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2024-2025学年安徽省 A10联盟高二下学期 4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 37 = ( )
A. 20 B. 35 C. 120 D. 210
2 ( ) = cos(2 .已知函数 6 )，则 ′(

3 ) =( )
A. 1 B. 0 C. 12 D. 1
3 1.已知等差数列{ }的公差 > 0， 5 = 3 2，则 1 + 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
4.用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A. 48 B. 60 C. 72 D. 120

5.函数 ( ) = (2 1)2 2 的图象大致是( )
A. B. C. D.
6 1.已知离散型随机变量 的分布列为下表，且 = 3 + 1，则 ( ) =( )
1 0 1
1 1 1
6 3 2
A. 86 B. 581 81 C.
5 D. 3227 27
7.已知甲箱中有 2 个红球和 3 个黑球，乙箱中有 1 个红球和 3 个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生
先从甲箱中随机取出 2 个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 1 个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事
件 ，则 ( ) =( )
A. 114 B.
1 C. 7 57 10 D. 18
8.已知函数 ( ) = 2 + ln ，若 ( ) < 0 对任意 > 0 恒成立，则实数 的取值范围是( )
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A. ( ∞, ) B. ( ∞,0) C. ( , + ∞) D. (0, + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(1 2 )2025 = 0 + 1 + 2 2 + + 20252025 ，则下列说法正确的是( )
A.展开式中所有项的二项式系数和为22025
B. = 24 44 2025
C.展开式中系数最大的项为第 1350 项
2025
D. 1 + 3 + 5 + + =
3 +1
2025 2
10.已知 ， 为正整数，且 < ，则下列等式正确的是( )
A. 410 = 610 B. 3 3 2 = 1 + 1( > 4)
C. ( + 1) = +1 D. 1 +1 +1 =


11.对于三次函数 ( ) = 3 + 2 + + ( ≠ 0)，给出定义： ′( )是函数 ( )的导数， ″( )是函数
′( )的导数，若方程 ″( ) = 0 有实数解 0，则称( 0, ( 0))为函数 ( )的“拐点”.某同学经探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数 ( ) =
2
3
3 2 12 + 496，则下列说法正确的是( )
A. ( ) 137的极大值为 6
B. ( )有且仅有 2 个零点
C. (2, 29点 2 )是曲线 = ( )的对称中心
D. ( 1 22025 ) + ( 2025 ) + (
3
2025 ) + + (
2024
2025 ) = 4048
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知随机变量 的分布规律为 ( = ) = 2( = 1,2,3)，则 ( = 2) = ．
13 1 1 2.已知两个随机事件 ， ，若 ( ) = 5， ( ) = 4， ( | ) = 3，则 ( | ) = ．
14.数列{ }满足 2 +1 = ( ∈ )， 2 + 3 = 3 0，其中 0为函数 = 2 ln2 ( > 1)的零点，则 1 +
2 3 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某社团共有学生 9 名，其中有 5 名男生和 4 名女生，现从中选出 4 人去参加一项创新大赛. (列式表明计算
过程，结果用数字表示)
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(1)如果 4 人中男生女生各选 2 人，那么有多少种选法
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内，那么有多少种选法
(4)如果 4 人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法
16.(本小题 15 分)
某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖 6 名同学，其中高一年级 2 名，高二年级 3 名，高三年级
1 名，现从中任选 3 人作为代表发言．
(1)求选出的 3 人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率;
(2)设 表示选出的 3 人中高二年级的人数，求 的分布列和数学期望．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 2 2 )ln + 1 22 ， ∈ .
(1)当 > 0 时，讨论函数 ( )的单调性;
(2)当 ∈ [1, + ∞)时，函数 ( )有两个零点，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线 1 米、2 米、3 米的 ， ， 三个位置分别投篮一次(选
手自行选择投篮顺序)，在 ， ， 三个位置投篮命中分别可得 1 分、2 分、3 分，总分不低于 4 分就可以
3 2 1
获得奖品.已知甲在 ， ， 三处的投篮命中率分别为4，3，2，且在这三处的投篮相互独立．
(1)求甲未获得奖品的概率;
(2)在甲获得奖品的情况下，求甲三次投篮都命中的概率;
(3)甲参加投篮训练，训练计划如下：在 处先投 ( ∈ , ≤ 60)个球，若这 个球都投进，则训练结束，
否则额外在 处投(200 3 )个球.试问 为何值时，甲投篮次数的期望最大
19.(本小题 17 分)
在数列{ }中，若存在常数 ，使得 +1 = 1 2 + ( ∈ )恒成立，则称数列{ }为“ ( )数列”．
(1)判断数列 1，2，3，7，43 是否为“ (1)数列”，并说明理由;
(2) = 1 + 1若 +1 ， 1 = 1，试判断数列{ }是否为“ ( )数列”，并说明理由;
(3)若数列{ }为“ ( )数列”，且 1 = 1，数列{
2
}为等比数列，且 =1 = +1 + log3 ， ≠ 0，求
数列{ }的通项公式．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.27
13. 715
14. ln2
15.解：(1)如果 4 人中男生和女生各选 2 人，
有 2 25 4 = 60 种选法；
(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，
则再从剩下的 7 人中任选 2 人，有 27 = 21 种选法；
(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，
包含两种情况，
第一种男生中的甲与女生中的乙必须在内有 27 = 21 种，
第二种情况，甲乙仅有一人 1 人在内，
有 1 32 7 = 70 种选法，
故有 21 + 70 = 91 种选法；
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(4)如果 4 人中必须既有男生又有女生，
利用间接法，全选后，去掉只有男生和只有女生，
故有 4 49 4 45 = 120 种选法．
16.解：(1)记“选出的 3 人中高一年级的人数多于高三年级的人数”为事件 ．
若选出的 3 人中有高一年级 1 人，有 12 23种取法;
若选出的 3 人中有高一年级 2 人，有 2 12 4种取法;
1 2 2 1
所以 ( ) = 2 3+ 2 4 = 1
36 2
．
(2)由题意得， 的所有可能取值为 0，1，2，3．
( = 0) =
3
3 = 1
1 23 3 9
36 20
， ( = 1) = = ，
36 20
2 1 3
( = 2) = 3 3 = 9， ( = 3) = 3 13 20 3 = 20． 6 6
所以 的分布列为：
所以 ( ) = 0 × 1 9 920 + 1 × 20 + 2 × 20+ 3 ×
1 3
20 = 2．
17.解：(1)函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，
′( ) = (2 2 )(ln + 1) = 2( )(ln + 1)，
令 ′( ) = 0 1，解得 1 = ， 2 = ．
当 0 < < 1 时，∵ ∈ (0, )， ′( ) > 0 ∈ ( ,
1
， )， ′( ) < 0， ∈ (
1
, + ∞)， ′( ) > 0，
∴ ( ) 1 1的单调递增区间为(0, )和( , + ∞)， ( )的单调递减区间为( , );
= 1当 时， ′( ) ≥ 0 恒成立，∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增;
> 1 ∵ ∈ (0, 1当 时， )， ′( ) > 0， ∈ (
1
, )， ′( ) < 0， ∈ ( , + ∞)， ′( ) > 0，
∴ ( ) 1 1的单调递增区间为(0, )和( , + ∞)， ( )的单调递减区间为( , )．
(2) ′( ) = 2( )(ln + 1)， ∈ [1, + ∞).
当 ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0，则 ( )在[1, + ∞)上单调递增，
∴ ( ) ≥ (1)，即 ( ) ≥ 12，函数 ( )在[1, + ∞)上没有零点．
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当 > 1 时， ∈ (1, )， ′( ) < 0; ∈ ( , + ∞)， ′( ) > 0，
∴ ( )在(1, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
∵ (1) = 12 > 0， (2 ) = 2
2 > 0，
要使得 ( )在[1, + ∞)上有两个零点，只需 ( )min = ( ) < 0，
∴ 2( ln + 12 ) < 0，解得 > ．
综上， 的取值范围为( , + ∞).
18. 3 2 1 1解：(1)甲三次投篮都命中的概率 1 = 4 × 3 × 2 = 4，
3 2 1 3 2 1 5
甲三次投篮只命中两次且总分不低于 4 分的概率 2 = 1 4 × 3 × 2 + 4 × 1 3 × 2 = 24，
= 1 = 13所以甲未获得奖品的概率为 1 2 24．
(2)记“甲获得奖品”为事件 ，“甲三次投篮都命中”为事件 ．
1
( ) 6
在甲获得奖品的情况下，甲三次投篮都命中的概率为 = = 4 ( ) 11 = 11．
24
(3)设甲的投篮次数为 ，则 的分布列为
200 2

1 1
2
1 2

则 ( ) = 2 + (200 2 ) × 1
1 3 200
2 = 2 2 + 200．
( ) = 3 200令 2 2 + 200( ∈ )
3 197
+ ，则 ( + 1) = 2 +1 2 + 198，
203 3 2 +2 ( + 1) ( ) = 2 +1 ，当 ≤ 5 时， ( + 1) > ( )，当 ≥ 6 时 ( + 1) < ( )，
所以 (1) < (2) < (3) < (4) < (5) < (6) > (7) > (8) > ，
故当 = 6 时，甲投篮次数的期望最大．
19.解：(1)由题意得，2 = 1 + 1，3 = 1 × 2 + 1，7 = 1 × 2 × 3 + 1，43 = 1 × 2 × 3 × 7 + 1，则 1，2，3，
7，43 是“ (1)数列”；
(2) 1 3由 1 = 1， +1 = 1 + ，得 2 = 2， 3 = 2，
由 2 = 1 + ，得 = 1，
∴ 3 ≠ 1 2 + 1，∴ { }不是“ ( )数列”．
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(3)设数列{ }的公比为 ，
由 +1 = 1 2 + ， = 1，得 2 = 1 + = 1 + ，
由 =1
2
= +1 + log3 2 ， = 1，得 1 = 2 + log3 1 ，
∴ 1 = 1 + + log3 1 ，解得 1 = 1．
由 2 +1 = 1 2 + ，得 3 = 1 2 + = 1 + 2 ， 4 = 1 2 3 + = 2 + 4 + 1，
由 2 =1 = +1 + log3 ，得
2
1 + 22 = 3 + log3 2 ，
∴ 1 + (1 + )2 = 1 + 2 + log3 2，
∴ log 23 2 = 1 + + ，
∴ log = 1 + + 23 ．
由 2 =1 = +1 + log
2 2 2 2
3 ，得 1 + 2 + 3 = 4 + log3 3 = 4 + log3 ，
则 1 + (1 + )2 + (1 + 2 )2 = 2 2 + 4 + 1 + 2(1 + + 2) ，
解得 = 1，
∴ log3 = 1，∴ = 3，∵ 11 = 1，∴ = 3 ．
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