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2024-2025学年广东省佛山市 S6高质量发展联盟高一下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = 2 2 ，则 的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
2.在边长为 1 的等边三角形 中， 的值为( )
A. 1 B. 12 C.
3
2 D.
1
2
3.如图，在△ 中，点 是 的中点，点 是 的中点，设 = ， = ，那么 =( )
A. 14 +
3 1 3
4 B. 4 4
C. 34 +
1
4
D. 3 1 4 4
4.已知非零空间向量 ， ，且 = + 2 ， = 5 + 6 ， = 7 2 ，则一定共线的三点是( )
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
5.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 cos = (2 )cos ，则△ 的形状为( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形
6.若 sin + cos = 2sin ，sin cos = sin2 ，则( )
A. 4cos22 = cos22 B. cos22 = 4cos22
C. 4cos2 = cos2 D. cos2 = 4cos2
7.在△ 中，已知 = 2， = 4，∠ = 60 ， ， 边上的两条中线 ， 相交于点 ，则
cos∠ = ( )
A. 77 B.
14 7 14
7 C. 14 D. 14
8.已知函数 = + 2sin ，对于任意的 2 > 1 ≥ 0，都有 1 + sin 2 > 2 + sin 1恒成立，则
关于 的不等式 ≥ 2 + 2sin

4 的解集为( )
A. ∞, 4 B. ∞,

4 C.

4 , + ∞ D.

4 , + ∞
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9 +1.已知复数 满足 1 = 1 2 ，则( )
A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限
C. = 2 D. 和 是方程 2 + 2 + 2 = 0 的两个根
10.设 , , 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是( )
A.若| + | = | |，则 ⊥
B.若 = ，则 + ⊥
C.若 = ，则 不与 垂直
D. 不与 垂直
11.对于函数 ( ) = 2sin( + 6 ) + 1( > 0).下列说法正确的是( )
A.当 = 2 时，函数 ( )在[ , 5 6 6 ]上有且只有一个零点
B.若函数 ( )在[ 6 ,
2 1
3 ]单调递增，则 的取值范围为(0, 2 ]
C.若函数 ( )在 = 5 1时取得最小值，在 = 2时取得最大值，且| 1 2|min = 2，则 ( 6 ) + ( ) = 2
D. 将函数 ( )图象向左平移6个单位得到 ( )的图象，若 ( )为偶函数，则 的最小值为 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.如图， ， 两点在河的两岸，在 同侧的河岸边选取点 ，测得 = 30 ，∠ = 75 ，∠ = 60 ，
则 ， 两点间的距离为 .
13 1.将函数 ( ) = 2sin 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍，横坐标缩短为原来的4，再将所得的图象

向右平移32个单位长度，得到函数 ( )的图象，则 ( ) = ．
14.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 sin = 3 cos ，∠ 的平分线交 于点 ，且 =
3，则 + 3 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 1，且 ， 的夹角为60 ，
(1)求 ;
(2)当向量 + 与 2 垂直时，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
(1) sin = 2 5 10 已知 5 ，sin( ) = 10 ，且 ， ∈ (0, 2 )，求 cos(2 )的值．
(2) sin = 5 cos = 10 已知 5 ， 10 ，且 0 < < 2及 2 < < 0，求 + 的值．
17.(本小题 15 分)
1
如图，在△ 中， = 2，cos = 3，点 在线段 上．
(1)若∠ = 34 ，求 的长;
(2)若 = 2 4 2，△ 的面积为 3 ，求 的长．
18.(本小题 17 分)
在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.受潮汐影
响，港口的水深也会相应发生变化.下图记录了某港口某一天整点时刻的水深 (单位：米)与时间 (单位：
时)的大致关系：
假设 4 月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
(1)请运用函数模型 = ( + ) + ( > 0, > 0, 2 < <

2 , ∈ )，根据以上数据写出水深 与时
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间 的函数的近似表达式；
(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于 3.5 米，否则该船必须立即离港.一艘船满载
货物，吃水(即船底到水面的距离)6 米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天 0 点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时 0.3
米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水 3 米.请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提
下，使该船明天尽早完成卸货(不计停靠码头和驶离码头所需时间)．
19.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点，对于函数 = sin + cos ，称向量 = , 为函数 的相伴特征向量，同时
称函数 为向量 的相伴函数．
(1) 记向量 = 3, 3 的相伴函数为 ，若当 = 3 且 ∈ 3 , 3 时，求 的值；
(2)设 = 3cos + 3 + cos 6 ∈ ，试求函数 的相伴特征向量
，并求出与 同向的
单位向量；
(3)已知 = 0,1 为函数 的相伴特征向量，若在 中， = 2, cos = 6 ，若点 为该 的
外心，求 + 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.15 6
13.4sin(4 8 )
14.4 + 2 3
15.解：(1)由已知得 = | | | |cos < , >= 2 × 1 × 12 = 1，
(2) ∵向量 + 与 2 垂直，
∴ ( + ) ( 2 ) = 0 ，
∴ 2 + (1 2 )
2
2 = 4 + (1 2 ) 2 = 0 ，
解得 = 12 ．
16.(1)解：由 sin = 2 55 ， ∈ 0,

2 可得 cos =
5
5 ，
, ∈ 0, ∈ , sin = 10由 2 ，可得 2 2 ， 10 则 cos =
3 10
10 ，
cos 2 = cos + = cos cos sin sin = 55 ×
3 10
10
2 5
5 ×
10 2
10 = 10，
(2)解：由 sin = 5 ∈ 0, 5 ， 2 可得 cos =
2 5
5 ，
< < 0 cos = 10由 2 ， 10 则 sin =
3 10
10 ，
sin + = sin cos + cos sin = 5 10 2 5 3 10 25 × 10 + 5 × 10 = 2 ，
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由于 + ∈ 2 ,

2 ，故 + =

4．
17.解：(1) 1 2 2在 中， ∵ cos = 3 , ∴ sin = 3 ，
在 中，由正弦定理得 ∠ = ，
又 ∵ = 2, ∠ = 4 , =
2 2
3 ，
2 2
2 × 8
∴ = 3 ∠ = = 3 .2
2
(2) ∵ = 2 , ∴ △ = 2 △ , △ = 3 △ ．
4 2
又 ∵ = 3 , ∴ = 4 2．
∵ 1△ = 2 sin =
1
2 × 2 × ×
2 2
3 ，
解得： = 6，
在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 36 24 × 13 = 32 ，
所以 = 4 2．
18.解：(1) 2 由图象得 = 12，则 = = 6，
+ = 11
又 + = 5，解得 = 3， = 8，

根据一个最高点(2,11)得6 × 2 + = 2 + 2 ， ∈ ，解得 = 6 + 2 ， ∈ ，
< < 又 2 2，则 = 6，
∴函数 = 3 ( 6 +

6 ) + 8；
(2)①由(1)得 = 3 ( + 6 6 ) + 8，
又 ≥ 3.5 + 6，即 ≥ 9.5，即 sin( 16 + 6 ) ≥ 2，解得 2 +

6 ≤
5
6 + 6 ≤ 2 + 6， ∈ ，
∴ 12 ≤ ≤ 12 + 4， ∈ ，
故该船每天可以进港的时间段为 0～4 时和 12～16 时；
②由题意得 (6 0.3 ) ≥ 3.5，即 3 ( 6 +

6 ) + 8 ≥ 0.3 + 9.5，解得 0 ≤ ≤ 5，
故从 0 点开始卸货到 5 点，此时船已经卸货一半，驶出港口，等到 11 点再次驶入港口进行卸货，直至卸完
货．
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19.解：(1)根据题意知，
向量 = 3, 3 的相伴函数为
( ) = 3sin + 3cos = 2 3sin( + 6 )，

当 ( ) = 2 3sin + 6 = 3 时，
所以 sin + 36 = 2 ，
又 ∈ 3 ,

3 ，则 + 6 ∈ 6 , 2 ，

所以 + 6 = 3，故 = 6；
(2)因为 ( ) = 3cos ( + 3 ) + cos (

6 )

= 3(cos cos 3 sin sin 3 )
+cos cos 6 + sin sin

6，
整理得到 ( ) = sin + 3cos ，
故函数 ( )的相伴特征向量 = 1, 3 ，
则与 = 1, 3 同向的单位向量为
1 1 3

= 2 ( 1, 3) = 2 , 2 ；
(3)由题意得， ( ) = cos ，
在 中， = 2，
cos = ( 6 ) = cos
3
6 = 2 ，所以 = 6，
设 外接圆半径为 ，

根据正弦定理，sin = 2 = 4，故 = 2，
所以 = = = 2，
+
= ( ) + ( ) ( )
= +
2
+
2
= 2 + +
= 8 ∠ + 4 ∠ + 4，
= 6 , ∠ = 2 =

3 , cos∠ = cos

3 =
1
2，
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代入可得 + = 6 8cos∠ ，
所以当∠ = 时，
+ 取得最大值 14．
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