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易错05 四边形
易错陷阱1：平行四边形的性质和判定运用不灵活致误
1.平行四边形的性质：
①两组对边平行且相等；②对角相等、邻角互补；③对角线互相平分；④平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
2.平行四边形的判定：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
易错提醒：1）误认为平行四边形的对角线互相垂直或平分一组对角，实际上仅对角线 互相平分 ，且不保证垂直或平分角；2）仅凭一组对边平行或相等直接判定平行四边形（如梯形也有一组对边平行）。
例1．（2024·广东·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵∴ 选项A不能判定四边形是平行四边形．
∵∴ 选项B不能判定四边形是平行四边形．
∵，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形．选项C不能判定是平行四边形．
∵，∴．又，∴，∴，∴四边形是平行四边形故选：D
变式1．（2024·贵州·中考真题）如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是平行四边形，∴，故选B．
变式2．（2024·广东惠州·一模）如图，四边形是平行四边形，在平面直角坐标系中，点，，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：四边形是平行四边形，∴，，
，点在轴上且，，，，故选：C．
变式3．（2024·广东茂名·二模）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，
又∵平分，∴，∴，∴，同理可证：，
∵，∴，，∴．故选：B．
易错陷阱2：混淆几类特殊平行四边形性质致误
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
易错提醒：1）对矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及关系记忆不准确，如矩形对角线相等、菱形对角线垂直等性质运用出错；2）解答特殊平行四边形的相关问题时易错在张冠李戴，如将矩形的判定条件和性质误用到菱形上，为了避免此类错误，首先要须充分理解和熟记平行四边形和特殊平行四边形的判定和性质。
例1．（2025·广东深圳·一模）如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（　　）
A．若，则四边形是矩形
B．若平分，则四边形是菱形
C．若且，则四边形是正方形
D．若且，则四边形是正方形
【答案】D
【详解】解：∵，∴，∵，，
在和中，，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，若，则四边形是矩形，故A选项不符合题意；
若平分，，∵，
∴，∴，则四边形是菱形，故B选项不符合题意；
若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意；
若且，则四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．
变式1．（2025·广东深圳·一模）数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（ ）
A．两组对边平行 B．四条边相等 C．对角线互相垂直且平分 D．两组对边相等
【答案】B
【详解】解：由作图知，，∵在平行四边形中，∴，，
∵，∴，∴，∴四边形是菱形，
∴她判定四边形为菱形的依据是四条边相等．故选：．
变式2．（2024·广东深圳·三模）如图，要使成为菱形，下列添加条件正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、当时，是矩形，故此选项错误；
B、当时，∵四边形是平行四边形，∴与互相平分，
∴，∴是菱形，故此选项正确；
C、当时，是矩形，故此选项错误；
D、当时，不能证明是菱形，故此选项错误；故选：B．
变式3．（2025·广东·模拟预测）如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（ ）
A．平分 B． C．是等边三角形 D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∴，
∵平分，∴，∴，
∴；故选项B正确；∴，故选项D正确；
∵，∴，
又∵，∴，∴平分；故选项A正确；
∵，∴是等腰三角形，无法得到是等边三角形，故选项C错误；故选C．
易错陷阱3：混淆多边形内外角和致误
1）多边形内角和定理：n边形的内角和为 (n 2) 180°（n≥3） 。
2）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于 360° ，与多边形的形状和边数无关。
3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引 （n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了 (n－2) 个三角形，n边形的对角线条数为 。
易错提醒：1）多边形内角和公式为 (n 2)×180° （n为边数），易与对角线条数公式 n(n 3)/2 混淆 ；
2）外角和恒定为 360° ，与边数无关，部分学生会误认为外角和与边数相关，导致计算时错误添加变量 。
例1.（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
【答案】6
【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为，
，解得．故答案为：．
变式1．（2024·广东·模拟预测）若一个多边形的内角和是它的外角和的8倍，则该多边形的边数为（ ）
A．19 B．18 C．17 D．16
【答案】B
【详解】解：设该多边形的边数为条，则列方程为，解得：，故选B．
变式2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，足球的表面是由黑皮的正五边形和白皮的正六边形拼接而成，其中黑皮的有12块，白皮有20块．图片中足球的一块白色皮块的内角和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：．故选：D．
易错陷阱4：矩形与正方形的折叠问题分析不准确致误
矩形的折叠问题：（1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；（2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）；（3) 折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）；（4）选择一个直角三角形（不找以折痕为边长的直角三角形），利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。
易错提醒：矩形与正方形的折叠问题分析不全面，忽略折叠前后图形的对应关系和隐含条件。四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题处理不当，如旋转问题中旋转中心、旋转角度或对应边关系确定错误。
例1．（2025·广东·模拟预测）如图，点E在矩形的边上，将矩形沿翻折，点B恰好落在边的点F处，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形为矩形，，．
∵将矩形沿翻折，，，．
，，．，
，．设，在中，，
，．．故选：B．
变式1．（2024·广东深圳·三模）如图，将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点（），若，，，则 ．
【答案】
【详解】解：过作于，，
，，设，，，，，，
四边形是平行四边形，，，，
点是边上的三等分点，，，
，，四边形是矩形，，
将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点，，
，，，故答案为：．
变式2．（2024·广东·模拟预测）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点A，B分别落在点，的位置．若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，
由折叠的性质得：，∴，故答案为：．
变式3．（2024·广西·统考模拟预测）如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，∴，．
∵沿对折至，∴，，∴，，
又是公共边，∴，∵G刚好是边的中点，∴，
设，则，在中，根据勾股定理列方程：，
解得：．所以的长是4，故选：B．
易错陷阱5：无图的几何问题没有注意分类讨论致误
易错提醒：对于没有给出图形的题目，我们要根据题意自己画出图形，这时候就要注意分类讨论，要时刻保持分类讨论的思想，具体问题具体分析．
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）矩形的对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则 ．
【答案】或
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，
∵，∴∴，
如图所示，当点在上时，∵，∴

如图所示，当点在上时，∵，∴，
故答案为：或．
变式1．（2024·广东·模拟预测）在平行四边形中，，平分交直线于点，平分交直线于点，且，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：如图所示，平行四边形中，，
∴，，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
，，∴；如图，同理可得
，∴,
综上分析可知，的长为3或5，故D正确．故选：D．
变式2．（2024·广东·模拟预测）平行四边形中，，，交直线于，若平行四边形的面积为，则的长为 ．
【答案】2或4/4或2
【详解】解：如图1中，当高在平行四边形内部时，∴，∴，

在中，∵，∴，∴．
如图2中，当高在平行四边形外部时，由第一种情况可知，
故答案为：2或4．
易错陷阱6：动态问题找不到变量间关系致误
动点问题：在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．
易错提醒：动点问题可转化为寻找定直线或定点，需要学习如何画辅助线找到定直线或定点
例1．（2024·广东深圳·模拟预测）菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ．
【答案】
【详解】解：延长到点，使得，连接，，如图，
四边形是菱形，，，
，，为等边三角形，，
点是的中点，，当取最大值时，的值就最大，
由题意知，点在以为圆心，以为半径的圆上，
当、、依次在同一直线上时，的值最大，如图，
由旋转性质知，，的最大值为 ，故答案为：．
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，点从点出发，按的方向在边和上移动，记，点到直线的距离为，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：解：根据题意，分两种情况：（1）当点在上移动时，点到直线的距离为：．（2）如图1，当点在上移动时，
∵在矩形中，，且， ∴，，，，在和中，
，，，．
∵，∴y随x增大而减小，∴当时，；综上所述，；故答案为：
变式2．（2025·广东深圳·一模）综合与探究：在正方形中，，点是边上的动点，连接．
(1)【探索发现】如图1，过点作，求证：；
(2)【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
(3)【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值．
【答案】(1)见解析(2)当时，，；当时，，(3)
【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，
，，，
，，又，．
（2）解：四边形是正方形，，，，
，，在中，，，
为等腰三角形，或；
①当时，如图，作于点H，，，，，
，，，
，，即，
又，，，，
设，则，在中，，，解得：，即，
，，是等腰直角三角形，，
，三点共线，点和点重合，；
②当时，如图，作于点H，
，，，，，
由①中的结论得，，又，，，，
设，则，，在 中，，
，解得：， ，，
，，，
，即，解得：，；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，是的垂直平分线，，，
，同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，由（2）得，，
，，，
，，，，，，，，
又，，，
又，当时，有最大值20，此时有最小值，线段最小值．
易错陷阱7：最值问题无法确定对称轴致误
易错提醒：做题中不能找出“最短路径”的模型，分析不出题目中哪些是模型中的点、哪些是模型中的线，从而导致解决不了此类问题。
例1．（2025·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E在上，且，P是对角线上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】6
【详解】解：如图，连接，，
∵四边形是正方形，∴A、C关于对称，∴，∴，
在中，∵，，，
∴．∴，∴的最小值为5，
∴周长的最小值为；故答案为：6．
变式1．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】8
【详解】解：连接，过点作于．面积为24，，
，，垂直平分线段，，
，当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
，，，四边形是平行四边形，
，四边形是矩形，．的值最小值为8．故答案为：8．
变式2．（2024·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=，
即EC+GC的最小值为，故答案为：．
1-1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在中，，点，分别是，的中点，且，则的周长是（ ）
A．16 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【详解】解：点，分别是，的中点，是的中位线，，
，，四边形是平行四边形，，
，，，的周长是22，故选：C
1-2．（2025·广东揭阳·一模）如图，四边形为平行四边形，E，F分别为和的中点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点作，交于一点，如图所示：
∵四边形为平行四边形，∴，
∵E，F分别为和的中点，∴
∵，∴，∴∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，
∴，∴，
在中，，则，故是直角三角形，∴，∵，∴，∴，故选：A．
1-3．（2024·河南周口·模拟预测）我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，如图，矩形的顶点和分别在 y 轴和x轴上．向下按压矩形，得到如图所示的平行四边形，其中，则平行四边形的对角线的交点D的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：作轴于，轴于，

的坐标是，的坐标是，，，由题意知，
，，，
，，四边形是平行四边形，，
轴，轴，，，
，，，的坐标为．故选：D
2-1．（2024·广东·二模）如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点G，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形为菱形，∴，
又∵为平行四边形，∴，
∴，故选A．
2-2．（2024·广东深圳·模拟预测）在矩形中，已知，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【详解】∵矩形中，已知，∴，，，，
作于，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，又，∴，
∴，∴，∴,∴，
∵，∴,∴，∴，解得，故选：A．
2-3．（2023·广东佛山·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A说法错误．
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故B说法错误．
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C说法错误．
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故D说法正确．符合题意．故选：D．
2-4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，连接，∵四边形是菱形，，∴，则是等边三角形，
∵，为的中点，∴，，∴，
∴，∵折叠，∴，
∴四边形的面积是，故选：B．
2-5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，
∴，，，∴，
∵，，∴，∴，
∵点E，F分别为对角线的三等分点，∴，
∵正方形，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∴，故选：B．
2-6．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知菱形中对角线相交于点O，添加条件 可使菱形成为正方形．
【答案】或
【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：；故添加的条件为：或．
2-7.（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
【答案】A
【详解】∵四边形是矩形，∴，，
∴，，∵、，∴
∵对称，∴，∴
∵对称，∴，
∴，同理，∴∴∴四边形是平行四边形，如图所示，

当三点重合时，，∴即∴四边形是菱形，
如图所示，当分别为的中点时，设，则，，
在中，，连接，，∵，∴是等边三角形，
∵为中点，∴，，∴，
根据对称性可得，∴，
∴，∴是直角三角形，且，∴四边形是矩形，
当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形
∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，选：A．
3-1．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则 ．
【答案】/50度
【详解】解：∵正六边形的内角和，每个内角为：，，
，，，，
，，
，，．故答案为：．
3-2．（2024·广东惠州·模拟预测）石油的提取物中含有稠环芳香烃，它的同系物的分子结构中有 一种物质叫释迦牟尼分子，它的分子式是（部分结构是正六边形和矩形构成），其中的度数为
【答案】/150度
【详解】解：正六边形的每个内角为，矩形的每一个内角为，
，故答案为：．
3-3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图是一片平坦的盐滩上布满了大小相近的六边形，人们惊叹于大自然的鬼斧神工，同时也尝试解开盐滩图案之谜，人们发现正六边形能够最大限度的利用空间，已知图中的正六边形与正方形的周长都等于12，则它们的面积之差为 ．
【答案】/
【详解】连接正六边形的三条对角线，将正六边形分成如图的六个等边三角形，
∵周长为12，∴边长为2，∴每个等边三角形的面积为：，∴正六边形的面积为，
∵正方形的周长为12时，边长为3，∴正方形的面积为：，
∴它们的面积之差为，故答案为：．
4-1．（2023·四川眉山·统考模拟预测）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为，且点在矩形内部，的延长线交与点，交边于点，，，当点为三等分点时，的长为（ ）
A． B． C． D．4或
【答案】D
【详解】解：当时，，将矩形纸片折叠，折痕为，
，，，，，
，，，，
，，，，，
过点作于点，则，设，则，，，

，，解得： ；
当时，，，，
，，，，
，，解得：，．故选：D．
4-2．（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形中，，，是 上一点，把四边形 沿折叠后得到四边形，，则的长为（ ）

A． B．3 C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，延长到于点，延长到于点，
因为四边形 沿折叠后得到四边形，
，，为正方形，
，，， ，，

,，故选：D
4-3．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边，上，将纸片沿所在直线折叠，使点C的对应点H落在边上，点D的对应点G落在边的上方，则线段的取值范围是 ．
【答案】
【详解】如解图①，当点与点重合时，的长度最短，
∵四边形为矩形，∴，由题意得：设，则，
在中，由勾股定理得：，解得：，∴∴；
如解图②，当点与点重合时，的长度最长，
由翻折变换的性质得：，，
∴，∴，，
综上所述，线段的取值范围为．故答案为：．
4-4．（2024·河北·中考真题）情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．
【答案】（1）；（2），；的长为或．
【详解】解：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，
∴，由拼接可得：，由正方形的性质可得：，
∴，，为等腰直角三角形，∴为等腰直角三角形，
设，∴，∴，，
∵正方形的边长为，∴对角线的长，∴，
∴，解得：，∴；
（2）∵为等腰直角三角形，；∴，∴，
∵，，∴；
如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，
此时，，符合要求，
或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，
此时，，∴，综上：的长为或．
5-1．（2024·广东·模拟预测）已知中，cm，cm，过点B作交所在的直线于H，若cm，则 cm．
【答案】或
【分析】分类讨论：①在上，可求，从而可求，②在的延长线上，同理即可求解．
【详解】解：①如图，在上，，，，
四边形是平行四边形，，；
②如图，在的延长线上，
由①同理可求：，；综上所述，cm或cm，故答案：或．
5-2．（2024·湖北·模拟预测）四边形是平行四边形，，的平分线交直线于点，若，则的周长为 ．
【答案】16或24
【详解】解：当点在线段上时，如图：
四边形为平行四边形，，，
平分，，，，
，，，，
平行四边形的周长为：，
当点在线段延长线上时，如图：
四边形为平行四边形，，，
平分，，，，
，，，，平行四边形的周长为：，
综上，平行四边形的周长为16或24．故答案为：16或24．
5-3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为 ．
【答案】或
【详解】解：∵折叠，∴，
∵四边形是矩形，∴∴，
又∴∴，
当点在点的右侧时，如图所示，设交于点，

∵，，，∴中，，
则，∵，∴∴，
当点在点的左侧时，如图所示，设交于点，
∵，，，∴中，
则，∵，∴∴，
综上所述，的长为：或，故答案为：或．
6-1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点C作交于点H，∵，四边形是菱形，，
∴，，∴，∴，
∴，∴，∴垂直平分，
∵点P和点Q关于点C对称，∴，∵，
∴，∴，∴垂直平分，∴点M在上运动，
当点P与点B重合时，点M位于点，此时，∵，四边形是菱形，，
∴，∴．故点M的运动路径长为．故选：B．
6-2．（2024·广东·中考模拟预测）如图，在中，，，，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 ．
【答案】/
【详解】解：如图，取中点E，连接，，
，，，
又，，，
，当O，B，E三点共线时，等号成立，的最大值，
即点B到原点的最大距离是．故答案为：．
6-3．如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为 ；若点在上运动，当取最大值时，的长度是 ．
【答案】
【详解】解：在中，，，，，
点是半径为4的上一动点，，当点落在线段上时，，
点是的中点，；如图，取的中点，连接、、，
，
在中，，，，
点是的中点，是的中位线，，
，，的最大值为，故答案为：，．
6-4．（2024·广东揭阳·一模）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，．
(1)求的度数；(2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式；
(3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）连接，如图1所示：点K为半圆O的中点，，，

为直径，，在中，；
（2）如图2所示：，，，
在等腰中，，则由勾股定理可得，
，，
，，，即，；
（3）解：当与重合时，，点K在上，连接，如图3所示：
点K是半圆O的中点，．
，，，
半圆O与所围成的弓形的面积为；
7-1．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，∴，，∴，，
∵，∴，故答案为：
7-2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，取的中点，连接，四边形是菱形
在和中
连接 当共线时，最大，图中处
作于
．即的最大值为．
7-3．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【详解】解：过点作使，则：四边形为平行四边形，

∴，∴，∴当三点共线时，有最小值即为的长，
∵四边形为正方形，∴，，，
∴，，∴，即：的最小值为3．故选B．
7-4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，即的最小值为．故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错05 四边形
易错陷阱1：平行四边形的性质和判定运用不灵活致误
1.平行四边形的性质：
①两组对边平行且相等；②对角相等、邻角互补；③对角线互相平分；④平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
2.平行四边形的判定：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
易错提醒：1）误认为平行四边形的对角线互相垂直或平分一组对角，实际上仅对角线 互相平分 ，且不保证垂直或平分角；2）仅凭一组对边平行或相等直接判定平行四边形（如梯形也有一组对边平行）。
例1．（2024·广东·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·贵州·中考真题）如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·广东惠州·一模）如图，四边形是平行四边形，在平面直角坐标系中，点，，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·广东茂名·二模）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是 （ ）
A．1 B．2 C． D．
易错陷阱2：混淆几类特殊平行四边形性质致误
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
易错提醒：1）对矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及关系记忆不准确，如矩形对角线相等、菱形对角线垂直等性质运用出错；2）解答特殊平行四边形的相关问题时易错在张冠李戴，如将矩形的判定条件和性质误用到菱形上，为了避免此类错误，首先要须充分理解和熟记平行四边形和特殊平行四边形的判定和性质。
例1．（2025·广东深圳·一模）如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（　　）
A．若，则四边形是矩形
B．若平分，则四边形是菱形
C．若且，则四边形是正方形
D．若且，则四边形是正方形
变式1．（2025·广东深圳·一模）数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（ ）
A．两组对边平行 B．四条边相等 C．对角线互相垂直且平分 D．两组对边相等
变式2．（2024·广东深圳·三模）如图，要使成为菱形，下列添加条件正确的是（　　）
A． B． C． D．
变式3．（2025·广东·模拟预测）如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（ ）
A．平分 B． C．是等边三角形 D．
易错陷阱3：混淆多边形内外角和致误
1）多边形内角和定理：n边形的内角和为 (n 2) 180°（n≥3） 。
2）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于 360° ，与多边形的形状和边数无关。
3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引 （n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了 (n－2) 个三角形，n边形的对角线条数为 。
易错提醒：1）多边形内角和公式为 (n 2)×180° （n为边数），易与对角线条数公式 n(n 3)/2 混淆 ；
2）外角和恒定为 360° ，与边数无关，部分学生会误认为外角和与边数相关，导致计算时错误添加变量 。
例1.（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
变式1．（2024·广东·模拟预测）若一个多边形的内角和是它的外角和的8倍，则该多边形的边数为（ ）
A．19 B．18 C．17 D．16
变式2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，足球的表面是由黑皮的正五边形和白皮的正六边形拼接而成，其中黑皮的有12块，白皮有20块．图片中足球的一块白色皮块的内角和是（ ）
A． B． C． D．
易错陷阱4：矩形与正方形的折叠问题分析不准确致误
矩形的折叠问题：（1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；（2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）；（3) 折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）；（4）选择一个直角三角形（不找以折痕为边长的直角三角形），利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。
易错提醒：矩形与正方形的折叠问题分析不全面，忽略折叠前后图形的对应关系和隐含条件。四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题处理不当，如旋转问题中旋转中心、旋转角度或对应边关系确定错误。
例1．（2025·广东·模拟预测）如图，点E在矩形的边上，将矩形沿翻折，点B恰好落在边的点F处，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·广东深圳·三模）如图，将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点（），若，，，则 ．
变式2．（2024·广东·模拟预测）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点A，B分别落在点，的位置．若，则 ．
变式3．（2024·广西·统考模拟预测）如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
易错陷阱5：无图的几何问题没有注意分类讨论致误
易错提醒：对于没有给出图形的题目，我们要根据题意自己画出图形，这时候就要注意分类讨论，要时刻保持分类讨论的思想，具体问题具体分析．
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）矩形的对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则 ．
变式1．（2024·广东·模拟预测）在平行四边形中，，平分交直线于点，平分交直线于点，且，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
变式2．（2024·广东·模拟预测）平行四边形中，，，交直线于，若平行四边形的面积为，则的长为 ．
易错陷阱6：动态问题找不到变量间关系致误
动点问题：在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．
易错提醒：动点问题可转化为寻找定直线或定点，需要学习如何画辅助线找到定直线或定点
例1．（2024·广东深圳·模拟预测）菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ．
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，点从点出发，按的方向在边和上移动，记，点到直线的距离为，则的最小值是 ．
变式2．（2025·广东深圳·一模）综合与探究：在正方形中，，点是边上的动点，连接．
(1)【探索发现】如图1，过点作，求证：；
(2)【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
(3)【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值．
易错陷阱7：最值问题无法确定对称轴致误
易错提醒：做题中不能找出“最短路径”的模型，分析不出题目中哪些是模型中的点、哪些是模型中的线，从而导致解决不了此类问题。
例1．（2025·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E在上，且，P是对角线上一动点，则周长的最小值为 ．
变式1．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ．
变式2．（2024·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．
1-1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在中，，点，分别是，的中点，且，则的周长是（ ）
A．16 B．20 C．22 D．24
1-2．（2025·广东揭阳·一模）如图，四边形为平行四边形，E，F分别为和的中点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
1-3．（2024·河南周口·模拟预测）我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，如图，矩形的顶点和分别在 y 轴和x轴上．向下按压矩形，得到如图所示的平行四边形，其中，则平行四边形的对角线的交点D的坐标为（　　）

A． B． C． D．
2-1．（2024·广东·二模）如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点G，，，则（ ）
A． B． C． D．
2-2．（2024·广东深圳·模拟预测）在矩形中，已知，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．5
2-3．（2023·广东佛山·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2-4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2-5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
2-6．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知菱形中对角线相交于点O，添加条件 可使菱形成为正方形．
2-7.（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
3-1．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则 ．
3-2．（2024·广东惠州·模拟预测）石油的提取物中含有稠环芳香烃，它的同系物的分子结构中有 一种物质叫释迦牟尼分子，它的分子式是（部分结构是正六边形和矩形构成），其中的度数为
3-3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图是一片平坦的盐滩上布满了大小相近的六边形，人们惊叹于大自然的鬼斧神工，同时也尝试解开盐滩图案之谜，人们发现正六边形能够最大限度的利用空间，已知图中的正六边形与正方形的周长都等于12，则它们的面积之差为 ．
4-1．（2023·四川眉山·统考模拟预测）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为，且点在矩形内部，的延长线交与点，交边于点，，，当点为三等分点时，的长为（ ）
A． B． C． D．4或
4-2．（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形中，，，是 上一点，把四边形 沿折叠后得到四边形，，则的长为（ ）

A． B．3 C． D．
4-3．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边，上，将纸片沿所在直线折叠，使点C的对应点H落在边上，点D的对应点G落在边的上方，则线段的取值范围是 ．
4-4．（2024·河北·中考真题）情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．
5-1．（2024·广东·模拟预测）已知中，cm，cm，过点B作交所在的直线于H，若cm，则 cm．
5-2．（2024·湖北·模拟预测）四边形是平行四边形，，的平分线交直线于点，若，则的周长为 ．
5-3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为 ．
6-1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
6-2．（2024·广东·中考模拟预测）如图，在中，，，，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 ．
6-3．如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为 ；若点在上运动，当取最大值时，的长度是 ．
6-4．（2024·广东揭阳·一模）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，．
(1)求的度数；(2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式；
(3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积．
7-1．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
7-2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ．
7-3．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
7-4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
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