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7.2　离散型随机变量及其分布列（第二课时）（同步检测）
一、选择题
1.设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，i＝1，2，3，则a＝(　　)
A.3 B.
C.2 D.
2.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，则P(X＝3)＝(　　)
A. B.
C. D.
3.随机变量X所有可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P(X＝－2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝5)＝，则P(X＝0)的值为(　　)
A.0 B.
C. D.
4.已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，则P(2≤X<4)＝(　　)
A. B.
C. D.
5.已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.4，设Y＝2X－1，那么P(Y＝－1)＝(　　)
A.0.2 B.0.3
C.0.4 D.0.6
6.(多选)设X是一个离散型随机变量，则下列能作为X的分布列的一组概率数据是(　　)
A.0，，0，0， B.0.2，0.2，0.3，0.4
C.p，1－p(0≤p≤1) D.，，…，
7.(多选)已知随机变量ξ的分布列为：
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
若P(ξ2A.4 B.5
C.7 D.8
8.(多选)已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
则下列选项正确的是(　　)
A.m＋n＝0.7 B.若m＝0.3，则P(X>3)＝0.5
C.若m＝0.9，则n＝－0.2 D.P(X＝1)＝2P(X＝6)
二、填空题
9.设某项试验的成功率为0.4，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________
10.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________
11.设离散型随机变量X的概率分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
则P(X＝10)＝________
12.若随机变量X的分布列如下表所示，
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________
三、解答题
13.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，其中c为常数，求P(0.5＜ξ＜2.5)的值．
14.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记－1分，取出黄球记零分．
(1)以X表示所得分数，求X的概率分布；(2)求得分X>0时的概率．
15.在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球．
(1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
(2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列．
参考答案及解析：
一、选择题
1.A
2.A　解析：随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，(k＝1，2，3)，则a＝1，
解得a＝，∴P(X＝3)＝×＝，故选A．
3.C　解析：因为P(X＝－2)＋P(X＝0)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝1，即＋P(X＝0)＋＋＝1，所以P(X＝0)＝＝，故选C．
4.A　解析：依题意，分布列概率之和为1，则＋＋＋＝1，解得a＝10，即P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，所以P(2≤X<4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝．故选A．
5.D　解析：由题意可知，当Y＝－1时，即2X－1＝－1，解得X＝0．又因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.4，所以P(Y＝－1)＝P(X＝0)＝0.6．故选D．
6.AC
7.BCD　解析：由随机变量ξ的分布列，知ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P(ξ2＝0)＝；
P(ξ2＝1)＝＋＝；P(ξ2＝4)＝＋＝；
P(ξ2＝9)＝．∵P(ξ28.ABD　解析：对于A，由分布列的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1＝1，解得m＋n＝0.7，故A正确；对于B，若m＝0.3，可得n＝0.4，则P(X>3)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.5，故B正确；对于C，由概率的定义知m≥0，n≥0，故C不正确；对于D，由P(X＝1)＝0.2，P(X＝6)＝0.1，则P(X＝1)＝2P(X＝6)，故D正确．故选ABD．
二、填空题
9.答案：0.6
10.答案：
解析：设P(X＝1)＝p，则P(X＝0)＝1－p，依题意知p＝2(1－p)，解得p＝，故P(X＝0)＝1－p＝.
11.答案:　
解析：由分布列的性质知：＋＋＋…＋＋m＝1，则2×＋m＝1－＋m＝1，解得m＝，即P(X＝10)＝．
12.答案：，　
解析：因为a，b，c是等差数列，所以2b＝a＋c.又因为a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝．又因为a＝－d，c＝＋d，由分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤．
三、解答题
13.解：∵随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，
∴＋＋＝1，即＝1，解得c＝，
∴P(0.5＜ξ＜2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝＝×＝.
14.解：(1)依题意，当取到2个白球时，随机变量X＝－2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝－1；
当取到2个黄球时，随机变量X＝0；
当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；
当取到2个黑球时，随机变量X＝4，
所以随机变量X的可能取值为－2，－1，0，1，2，4，
可得P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2 4
P
(2)由(1)得P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＋＝，
所以得分X>0时的概率为．
15.解：(1)设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”，
则取出的2个球没有白球，得P(A)＝＝＝，
所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为.
(2)依题意，随机变量X的取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P7.2　离散型随机变量及其分布列（第一课时）（同步检测）
一、选择题
1.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回地每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　)
A.1，2，…，6 B.1，2，…，7
C.1，2，…，11 D.1，2，3，…
2.下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是(　　)
①某食堂在中午半小时内进的人数Z1；②某元件的测量误差Z2；
③小明在一天中浏览网页的时间Z3； ④高一2班参加运动会的人数Z4.
A.①② B.③④ C.①③ D.①④
3.某袋中装有大小相同的10个红球，5个黑球．每次随机抽取1个球，若取到黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　)
A.X＝4 B.X＝5
C.X＝6 D.X≤4
4.下列叙述中，是离散型随机变量的为(　　)
A.将一枚均匀硬币掷四次，出现正面向上和反面向上的次数之和
B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
5.(多选)对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为X，则X＝k表示的试验结果为(　　)
A.第k次检测到正品 B.第k＋1次检测到次品
C.前k－1次检测到正品 D.前k次检测到正品
6.(多选)下列随机变量中属于离散型随机变量的是(　　)
A.某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B.测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg的体重记为X
C.测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm的人数记为X
D.一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
7.(多选)下列随机变量中，不是离散型随机变量的是(　　)
A.从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号码
B.一个袋子中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数
C.某林场的树木最高可达30 m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度
D.从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定的外径尺寸之差
二、填空题
8.随机变量X的取值范围是{1，2，3，4，5}，且Y＝2X＋1.则Y的取值范围是_______________
9.连续不断地射击某一目标，首先击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则{X＝4}表示的试验结果是________________
10.一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(都大于5且两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种．
11.抛掷2枚质地均匀的骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是________(填序号)．
①2枚都是4点； ②1枚是1点，另1枚是3点；
③2枚都是2点； ④1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点．
三、解答题
12.判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由．
①从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；
②抛两枚骰子，出现的点数之和；
③体积为8 cm3的正方体的棱长．
13.某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．某选手抽到科技类题目的道数为X.
(1)试求出随机变量X的可能取值；
(2){X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？
14.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，写出X的所有可能取值，并说明X的值表示的随机试验的结果．
参考答案及解析：
一、选择题
1.B 解析：可能第一次就取到白球，也可能把6个红球都取完后，才取得白球，故X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7．
2.D　解析：对于①，某食堂在中午半小时内进的人数Z1可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差Z2不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；对于③，小明在一天中浏览网页的时间Z3不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数Z4可以一一列举出来，故④是离散型随机变量．故选D．
3.C　解析：第一次取到黑球，则放回1个红球；第二次取到黑球，则放回2个红球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6．故选C．
4.C
5.BD　解析：由题意，得X＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品．
6.AC 解析：电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，A正确；体重无法一一列举，B不正确；人数可以列举，C正确；数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量，D不正确．
7.CD 解析：对于A，被取出的卡片的号码是1，2，3，…，10，共有10个值，是随机变化的，符合离散型随机变量的定义；对于B，从10个球中取3个球，所含白球的个数有0，1，2，3，共有4个值，是随机变化的，符合离散型随机变量的定义；对于C，所选树木的高度是随机变化的，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列出，不是离散型随机变量；对于D，实际测量值与规定值之间的差值是随机变化的，它充满了某个区间，无法一一列出，不是离散型随机变量．故选CD．
二、填空题
8.答案：{3，5，7，9，11}　
解析：因为X的取值范围是{1，2，3，4，5}，且Y＝2X＋1，所以Y的取值范围是{3，5，7，9，11}．
9.答案：前3次未击中目标，第4次击中目标　
解析：由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k(k∈N*)时，表示前k－1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标．
10.答案：24　
解析：因为后三位数字两两不同，且都大于5，所以只能是6，7，8，9四个数字，因为随机拨最后三位数字两两不同，所以有A＝24种．
11.答案：④
解析：抛掷2枚质地均匀的骰子，其中1枚是x点，另1枚是y点，其中x，y＝1，2，…，6.而ξ＝x＋y，ξ＝4 或
三、解答题
12.解：①被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量．
②抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量．
③正方体的棱长为定值，不是随机变量．
13.解：(1)由题意得X的可能取值为0，1，2，3．
(2){X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”．
从科技类题目中抽取一道，从文史类和体育类题目中抽取两道，不同的结果有CCA＝378(种)．
14.解：X的所有可能取值是－1，0，1，2，3．
①X＝－1表示：甲抢到1题但答错了，而乙抢到2题都答错了．
②X＝0表示：甲没抢到题，乙抢到的题答错至少2个题或甲抢到2题，但回答1对1错，而乙答错1题．
③X＝1表示：甲抢1题且答对，乙抢到2题且1对1错或全错或甲抢到3题，且2对1错．
④X＝2表示：甲抢到2题均答对．
⑤X＝3表示：甲抢到3题均答对．

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