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辽宁省普通高中2025届高三下学期二模数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知指数函数，则为( )
A. 偶函数且为增函数 B. 偶函数且为减函数 C. 奇函数且为增函数 D. 奇函数且为减函数
4.已知数列为正数项的等比数列，是它的前项和．若，且 ，则( )
A. B. C. D.
5.若为虚数单位，，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
6.将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合已知，，动点符合，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.在等边三角形中，、、分别在边、、上，且，，则三角形面积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于
B. 一组数据删除一个数后，得到一组新数据：，，，，，，，若这两组数据的中位数相等，则删除的数是
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 若一组样本数据，，，的平均数是，方差是，则可能在这组数据中
10.已知平面单位向量，满足设，，向量与的夹角为，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知焦点为的抛物线：与圆交于，两点，且点，在抛物线上，且过，两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有( )
A. 抛物线的方程为：
B. 若，，三点共线，则点横坐标为
C. 若，，三点共线，且倾斜角为，则的面积是
D. 若点，且，，三点共线，则的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的常数项为____________．
13.设函数若在上恒成立．则实数的取值范围为____________．
14.我国古代九章算术中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计算曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童的外接球球心在该刍童体内半径为，且，，，，则该刍童的体积是____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和满足，，且．
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
16.本小题分
如图在梯形中，，且，为中点，为上一点，且现将该梯形沿折起，使得点折叠至点的位置如图，且二面角的平面角大小为．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
在哈尔滨年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为分，现随机抽取了名候选人的面试成绩分为五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组的频率等于第五组的频率．
求，的值，并估计这名候选人成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表和中位数中位数精确到；
已知名候选人中，男、女生各人，男生想去冰上赛区的有人，女生想去冰上赛区的有人，请补全下面列联表．请问是否有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？结果精确到
志愿者 性别 合计
男生 女生
想去冰上赛区
不想去冰上赛区
合计
附：
滑冰项目的场地服务需要名志愿者，有名男生和名女生通过选拔入围，现随机从名同学中抽取人服务该场地，记男生被抽中的人数为，求的分布列及期望．
18.本小题分
已知函数，为的导函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若的两个极值点分别为和，且．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)证明：．
19.本小题分
已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，离心率为，且点在椭圆上．
求椭圆的方程；
若经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点其中点在轴上方如图将平面沿轴折叠，使点折至的位置，且轴正半轴和轴所确定的半平面平面与轴负半轴和轴所确定的半平面平面互相垂直，如图．
(ⅰ)当直线的倾斜角为时，求折叠后图中的长度；
(ⅱ)是否存在直线，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比是？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：因为，
则，
所以数列为等差数列，公差为，且，
，
，
当时，，且满足上式，
所以；
因为
，
所以
，
数列的前项和为．
16.证明：图中，连接，交于点，
为中点，又，
四边形是菱形，
，
所以，图中，，，
，平面，，
平面，又平面，
；
解：以中点为坐标原点，为轴、为轴、过点做垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则：，
设平面的法向量，
由有，，
令，则，
设与平面所成的角为，
则，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．

图 图
17.解：由题意：，
又，解得，，
平的值为： ，
中位数为：，则中位数位于，
．
志愿者 性别 合计
男生 女生
想去冰上赛区
不想去冰上赛区
合计
，
所以有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关．
男生被抽中的人数可能取值为，，．
，，．
的分布列为：
．
18.解：当时，，
则， ，
求导得，则，
所以曲线在处的切线方程为．
，且定义域
因为若有两个极值点，所以，是方程的两个正根，
即，．
令，则，
所以，当时，；当时，
因此，当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，有最小值，
，
时，，时，
所以当时，，
所以当时，，
当时，
所以若的两个极值点时
由可知，，
且时，，又，
所以，
令，
，时单调递增，
且，
所以时，，时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
即，
又因为，所以
故，
又因为，故成立．
19.解：因为，所以，，
故椭圆方程为：，
又因为点在椭圆上，代入得：
，所以，，
所以椭圆方程为：．
折叠前可知，所以直线方程为：，
因为直线与椭圆交于，两点，
所以，
解得或，
又因为点在轴上方，所以，
折叠后，建立空间直角坐标系：以为轴，以轴的负半轴反方向为轴，以折后轴的正半轴为轴，
可得：，，
所以．
折叠前的周长为，
折叠后的周长为，
，
在图中，设，，直线的方程为，
联立，
得，
，，，
，
建空间直角坐标系后，可得，，
，
又因为，
所以，
整理得：，，
所以，因此，又倾斜角为锐角，
所以存在直线，直线方程为：．
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