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易错08 概率与统计
易错陷阱1：求中位数时忽略排序直接数
中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)。
易错提醒：中位数需对数据 严格排序 后取中间值（奇偶不同），忽略排序直接取数会导致错误。
例1．（2024·广东·模拟预测）某便利店一种商品连续7天的销量（单位：件）分别为4，7，5，8，8，10，6，该组数据的中位数是（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】D
【详解】解：将这组数据按从小到大排序为，则这组数据的中位数是7，故选：D．
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）建设“超充之城”，深圳勇于先行示范．从2023年6月推出首个全液冷超充示范站并官宣启动“超充之城”建设，到率先发布实施超充“深圳标准”，深圳用一个个实际行动诠释建设一流超充之城的超级速度，将“规划图”变为“实景图”．截止2024年3月22日，全市累计建成超充站306座，具体分布如下表：
龙岗区 宝安区 龙华区 福田区 南山区 罗湖区 光明区 坪山区 大鹏新区 盐田区 深汕特别合作区
47 47 42 38 38 28 24 15 12 11 4
在表格中所列数据的中位数是（ ）
A．33 B．28 C．26 D．27
【答案】B
【详解】解：将表中11个数据按从小到大顺序排列，第6位是28，因此中位数是28，故选B．
变式2．（2025·广东清远·模拟预测）2024年8月6日，巴黎奥运会上中国运动员潘展乐在100米自由泳决赛中以46.40的成绩打破世界纪录斩获冠军．本次决赛中运动员们的成绩分别是：46，46.40，47，48.47，49，47.50，47.71，47.80，47.96，47.98，本次决赛成绩的中位数是 ．
【答案】47.755
【详解】解：由题意得：46，46.40，47，47.50，47.71，47.80，47.96，47.98，48.47，49，
∴本次决赛成绩的中位数是；故答案为47.755．
变式3．（2024·浙江杭州·一模）教育部“减负三十条”规定初中生回家作业时间不超过90分钟．下表是某校某班学生一段时间日平均回家作业时间统计表：
日平均回家作业时间（分）
人数 4 15 15 6
则该班学生日平均回家作业时间的中位数落在（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题知，该班学生总人数为（人），
该班学生日平均回家作业时间的中位数是第与位同学的作业时间的平均数，
该班学生日平均回家作业时间的中位数落在，故选：C．
易错陷阱2：众数概念不清致误
众数：一组数据中出现次数最多的那个数据。
易错提醒：众数需明确是 出现次数最多 的数据，而非数值最大的数据，且众数的个数不一定唯一。
例1．（2024·广东中山·模拟预测）李明带了一个旅游团，团员的年龄分别为：25，32，31，28，35，26，26，31，24，31，则这组数据的众数是（ ）
A．26 B．35 C．31 D．25
【答案】C
【详解】解：在这组数据25，32，31，28，35，26，26，31，24，31中，出现次数最多的是31，
∴这组数据的众数是31，故选：C．
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）由贝多芬作曲的《欢乐颂》是我们耳熟能详的歌曲，以下是摘自简谱的部分旋律，当中出现的音符的众数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：音符里3出现5次，出现次数最多，所以音符里的众数是3，故选：C．
变式2．（2024·广东深圳·模拟预测）2024年宝安区3月25日至3月31日的气温（℃）如下表：
日期 25日 26日 27日 28日 29日 30日 31日
最低气温 20 21 21 20 20 22 23
最高气温 27 32 27 28 29 29 29
那么这一周最高气温的众数和中位数分别是（　　）
A．20，21 B．20，29 C．29，21 D．29，29
【答案】D
【详解】解：∵这组数据中29出现的次数最多，是3次，∴每天的最高气温的众数是29；
把25日至31日的气温由高到低排列是：，
∴每天的最高气温的中位数是29；∴每天的最高气温的众数和中位数分别是29、29．故选：D．
易错陷阱3：混淆平均数和加权平均数
平均数：一般地，个数，我们把叫做这个数的算术平均数，记做
个数的加权平均数：如果在个数中，出现了次，出现了次，……出现了次，那么加权平均数为
易错提醒：加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数．在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆。
例1．（2025·广东清远·模拟预测）为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生代表八（1）班参加比赛．下表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）
选手 主题活动项目
在线学习 知识竞赛 演讲比赛
甲 89 99 85
乙 84 96 90
(1)如果根据三项测试的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？(2)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？(3)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
【答案】(1)甲将被选中(2)乙将被选中(3)甲将被选中
【详解】（1）解：甲的平均成绩为（分） ，乙的平均成绩为（分） ，
∴甲将被选中；
（2）解：根据题意，两人的测试成绩如下：甲的测试成绩为（分） ，
乙的测试成绩为（分），∴乙将被选中；
（3）解：根据题意，两人的测试成绩如下：甲的测试成绩为（分），
乙的测试成绩为（分），∴甲将被选中．
变式1．（2023·河北沧州·模拟预测）某商场销售、、、四种商品，它们的单价依次是元，元，元，元，某天这四种商品销售数量的百分比如图所示．则这天销售的四种商品的平均单价是（ ）

A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【详解】解：这天销售的四种商品的平均单价是：（元），
故选：D．
变式2．（2024·广东广州·模拟预测）某班同学完成了10道选择题后，班长将答对题数的情况绘制成条形统计图，根据图中信息，该班同学答对题数的平均数为 道．（保留1位小数点）
【答案】8.6
【详解】该班同学答对题数的平均数为．故答案为：8.6．
易错陷阱4：混淆极差、方差的定义
极差：最大值与最小值的差
方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数.
方差的算术平方根就是标准差．方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
易错提醒：须记住对应的定义，不能因为都有“差”就觉得一样
例1．（2024·广东东莞·二模）一组数据，，，，的方差为 ．
【答案】
【详解】解：这组数据的平均数是：，
则方差是：．故答案为：．
变式1．（2024·广东深圳·三模）“每天一节体育课”成深圳中小学生标配，某校初中部初三三班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：27，21，20，21，26，24，21，20，21，19．则这组数据的极差为 ．
【答案】8
【详解】解：把这组数据从小到大排列为：19，20，20，21，21，21，21，24，26，27，
则极差是；故答案为：8．
变式2．（2024·广东惠州·二模）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则成绩最稳定的是 同学．
【答案】丁
【详解】解：甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，，
成绩最稳定的同学是丁，故答案为：丁．
变式3．（2025·湖南娄底·一模）随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．样本容量是 B．平均数是 C．中位数是 D．的权数是
【答案】C
【详解】解：A. 样本容量是，正确，故该选项不符合题意；
B. 平均数是，正确，故该选项不符合题意；
C. 数据从小到大排列，第五和第六个数是，，
中位数是，故该选项错误，符合题意；
D. 的权数是，正确，故该选项不符合题意；故选：C ．
变式4．（2024·江苏徐州·二模）在一次科技作品制作比赛中，某小组6件作品的成绩（单位：分）分别是：6、10、9、8、7、9，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8 C．平均数是8 D．方差是7
【答案】A
【详解】解：根据题意，该小组6件作品的成绩（单位：分）分别是：6、10、9、8、7、9，
其中出现次数最多的为9，共计2次，∴这组数据的众数为9，故选项A说法正确，符合题意；
将这组数据按照从小到大的顺序排列，为6、7、8、9、9、10，其中排在第3位和第4位的是8，9，
∴这组数据的中位数为，故选项B说法不正确，不符合题意；
∵这组数据的平均数为，∴选项C说法不正确，不符合题意；
∵这组数据的方差为，
∴选项D说法不正确，不符合题意．故选：A．
变式5．（2023·广东广州·一模）已知一组数据，，……，记其平均数为，方差为，则另一组数据，……的方差和平均数分别为（ ）
A．； B．； C．； D．；
【答案】B
【详解】解：设一组数据，的平均数为，方差是，
∴，
则另一组数据，……的平均数为，方差是，
∴
，
，．故选：B
易错陷阱5：集中趋势与稳定性的统计量误用
易错提醒：1）平均数 易受极端值影响，在数据分布偏斜时不能准确反映整体水平； 中位数 需先对数据严格排序后取中间值（数据量为偶数时取中间两数的平均值），未排序直接取数会导致错误 ；2） 众数 是出现次数最多的数据，而非数值最大或最小的数据；3）当多个数据出现次数相同时，可能存在多众数，需完整列举 ；在数据分布明显偏态（如收入数据）时，优先选择 中位数 而非平均数；若需快速了解典型值，可选用 众数 。
例1．（2024·广东深圳·模拟预测）七年级（1）班有46名学生，数学老师组织课堂十分钟答题比赛，学生答对的数量统计如下：
答对个数（个） 6 7 8 9 10 12 13 15
学生人数（人） 2 7 9 6 13 3 2 4
为提高学生的积极性，数学老师准备实行“奖励大多数”的措施，决定用答题正确个数的众数来作为奖励标准，则奖励数量为（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】D
【详解】解：∵答对10个人数有13人，人数最多，∴众数为10个，即奖励数量为10个，故选：D．
例2．（2024·广东云浮·一模）广东省博物院中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为20，21，26，26，30，则三年后这五位讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【答案】B
【详解】解：三年后的年龄数据为23，24，29，29，33，其中中位数和众数都发生改变，平均数比原来大3，设原数据的平均数为，∴新数据的平均数为：，
原数据的方差为：，
新数据的方差为：
∴方差不变，故选：B．
变式1．（2024·广东深圳·三模）体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　）
分数 43 44 45 46 47 48 49 50
人数 1 2 1 ■ ■ 3 4 30
A．中位数，众数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数
【答案】A
【详解】解：这组数据中成绩为46、47的人数和为，
则这组数据中出现次数最多的数50，即众数50，第25、26个数据都是50，则中位数为50，故选：．
变式2．（2024·广东深圳·模拟预测）一家鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码（） 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26
销售量（双） 1 2 5 11 7 3 1
若每双鞋的销售利润相同，下列统计量中店主最关注的是（　　）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
【答案】D
【详解】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数．故选：D．
变式3．（2024·江苏无锡·二模）已知排球队6名场上队员的身高（单位：）分别是：181，185，188，190，194，196，现用两名身高分别是186，193的队员换下场上身高为181，194的队员，换人前后，下列统计量中不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
【答案】B
【详解】解：A选项：原来平均数：，
替换后平均数：，平均数变大了，不符合题意；
B选项：原来的：181，185，188，190，194，196，
中位数：，替换后的：185，186，188，190，193，196，
中位数：，中位数不变，符合题意；
C选项：原来的方差：
，
替换后的方差：
，
方差变小，不符合题意；
D选项：替换前的极差为，替换后的极差为，极差变小，不符合题意；故选：B．
变式4．（2024·广东梅州·一模）下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　）

A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【答案】C
【详解】解：A：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少13岁和14岁的数据，所以平均数不能求出，故A不符合题意；
B：方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少13岁和14岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意；
C：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故C符合题意；
D：由于众数是出现次数最多的数，13岁和14岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意；
故选：C．
变式5．（2024·浙江宁波·一模）一组数据0，1，1，2，若添加一个数1后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【详解】解：数据0，1，1，2的平均数是，中位数是，众数是1，方差是，
数据0，1，1，1，2的平均数是，中位数是1，众数是1，方差是，则前后两组数据的统计量会变小的是方差，故选：D．
易错陷阱6：含参求“三数”忽略分类讨论
易错提醒：在求众数、平均数、中位数时，如果是一组含有未知数的数据就要分类讨论。其实对于此类题目的解题本质还是掌握好众数、平均数、中位数的概念以及联系、区别，再对未知数可能取值的范围进行分类讨论就可顺利解决。
例1．（2024·四川南充·中考真题）若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，，，的众数为，∴，
把这组数据从小到大排列为：，，，，，，则中位数为．故答案为：．
变式1.（2024·福建南平·校考模拟预测）一组数据2，，1，6，5，4平均数为4，则这组数据的众数是 ．
【答案】6
【详解】解：由题意，得：，
∴，∴这组数为2，，1，6，5，4；出现次数最多的是6；∴众数为6.故答案为：6.
变式2．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【详解】解：∵一组数据1，x，5，7有唯一众数， ∴的值只能是，，，
∵中位数是6，∴，∴平均数为，故选B
易错陷阱7：混淆各种统计图提取信息的方法
频数是指某事件出现的次数，频率=频数÷样本容量。
扇形统计图：频率乘以360°得出所对圆心角，圆心角百分比就是频数乘以100%。
扇形统计图或条形统计图中的已知信息找出某组对应的频数、频率，再根据得到的结果推出全部分组的频数、频率，进而得到各组对应的扇形统计图的圆心角度数。
易错提醒：1）在从统计图获取信息时，不完整的统计图往往使人产生错觉，得到不准确的信息；从统计图获取信息时未先判断其准确性，导致基于错误信息分析；2）折线图、条形图中，未注意横纵坐标刻度是否均匀，导致数据趋势误读；3）频数为 实际出现次数 ，频率为 频数与总数的比值 ，两者单位不同，不可直接比较大小。
例1．（2025·广东深圳·一模）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表活动后骑电瓶车戴安全头盔情况统计表
类别 人数
A 68
B a
C 510
D 177
合计 1000
A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴
(1)“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中，B类别对应人数a不小心污损，计算a的值为　　　；
(2)为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是　　　，（选填“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”）；(3)若该市约有20万人使用电瓶车，估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为　　　万人；(4)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
【答案】(1)(2)扇形统计图(3)(4)小明分析数据的方法不合理，理由见解析
【详解】（1）解：，故答案为：245；
（2）为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是扇形统计图；
故答案为：扇形统计图；
（3）活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为：（万人）．
估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数约为万人，故答案为：；
（4）小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比：，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比：．
．因此交警部门开展的宣传活动有效果．
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．第2月增长的“优秀”人数最多
C．从第1月到第4月，测试成绒“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到109人
【答案】D
【详解】因为测试的学生人数为：（名），原结论正确，所以A选项不符合题意；
由折线统计图可知，第1月到第2月增长的“优秀”百分率为，第2月到第3月增长的“优秀”百分率为，第3月到第4月增长的“优秀”百分率为，原结论正确，所以B选项不符合题意；
由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐月增长，原结论正确，所以C选项不符合题意；
第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：（人），原结论错误，所以D选项符合题意．故选：D．
变式2．（2024·广东云浮·二模）垃圾分类（），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为（ ）

A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【答案】A
【详解】解：该市试点区域的垃圾总量为（吨），
估计全市可收集的干垃圾总量为（吨），故选：．
变式3．（2025·广东揭阳·一模）植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节．提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性．1928年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日．新中国成立后的1979年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节．某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，八年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下：
组别 成绩m/分 频数
A 2
B a
C 14
D b
E 10

完成下面问题：(1)________，________；(2)在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数为________；
(3)补全条形统计图；(4)八年级一共有480人，请根据以上数据估计八年级中分数在80分到90分的人数．
【答案】(1)4；20(2)(3)见解析(4)人
【详解】（1）解：班级总人数为：，
，，故答案为：4；20；
（2）解：依题意，，∴A组对应的圆心角的度数为，故答案为：；
（3）解：补全条形统计图如下：
（4）解：依题意，（人），∴估计八年级中分数在80分到90分的人数为人．
易错陷阱8：混淆频率与概率的定义
易错提醒：求概率的方法：（1）简单事件；（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率
例1．（2024·广东湛江·一模）下列说法中错误的是（　 ）
A．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是的概率是
B．从装有个红球的袋子中，摸出个白球是不可能事件
C．任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
D．某种彩票的中奖率为，买张彩票一定有张中奖
【答案】D
【详解】解：∵掷一枚普通的正六面体骰子，共有种等可能的结果，则出现向上一面点数是的概率是
∴项的说法正确，故项不符合题意；
∵从装有个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，∴摸出个白球是不可能事件，
∴项的说法正确，故项不符合题意；
∵任意抛掷一枚图钉，共有两种可能的结果，但可能性不一样大，钉尖朝上的可能大，
∴钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，∴项说法正确，故项不符合题意；
∵某种彩票的中奖率为，是中奖频率接近，
∴买张彩票一定有张可能中奖，也可能不中奖，∴项说法错误；故项符合题意，故选：．
变式1．（2024·江苏·一模）小明是校篮球队的一名队员，根据以往的数据统计，小明的进球率是50%，他明天将参加一场比赛，则下列说法正确的是（ ）
A．小明明天的进球率是50% B．小明明天每投10次必有5次投中
C．小明明天一定能进球 D．小明明天投20个球，其中投中10个是随机事件
【答案】D
【详解】解：A、小明明天的进球率不一定是50%，本选项说法错误，不符合题意；
B、小明明天每投10次不一定有5次投中，本选项说法错误，不符合题意；
C、小明明天不一定能进球，本选项说法错误，不符合题意；
D、小明明天投20个球，其中投中10个是随机事件，本选项说法正确，符合题意；故选：D．
变式2．（2024·湖北·一模）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖
B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件
D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查
【答案】D
【详解】A、某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票可能中奖，故A错误；
B、从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故B错误；
C、篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是随机事件，故C错误；
D、为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查，故D正确；故选：D．
易错陷阱9：混淆放回与不放回致误
求概率的方法：（1）简单事件；（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。
复杂事件（如抽取多球、多步骤事件）需用 树状图或列表法 穷举所有等可能结果，遗漏组合情况会导致概率偏差
易错提醒：放回问题的共同特征就是每一次都有同样多的选择；不放回问题的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一种情况，特别注意同时抽取，也是表示抽出来不放回．做题时，一定要看清每次选择后的下一步选择是都有同样多的选择还是少了一种选择以正确判断是是“放回”还是“不放回”．
例1．（2025·广东清远·一模）如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将开关依次编号为，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种，
使得小灯泡能发光的概率为，故选：C．
变式1．（2025·广东揭阳·一模）生物的性状由遗传因子决定，决定显性性状的为显性遗传因子，用大写字母（如）表示，决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如）表示，当和结合在一起时无法表达性状，仅表现显性性状．例如某高茎豌豆（）和矮茎豌豆（）杂交，高茎豌豆的和分离，矮茎豌豆和也分离，然后高茎豌豆的遗传因子和矮茎豌豆的遗传因子自由结合，理论上后代中和的比例为．现在有高茎黄色豌豆（ ）和高茎黄色豌豆（ ）杂交，其中后代中为的性状为绿色，且、和、遗传因子相互独立互不影响，则理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：列表格如下：
（ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
共有种等可能的结果，其中后代出现高茎绿色豌豆的有种，
所以理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为，故选：B．
变式2．（2024·广东汕头·二模）小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么小明、小刚两人恰好相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将小明、小红、小刚3位同学分别记为，，，
3人随机站成一排，所有等可能的结果有：，，，，，，共6种，
其中小明、小刚两人恰好相邻的结果有：，，，，共4种，
小明、小刚两人恰好相邻的概率为．故选：C．
变式3．（24-25九年级上·河北保定·期末）有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，每个袋子里的小球除数字不同外其余都相同．
(1)嘉嘉先从甲袋任意摸出一个小球，再从乙袋任意摸出一个小球，求两次都摸到数字为2的小球的概率．
(2)若游戏规则为：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．淇淇先从乙袋任意摸出一个小球，再从甲袋任意摸出一个小球，嘉嘉按照（1）中的方式参与游戏，谁获奖的可能性更大？说明你的理由．
【答案】(1)(2)嘉嘉获奖的可能性更大，理由见解析
【详解】（1）解：嘉嘉摸球，画树状图如下：
共6种等可能的结果，其中两次都摸到数字为2的小球的结果只有1种，
（两次都摸到数字为2的小球）．
（2）嘉嘉获奖的可能性更大．理由如下：
嘉嘉摸球，由（1）中树状图可知共有6种等可能的结果，其中第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数字的结果共有3种，
（嘉嘉获奖）．淇淇摸球，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数
字的结果共有2种，（淇淇获奖）．嘉嘉获奖的可能性更大．
易错陷阱10：混淆游戏公平性致误
导致在抽奖、游戏公平性判断、风险评估等生活场景应用中分析错误，决策失误。
易错提醒：游戏是否公平主要看双方是否具有均等的机会，但并不一定要概率都是0.5。如果机会是均等的，那么游戏就是公平的；反之，则不公平。
例1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1，2，3，4，乙口袋中小球编号分别是2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为m，再从乙口袋中摸出一个小球,记下编号为n．
(1)如图，嘉嘉用树状图表示的所有可能情况，请补全树状图．
(2)游戏规则：时，小明获胜；时，小刚获胜．请说明此游戏规则是否公平．
【答案】(1)见详解(2)此游戏规则不公平
【详解】（1）解：依题意，树状图如图所示：
所有的等可能结果有，，，，，，，，，，，共12种结果；
（2）解：由（1）得所有的等可能结果有，，，，，，，，，，，，共12种等可能结果；
∴满足的等可能结果有，，，共3种等可能结果，
则满足的等可能结果有，，，，，，共6种等可能结果，
∵，∴此游戏规则不公平．
变式1．（2025·山西·一模）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（ ）
A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断
【答案】C
【详解】解：画树状图可得：
由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有，∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为，
∵，∴对亮亮有利，故选：C．
变式2．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）综合与实践
（1）【问题再现】有这样一道概率题：如图①，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少 请你解答．
（2）【类比设计】在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为，请你帮忙设计．
（3）【拓展运用】在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红1份，黄2份、绿4份区域，分别得奖金50元、30元、20元购物券，求转动1次所获购物券的平均金额。
【答案】（1）指针落在红色区域和白色区域的概率分别是；（2）见解析；（3）11.875元
【详解】解：（1），
答：指针落在红色区域和白色区域的概率分别是．
（2）把圆分成8等份，然后红色占3份，白色占3份，黄色占2分，如图所示：
（3）（元）
答：转动1次所获购物券的平均金额为11.875元．
1-1．（2024·广东惠州·模拟预测）一组数据5，7，3，9，1，10，6的中位数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1、3、5、6、7、9、10，则中位数为：6，故选：B．
1-2．（2024·广东深圳·三模）我市义务教育阶段所有公、民办学校，从2024年春季学期开始实行每天一节体育课，某同学统计了本周在校每天体育活动时间，列表如下：（单位：）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
72 68 81 86 76
其中，本周在校每天体育活动时间的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：这组数据从小到大排列为68，72，76，81，86，
则本周每天体育活动时间的中位数是，故选：B．
1-3．（2024·广东·模拟预测）如图是根据某市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】七个整点时数据为：22，22，23，26，28，30，31．所以中位数为26，众数为22，故选：B．
2-1．（2024·广东惠州·模拟预测）每个人都有最初的梦想，最初的梦想是一种寄望与希望，以下是摘自《最初的梦想》简 谱的部分旋律，当中出现的音符的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】因为2出现次数最多，所以出现的音符的众数是 2，故选：B．
2-2．（2024·广东梅州·模拟预测）数据8，11，8，3，5，8，5的众数是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
【答案】C
【详解】解：∵数据8，11，8，3，5，8，5中，8出现的次数最多，∴众数为8．故选：C．
2-3．（2025·广东广州·模拟预测）我国南北朝时期的祖冲之是世界上第一个把圆周率精确到小数点后7位的数学家．当今利用计算机技术，已把圆周率精确到小数点后202万亿位．数学活动课上，小华对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（ ）
A．14，5 B．9，6 C．14，4 D．9，5
【答案】D
【详解】解：∵数字9出现的次数最多为14次，∴众数为9．
∴从小到大排列处于最中间的数是第50位，51位，均为数字5，∴中位数为5，故选：D
2-4．（2024·广东广州·一模）某校举行党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．方差是0 B．中位数是95分 C．众数是5人 D．平均数是90分
【答案】B
【详解】解：根据条形统计图，将这10个数从小到大排列如下：
，，，，，，，，，，则中位数为，
95出现了5次，最多，众数为95，平均数为，
方差为，
观察四个选项，B选项符合题意，故选：B．
3-1．（2024·广东汕头·二模）某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（ ）
A．81分 B．82分 C．83分 D．84分
【答案】C
【详解】解：（分）．所以小明的最终成绩为83分．故选：C．
3-2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（ ）

A．25立方米 B．30立方米 C．32立方米 D．35立方米
【答案】B
【详解】解：平均每天的用水量是立方米，故选B.
3-3．（2024·广东佛山·三模）某校在校园艺术节活动中，举行“校园最美学生”评选活动，经过年级推荐与师生投票，先后有30名学生进入候选人名单，根据规则，候选人要参加品德考查、素养考试、情景模拟三项测试，每项测试满分为100分，除第二项为笔试外，第一项、第三项均由七位评委打分，取平均分作为该项的测试成绩，再将品德考查、素养考试、情景模拟三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小明、小月的三项测试成绩和总评成绩如表，这30名学生的总评成绩频数分布直方图 （每组含最小值，不含最大值）如图．
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
品德考查 素养考试 情景模拟
小明 83 72 80 78
小月 86 84
(1)在情景模拟测试中，七位评委给小月打出的分数如下：65，72，68，69，74，69，73．这组数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分；
(2)请你计算小月的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名“校园最美学生”．试分析小明、小月能否入选，并说明理由．
【答案】(1)，， (2)分 (3)小明不一定选上，小月肯定能选上
【详解】（1）解：将65，72，68，69，74，69，73从小到大排列为65，68，69，69，72，73 ，74，
中间的数据为，中位数为；出现最多的数据为，众数为；
，故答案：，，；
（2）解：由题意得，答：小月的总评成绩为分；
（3）解：小明不一定选上，小月肯定能选上；由频数分布直方图得
分数在的有人，选拔人，故小月肯定能选上；
分数在的有人，在这个分数段选人，但小明分数不一定是最高的，故小明不一定选上．
3-4．（2024·广东深圳·二模）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示，已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（　　）
环数 7 8 9
人数 2 ？ 3
A．4人 B．5人 C．6人 D．7人
【答案】B
【详解】解：设成绩为8环的人数是x人，根据题意，得，解得，
∴成绩为8环的人数是5人，故选：B．
3-5．（2024·广东·二模）第19届亚运会在杭州举行，亚运会上的志愿者们被称为“小青荷”，“青荷”的谐音是亲和，彰显志愿者的热情和友好．某场馆比赛结束后，为了选出一位“最佳志愿者”，分别从责任心、亲和力、热情度三个方面对其中三位“小青荷”A、B、C的服务情况进行了评价 （满分100分），统计如下表：
小青荷 责任心 亲和力 热情度
A 91 96 95
B 97 91 94
C 92 98 92
(1)你能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”吗？为什么？
(2)“小青荷”的责任心、亲和力、热情度缺一不可，请你将这三个维度从高到低排序，并按的权重计算加权平均数，从中选出“最佳志愿者”．（结果保留一位小数）
【答案】(1)不能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”，理由见解答；
(2)成为“最佳志愿者”．
【详解】（1）解：不能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”，
理由：的平均分为：（分），
的平均分为：（分），的平均数为：（分），
∴三人的平均分相同，∴不能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”；
（2）的加权平均数为：，
的加权平均数为：，的加权平均数为：，
∵，∴成为“最佳志愿者”．
4-1．（2023·广东东莞·一模）下列统计量中，反映一组数据波动情况的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．频率 D．方差
【答案】D
【详解】解：反映一组数据波动情况的统计量是方差，故选D．
4-2．（2024·广东东莞·模拟预测）某校准备从甲、乙、丙、丁中选派一名队员代表学校参加全市跳绳比赛，下表是这四名队员几次选拔赛成绩的平均数和方差，你觉得最适合的队员是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（个/分钟） 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 7.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【详解】根据表格可知甲和丙队员的平均成绩高，而甲的方差又小于丙，即成绩比丙稳定，
所以最适合的队员是甲，故选A．
4-3．（2024·广东梅州·一模）古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为，，，，，．有关这一组数，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是 B．中位数是 C．众数是 D．极差是
【答案】B
【详解】解∶将这一组数按照由小到大重新排序，，，，，，
则平均数为，故A正确；
中位数应该是，故B错误；众数为，故C正确，极差为，故D正确．故选∶B．
4-4．（2023·山东青岛·统考中考真题）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，．这六个分数的极差是 分．
【答案】3
【详解】解：由数据得，极差为：，故答案为：3．
【点睛】本题考查极差定义：一组数据中最大数与最小数的差叫数据的极差，理解极差的定义是解题关键．
5-1．（2024·广东深圳·三模）车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下：
生产个数（个） 6 7 8 9 10 11 13 15 16
工人人数（人） 1 2 4 1 2 1 1 2 1
为提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖，奖励大多数”的措施，决定用这一天的众数来作为生产定额，则定额数量为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】B
【详解】解：依题意得：这一天的众数为个，
决定用这一天的众数来作为生产定额，则定额数量为个，故选B．
5-2．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）九年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的 统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
成绩 44 45 46 47 48 49 50
人数 ■ ■ 2 3 6 7 9
A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数
【答案】C
【详解】解：这组数据中成绩为44、45的人数和为，
则这组数据中出现次数最多的数50，即众数50，第15、16个数据都是49，则中位数为49，故选：C．
5-3．（2024·广东云浮·一模）广东省博物院中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为20，21，26，26，30，则三年后这五位讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【答案】B
【详解】三年后的年龄数据为23，24，29，29，33，其中中位数和众数都发生改变，平均数比原来大3，设原数据的平均数为，∴新数据的平均数为：，
原数据的方差为：，
新数据的方差为：
∴方差不变，故选：B．
5-4．（2024·四川达州·中考真题）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为，
∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数．故选：C．
5-5．（2023·河北石家庄·校考一模）班主任为了解该班同学的解题能力，该部门随机抽取了名同学某天每人解题的个数，整理数据后，得到条形统计图并计算了部分样本数据的统计量如下：
统计量 平均数 众数 中位数
数值 m n
根据以上信息，解答下列问(1)上表中m＝　 　，n＝　 　．
(2)为调动学习积极性，班主任根据同学每天解题的个数制定了奖励标准，结果有左右的同学达到或超过这个标准而获得奖励．这个奖励标准“平均数”、“众数”或“中位数”中的哪一个？
(3)发现解题数最多的同学男女各半，决定从中选两人谈解题经验，求出恰好选都是男同学的概率．
【答案】(1)，；(2)中位数；(3)；
【详解】（1）解：由条形图知，数据出现的次数最多，所以众数，
∵，，∴第、个数落在里，
∴中位数，故答案为：，；
（2）解：∵有左右的同学达到或超过这个标准而获得奖励，
∴应根据中位数来确定奖励标准比较合适；
（3）解：由条形统计图可得，解题数最多的有4个同学，若男女各半，则男女各2个，画树状图如下：
∵共有种等可能性的结果，选都是男同学的结果有2个，∴恰好选都是男同学的概率为．
6-1.（2024·河北秦皇岛·九年级统考期末）一组数据，，，，中（,为整数），唯一众数是，平均数是，这组数据的中位数是 ．
【答案】
【详解】解：依题意，∴，
∵唯一众数是，则不能是，且，则不能是，
设，则，，∴这组数据从小到大排列为，，，，，则中位数为，故答案为：．
6-2．（2022·北京·校考模拟预测）已知 a，b，c 为非负整数， a≥b≥c，a+b+c=100，则当 a，b，c 方差最小时， a=_____________；当 a，b，c 方差最大时， a=______________
【答案】 35 99
【详解】解：方差最小时，数据最为集中；而方差最大时，数据最为分散，即两级分化严重；
∵非负整数a，b，c满足 a≥b≥c，a+b+c=100，
∴当数据a，b，c的方差的最小时，a=35，b=33，c=32；
∴当数据a，b，c的方差的最大时，a=99，b=1，c=0；故答案为：35；99．
6-3．（2024·河北·统考一模）2021年是中国共产党成立100周年，某校举行“喜迎中国共产党建党100周年”党史知识竞赛，如表是11名决赛选手的成绩．这11名决赛选手成绩的中位数是______，如果再加一位选手参加决赛，加上这位选手的成绩后，发现12名选手与之前11位选手的成绩的中位数一样．设最后参赛选手的成绩是m分，则m的取值范围是______．
分数 100 95 90 85
人数 1 5 3 2
【答案】 95 ##
【详解】①将所有的成绩从小到大依次排列，
即：85、85、90、90、90、95、95、95、95、95、100，则该组数的中位数为95；
②当加入的选手的成绩为m，当m＜95时，则可知新数列的中位数为第6个数和第7数的平均数，
∵第7数即为95，而第6个数无论是m还是85或者90，其最终得到的中位数必小于95，
∴不满足中位数不变的条件，故m不可能小于95；
当m=95时，显然新数列的第6个数和第7数均为95，中位数仍然是95，满足条件；
当时，新数列中m排在5个95之后，此时新数列的第6个数和第7数均为95，中位数仍然是95，满足条件，综上有：，故答案为：95，．
6-4．（2023·河北邢台·校考一模）青年工匠小强，每天加工零件的定额是150个，加工一个零件可获得1.2元的收入，若加工零件个数不超过定额，则按实际加工零件个数领取报酬；若加工零件个数超过定额，则超过定额的部分每个多获得0.3元．(1)求小强一天的收人y（元）与加工的零件个数x（）之间的函数关系式；(2)已知小强10天加工零件个数如下表所示：
加工零件数 130 140 150 160 180
频数（天） 1 3 1 4 1
①以这10天记录的各加工零件个数的频率作为各加工零件个数发生的概率，求小强一天收入超过180元的概率；②若小强再加工一天，加工零件个数m与原来10天加工零件个数组成一组新数据，若新数据的中位数比原来10天加工零件个数的中位数大，求m的最小值．
【答案】(1)当时，；当时， (2)①0.5；②156
【详解】（1）根据题意得，当时，；当时，．
（2）①当时， 当时， 当时，
当时， 当时， 当、收入超过180元
P（小强当天收入超过180元）
②原来10天加工零件个数的中位数为
因为新数据的中位数比原数据中位数变大，所以 所以m的最小值为156．
7-1．（2024九年级下·江苏泰州·专题练习）如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在小组，而不在小组），根据图中提供的信息，有下列说法：
①该学校教职工总人数是50；②年龄在小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的；
③教职工年龄的中位数一定落在这一组；④教职工年龄的众数一定在这一组．
其中正确的是 ．
【答案】①②③
【详解】解：①该学校教职工总人数为（人），故符合题意；
②在小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的比例为，故符合题意；
③由第25个，第26个数据落在这一组，可得教职工年龄的中位数一定落在这一组，符合题意；④教职工年龄在的总人数最多，但教职工年龄的众数在哪一组并不确定．不符合题意。故答案为：①②③．
7-2．（2024·江苏泰州·二模）近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善．截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆．如图是我国2019～2023年公共充电桩数量情况统计图和2023年全国部分省公共充电桩数量统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)2023年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的______%（精确到1%）；
(2)2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比约为______；
A． B． C． D．
(3)小明说：2023年全国公共充电桩数量超过前4年的总和，所以2023年全国公共充电桩数量的增长率比2022年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
【答案】(1)2(2)C(3)不同意．理由见解析
【详解】（1）解： 2023年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的：，
故答案为：2；
（2）解：2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比为：2041万：859.5万．故答案：C；
（3）解：不同意，理由如下：
2022年的全国公共充电桩数量的增长率为：，
2023年的全国公共充电桩数量的增长率为：，
年全国公共充电桩数量的增长率比2023年高．
7-3．（2024·山西·统考一模）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示.
请根据该统计图，写出一条你获取的信息：______.
【答案】（答案不唯一）例如：与年相比，年的人口出生率下降了近一半；近十年的人口死亡率基本稳定；年的人口出生率最低等
【详解】解：1、对比年和年人口出生率有：与年相比，年的人口出生率下降了近一半；
2、看人口死亡率基本每年都一样，可以有：近十年的人口死亡率基本稳定；
3、对比每年的人口出生率数据，有：年的人口出生率最低等；答案不唯一．
7-4．（2024·广东·模拟预测）2023年中秋国庆假期，首日（9月29日）全国发送旅客总量达到6320.5万人次，其中公路和铁路的客运量超过6000万人次，占比超过．如图反馈不同运输形式预计发送旅客情况，请你根据图中信息回答下列问题：
(1)预计水路发送旅客 万人次．(2)公路预计发送旅客人次占比约为，在扇形统计图中，“公路”对应的圆心角度数为 °；若某地区假期首日发送旅客总量约为30 000人次，请你计算通过公路发送的旅客约为多少人次．(3)2022年国庆首日铁路发送旅客总量约为970万人次，2023年通过优化发送旅客总量约比2022年同期增长了 %（精确到1%）．根据目前数据，你会给相关政府部门或有出行计划的同学什么建议
【答案】(1)81(2)226.8，18900人次(3)108，见解析
【详解】（1）解：预计水路发送旅客万人次，故答案为：81；
（2）解：在扇形统计图中，“公路”对应的圆心角度数为；
通过公路发送的旅客约为人次，故答案为：226.8，18900人次；
（3）解：∴2023年通过优化发送旅客总量约比2022年同期增长了，
给出的建议为：建议相关政府部门增加铁路次数和公路服务人员，保障铁路和公路畅通；故答案为：．
7-5．（2024·广东深圳·模拟预测）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担．为了解今年某区18000名初二学生的每天平均做作业的时间，从中随机抽取若干名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题：
组别 完成作业用时（分钟） 频数（人数） 频率
A 50 0.1
B a 0.15
C 225 b
D 125 0.25
E 25 0.05
(1)表中的______，______．(2)补全频数分布直方图；
(3)结合调查信息，请你估计今年罗湖区初三学生中，每天做作业时间在50到90分钟的学生约有多少人？
【答案】(1)75，0.45(2)见解析(3)每天做作业时间在50到90分钟的学生人数为12600人
【详解】（1）解：名，∴一共抽取了500名学生，∴；
（2）解：根据（1）所求可补全统计图如下：
（3）解：人，
∴估计今年罗湖区初三学生中，每天做作业时间在50到90分钟的学生约有12600人．
8-1．（2024·安徽·校联考一模）下列说法正确的是（ ）
A．翻开数学书的页码是偶数属于确定性事件
B．寓言故事“守株待兔”发生的概率是1
C．如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买100张这种彩票一定会有一张彩票中奖
D．如果淮北市明天下雨的概率是，那么准北市明天下雨的可能性非常大
【答案】D
【详解】解：A、翻开数学书的页码是偶数属于随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、寓言故事“守株待兔”发生的概率：，原说法错误，不符合题意；
C、如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买100张这种彩票不一定会有一张彩票中奖，原说法错误，不符合题意；D、如果淮北市明天下雨的概率是，那么准北市明天下雨的可能性非常大，说法正确，符合题意；故选D．
8-2．（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．已知一种彩票的中奖概率是，则买10000张这样的彩票一定会中奖
B．数据2，3，7，8，3，4，3，8的众数是8
C．调查深圳市人民对政府服务的满意程度适合用抽样调查
D．“甲、乙、丙三个队参加端午节赛龙舟比赛，甲队获得冠军”是必然事件
【答案】C
【详解】A、某种彩票的中奖概率为，每买10000张彩票，不一定有一张中奖，故说法错误，不符合题意；B、数据2，3，7，8，3，4，3，8，其中3出现的次数最多，故众数是3，故说法错误，不符合题意；
C、调查深圳市人民对政府服务的满意程度适合用抽样调查，说法正确，符合题意； D、“甲、乙、丙三个队参加端午节赛龙舟比赛，甲队获得冠军”是偶然事件，故说法错误，不符合题意；故选：C．
8-3．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．为了解我国初中生体重情况可以采用普查的方式
B．小明记录了390名亲朋好友的生日，则必有两个人生日相同
C．体操比赛时，甲、乙两班学生身高的方差分别为，则甲班学生的身高较整齐
D．抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率
【答案】B
【详解】解：为了解我国初中生体重情况可以采用抽样调查的方式，故选项A不符合题意；
小明记录了390名亲朋好友的生日，则必有两个人生日相同，故选项B正确，符合题意；
体操比赛时，甲、乙两班学生身高的方差分别为，则乙班学生的身高较整齐，故选项C错误，不符合题意；抛掷两枚硬币，树状图如下：
出现一正一反的概率为，故选项D错误，不符合题意；故选：B
8-4．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】A
【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；
小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误故选；A．
9-1．（2025·广东深圳·一模）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是 ．
【答案】
【详解】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为 画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．故答案为：．
9-2．（2025·广东广州·一模）某学校对学生最喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了_______名学生，_______，_______；
(2)已知该校共有名学生，请你估计该校喜欢阅读“”类图书的学生约有多少人？
(3)学校将举办读书知识竞赛，九年级（）班要在本班名优胜者（男女）中随机选送人参赛，请用画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
【答案】(1)，，(2)人(3)
【详解】（1）解：，所以本次调查共抽取了名学生，
，，即；故答案为：，，；
（2）解：（人）．答：估计该校喜欢阅读“”类图书的学生约有人．
（3）解：画树状图如图．
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被选送的两名参赛者为一男一女的有种．
（被选送的两名参赛者为一男一女）
9-3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．

请根据统计图中的信息，解答下列问题：(1)参加本次问卷调查的学生共有______人．
(2)在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
(3)端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
【答案】(1)(2)，作图见解析(3)
【详解】（1）解：参加本次问卷调查的学生共有（人）；
（2）解：A组人数为人；A组所占的百分比为：补全统计图如图所示，

（3）画树状图法如下图

列表法如下图
A B C D
A
B
C
D
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．∴P（选中的2个社团恰好是B和C）．
10-1．（2024·广东江门·一模）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）
(1)求抽查学生总数．(2)求所抽查学生读课外书册数的平均数．（结果保留整数）
(3)老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学．你认为这个游戏公平吗？为什么？
【答案】(1)抽查学生总数为24人(2)所抽查学生读课外书册数的平均数为5册
(3)这个游戏不公平，理由见解析
【详解】（1）解：抽查学生总数为：（人）；
（2）解：读5册的学生人数为：（人），
∴所抽查学生读课外书册数的平均数为（册）；
（3）解：这个游戏不公平，理由如下：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中出现字母A与B的混合结果有种，
∴借给七年级的同学的概率，借给八年级的同学的概率，∵，∴这个游戏不公平．
10-2．（2025·广东潮州·模拟预测）从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2和方块1、2、3，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张．小明和小红制定了游戏规则：若摸出的两张牌的牌面数字之和为3则小明胜，两张牌的牌面数字之和为4则小红胜．这个规则公平吗？ 请你用列表法或画树状图分析说明．
【答案】这个规则公平，理由见解析
【详解】解：这个规则公平，理由如下：画树状图如下：
得出所有等可能的情况有6种，其中两张牌面数字之和为3的情况有2种，两张牌面数字之和为4的情况有2种；摸出的两张牌面数字之和为3的概率是，两张牌面数字之和为4的概率是，
则这个规则公平．
10-3．（2025·广东梅州·一模）在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）．
(1)小张恰好坐在①号座位的概率为______；(2)用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵一共有4个座位，每个座位被选择的概率相同，
∴小张恰好坐在①号座位的概率为．故答案为：；
（2）解：①、②、③、④这4个座位分别用A、B、C、D表示，列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中小张与小李恰好相邻而坐的8种，
∴小张与小李恰好相邻而坐的概率为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错08 概率与统计
易错陷阱1：求中位数时忽略排序直接数
中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)。
易错提醒：中位数需对数据 严格排序 后取中间值（奇偶不同），忽略排序直接取数会导致错误。
例1．（2024·广东·模拟预测）某便利店一种商品连续7天的销量（单位：件）分别为4，7，5，8，8，10，6，该组数据的中位数是（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．7
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）建设“超充之城”，深圳勇于先行示范．从2023年6月推出首个全液冷超充示范站并官宣启动“超充之城”建设，到率先发布实施超充“深圳标准”，深圳用一个个实际行动诠释建设一流超充之城的超级速度，将“规划图”变为“实景图”．截止2024年3月22日，全市累计建成超充站306座，具体分布如下表：
龙岗区 宝安区 龙华区 福田区 南山区 罗湖区 光明区 坪山区 大鹏新区 盐田区 深汕特别合作区
47 47 42 38 38 28 24 15 12 11 4
在表格中所列数据的中位数是（ ）
A．33 B．28 C．26 D．27
变式2．（2025·广东清远·模拟预测）2024年8月6日，巴黎奥运会上中国运动员潘展乐在100米自由泳决赛中以46.40的成绩打破世界纪录斩获冠军．本次决赛中运动员们的成绩分别是：46，46.40，47，48.47，49，47.50，47.71，47.80，47.96，47.98，本次决赛成绩的中位数是 ．
变式3．（2024·浙江杭州·一模）教育部“减负三十条”规定初中生回家作业时间不超过90分钟．下表是某校某班学生一段时间日平均回家作业时间统计表：
日平均回家作业时间（分）
人数 4 15 15 6
则该班学生日平均回家作业时间的中位数落在（ ）
A． B． C． D．
易错陷阱2：众数概念不清致误
众数：一组数据中出现次数最多的那个数据。
易错提醒：众数需明确是 出现次数最多 的数据，而非数值最大的数据，且众数的个数不一定唯一。
例1．（2024·广东中山·模拟预测）李明带了一个旅游团，团员的年龄分别为：25，32，31，28，35，26，26，31，24，31，则这组数据的众数是（ ）
A．26 B．35 C．31 D．25
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）由贝多芬作曲的《欢乐颂》是我们耳熟能详的歌曲，以下是摘自简谱的部分旋律，当中出现的音符的众数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2024·广东深圳·模拟预测）2024年宝安区3月25日至3月31日的气温（℃）如下表：
日期 25日 26日 27日 28日 29日 30日 31日
最低气温 20 21 21 20 20 22 23
最高气温 27 32 27 28 29 29 29
那么这一周最高气温的众数和中位数分别是（　　）
A．20，21 B．20，29 C．29，21 D．29，29
易错陷阱3：混淆平均数和加权平均数
平均数：一般地，个数，我们把叫做这个数的算术平均数，记做
个数的加权平均数：如果在个数中，出现了次，出现了次，……出现了次，那么加权平均数为
易错提醒：加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数．在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆。
例1．（2025·广东清远·模拟预测）为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生代表八（1）班参加比赛．下表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）
选手 主题活动项目
在线学习 知识竞赛 演讲比赛
甲 89 99 85
乙 84 96 90
(1)如果根据三项测试的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？(2)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？(3)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
变式1．（2023·河北沧州·模拟预测）某商场销售、、、四种商品，它们的单价依次是元，元，元，元，某天这四种商品销售数量的百分比如图所示．则这天销售的四种商品的平均单价是（ ）

A．元 B．元 C．元 D．元
变式2．（2024·广东广州·模拟预测）某班同学完成了10道选择题后，班长将答对题数的情况绘制成条形统计图，根据图中信息，该班同学答对题数的平均数为 道．（保留1位小数点）
易错陷阱4：混淆极差、方差的定义
极差：最大值与最小值的差
方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数.
方差的算术平方根就是标准差．方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
易错提醒：须记住对应的定义，不能因为都有“差”就觉得一样
例1．（2024·广东东莞·二模）一组数据，，，，的方差为 ．
变式1．（2024·广东深圳·三模）“每天一节体育课”成深圳中小学生标配，某校初中部初三三班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：27，21，20，21，26，24，21，20，21，19．则这组数据的极差为 ．
变式2．（2024·广东惠州·二模）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则成绩最稳定的是 同学．
变式3．（2025·湖南娄底·一模）随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．样本容量是 B．平均数是 C．中位数是 D．的权数是
变式4．（2024·江苏徐州·二模）在一次科技作品制作比赛中，某小组6件作品的成绩（单位：分）分别是：6、10、9、8、7、9，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8 C．平均数是8 D．方差是7
变式5．（2023·广东广州·一模）已知一组数据，，……，记其平均数为，方差为，则另一组数据，……的方差和平均数分别为（ ）
A．； B．； C．； D．；
易错陷阱5：集中趋势与稳定性的统计量误用
易错提醒：1）平均数 易受极端值影响，在数据分布偏斜时不能准确反映整体水平； 中位数 需先对数据严格排序后取中间值（数据量为偶数时取中间两数的平均值），未排序直接取数会导致错误 ；2） 众数 是出现次数最多的数据，而非数值最大或最小的数据；3）当多个数据出现次数相同时，可能存在多众数，需完整列举 ；在数据分布明显偏态（如收入数据）时，优先选择 中位数 而非平均数；若需快速了解典型值，可选用 众数 。
例1．（2024·广东深圳·模拟预测）七年级（1）班有46名学生，数学老师组织课堂十分钟答题比赛，学生答对的数量统计如下：
答对个数（个） 6 7 8 9 10 12 13 15
学生人数（人） 2 7 9 6 13 3 2 4
为提高学生的积极性，数学老师准备实行“奖励大多数”的措施，决定用答题正确个数的众数来作为奖励标准，则奖励数量为（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
例2．（2024·广东云浮·一模）广东省博物院中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为20，21，26，26，30，则三年后这五位讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
变式1．（2024·广东深圳·三模）体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　）
分数 43 44 45 46 47 48 49 50
人数 1 2 1 ■ ■ 3 4 30
A．中位数，众数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数
变式2．（2024·广东深圳·模拟预测）一家鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码（） 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26
销售量（双） 1 2 5 11 7 3 1
若每双鞋的销售利润相同，下列统计量中店主最关注的是（　　）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
变式3．（2024·江苏无锡·二模）已知排球队6名场上队员的身高（单位：）分别是：181，185，188，190，194，196，现用两名身高分别是186，193的队员换下场上身高为181，194的队员，换人前后，下列统计量中不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
变式4．（2024·广东梅州·一模）下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　）

A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
变式5．（2024·浙江宁波·一模）一组数据0，1，1，2，若添加一个数1后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
易错陷阱6：含参求“三数”忽略分类讨论
易错提醒：在求众数、平均数、中位数时，如果是一组含有未知数的数据就要分类讨论。其实对于此类题目的解题本质还是掌握好众数、平均数、中位数的概念以及联系、区别，再对未知数可能取值的范围进行分类讨论就可顺利解决。
例1．（2024·四川南充·中考真题）若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为 ．
变式1.（2024·福建南平·校考模拟预测）一组数据2，，1，6，5，4平均数为4，则这组数据的众数是 ．
变式2．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
易错陷阱7：混淆各种统计图提取信息的方法
频数是指某事件出现的次数，频率=频数÷样本容量。
扇形统计图：频率乘以360°得出所对圆心角，圆心角百分比就是频数乘以100%。
扇形统计图或条形统计图中的已知信息找出某组对应的频数、频率，再根据得到的结果推出全部分组的频数、频率，进而得到各组对应的扇形统计图的圆心角度数。
易错提醒：1）在从统计图获取信息时，不完整的统计图往往使人产生错觉，得到不准确的信息；从统计图获取信息时未先判断其准确性，导致基于错误信息分析；2）折线图、条形图中，未注意横纵坐标刻度是否均匀，导致数据趋势误读；3）频数为 实际出现次数 ，频率为 频数与总数的比值 ，两者单位不同，不可直接比较大小。
例1．（2025·广东深圳·一模）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表活动后骑电瓶车戴安全头盔情况统计表
类别 人数
A 68
B a
C 510
D 177
合计 1000
A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴
(1)“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中，B类别对应人数a不小心污损，计算a的值为　　　；
(2)为了更直观的反应A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是　　　，（选填“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”）；(3)若该市约有20万人使用电瓶车，估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为　　　万人；(4)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．第2月增长的“优秀”人数最多
C．从第1月到第4月，测试成绒“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到109人
变式2．（2024·广东云浮·二模）垃圾分类（），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为（ ）

A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
变式3．（2025·广东揭阳·一模）植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节．提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性．1928年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日．新中国成立后的1979年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节．某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，八年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下：
组别 成绩m/分 频数
A 2
B a
C 14
D b
E 10

完成下面问题：(1)________，________；(2)在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数为________；
(3)补全条形统计图；(4)八年级一共有480人，请根据以上数据估计八年级中分数在80分到90分的人数．
易错陷阱8：混淆频率与概率的定义
易错提醒：求概率的方法：（1）简单事件；（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率
例1．（2024·广东湛江·一模）下列说法中错误的是（　 ）
A．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是的概率是
B．从装有个红球的袋子中，摸出个白球是不可能事件
C．任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
D．某种彩票的中奖率为，买张彩票一定有张中奖
变式1．（2024·江苏·一模）小明是校篮球队的一名队员，根据以往的数据统计，小明的进球率是50%，他明天将参加一场比赛，则下列说法正确的是（ ）
A．小明明天的进球率是50% B．小明明天每投10次必有5次投中
C．小明明天一定能进球 D．小明明天投20个球，其中投中10个是随机事件
变式2．（2024·湖北·一模）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖
B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件
D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查
易错陷阱9：混淆放回与不放回致误
求概率的方法：（1）简单事件；（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。
复杂事件（如抽取多球、多步骤事件）需用 树状图或列表法 穷举所有等可能结果，遗漏组合情况会导致概率偏差
易错提醒：放回问题的共同特征就是每一次都有同样多的选择；不放回问题的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一种情况，特别注意同时抽取，也是表示抽出来不放回．做题时，一定要看清每次选择后的下一步选择是都有同样多的选择还是少了一种选择以正确判断是是“放回”还是“不放回”．
例1．（2025·广东清远·一模）如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2025·广东揭阳·一模）生物的性状由遗传因子决定，决定显性性状的为显性遗传因子，用大写字母（如）表示，决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如）表示，当和结合在一起时无法表达性状，仅表现显性性状．例如某高茎豌豆（）和矮茎豌豆（）杂交，高茎豌豆的和分离，矮茎豌豆和也分离，然后高茎豌豆的遗传因子和矮茎豌豆的遗传因子自由结合，理论上后代中和的比例为．现在有高茎黄色豌豆（ ）和高茎黄色豌豆（ ）杂交，其中后代中为的性状为绿色，且、和、遗传因子相互独立互不影响，则理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·广东汕头·二模）小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么小明、小刚两人恰好相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25九年级上·河北保定·期末）有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，每个袋子里的小球除数字不同外其余都相同．
(1)嘉嘉先从甲袋任意摸出一个小球，再从乙袋任意摸出一个小球，求两次都摸到数字为2的小球的概率．
(2)若游戏规则为：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．淇淇先从乙袋任意摸出一个小球，再从甲袋任意摸出一个小球，嘉嘉按照（1）中的方式参与游戏，谁获奖的可能性更大？说明你的理由．
易错陷阱10：混淆游戏公平性致误
导致在抽奖、游戏公平性判断、风险评估等生活场景应用中分析错误，决策失误。
易错提醒：游戏是否公平主要看双方是否具有均等的机会，但并不一定要概率都是0.5。如果机会是均等的，那么游戏就是公平的；反之，则不公平。
例1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1，2，3，4，乙口袋中小球编号分别是2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为m，再从乙口袋中摸出一个小球,记下编号为n．
(1)如图，嘉嘉用树状图表示的所有可能情况，请补全树状图．
(2)游戏规则：时，小明获胜；时，小刚获胜．请说明此游戏规则是否公平．
变式1．（2025·山西·一模）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（ ）
A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断
变式2．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）综合与实践
（1）【问题再现】有这样一道概率题：如图①，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少 请你解答．
（2）【类比设计】在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为，请你帮忙设计．
（3）【拓展运用】在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红1份，黄2份、绿4份区域，分别得奖金50元、30元、20元购物券，求转动1次所获购物券的平均金额。
1-1．（2024·广东惠州·模拟预测）一组数据5，7，3，9，1，10，6的中位数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
1-2．（2024·广东深圳·三模）我市义务教育阶段所有公、民办学校，从2024年春季学期开始实行每天一节体育课，某同学统计了本周在校每天体育活动时间，列表如下：（单位：）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
72 68 81 86 76
其中，本周在校每天体育活动时间的中位数是（ ）
A． B． C． D．
1-3．（2024·广东·模拟预测）如图是根据某市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2-1．（2024·广东惠州·模拟预测）每个人都有最初的梦想，最初的梦想是一种寄望与希望，以下是摘自《最初的梦想》简 谱的部分旋律，当中出现的音符的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2-2．（2024·广东梅州·模拟预测）数据8，11，8，3，5，8，5的众数是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
2-3．（2025·广东广州·模拟预测）我国南北朝时期的祖冲之是世界上第一个把圆周率精确到小数点后7位的数学家．当今利用计算机技术，已把圆周率精确到小数点后202万亿位．数学活动课上，小华对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（ ）
A．14，5 B．9，6 C．14，4 D．9，5
2-4．（2024·广东广州·一模）某校举行党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．方差是0 B．中位数是95分 C．众数是5人 D．平均数是90分
3-1．（2024·广东汕头·二模）某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（ ）
A．81分 B．82分 C．83分 D．84分
3-2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（ ）

A．25立方米 B．30立方米 C．32立方米 D．35立方米
3-3．（2024·广东佛山·三模）某校在校园艺术节活动中，举行“校园最美学生”评选活动，经过年级推荐与师生投票，先后有30名学生进入候选人名单，根据规则，候选人要参加品德考查、素养考试、情景模拟三项测试，每项测试满分为100分，除第二项为笔试外，第一项、第三项均由七位评委打分，取平均分作为该项的测试成绩，再将品德考查、素养考试、情景模拟三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小明、小月的三项测试成绩和总评成绩如表，这30名学生的总评成绩频数分布直方图 （每组含最小值，不含最大值）如图．
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
品德考查 素养考试 情景模拟
小明 83 72 80 78
小月 86 84
(1)在情景模拟测试中，七位评委给小月打出的分数如下：65，72，68，69，74，69，73．这组数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分；(2)请你计算小月的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名“校园最美学生”．试分析小明、小月能否入选，并说明理由．
3-4．（2024·广东深圳·二模）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示，已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（　　）
环数 7 8 9
人数 2 ？ 3
A．4人 B．5人 C．6人 D．7人
3-5．（2024·广东·二模）第19届亚运会在杭州举行，亚运会上的志愿者们被称为“小青荷”，“青荷”的谐音是亲和，彰显志愿者的热情和友好．某场馆比赛结束后，为了选出一位“最佳志愿者”，分别从责任心、亲和力、热情度三个方面对其中三位“小青荷”A、B、C的服务情况进行了评价 （满分100分），统计如下表：
小青荷 责任心 亲和力 热情度
A 91 96 95
B 97 91 94
C 92 98 92
(1)你能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”吗？为什么？
(2)“小青荷”的责任心、亲和力、热情度缺一不可，请你将这三个维度从高到低排序，并按的权重计算加权平均数，从中选出“最佳志愿者”．（结果保留一位小数）
4-1．（2023·广东东莞·一模）下列统计量中，反映一组数据波动情况的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．频率 D．方差
4-2．（2024·广东东莞·模拟预测）某校准备从甲、乙、丙、丁中选派一名队员代表学校参加全市跳绳比赛，下表是这四名队员几次选拔赛成绩的平均数和方差，你觉得最适合的队员是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（个/分钟） 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 7.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4-3．（2024·广东梅州·一模）古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为，，，，，．有关这一组数，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是 B．中位数是 C．众数是 D．极差是
4-4．（2023·山东青岛·统考中考真题）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，．这六个分数的极差是 分．
5-1．（2024·广东深圳·三模）车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下：
生产个数（个） 6 7 8 9 10 11 13 15 16
工人人数（人） 1 2 4 1 2 1 1 2 1
为提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖，奖励大多数”的措施，决定用这一天的众数来作为生产定额，则定额数量为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
5-2．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）九年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的 统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
成绩 44 45 46 47 48 49 50
人数 ■ ■ 2 3 6 7 9
A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数
5-3．（2024·广东云浮·一模）广东省博物院中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为20，21，26，26，30，则三年后这五位讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
5-4．（2024·四川达州·中考真题）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5-5．（2023·河北石家庄·校考一模）班主任为了解该班同学的解题能力，该部门随机抽取了名同学某天每人解题的个数，整理数据后，得到条形统计图并计算了部分样本数据的统计量如下：
统计量 平均数 众数 中位数
数值 m n
根据以上信息，解答下列问(1)上表中m＝　 　，n＝　 　．
(2)为调动学习积极性，班主任根据同学每天解题的个数制定了奖励标准，结果有左右的同学达到或超过这个标准而获得奖励．这个奖励标准“平均数”、“众数”或“中位数”中的哪一个？
(3)发现解题数最多的同学男女各半，决定从中选两人谈解题经验，求出恰好选都是男同学的概率．
6-1.（2024·河北秦皇岛·九年级统考期末）一组数据，，，，中（,为整数），唯一众数是，平均数是，这组数据的中位数是 ．
6-2．（2022·北京·校考模拟预测）已知 a，b，c 为非负整数， a≥b≥c，a+b+c=100，则当 a，b，c 方差最小时， a=_____________；当 a，b，c 方差最大时， a=______________
6-3．（2024·河北·统考一模）2021年是中国共产党成立100周年，某校举行“喜迎中国共产党建党100周年”党史知识竞赛，如表是11名决赛选手的成绩．这11名决赛选手成绩的中位数是______，如果再加一位选手参加决赛，加上这位选手的成绩后，发现12名选手与之前11位选手的成绩的中位数一样．设最后参赛选手的成绩是m分，则m的取值范围是______．
分数 100 95 90 85
人数 1 5 3 2
6-4．（2023·河北邢台·校考一模）青年工匠小强，每天加工零件的定额是150个，加工一个零件可获得1.2元的收入，若加工零件个数不超过定额，则按实际加工零件个数领取报酬；若加工零件个数超过定额，则超过定额的部分每个多获得0.3元．(1)求小强一天的收人y（元）与加工的零件个数x（）之间的函数关系式；(2)已知小强10天加工零件个数如下表所示：
加工零件数 130 140 150 160 180
频数（天） 1 3 1 4 1
①以这10天记录的各加工零件个数的频率作为各加工零件个数发生的概率，求小强一天收入超过180元的概率；②若小强再加工一天，加工零件个数m与原来10天加工零件个数组成一组新数据，若新数据的中位数比原来10天加工零件个数的中位数大，求m的最小值．
7-1．（2024九年级下·江苏泰州·专题练习）如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在小组，而不在小组），根据图中提供的信息，有下列说法：①该学校教职工总人数是50；②年龄在小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的；③教职工年龄的中位数一定落在这一组；④教职工年龄的众数一定在这一组．其中正确的是 ．
7-2．（2024·江苏泰州·二模）近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善．截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆．如图是我国2019～2023年公共充电桩数量情况统计图和2023年全国部分省公共充电桩数量统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)2023年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的______%（精确到1%）；
(2)2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比约为______；
A． B． C． D．
(3)小明说：2023年全国公共充电桩数量超过前4年的总和，所以2023年全国公共充电桩数量的增长率比2022年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
7-3．（2024·山西·统考一模）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示.
请根据该统计图，写出一条你获取的信息：______.
7-4．（2024·广东·模拟预测）2023年中秋国庆假期，首日（9月29日）全国发送旅客总量达到6320.5万人次，其中公路和铁路的客运量超过6000万人次，占比超过．如图反馈不同运输形式预计发送旅客情况，请你根据图中信息回答下列问题：
(1)预计水路发送旅客 万人次．(2)公路预计发送旅客人次占比约为，在扇形统计图中，“公路”对应的圆心角度数为 °；若某地区假期首日发送旅客总量约为30 000人次，请你计算通过公路发送的旅客约为多少人次．(3)2022年国庆首日铁路发送旅客总量约为970万人次，2023年通过优化发送旅客总量约比2022年同期增长了 %（精确到1%）．根据目前数据，你会给相关政府部门或有出行计划的同学什么建议
7-5．（2024·广东深圳·模拟预测）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担．为了解今年某区18000名初二学生的每天平均做作业的时间，从中随机抽取若干名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题：
组别 完成作业用时（分钟） 频数（人数） 频率
A 50 0.1
B a 0.15
C 225 b
D 125 0.25
E 25 0.05
(1)表中的______，______．(2)补全频数分布直方图；
(3)结合调查信息，请你估计今年罗湖区初三学生中，每天做作业时间在50到90分钟的学生约有多少人？
8-1．（2024·安徽·校联考一模）下列说法正确的是（ ）
A．翻开数学书的页码是偶数属于确定性事件
B．寓言故事“守株待兔”发生的概率是1
C．如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买100张这种彩票一定会有一张彩票中奖
D．如果淮北市明天下雨的概率是，那么准北市明天下雨的可能性非常大
8-2．（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．已知一种彩票的中奖概率是，则买10000张这样的彩票一定会中奖
B．数据2，3，7，8，3，4，3，8的众数是8
C．调查深圳市人民对政府服务的满意程度适合用抽样调查
D．“甲、乙、丙三个队参加端午节赛龙舟比赛，甲队获得冠军”是必然事件
8-3．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．为了解我国初中生体重情况可以采用普查的方式
B．小明记录了390名亲朋好友的生日，则必有两个人生日相同
C．体操比赛时，甲、乙两班学生身高的方差分别为，则甲班学生的身高较整齐
D．抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率
8-4．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
9-1．（2025·广东深圳·一模）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是 ．
9-2．（2025·广东广州·一模）某学校对学生最喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了_______名学生，_______，_______；
(2)已知该校共有名学生，请你估计该校喜欢阅读“”类图书的学生约有多少人？
(3)学校将举办读书知识竞赛，九年级（）班要在本班名优胜者（男女）中随机选送人参赛，请用画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
9-3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．

请根据统计图中的信息，解答下列问题：(1)参加本次问卷调查的学生共有______人．
(2)在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
(3)端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
10-1．（2024·广东江门·一模）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）
(1)求抽查学生总数．(2)求所抽查学生读课外书册数的平均数．（结果保留整数）
(3)老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学．你认为这个游戏公平吗？为什么？
10-2．（2025·广东潮州·模拟预测）从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2和方块1、2、3，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张．小明和小红制定了游戏规则：若摸出的两张牌的牌面数字之和为3则小明胜，两张牌的牌面数字之和为4则小红胜．这个规则公平吗？ 请你用列表法或画树状图分析说明．
10-3．（2025·广东梅州·一模）在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）．
(1)小张恰好坐在①号座位的概率为______；(2)用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率．
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