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2025年黑龙江省绥化市海伦市九年级中考第二次模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中与2互为相反数的是（ ）
A． B． C． D．
2．古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．中新网1月21日报导，河南省统计局公布2022年河南省GDP数据经国家统计局统一核算，2022年全省GDP初步核算数为61345.05亿元，按可比价格计算，比上年同期增长3.1%．数据“61345.05亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．三个大小一样的正方体按如图摆放，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是( )
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件
8．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为，则的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．下列命题为真命题的是（　　）
A．三角形的外心是三条角平分线的交点
B．圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆
C．“长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件
D．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是：
11．二次函数 的对称轴是 ，图像与负半轴交于点，与轴交于点，且．则下列结论：
①； ②； ③；
④若方程的两根为，
则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点，点在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则：
①；
②；
③；
④若，则．
正确的是　　

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
13．因式分解：m2-n2-2m+1= ．
14．若α，β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为 ．
15．某校倡议全校学生周末回家任选一项家务劳动参加：①为父母做一次饭；②洗一次衣服；③倒一次生活垃圾．小宇和大明选择同一项家务劳动的概率是 ．
16．函数中，自变量x的取值范围是 ．
17．当时， ．
18．若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 ．
19．如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为 米．（结果取整数，参考数据：．）
20．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是 ．
21．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 ．
22．如图，在中，，，，点为的中点，点为上一点，把沿翻折得到，若与的直角边垂直，则的长为 ．
三、解答题
23．如图，已知平分，点M是上的一个定点．

(1)尺规作图：请在图1中作，使得圆心O在射线上，并与射线相切于点M，切点为M，求证：射线与相切；（作图保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，设与相切于点N，若，则劣弧与所围成的图形的面积为______．
24．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．
(1)本次抽测的男生有______人，抽测成绩的众数是______；
(2)请你将图2中的统计图补充完整；
(3)若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有______人体能达标？
(4)中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项．
①每位考生有______种选择方案；
②用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用、、、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程）
25．一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
26．已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：
①当时，求所有点的坐标 （直接写出）；
②求的最大值.
27．【观察与猜想】
（1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，且，，则______；
【类比探究】
（2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，当与满足什么关系时，成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，，，点E在边上，连接与交于点O，当时，求的值．

28．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值；
(3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
(4)如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
《2025年黑龙江省绥化市海伦市九年级中考第二次模拟考试数学试题》参考答案
1．B
解：A. 与2不是相反数，故此选项错误，不符合题意．
B. ，2互为相反数，故该选项正确，符合题意；
C. ，与2是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意．
D. ，与2是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意．
故选：B．
2．C
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．C
解：亿=
故选C
4．D
解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意；
故选：D ．
5．B
解：从正面看是一层两个正方形，在每个正方形的中间有一条纵向的虚线．
故选：B．
6．B
解：，
设，，
由勾股定理得：，
．
故选：B．
7．A
解：A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式不合适，破坏性较强，应采用抽样调查，故此选项正确，符合题意；
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票不一定一定会中奖，故选项错误，不符合题意；
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则＜，则甲组数据较稳定，故选项错误，不符合题意；
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7” 是不可能事件，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
8．C
【详解】根据关键描述语：“有两块面积相同的试验田”得到等量关系为：第一块的亩数=第二块的亩数，而亩数=总产量÷单产量．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，则第一块试验田的亩数为： ，第二块试验田的亩数为： ．那么所列方程为：=.
故选C
9．D
解：设点的坐标为，点的坐标为，
则，点的坐标为，
∴，
解得，，
故选：D．
10．C
解：．三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
．正立的圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆（带圆心），原命题是假命题，故本选项不符合题意；
．“长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件，是真命题，故本选项符合题意；
．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是：，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故选：．
11．B
解：∵该抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∵抛物线与轴的交点在正半轴上，
∴，
∴，所以①正确；
由该二次函数的图像可知，其顶点的纵坐标大于0，即，
∴，所以②错误；
对于二次函数，
令，可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵对称轴为，
∴抛物线与轴的另一交点为，
∴当时，可有，
即，
∴，所以③正确；
∵抛物线与轴的两个交点分别为，，
∴方程的两个根为，，
∴，
∴，所以④正确．
综上所述，正确的结论是①③④，共3个．
故选：B．
12．D
解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
又，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，故③正确；
过点作于，于，
则四边形是矩形，
，
，，
，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，故④正确；
故选：．

13．（m-1+n）（m-1-n）
原式=m2-2m+1-n2
=（m-1）2-n2
=（m-1+n）（m-1-n）．
故答案为（m-1+n）（m-1-n）．
14．12
解析：∵α为 的实数根，
∴ 即
∵α、β为方程的两个实数根，
∴
故答案为12.
则
15．
解：列表如下：
①为父母做一次饭 ②洗一次衣服 ③倒一次生活垃圾
①为父母做一次饭 ①① ①② ①③
②洗一次衣服 ②① ②② ②③
③倒一次生活垃圾 ③① ③② ③③
由表知，共有9种等可能结果，其中小宇和大明选择同一项家务劳动的有3种结果，
（选择一样）．
故答案为：．
16．x≥-2且x≠1
解：由题意可得
解得x≥-2且x≠1
故答案为：x≥-2且x≠1．
17．
解：
当时，原式
故答案为：．
18．6
解：设这个圆锥的母线长是，
依题意得：圆锥的底面周长为：，
则展开后扇形的弧长为，
即：，
解得：，
这个圆锥的母线长是，
故答案为：6．
19．102
解：由题意可知，
在中，
，，
，
，
在中，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
20．
如图，作DE⊥AB于E点，连接BD
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°
∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形
∴∠MAE=30°
∴AM=2ME
∵MD=MB
∴MA+MB+MD=2ME+2MD=2DE
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小
∵菱形的边长为6
∴AB=6，AE=3
∴
∴
∴MA+MB+MD最小值为
故答案为：
21．
∵四边形是矩形，
，
，
∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形的边长的比为，
∴矩形的面积和矩形的面积的比,
故答案为：.
22．或或
解：①当，设射线交于点，如图，
，沿翻折得到，
，
，
，
，
，
，
在中，， ，
；
②当时，如图，
，，
，
沿翻折得到，
，
，
，
在中，，，
在中，，
；
③当时，如图，
，，
，
，
沿翻折得到，
，
，
，
，
综上所述的长为或或，
故答案为：或或．
23．(1)画图见解析，证明见解析
(2)
（1）证明：如图所示，过点M作的垂线，交于O，以点O为圆心，为半径画圆，则圆O即为所求；
如图所示，过点O作于N，
∵平分，，
∴，
∴射线与相切；

（2）解：∵和为的切线，
∴，，，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，即，
∴的劣弧与所围成图形的面积
．
故答案为：．
24．(1)，
(2)补全条形图见详解
(3)该校名九年级男生中估计有人体能达标
(4)①；②
（1）解：4次的有10人，百分比为，
∴（人），
∴5次的人数为：（人），
∴众数是5，
故答案为：50，5；
（2）解：由（1）可知，5次的人数为16人，
∴补全图形如下，
（3）解：（人），
∴该校350名九年级男生中估计有人体能达标；
（4）解：①每位考生可选择：50米跑、立定跳远、坐位体前屈（用表示）；50米跑、实心球、坐位体前屈（用表示）；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳（用表示）；50米跑、实心球、1分钟跳绳（用表示）；共用4种选择方案．
故答案为：4．
②用、、、代表四种选择方案．
用树状图分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有4种，
所以小明与小刚选择同种方案的概率
25．(1)70，300
(2)
(3)或
（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，
甲车行驶的速度是，
∴A、C两地的距离为：，
故答案为：70；300；
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为，，
设线段所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：，
A、B两地的距离为：，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得；
当甲乙相遇后时：
，
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
26．（1）见解析；（2）①，；② 的最大值为.
（1）证明：连接，则：
∵为直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
即：
∵轴
∴
∴
∴直线为的切线.
（2）①如图1，当位于上时：
∵
∴
∴设，则
∴
∴，解得：
∴
即
如图2，当位于的延长线上时：
∵
∴设，则
∴
∴
解得：
∴
即
②如图，作于点，
∵是直径
∴
∴
∴
∵半径
∴
∴的最大值为.
27．（1）；（2）当时，成立，理由见解析；（3）
解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，，
，
故答案为：；
（2）当时，成立，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，
∴，，，
同（2）可得，
在上取一点P使得，连接，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．

28．(1)
(2)的周长的最大值为
(3)存在，或或
(4)
（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则；
令，则，
，
抛物线经过、两点，
，
解得： ，
；
（2）设，则 ， ，
， ，
，
点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），
，
，
的周长为： ，
， ，
，
，
，
，
，
的周长为： ，，
时，的周长最大值为 ；
（3）存在点，或或；
由（2）可知： ，
此时可得： ，
，
抛物线的对称轴为： ，
则点的横坐标为，
，
，
设 ，
①当为平行四边形的边时，且点在点的左侧，
此时： ，
点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，
则点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，
点的横坐标为，
，
将其代入抛物线解析式得： ，
，
②当为平行四边形的边时，且点在点的右侧，
同理可知：将点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，
此时 ，
代入抛物线解析式得： ，
，
③当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得：
，
，
代入抛物线解析式得： ，
综上所述：或或；
（4）在轴上截取 ，连接 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
当、 、共线时，有最小值，且最小值为 ，
在直角三角形中， ，
的最小值为 ．

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