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江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，比小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．一组数据2，，x，6，的众数为6，则这组数据的中位数为（ ）
A．2 B． C．6 D．
4．如图，，，若，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
5．文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线CG交AB于点D，过点D作DH∥BC交AC于点H．若CH＝4，BC＝9，则AH的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则称关于的方程为点的对应方程．已知点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有（ ）个．
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
二、填空题
9．分解因式∶ ．
10．据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入到“光盘行动”中来．用科学记数法表示是 ．
11．如图，点P是线段的黄金分割点，且．如果，那么 ．
12．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则 ．
13．用一个半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
14．已知正六边形的半径为2，则该正六边形的面积为 ．
15．如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ．
16．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为 ．
18．在中，，，点在边上，且，以为斜边作等腰直角三角形，则点到边的距离为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．先化简再求值：，其中．
21．如图，在中，，边上取一点，，过点作，连结，已知．
(1)求证：．
(2)若，，则的长为________．
22．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题．
(1)本次调查活动随机抽取了______人，请补全条形统计图。
(2)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数．
(3)若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人．
23．某校组建了三个小组：A（经典诵读），B（诗词大赛），C（传统故事）．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组．若该校小敏和小文两名同学各自从三个小组中随机选择一个小组，每一个小组被选中的可能性相同．
(1)小敏选择经典诵读小组的概率是 ；
(2)用画树状图或列表的方法，求小敏和小文选择不同小组的概率．
24．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩、如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时；
(1)若，求的长度；
(2)求阴影的长．（参考数据：，，）
25．如图，点D是的直径下方圆弧上的一点，连接并延长至点C，连接交于点E，连接交于点G，过点E作于点F，且点F是线段的中点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
26．甲、乙两机器人从地出发，沿相同路线前往地（到达后停止运动），图中，分别表示甲、乙两机器人前往目的地所走的路程，单位：）随甲出发的时间（单位：）变化的函数图象．
(1)，两地的距离为________；
(2)分别求，关于的函数解析式（不写自变量的取值范围）；
(3)根据程序设定，当两机器人相距时，两个机器人身上的反应器同时发光，求出反应器同时发光时的值．
27．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得的面积始终为定值，若存在，求出的值及面积的定值；若不存在，请说明理由．
(3)若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围．
28．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当时，________；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则________；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
《江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题》参考答案
1．D
解：∵ 正数>0>负数，，
∴
∴，
∴比小的是．
故选：D．
2．C
解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3．A
解：数据2，，x，6，的众数为6，
，
则数据重新排列为、、2、6、6，
所以中位数为2，
故选：A ．
4．C
解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：C．
5．B
解：设雀每只x两，燕每只y两，
由题意可得，，
故选：B
6．C
解：由作法得CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵DH∥BC，
∴∠HDC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠HDC，
∴DH＝CH＝4，
∵DH∥BC，
∴△ADH∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得AH＝．
故选：C．
7．C
解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．A
解：设直线的解析式，
，
，
直线的解析式为，
设直线上任意点为，
这个点的对应方程是，
，
，
当有最小值，当有最大值，
，
故线段上任意点的对应方程都没有实数根，
故选A．
9．/
解：．
故答案为：．
10．
解：根据科学记数法的定义，，
故答案为：．
11．/
解：∵点P是线段的黄金分割点，且，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．57
解：∵将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，
∴，
故答案为：57．
13．1
解：设底面圆的半径为r，
，
解得．
故答案为：1．
14．
解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形．
∴OA=AB=2，
∴AC=AB=1，
∴，
∴S△OAB=AB OC=×2×=，
则正六边形的面积为6×=6．
故答案为：6．
15．35
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴，
故答案为：35．
16．6
解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
故答案为：6．
17．8
解：过作轴于，过作轴于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，而，
∴的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：8．
18．2或3
解：，，
，，
，
，，
分两种情况，当点E在上方时，如图所示，作于点G，于点F，

则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
；
当点E在下方时，如图所示，作于点M，于点F，于点H，则四边形是矩形，
，
，
，
又，，
，
，
四边形是正方形，
．
，，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得或（舍），
，
综上可知，点E到边的距离为2或3．
故答案为：2或3．
19．
解：
．
20．，
解：
，
将代入，原式．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
22．(1)50；见解析
(2)
(3)4500人
（1）解：本次调查活动随机抽取人数为（人），
∴混动的人数为人，
补全统计图如下所示：
（2）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
（3）解：（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有4500人．
23．(1)
(2)
（1）解：共三个活动小组，
小敏选择经典诵读小组的概率是．
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小敏和小文选择不同小组的结果有6种，
小敏和小文选择不同小组的概率为．
24．(1)1.4米
(2)2.2米
（1）解：由题意知：，，
∴，
在中，米；
（2）解：过A作于K，则，
米，
∴米，
∵四边形是矩形，
∴米，米，
由题意知：，
∴，
∴米，
∴米，
∴阴影的长为2.2米．
25．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接，
∵，点F是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）连接，
∵是直径，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，．
26．(1)1000；
(2)；；
(3)的值为5或或20
（1）解：由图象可知，A，B两地的距离为m，
故答案为：；
（2）解：设关于x的函数解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴；
设关于x的函数解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴；
（3）解：由题意知，当乙未出发前，甲在乙的前面相距时，
依题意得，，
解得，；
当乙在甲的前面相距时，
依题意得，，
解得，；
当乙停止后，甲在乙的后面相距时，
依题意得，，
解得，；
综上所述，x的值为5，或．
27．(1)；
(2)，面积为3；
(3)
（1）解：抛物线．
对称轴为直线，
．解得．
则抛物线
（2）解：抛物线与轴交于点，
当时，，则点C坐标为．
点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，
，解得，则点D坐标为．
抛物线与轴交于、两点，
，解得，则点A坐标为，点B坐标为，
点的坐标为，
在直线上，
设所在直线解析式为，
则
则．
当的面积为定值时，
直线与所在直线平行．
．即．
设，则，
解得，则点P坐标为．
的面积为定值，
．
（3）解：抛物线，
抛物线的顶点坐标为．
当时，．
时M的最高点坐标为，最低点坐标为．
关于的对称点坐标为，
关于的对称点坐标为．
当时，N的最高点坐标为，最低点坐标为．
此时，不合题意舍去；
当最高点纵坐标为t时，即，．
，解得．
当 N的最高点纵坐标为t， 即，最低点纵坐标为，即时，
，解得．
综上：．
28．(1)，2；
(2)，理由见解析
(3)的长为
（1）解：（1），
，
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
又，
，
又，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
，
，
，即，
故答案为：，2；
（2），理由如下：
由（1）可知，，，
，
；
（3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图，
，
，，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，，
设，
四边形为菱形，
，
，
，，，
，，
由勾股定理可得：，
，
解得：，即的长为．

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