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易错06 圆
易错陷阱1：圆锥与扇形间的转化关系混乱致误
如图，圆锥的底面半径为r，底面周长为C，母线为a，高为h；扇形的圆心角为n°，半径为R，弧长为l。
重要关系：①圆锥的底面周长=扇形的弧长，即C=l；②圆锥的母线=扇形的半径，即a=R。
易错提醒：1）母线、底面半径与高的关系混淆；2）弧长与底面周长的对应错误。
例1．（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践
主题：制作无底圆锥
素材：一张直径为的圆形纸板，如图1．
步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆；
步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥．
猜想与计算：(1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系；
(2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数．
变式1．（2024·广东佛山·一模）数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．

易错陷阱2：对垂径定理理解和运用不熟练致误
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2）推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。
总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。
易错提醒：垂径定理理解和运用不熟练，不能正确添加辅助线构建直角三角形解题，如辅助线添加错误或无法找到直角三角形中的关键线段关系。
例1．（2024·广东·模拟预测）综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．
工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．
小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，利用刻度尺测得的长．
小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得的长为．
(1)小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是
(2)请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径（结果用含字母l的式子表示）．
变式1．（2023·广东深圳·三模）在观察地球仪时，某数学小组发现台湾省的纬度约为北纬，小组成员查阅相关资料，得到如下信息：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度．根据以上信息，北纬纬线的长度约为 ．（参考数据：，，，）
变式2．（2024·广东广州·模拟预测）刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为 ．
变式3．（2024·广东中山·模拟预测）与x轴交于点A，B，与y轴的正半轴交于点C．若，则点C的纵坐标为 ．
易错陷阱3：弦所对的圆周角没有分类讨论致误
在圆中，非直径的弦所对的圆周角有两个，且两个圆周角互补。
易错提醒：对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意。
例1．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）如图，是的弦，是过点的切线，若，则所对的圆周角的度数为 ．
变式1．（2024九年级·广东·培优）在半径为1的中，弦，则弦所对的圆周角的度数为（ ）．
A． B． C．或 D．或
变式2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的一条弦分圆周长为两部分，则弦所对的圆周角的度数是（ ）
A． B．或 C． D．或
易错陷阱4：未对平行弦距离问题分类讨论致误
易错提醒：求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。
例1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升 ．
变式1．（2023·山东泰安·二模）已知的直径为10cm， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（ ）．
A．1 B．7 C．1或7 D．3或4
变式2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升（　　）
A． B． C．或 D．或
易错陷阱5：对切线性质和判定理解不准确致误
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
切线性质定理及推论：①圆的切线垂直于过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
易错提醒：1）对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法使用不熟练；2）运用判定和性质时，要严格根据方法及定理进行说明，不能凭主观进行判断。
例1．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，是的直径，C为外一点，连接，交于点D，连接并延长，交线段于点E，．
(1)求证：．(2)判断与的位置关系，并证明你的结论．
例2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，在中，，为边上的一点，以为圆心，为半径的圆与切于点，与交于另一点．(1)求证：平分；
(2)若，，求的长；(3)在（2）的条件下，直接写出的值．
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，点B为边上一点，以为直径的圆交于点D、F．连接、、，交于点H．给出下列三个信息：①D为弧的中点；②；③是的切线；(1)请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题．你选择的条件是_________，结论是_________．（只要填写序号）并证明．
(2)在（1）的条件下，若，，求的长
变式2．（2025·广东·模拟预测）如图，已知菱形，以为直径的与对角线交于点，与边交于点，连接，，为上一点，连接．(1)求证：点，，三点共线；
(2)若点为的中点，求证：是的切线；(3)若的半径长为，，求的长．
变式3．（2025·广东揭阳·一模）如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，为上一点，延长交于点，已知，为的切线．
(1)求的度数；(2)过点作，垂足为，若，求．
易错陷阱6：不规则图形重复或减少面积致误
与圆有关的面积、长度计算：设的半径为，圆心角所对弧长为。圆的周长公式：；
圆的面积公式：；扇形弧长公式：；扇形面积公式：
计算不规则图形的面积：主要有以下方法：
（1）和差法：适用于图中有一部分空白是一个规则的几何图形，而这部分空白与阴影部分的结合也是一个规则的几何图形或几个规则几何图形的组合；
（2）割补法：适用于可将图中部分阴影通过对称分割，然后通过旋转和平移，补到另外一块阴影部分上去，构成一个规则的几何图形，如扇形，矩形，三角形；
（3）等积法：适用于①图中某些空白部分和阴影部分面积相等，可通对称、旋转，使之成为较为规则图形；②用同底等高的三角形等积替换．
易错提醒：将不规则面积转化为规则图形的面积，防止重复或少减面积，以免出错。
例1．（2025·河北·模拟预测）如图，是半圆O的直径，弦，弦，连接，若，则图中两个阴影部分的面积和为 ．
变式1．（2024·广东·模拟预测）如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ．
变式2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ．
变式3．（2025·贵州·一模）如图，是半圆O的直径，点E是半圆O上一动点（不与A，B重合），过点O作，交半圆O于点C，垂足为G，过点C作交于点F，垂足为D．
(1)写出图中一对全等三角形　　　　（用“”连接），图中直角三角形的个数有　　　　个；
(2)求证：；(3)若，，求阴影部分的面积．
易错陷阱7：混淆两心（内心和外心）的构成致误
1）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
2）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
3）三角形的外心：三角形三边中垂线的交点，叫该三角形的外心。
4）三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，叫该三角形的内心。
易错提醒：三角形的内心是指三角形内切圆的圆心，是三角形 3 条角平分线的交点;三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。
例1．（2023·浙江·模拟预测）如图，点O是的内心，的延长线交的外接圆于点D，交于E，设．(1)求证：；(2)探究的值与a之间的数量关系；
(3)若，E为的一个三等分点，求的外接圆的半径．
变式1．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·山东聊城·一模）如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（ ）
A．4 B． C． D．
1-1．（2022·广东东莞·二模）在数学课上，某同学用一张如图1所示的长方形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的高为 .
1-2．（2024·广东广州·一模）综合与实践
主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．
步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形．
步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．
计算与探究：（）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；（）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ．
1-3．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）．(1)求扇形的圆心角的度数；(2)求圆锥的底面半径．
1-4．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
2-1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，内接于，连接并延长交于点D，交于点E，若，，°，则的长为 ．
2-2．（2024·广东潮州·二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺(10寸)，则圆的直径长度是 ．
2-3．（2023·北京西城·一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径
2-4．（2024·安徽安庆·一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且．(1)求证：；(2)若，求的半径．
3-1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知弦与的半径相等，则弦所对的圆周角的度数为
3-2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知弦把圆周分成的两部分，则弦所对的圆周角的度数为 ．
3-3．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于．
(1)求点O到的距离；(2)直接写出弦所对的圆周角的度数．
4-1．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，，是中的两条弦，且．圆的半径为，，，则与之间的距离是 ．
4-2．（23-24九年级上·云南昆明·期中）、是直径为26的中的两条平行弦，且，，则这两条平行弦之间的距离为 ．
5-1．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，点在上，且，过点作的切线，交 的延长线于点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5-2．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，为 的直径，，连接，过点D作，，垂足分别为E，F，则下列结论正确的是 ．
①；②；③与相切；④若，，则．
5-3．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为 ．
5-4．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，使得，过点A作垂直于交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．
5-5．（24-25九年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．
5-6．（2024·广东东莞·三模）已知：点是外一点．(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，证明切线长定理（，平分）．
5-7．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知等腰，，作的外接圆为，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，
②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M，
③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线；
(1)求证：是的切线；(2)若，求的面积．
6-1．（2025·重庆·模拟预测）如图，直角中，，，，以为圆心为半径画弧交于点，以为圆心为半径画弧交于点，则阴影面积为（ ）
A． B． C． D．
6-2．（2025·山西·一模）如图，在中，，，．以A为圆心，为半径画弧交边于点E，，点D为的中点，以D为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
6-3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
6-4．（2025·河南开封·一模）如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，，垂足为，延长与半圆交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
7-1．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7-2．（23-24九年级下·浙江·自主招生）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，则的内心与外心之间的距离是 ．
7-3．（2025·广东广州·一模）如图，是的直径，是上的点，弦和交于点，且是的切线，，连结．(1)求证：；(2)求证：是的内心；(3)若，求直径的长．
7-4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，．(1)求证：；(2)若，，，求的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错06 圆
易错陷阱1：圆锥与扇形间的转化关系混乱致误
如图，圆锥的底面半径为r，底面周长为C，母线为a，高为h；扇形的圆心角为n°，半径为R，弧长为l。
重要关系：①圆锥的底面周长=扇形的弧长，即C=l；②圆锥的母线=扇形的半径，即a=R。
易错提醒：1）母线、底面半径与高的关系混淆；2）弧长与底面周长的对应错误。
例1．（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践
主题：制作无底圆锥
素材：一张直径为的圆形纸板，如图1．
步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆；
步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥．
猜想与计算：(1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系；
(2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数．
【答案】(1)（或）(2)
【详解】（1）解：由题可知，半圆的弧长等于圆锥的底面周长，或．
（2）解：，，，解得：，
在直角中，，，，．
变式1．（2024·广东佛山·一模）数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设正方形的边长为，如图，连接，，则，
，在上，

设，过作于，连接，∴四边形为矩形，
∴，，，而，
∴，解得：（舍去），，
∴大的半圆的弧长为，小圆的周长为，故A不符合题意；
如图，由正方形与圆的性质可得：，∴大的半圆的弧长为，
小圆的周长为，故B符合题意；如图，连接，，则， 设，
同理可得：，，，∴，解得：，
∴∴大的扇形的弧长为，小圆的周长为，故C不符合题意；
如图，连接，， 设，当刚好要围成一个圆锥时，则扇形的弧长等于小圆的周长，
∴，∴，而图中裁剪的条件中没有这个条件，故D不一定能够刚好围成圆锥，不符合题意；故选B
变式2．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，

(1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1），，，，
扇形纸板的圆心角度数为；
（2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，
由（1）得，
,
彩带长度的最小值为．
易错陷阱2：对垂径定理理解和运用不熟练致误
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2）推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。
总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。
易错提醒：垂径定理理解和运用不熟练，不能正确添加辅助线构建直角三角形解题，如辅助线添加错误或无法找到直角三角形中的关键线段关系。
例1．（2024·广东·模拟预测）综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．
工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．
小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，利用刻度尺测得的长．
小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得的长为．
(1)小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是
(2)请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径（结果用含字母l的式子表示）．
【答案】(1)的圆周角所对的弦是直径(2)
【详解】（1）解：∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径），即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径．
故答案为：的圆周角所对的弦是直径；
（2）解：如图，设点O为圆心，连接交于点M，连接．
∵为的切线，∴．又∵，∴，∴．
设的半径为，则，，在中，，
∴， ，∴杯口的直径为．
变式1．（2023·广东深圳·三模）在观察地球仪时，某数学小组发现台湾省的纬度约为北纬，小组成员查阅相关资料，得到如下信息：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度．根据以上信息，北纬纬线的长度约为 ．（参考数据：，，，）
【答案】
【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，

根据题意，∵，∴，
∵在中， ，∴，
∵，∴由垂径定理可知：，
∴以为直径的圆的周长为，故答案为：．
变式2．（2024·广东广州·模拟预测）刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为 ．
【答案】10
【详解】解：如图，设圆心为O，连接，，，交于点F．
， ，，，四边形是平行四边形，
，，，四边形是矩形，，
，，，是切线，，
，，设，则有，
，故答案为：10．
变式3．（2024·广东中山·模拟预测）与x轴交于点A，B，与y轴的正半轴交于点C．若，则点C的纵坐标为 ．
【答案】/
【详解】解：连接，，，过作于，于，
，四边形是矩形，，，
，，，，，
，，，，
，，是等腰直角三角形，，
，是中点，，，
，，的纵坐标是．故答案为：．
易错陷阱3：弦所对的圆周角没有分类讨论致误
在圆中，非直径的弦所对的圆周角有两个，且两个圆周角互补。
易错提醒：对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意。
例1．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）如图，是的弦，是过点的切线，若，则所对的圆周角的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：∵是过点的切线，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴弦所对的劣弧的度数为：，所对的优弧的度数为：，
∴所对的圆周角的度数为或；故答案为：或．
变式1．（2024九年级·广东·培优）在半径为1的中，弦，则弦所对的圆周角的度数为（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】如图，连结，，，，，，
当圆周角的顶点在优弧上时，，当圆周角的顶点在劣弧上时，，
，
综上所述，弦所对的圆周角的度数为或．故选C．
变式2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的一条弦分圆周长为两部分，则弦所对的圆周角的度数是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【详解】解：的一条弦分圆周长为两部分，
弦所对的圆心角的度数是或，
弦所对的圆周角的度数是或，故选：B．
易错陷阱4：未对平行弦距离问题分类讨论致误
易错提醒：求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。
例1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升 ．
【答案】1或7
【详解】解：作半径于，连接，由垂径定理得：
在中，，当水位上升到圆心以下水面宽时，则，
水面上升的高度为：；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：，
综上可得，水面上升的高度为或．故答案为：1或7．
变式1．（2023·山东泰安·二模）已知的直径为10cm， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（ ）．
A．1 B．7 C．1或7 D．3或4
【答案】C
【详解】作于E，延长交于F，连接、，如图

∵，∴∴，
在中， 在中，
当点O在与之间时，如图1，
当点O不在与之间时，如图2，故选：C．
变式2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：如图，作半径于C，连接，
由垂径定理得：，在中，，
当水位上升到圆心以下时，水面宽时，则， 水面上升的高度为：；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：，
综上可得，水面上升的高度为或，故选：D．
易错陷阱5：对切线性质和判定理解不准确致误
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
切线性质定理及推论：①圆的切线垂直于过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
易错提醒：1）对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法使用不熟练；2）运用判定和性质时，要严格根据方法及定理进行说明，不能凭主观进行判断。
例1．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，是的直径，C为外一点，连接，交于点D，连接并延长，交线段于点E，．
(1)求证：．(2)判断与的位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析(2)与相切，理由见解析
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：与相切，理由如下：
∵是的直径，∴，∴，∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴与相切．
例2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，在中，，为边上的一点，以为圆心，为半径的圆与切于点，与交于另一点．(1)求证：平分；
(2)若，，求的长；(3)在（2）的条件下，直接写出的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：连接，则：，∴，
∵，以为圆心，为半径的圆与切于点，∴，∴，
∴，∴，∴，∴平分；
（2）解：连接，过点作， ∵为直径，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，即：，∴，
∵平分，，，∴；
（3）∵，∴，∴，
∵，∴，∴．
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，点B为边上一点，以为直径的圆交于点D、F．连接、、，交于点H．给出下列三个信息：①D为弧的中点；②；③是的切线；(1)请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题．你选择的条件是_________，结论是_________．（只要填写序号）并证明．
(2)在（1）的条件下，若，，求的长
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）若条件：①②，结论:③
证明：连接，∵D为弧的中点且为半径，∴，
∵是直径，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
又∵为半径，∴ 是的切线；
若条件：②③，结论:①；
证明：连接，∵是的切线，∴，∵，∴，
∵是直径，∴，∴，∴，
∵为半径，∴D为弧的中点；
若条件：①③，结论:②
证明：连接， ∵D为弧的中点且为半径，∴，
∵是的切线，∴， ∴，
∵是直径，∴，∴，∴；
（2）连接交于点G，
∵D为弧的中点且为半径，∴且，∵，设，∴，
∵是直径，∴，∴，
∵，∴，∴，即
∴，解得，∴， ∴．
变式2．（2025·广东·模拟预测）如图，已知菱形，以为直径的与对角线交于点，与边交于点，连接，，为上一点，连接．(1)求证：点，，三点共线；
(2)若点为的中点，求证：是的切线；(3)若的半径长为，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2
【详解】（1）证明：如图，连接．
为的直径。，即．
四边形是菱形，，即．点，，三点共线．
（2）证明：如图，连接、．由（1）得点，，三点共线，
四边形是菱形，，，
又，，．，．
又为的中点，．，．
又，．，．
又为的半径，为的切线．
（3）解：如图，连接，．由（2）得，
，．的半径长为，．
四边形是菱形，．为的直径，，．
设，则，在中，，
在中，，，解得．的长为．
变式3．（2025·广东揭阳·一模）如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，为上一点，延长交于点，已知，为的切线．
(1)求的度数；(2)过点作，垂足为，若，求．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：如图所示，连接，设，，则，
∵，∴，
∵是的切线，∴，则，
又∵是直径，，∴，即，∴，
又∵，∴，
在中，，∴，
又∵是直径，，∴垂直平分，∴，
∴是等腰直角三角形，∴；
（2）解：如图所示，延长交于点，
∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，
又∵，∴垂直平分，则，∴是的中点，
∴，∴，，∵，，则，∴，
如图所示，延长至使得，连接，
∵四边形是圆内接四边形，∴，
∵，∴，又∵，，
∴，∴，，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴．
易错陷阱6：不规则图形重复或减少面积致误
与圆有关的面积、长度计算：设的半径为，圆心角所对弧长为。圆的周长公式：；
圆的面积公式：；扇形弧长公式：；扇形面积公式：
计算不规则图形的面积：主要有以下方法：
（1）和差法：适用于图中有一部分空白是一个规则的几何图形，而这部分空白与阴影部分的结合也是一个规则的几何图形或几个规则几何图形的组合；
（2）割补法：适用于可将图中部分阴影通过对称分割，然后通过旋转和平移，补到另外一块阴影部分上去，构成一个规则的几何图形，如扇形，矩形，三角形；
（3）等积法：适用于①图中某些空白部分和阴影部分面积相等，可通对称、旋转，使之成为较为规则图形；②用同底等高的三角形等积替换．
易错提醒：将不规则面积转化为规则图形的面积，防止重复或少减面积，以免出错。
例1．（2025·河北·模拟预测）如图，是半圆O的直径，弦，弦，连接，若，则图中两个阴影部分的面积和为 ．
【答案】
【详解】解：连接，
∵弦，弦，∴，，∴，，
∵，∴，
∴．故答案为：．
变式1．（2024·广东·模拟预测）如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
由题意得：，扇形的半径，
则图中阴影部分的面积为，故答案为：．
变式2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接，作如图所示：
由题意得：，∴四边形是菱形，
∵是正六边形，∴，∴，
∴均为等边三角形，∴∴
∴阴影部分的面积，故答案为：
变式3．（2025·贵州·一模）如图，是半圆O的直径，点E是半圆O上一动点（不与A，B重合），过点O作，交半圆O于点C，垂足为G，过点C作交于点F，垂足为D．
(1)写出图中一对全等三角形　　　　（用“”连接），图中直角三角形的个数有　　　　个；
(2)求证：；(3)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)（答案不唯一）；4(2)见解析(3)
【详解】（1）解：∵，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
∵，，∴；
图中直角三角形有，，，，共4个．
（2）证明：根据解析（1）可知：，∴；
（3）解：在中，，∴，∴，
由（2）可知，∴，．在中，，
∴．
易错陷阱7：混淆两心（内心和外心）的构成致误
1）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
2）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
3）三角形的外心：三角形三边中垂线的交点，叫该三角形的外心。
4）三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，叫该三角形的内心。
易错提醒：三角形的内心是指三角形内切圆的圆心，是三角形 3 条角平分线的交点;三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。
例1．（2023·浙江·模拟预测）如图，点O是的内心，的延长线交的外接圆于点D，交于E，设．(1)求证：；(2)探究的值与a之间的数量关系；
(3)若，E为的一个三等分点，求的外接圆的半径．
【答案】(1)见解析(2)(3)的外接圆的半径为或
【详解】（1）证明：点是的内心，为的平分线，，
，．，；
（2）解：的值与之间的数量关系为：．
理由：连接，如图，点是的内心，为的平分线，．
，，，
，．由（1）知：，，，
平分，点E到的距离相等，设该距离为，，
以为底边的高相同，设该高为，，
，，，，
，，，，；
（3）解：若为的一个三等分点，则或，或，或．
①当时，，，，
，，，
为直角三角形，为外接圆的直径，的外接圆的半径为；
②当时，，．
作出的外心，连接并延长交于点，连接，过点作于点，如图，
设，则，，，
，，．．
为直径，，．
，，，，．
的外接圆的半径为．综上，的外接圆的半径为或．
变式1．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接，∵点是的内心，∴平分，
∵，∴，
∵点是外接圆的圆心，∴，
∵，∴，故选：C．
变式2．（2024·山东聊城·一模）如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接，是等边三角形，，
点为等边的内心，，，
等边三角形的内心与外接圆的圆心重合，点为的外接圆的圆心，
，是等边三角形，，故选A．
变式3．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：延长交于点，连接，交于点，
则：，∵I是内心，∴，
∴，∴，即：，∴，
∵，∴，∴，∵，∴，∴，
过点作，则：，
又∵，，∴，∴，∴，∵I是内心，∴，∴，
如图2：过点作，连接，设，则：，
则：，即：，解得：，
∴；∴
设的半径为则：∴，
即：，解得：；故选A．
1-1．（2022·广东东莞·二模）在数学课上，某同学用一张如图1所示的长方形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的高为 .
【答案】
【详解】解：设此圆锥的母线长为R，根据题意得，解得R=18，即在中，，
∴由勾股定理，可得，即此圆锥的高为．故答案为：．
1-2．（2024·广东广州·一模）综合与实践
主题：装饰锥形草帽．
素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．
步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形．
步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．
计算与探究：（）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；（）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ．
【答案】（）；（）．
【详解】解：（）设底面圆的半径为，
∵，，∴，∵，∴，
∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形，
∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为；
（）∵设底面圆的半径为，则，
∵，∴，∴，故答案为：．
1-3．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）．
(1)求扇形的圆心角的度数；(2)求圆锥的底面半径．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵一个半径为，面积为的扇形铁皮
∴∴扇形的圆心角的度数为；
（2）解：根据题意得解得．所以圆锥的底面半径r为
1-4．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
【答案】(1)(2)20.7
【详解】（1）解：如图1， ，则，∴，
如图2， ，作于D，则，
∴，∴，∴；
∵，∴，∴．故答案为：．
（2）解：∵圆锥的底面直径，∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为，则，解得，
∵，∴蚂蚁爬行的最短路径长为．
2-1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，内接于，连接并延长交于点D，交于点E，若，，°，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：作于F，得，由，则，
∵，，∴，，∴，
∴，故答案为：
2-2．（2024·广东潮州·二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺(10寸)，则圆的直径长度是 ．
【答案】26
【详解】解：连接，设的半径是寸，
∵弦，垂足为点，寸，
寸，寸，，，，
∴直径的长度为寸．故答案为：26．
2-3．（2023·北京西城·一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径
【答案】1.3
【详解】解：设圆的半径为，
由题意可知，，，中，，，
所以，解得．故答案为：1.3
2-4．（2024·安徽安庆·一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且．(1)求证：；(2)若，求的半径．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：∵平分，，，
，，，；
（2）解：连接与交于，，，
，，，
，，∴的半径是．
3-1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知弦与的半径相等，则弦所对的圆周角的度数为
【答案】或
【详解】解：如图，
设的半径为，由题意可得：，
为等边三角形，，设弦所对的圆周角为，
当点在弦所对的优弧上时，，
当点在弦所对的劣弧上时，，
弦所对的圆周角的度数为或，故答案为：或．
3-2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知弦把圆周分成的两部分，则弦所对的圆周角的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：如图，∵弦把圆周分成的两部分，∴

∴，，故答案为：或．
3-3．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于．
(1)求点O到的距离；(2)直接写出弦所对的圆周角的度数．
【答案】(1)点O到到的距离为(2)弦所对的圆周角的度数为或
【详解】（1）解：过点O作于点E，则，∵，∴，
在中，，∴，∴点O到到的距离为；
（2）解：连接，由（1）知，在中，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴,∴弦所对的圆周角的度数为或．
4-1．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，，是中的两条弦，且．圆的半径为，，，则与之间的距离是 ．
【答案】或
【详解】连接，做，，∴直线，设垂足为点，
，，，
，，
（1）如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为，

（2）如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为，
故答案为或．
4-2．（23-24九年级上·云南昆明·期中）、是直径为26的中的两条平行弦，且，，则这两条平行弦之间的距离为 ．
【答案】7或17/17或7
【详解】如图，过点O作，并延长交于点F，连接，．
∵，∴，∴．∵，∴．
在中，．
在中，．
则，所以这两条平行线之间的距离是7；
如图，过点O作，并反向延长交于点F，连接，．
由上述可知，，．
则，所以这两条平行线之间的距离是17．故答案为：7或17．
5-1．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，点在上，且，过点作的切线，交 的延长线于点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接，则，∴，
∵，∴，∴，
∵是的切线，∴，∴，∴，故选：．

5-2．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，为 的直径，，连接，过点D作，，垂足分别为E，F，则下列结论正确的是 ．
①；②；③与相切；④若，，则．
【答案】①③④
【详解】如图，连接，
∵，，∴，
∵，∴，四边形内接于，
∴，∴，∴，∴，
∵ ，∴，故①正确，
∵不能确定，∴不一定成立，故②错误，如图，连接，
在和中，∴，∴，∴，
∵是直径，∴，即，
∵，∴，∴，∴与相切，故③正确，
∵， ， ，∴．∴， ，
在和中，∵， ，∴，∴
∵， ，∴，故④正确 故答案为：①③④．
5-3．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：是的直径，，
是的切线，，，，
，，
又，，是等腰直角三角形，
为的中线，，，
，故答案为：．
5-4．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，使得，过点A作垂直于交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)长为6
【详解】（1）证明：连接．
，．又，．
是的直径，．，．
又是的半径，是的切线．
（2）解：是的半径，，是的切线，
又也是的切线，．设，
在中，，即，解得，所以长为6．
5-5．（24-25九年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析(2)
【详解】（1）证明：如图：连接，则，∴，
∵，∴，∴，∴，∵于点E，∴，
∵是的半径，，∴是的切线．
（2）解：如图：连接，∵是的直径，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴是等边三角形，∴，∵，
∴，∴．
5-6．（2024·广东东莞·三模）已知：点是外一点．(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，证明切线长定理（，平分）．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）解：如图所示，，即为所求，
证明：连接，，∵是圆的直径，∴，∴，，
∵、是的半径，∴、是的切线；
（2）证明：连接，，∵、是的切线，∴，，
在和中，，∴
∴，，∴平分．
5-7．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知等腰，，作的外接圆为，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，
②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M，
③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线；
(1)求证：是的切线；(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接并延长，交于H，
∵是的外接圆， ∴平分，
∵，∴，∴， ∴
由作图可知，∴，∴，
∵是半径， ∴是的切线.
（2）解：过E作交于F，∴
∵平分，∴，∴， ∴，
∵，，∴，∴ ，
∵，平分，∴=1，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴， ∴
6-1．（2025·重庆·模拟预测）如图，直角中，，，，以为圆心为半径画弧交于点，以为圆心为半径画弧交于点，则阴影面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，，∴，
∴由图可得，故选：C．
6-2．（2025·山西·一模）如图，在中，，，．以A为圆心，为半径画弧交边于点E，，点D为的中点，以D为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】解：∵在中，，，．∴，，
∵点D为的中点，∴，，
∴，故选：C．
6-3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设最大正方形的边长为a，则正方形的面积，其内部扇形的面积，
其面积之比为，其它以下图形的面积之比同理可得也是，
由几何概型的概率求解公式可得，矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为．故选：B．
6-4．（2025·河南开封·一模）如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，，垂足为，延长与半圆交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：为半圆的直径，，，
，，，，，
阴影部分的面积，
故答案为：．
7-1．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】解：连接，如图所示：∵为的内心，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴∴，故选：D．
7-2．（23-24九年级下·浙江·自主招生）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，则的内心与外心之间的距离是 ．
【答案】
【详解】解： A、B两点的坐标分别为、，，，，
，为外接圆的直径，取的中点为，即为外接圆圆心，，
记为内切圆圆心，连接、、、
内切于，，，，，，
，四边形正方形，，
，，，，解得，，
．
7-3．（2025·广东广州·一模）如图，是的直径，是上的点，弦和交于点，且是的切线，，连结．(1)求证：；(2)求证：是的内心；(3)若，求直径的长．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)10
【详解】（1）证明：，，，
，，，．
（2）证明：如图①，连结．
是的切线，，，．
又在中，，是等腰直角三角形，，
，，是的直径，，
，，即平分．
由（1）得：，设，
，，
，即平分．是的内心．
（3）解法一：如图②，过点作于点，过点作交的延长线于点．
平分，．
由（2）得，，，．
在和中，，．．
，四边形是正方形．
在正方形中，，，，
．在中，由勾股定理得．直径的长为10．
解法二：如图③，将绕点逆时针旋转得到．
由（2）设，，
，．
由旋转的性质得，
，三点共线．
，．．
在中，由勾股定理得．直径的长为10．
7-4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，．(1)求证：；(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）是的内心，平分，平分，，，
，，，，；
（2）连接．，，，
，，，
，设，，则，，同法可证：，
，，：：，设，，
，，，，
，或舍弃，，，，
，．
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