额分别为45000元和29750元，两款电话手表的销量为80只．
(1)分别求出升级款电话手表和普通款电话手表的单价；
(2)二月份为喜迎开学，该直播间开展降价促销活动．在一月份的基础上，升级款电话手表降价a元，普通款的单价不变．结果升级款电话手表的销量增加只，普通款电话手表的销量减少只，二月份两款电话手表总的销售额增加250a元，求a的值．
21．在矩形中，，，P是上一点，连接，过点P作交于点Q．设（点P不与A，C重合），面积的一半与的面积之比为，的长为．

(1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(2)在平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并根据图象写出函数的一条性质．
(3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
22．今年春节，从除夕到正月十五，重庆作为春晚分会场天天都有无人机光影秀表演．露露和西西相约前往长嘉汇观看表演，两人从点O出发前往观看点D，由于西西要中途去拿照相机，所以他们分别沿不同的路线前往．露露从点O向正东方向走150米到点A，再从点A向北偏东方向走到点B，最后从点B向正东方向走300米到点D．西西的路程较远，所以他骑自行车从点O向东南方向行驶1200米到点C处取相机，取相机的时间约2分钟，然后从点C继续骑自行车向正北方向行驶到观看点D处．（参考数据：，，）
(1)求C，D之间的距离（结果保留一位小数）；
(2)若露露走路的速度为，西西骑自行车的速度为，请问他们谁先到达观看点D？请通过计算说明．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程．
24．在中，．

(1)如图1，若，D是边上一点，，是的中线，求的长；
(2)如图2，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，点F是边上一点，连接．若，猜想之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（1）的条件下，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点H，P分别是线段上一点，且，点Q是线段上一点，且，连接，当最小时，请直接写出的面积．
《重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题》参考答案
1．C
解：A．，是有理数，故该选项不符合题意；
B．是有理数，故该选项不符合题意；
C．是无理数，故该选项符合题意；
D．是有理数，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．B
解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称，本选项不符合题意；
B. 是轴对称图形，也是中心对称，本选项符合题意；
C. 既不是轴对称图形，也不是中心对称，本选项不符合题意；
D. 既不轴对称图形，也不是中心对称，本选项不符合题意．
故选：B．
3．B
解：∵与位似，点为位似中心，
∴，，
∴，
∴ ，
∵
∴ ，
∴的周长为，
故选：B．
4．B
解：由题意，得：，
∴；
故选B．
5．D
解：A、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法错误，不符合题意；
B、有一个角为的等腰三角形是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的弦，所对的圆周角相等，故本选项说法错误，不符合题意；
D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
6．A
解：
；
∵，即，
∴，
∴的值应在2与3之间，
故选：A．
7．B
解：第1个图形中有个等边三角形，
第2个图形中有个等边三角形，
第3个图形中有个等边三角形，……
按照此规律排列下去，
则第8个图形中有个等边三角形，
故选：B．
8．D
解：如图，连接，
由题意，，，，，
∴，,
∴，
∵弧与恰好相切于点H，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
．
故选：D．
9．B
解：在边长为2的正方形中，，，
设，则，
由折叠性质得，，
∴，则，
如下图，设，，，，，
则，，，
由，得，
∴，
∴，
如图，过F作于K，
设，则，，
∴，，
∴，解得，
∴，
故选：B．
10．D
解：①例如，多项式，，
则，
新多项式可以为，
举例：，
则①正确；
②若，，均为正整数且，，
∴，，，，，，，，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
其中，当时，，
∴，
当时，的新多项式的最小值为改变项前的“”，
设最小值为，
即，
∵时，，；
时，，；
时，，；
又∵，
∴，
∴，
∴只有当时，得到的新多项式的值恒为非负数，
故②正确；
③当，时，，
情况1：，
∵，
∴，，，
∴，
∴新多项式取绝对值化简结果为；
情况2：，
∵，
∴，，，
∴，
∴新多项式取绝对值化简结果为；
情况3：，
∵，
∴，，，
∴，
∴新多项式取绝对值化简结果为；
情况4：，
由无法判断的正负，
∴新多项式取绝对值化简结果为或；
情况5：，
∵，
∴，，，
∴，
∴新多项式取绝对值化简结果为；
情况6：，
∵，
∴，，，
∴，
∴新多项式取绝对值化简结果为；
情况7：，
由无法判断的正负，
∴新多项式取绝对值化简结果为或；
情况8：，
由无法判断的正负，
∴新多项式取绝对值化简结果为或；
情况：，
由无法判断的正负，
∴新多项式取绝对值化简结果为或；
情况：，
由无法判断的正负，
∴新多项式取绝对值化简结果为或；
综上，新多项式取绝对值后化简的结果共有种，
故③正确．
故正确的是①②③，
故选：D．
11．
解：，
故答案为：．
12．/
解：画树状图如下：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2个学生恰好是一个男生和一个女生的结果有12种，
∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：，
故答案为：．
13．/
解：过点作交于，
∵，设，
∴，，
∵平分，
∴，则，
在中，，
即：，整理得：，即，
解得：，（舍去），
∴，，
在中，，
故答案为：．
14．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵整数a使关于的一元一次不等式组无解，
∴，即：，
，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解为负整数，且，
∴且且 为奇数，
∴的值可以为，，1，
故所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：．
15．
解：连接，，则，
∵，则垂直平分，令与交于点，
∴，
∵，
∴，即，
设，，则，
∴，即，，
设的半径为，则，
在中，，即，
解得：，则，
∴，
由圆周角定理可知，，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
过点作，则四边形是矩形，则，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：，．
16．
解：设“等差数”，
则，
新数，
则
，
∵，
∴，
∵是一个完全平方数，且，，，，互不相等，
∴可能的值为、，
要使最小，要尽可能小，
当时，最小可以为；
当时，最小可以为，
故选时，，
则，此时最小可以为，，
∴最小的为；
∵（，，，，且，，，都是整数）是“等差数”，
当时，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，，
∴，，
∵要使为的倍数，必为的倍数，
∴①当时，或或或，
由，即，
得，
由或或或，
可得（舍）或（舍）或（此时，舍）或（舍），
故此时无解；
②当时，或，
由，即，
得或，
当时，或，
可得（舍）或（舍），
故此时无解；
当时，或，
可得（舍）或（，舍），
故此时无解；
③当时，为任意非零数，
由，即，
由，
故不符合题意；
④当时，或，
由，即，
得，
当时，或，
可得或（此时，舍），
则为；
当时，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，，
∴，，
∵要使为的倍数，必为的倍数，
∴⑤当时，，，，，
由，即，
得，
当时，，，，，
可得（舍）或（舍）或（舍）或（此时，舍），
故此时无解；
⑥当时，，，
由，即，
得或，
当时，，，
可得或，
则为或；
当时，，，
可得（舍）或（舍），
故此时无解；
⑦当时，，，
由，即，
得或，
当时，，，
可得（舍）或（舍），
故此时无解；
当时，，，
可得或，
则为或；
⑧当时，，，，，
由，即，
得，
，，，，
可得（此时，舍）或（舍）或（舍）或（舍），
故此时无解；
⑨当时，为任意非零数，
由，即，
又，
故不符合题意；
综上，符合题意的有或或或或，
故满足条件的数的最大值与最小值的差为，
故答案为：；．
17．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)见解析
(2)①；②；③；④四边形是菱形
【分析】本题考查尺规作线段垂直平分线、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，正确作出图形是解答的关键．
（1）根据尺规作线段垂直平分线的步骤作图即可；
（2）利用矩形证明和，得到，，则四边形是平行四边形，再利用菱形的判定可得结论；进而模仿求解过程可得结论．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求作的的垂线：

（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作两条互相垂直的直线，这两条直线与矩形各边的交点所构成的四边形是菱形．
如图，在平行四边形中，点E，F，M，N分别在，，，上，经过对角线的中点O，且．求证：四边形是菱形．

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：①；②；③；④四边形是菱形．
19．(1)84.5，81，40
(2)七年级成绩更好，理由见解析
(3)140人
（1）解：七年级20名同学中组有：1人，组有：人，组有6人，则组有人，
所以，七年级同学的中位数为第10名、第11名的平均数，即：，
组所占百分比为：，则；
八年级中出现次数最多的是81分，故八年级众数，
故答案为：84.5，81，40；
（2）七年级成绩更好，
理由：七年级成绩中位84.5大于八年级中午时81，所以七年级成绩更好；
（3），
答：两个年级参加此次竞赛活动成绩在87分及以上的学生人数共有140人．
20．(1)升级款电话手表的单价为1000元，普通款电话手表的单价为850元；
(2)a的值为50
（1）解：设升级款电话手表的单价为x元，则普通款电话手表的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
，
答：升级款电话手表的单价为1000元，普通款电话手表的单价为850元；
（2）解：一月份升级款电话手表的销量为（只），普通款电话手表的销量为（只），
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：a的值为50．
21．(1)，
(2)画图见解析，性质：随着的增大而减小
(3)或
（1）过点作交于，
在矩形中，，，，
∴，，则，
则，，
∴，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，则，
∴，
综上，，；
（2）画函数图象如下：

由函数图象可知，随着的增大而减小；
（3）当时，即，解得：，，
由图象可知，当时，的取值范围为或．
22．(1)，之间的距离
(2)露露先到达观看点
（1）解：延长点交于，过点作，
由题意可知，，，，，，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
在中，，
，
∴，
在中，，
∴．
即：，之间的距离；
（2）在中，，
露露走路的路程为：，
∴露露到达的时间为，
西西骑自行车的路程为：，
∴西西到达的时间为，
∴露露先到达观看点．
23．(1)
(2)
(3)
（1）解：由得，
∵，
∴，则，
将，代入中，
得，解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
∴，，
设直线的函数表达式为，
则，解得，
∴直线的函数表达式为，
如图，过P作轴交直线于H，
则，
∴，则当最大时，取得最大值，
设，则，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值，即取得最大值，此时，
连接，则轴，
∵M是直线PC上一动点，轴，
∴，
如图，过D作，且，连接，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，当、N、C共线时取等号，
∴的最小值为，
设直线的函数解析式为，则，
∴直线的函数解析式为，
联立方程组，解得，
∴，则，
∴，
故的最小值为；
（3）解：如图，连接，
由（2）知，，直线的函数表达式为，
∵轴交直线于点E，，
∴，，，
∵将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，
∴将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得新抛物线的解析式为，
∵，
∴，
设直线与直线交点为M，，则，
∴，
解得，则，
设直线的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
联立方程组，整理得，
解得，
∴满足条件的点F横坐标为．
24．(1)
(2)，证明见解析
(3)
（1）解：∵在中，，，，
∴，，，
∵是的中线，
∴，则，
∴，
∴，，
过D作于F，

∴在中，，
∴在中，；
（2）解：，证明如下：
延长交于T，在上截取，取的中点M，连接、、，

由旋转性质得，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，则，
∴，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，则，
∵，
∴，又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，即；
（3）解：如图，过P作于K，

由旋转性质得，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过A作于T，连接，则，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，即，
作点C关于的对称点，连接，，分别与相交于、M，
则，，，
∴，
当、P、T共线时取等号，此时，取得最小值，点P与重合，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
如图，在中，在上截取，过H作于L，

∴，
∴，
∴，，
在中，由得，
解得（负值已舍去），
∴．

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