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消灭易错 填空题必刷78道
A组 中考真题
数与式
1．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。
若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min；
若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排
2．（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ．
3．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ．
4．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，那么的值为 ．
5．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ．
6．（2024·北京·中考真题）分解因式： .
7．（2024·四川德阳·中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）．
8．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ；
方程（组）与不等式（组）
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
10．（2024·贵州·中考真题）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 ．
11．（2024·四川广元·中考真题）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ．
12．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
13．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
一次函数、反比例函数、二次函数
14．（2024·内蒙古包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ．
15．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
16．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ．
17．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．

18．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）．
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
19．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
20．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
21．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．

22．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ．
23．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ．
24．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：）
25．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ．
平行四边形与特殊平行四边形
26．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．

27．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．

28．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为 ．
29．（2024·贵州·中考真题）如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ．
圆的综合
30．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为

31．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，若，则 ．
32．（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ．
33．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ．
统计与概率
34．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是 ．
35．（2024·江苏扬州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
36．（2024·北京·中考真题）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02 49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 .
37．（2024·云南·中考真题）某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：
注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．
若该校共有学生人，则该校喜欢跳绳的学生大约有 人．
B组 中考模拟
数与式
1．（2025·河北沧州·模拟预测）写出一个比大且比小的整数： ．
2．（2025·江苏无锡·一模）在实数范围内分解因式： ．
3．（2025·四川成都·一模）若 ，则代数式 的值为 ．
4．（2025·山东枣庄·一模）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取，则…，有按此规律继续计算，第2025次“F”运算的结果是 ．
方程（组）与不等式（组）
5．（2025·河北邢台·模拟预测）和是关于的一元二次方程的两个实数根，数轴上和所表示的点分别为，若点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，则 ．
6．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ．
7．（2025·湖南长沙·一模）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，)
卡片编号
两数的和
8．（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
9．（2025·四川内江·一模）若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是 ．
10．（2025·江苏南通·一模）若，，，则的值是 ．
11．（2025·江西九江·模拟预测）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中x，y为常数，则的值为 ．
一次函数、反比例函数、二次函数
12．（2025·广东深圳·一模）如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点O重合，点B在x轴上，点A在函数的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则k的值为 ．
13．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点．
14．（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上， 边与反比例函数图象交于点， 边与轴交于点 ，且 ．（1）的值为 ；（2） 的值为 ．
15．（2025·四川成都·一模）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ．
16．（2025·四川南充·一模）如图，二次函数（b，c均为常数）的图象与x轴交于点A，B，点P是x轴上方的图象上一点，轴于点Q，则的长为 ．
17.（2025·辽宁沈阳·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是 ．
18．（2025·河南洛阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①，②，③，④，⑤若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论是 ．
19.．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线，交轴于点为，顶点为，对称轴与轴交于点．
（1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ；
（2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ．
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
20．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，点在边上，连接，点是的内心，连接，若，则 ．
21．（2025·新疆阿克苏·一模）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，．则的长为 ．
22．（2025·湖北恩施·一模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点为上一动点，旋转后点的对应点，则线段的最小值是 ．
23．（2025·广东深圳·一模）如图，在中，，，点分别在边和边的延长线上，连接，且，，延长交于点，如果点恰好是的中点，那么 ．
24．（2025·陕西西安·三模）如图，已知，，，若，则的长度为 ．
平行四边形与特殊平行四边形
25．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为 ．
26．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，在正方形中，为CD上一点，连接，过点作于点，若，，则 ．
27．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交，于点，，，连接．若长的最小值为，则的长为 ．
28．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在正方形中，点为上的一点，的垂直平分线交于点，交于点，，交于点，连接．给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确结论的序号填在横线上）
圆的综合
29．（2025·重庆开州·一模）如图，以为直径的与相切于点A，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，则 ， ．
30．（2022·黑龙江鸡西·一模）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为 ．
31．（2025·陕西汉中·一模）如图，是的直径，，是的弦，且点，在异侧，是上一点，连接，，．若，则的度数为 ．
32．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ．
33．（2025·河南平顶山·一模）如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ．
34．（2025·重庆·一模）如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，延长与过点的切线交于点，若，，则 ； ．
统计与概率
35．（2025·河北·一模）检测游泳池的水质，要求三次检测的平均值不小于7.2．且不大于7.8．已知第一次的检测值为7.2，第二次的检测值为8.1．若该游泳池的水质检测合格，则第三次的检测值可能为 ．（写出一个符合条件的一位小数）
36．（2025·湖北·一模）截至2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者，老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是 ．
37．（2025·广东湛江·二模）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有 个．
摸球的次数 20 40 60 80 120 160 200
摸到白球的次数 15 33 49 63 97 126 160
摸到白球的频率
38．（2025·湖南长沙·一模）一个不透明的袋子中，装有5个红球和8个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸球，给出如下说法：
甲说：若摸出一个球，则摸出的这个球可能是红球；
乙说：若摸出一些球，则这些球中不可能有黑球；
丙说：若要确保摸出的球中一定有一个红球，则至少要摸出9个球：
丁说：若摸出一个球，则摸出的球是红球的概率和是白球的概率相等．
上述说法中正确的是 ．（在横线上填写“甲”“乙”“丙”或“丁”）
39．（2025·湖北·一模）如图所示是小华设计的物理电路图，假设开关①、②、③、④都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为 ．
40．（2025·湖北·模拟预测）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（The 9th Asian Winter Games Harbin2025），于2025年2月7日至2月14日在中国黑龙江哈尔滨举行，其会徽为“超越”，这是继1996年哈尔滨亚冬会、2007年长春亚冬会后，哈尔滨第三次举办亚冬会．如图，是一幅印有哈尔滨亚冬会会徽且长为，宽为的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在会徽图案上的频率稳定在左右，由此可估计宣传画上哈尔滨亚冬会会徽图案的面积约为 ．
41．（2025·山西·模拟预测）截至2024年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）：
型号 影响因素
城市环境 山地地形 天气 障碍物识别
A型 8.5 9.5 8 8.3
B型 9 7.5 8.3 9
平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是 型（填“A”或“B”）．
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A组 中考真题
数与式
1．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。
若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min；
若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排
【答案】 60
【详解】解：①节目D的演员的候场时间为，故答案为：60；
②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面，∴①按照顺序，则候场时间为：分钟；
②按照顺序，则候场时间为：分钟；
③按照顺序，则候场时间为：分钟；
④按照顺序，则候场时间为：分钟；
⑤按照顺序，则候场时间为：分钟；
⑥按照顺序，则候场时间为：分钟．
∴按照顺序彩排，候场时间之和最小，故答案为：．
2．（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ．
【答案】1
【详解】解：∵，∴，，解得，，
∴，故答案为：1．
3．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：，，，
，，，……，由上可得，每三个为一个循环，
，．故答案为：．
4．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，那么的值为 ．
【答案】1
【详解】解：
∵∴原式．
5．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ．
【答案】11
【详解】解：，，
，故答案为：11．
6．（2024·北京·中考真题）分解因式： .
【答案】
【详解】．故答案为：．
7．（2024·四川德阳·中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）．
【答案】1/8
【详解】解： 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．
位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8．故答案为：1（或8）．
8．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ；
【答案】1188或4752
【详解】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数），
∴，
∵m是四位数，∴是四位数，即，
∵，∴，
∵是完全平方数，∴既是3的倍数也是完全平方数，
∴只有36，81，144，225这四种可能，
∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425，
又m是偶数，∴或4752故答案为：1188或4752．
方程（组）与不等式（组）
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【详解】解：由题意可得，，解得且，故答案为：且．
10．（2024·贵州·中考真题）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 ．
【答案】20
【详解】解∶设快马追上慢马需要x天，根据题意，得，解得，故答案为：20．
11．（2024·四川广元·中考真题）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：等式两边都乘以，得，令，则，
∴“美好点”的坐标为，故答案为（答案不唯一）
12．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【详解】∵a－b2＝4∴将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6
∵∴的最小值6答案为：6．
13．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
【答案】4
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程有一个根为，∴，解得：．故答案为：4．
一次函数、反比例函数、二次函数
14．（2024·内蒙古包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：设一次函数的解析式为，
∵一次函数的图象经过一、二、三象限，∴，
∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．
15．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点，∴点坐标为，∴，
过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，

∵为等边三角形，∴∴，∴
∴，当时，，解得：，∴，，
∴，∴，∴，
∴当时，，解得：，∴；
而，同理可得：的横坐标为，∴点的横坐标为，故答案为：．
16．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：如图，延长交y轴于点E，
中，令，则，令，解得，
，，，，绕点逆时针方向旋转得到，
，，，四边形是正方形．
，，点的坐标为．故答案为：．
17．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．

【答案】
【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，

∵与的图象交于点，∴把代入，得出，
∴，把代入，解得，∴，
设，在，∴，
∵点B为y轴上一点，将沿翻折，∴，，∴，
则，解得（负值已舍去），∴，
∴，∴点的坐标为，故答案为：．
18．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）．
【答案】①②④
【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，∴，即，由图可知，抛物线开口方向向下，即，∴，
当时，，∴，故①正确，符合题意；
②∵直线是抛物线的对称轴，∴，∴，∴
由图象可得：当时，，∴，即，故②正确，符合题意；
③∵直线是抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，
则，，∴，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，∴，故③错误，不符合题意；
④如图，∵关于x的一元二次方程无实数根，∴，故④正确，符合题意．故答案：①②④
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
19．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，过点作，，，
∴，，∴，∴，∴，
∵，∴，，∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴，故答案为：，
20．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
【答案】/
【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，
则：，∵，∴，∵，∴，
∴，∴，过点作，则：，
∴，∵，，，
∴四边形为矩形，∴，∴，
∵为的中点，∴，令，则：，
∴点在直线上运动，当点与重合时，，此时，
当点与重合时，，此时，∴点E所经过的路径长为；故答案为：．
21．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．

【答案】
【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，

∵I是的内心，∴平分，∴，
又，∴，∴，∴，
当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，
∵，，∴，∴，
∴，，∴，
∴的最小值为．故答案为：．
22．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：∵正方形的边长为1，∴，，
将顺时针旋转得到，则，
∴，，，，∴点P、B、M、C共线，
∵，∴，
∵，，，∴，∴，
∴，设，，则，，
∴，∵，∴，即，
整理得：，∴
，当且仅当，即，也即时，取最小值，故答案为：．
23．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过作于，
由作图可得：，，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴到的距离为；故答案为：
24．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：）
【答案】51
【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图，
由题可知，，设，∵∴
∴∴∴故答案为：51．
25．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点A作垂足为H,
∵，，设，∴，
∵，，∴，∵，∴，
解得∴，，
∴，，∴，
过点C作垂足为M，∴，，
∵,，∴，∴，故答案为：．
平行四边形与特殊平行四边形
26．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．

【答案】/
【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，， ∴在中，，
∴，设，则
∵在中， ，∴，解得，
∴，∴．故答案为：
27．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．

【答案】/
【详解】解：如图，连接交于点，

∵五边形是正五边形，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，即，解得或（舍去），
∴，故答案为：．
28．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为 ．
【答案】13或
【详解】解：当时，如图，∵矩形，∴点O是的中点，
∵点P是的中点，∴，，
∵点E是边的三等分点，∴，，
∵矩形的面积是90，∴，∴，∴，∴；
当时，如图，∵矩形，∴点O是的中点，
∵点P是的中点，∴，，
∵点E是边的三等分点，∴，，
∵矩形的面积是90，∴，∴，
∴，∴；故答案为：13或．
29．（2024·贵州·中考真题）如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ．
【答案】/
【详解】延长，交于点M， 在菱形中，点E，F分别是，的中点，
，，，，
在和中，，，
在和中，，，，
，，过E点作于N点，
，，，，，，
在中，即，
，，故答案为：．
圆的综合
30．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为

【答案】/40度
【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：∵与相切，∴，
又∵，∴，故答案为：．
31．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，若，则 ．
【答案】/62度
【详解】解：连接，∵，，∴，
∴，∴，故答案为：．
32．（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：延长，交于，是的直径，，，
平分，，又∵，∴，
，，，，，
，又∵，∴，
，，，，，故答案为：．
33．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ．
【答案】5
【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为，
∴圆锥的底面半径为，故答案为：5．
统计与概率
34．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是 ．
【答案】
【详解】解：画树状图如下：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，
∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：，故答案为：．
35．（2024·江苏扬州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
【答案】0.53
【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故答案为：0.53
36．（2024·北京·中考真题）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02 49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 .
【答案】160
【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个，
∴这200个工件中一等品的个数为个，故答案为：160．
37．（2024·云南·中考真题）某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：
注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．
若该校共有学生人，则该校喜欢跳绳的学生大约有 人．
【答案】
【详解】解：该校喜欢跳绳的学生大约有人，故答案为：．
B组 中考模拟
数与式
1．（2025·河北沧州·模拟预测）写出一个比大且比小的整数： ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵，∴比大且比小的整数可以是，0，1，2，
故答案为：（答案不唯一）．
2．（2025·江苏无锡·一模）在实数范围内分解因式： ．
【答案】
【详解】解：，故答案为：．
3．（2025·四川成都·一模）若 ，则代数式 的值为 ．
【答案】/
【详解】解：∵，∴，
∴ ，故答案为：．
4．（2025·山东枣庄·一模）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取，则…，有按此规律继续计算，第2025次“F”运算的结果是 ．
【答案】1
【详解】解：当，第1次“F”运算的结果是：，
第2次“F”运算的结果是：，第3次“F”运算的结果是：，
第4次“F”运算的结果是：第5次“F”运算的结果是，
第6次“F”运算的结果是，第7次“F”运算的结果是，…
以此类推可知，从第5次“F”运算开始，每两次“F”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1，∴第2025次“F”运算的结果是1，故答案为：1．
方程（组）与不等式（组）
5．（2025·河北邢台·模拟预测）和是关于的一元二次方程的两个实数根，数轴上和所表示的点分别为，若点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，则 ．
【答案】/
【详解】解：∵和是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，．由题意知，则，解得．
，．故答案为：．
6．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ．
【答案】5
【详解】解：设其中一个正数为，则另一个正数为，由题意得，
整理得，即，解得，，∴较大的正数是5，故答案为：5．
7．（2025·湖南长沙·一模）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，)
卡片编号
两数的和
【答案】
【详解】解：设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，，
则，，，，，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
所以，且，所以卡片上的数最大，故答案为：．
8．（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】20
【详解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，∵该不等式组至多有两个偶数解，∴，解得，
，解得且，
∵该方程解为非负整数，∴，13，∴，故答案为：20．
9．（2025·四川内江·一模）若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是 ．
【答案】
【详解】解：，得，，把代入得，，
则，
∵，∴，∴，
∵，∴当时，的最大值是，
当时，的最小值是，
则代数式的最大值与最小值的差是：故答案为：．
10．（2025·江苏南通·一模）若，，，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：实数，且、满足，，
与为方程的两根，，，，故答案为：．
11．（2025·江西九江·模拟预测）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中x，y为常数，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得，，解得：，∴，故答案为：．
一次函数、反比例函数、二次函数
12．（2025·广东深圳·一模）如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点O重合，点B在x轴上，点A在函数的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则k的值为 ．
【答案】
【详解】解：作于点，
∵是等腰直角三角形，∴，设则，∴，
∵点A在上，∴，∴，∵，∴，∴，
∴，过点作直线轴，垂足为点，作于点，
∵，∴，∴，
又，∴，∴，
作轴于点，∵点在上，∴，设，∴，
∵，∴，
∴，，
∵且，∴，解得，，∴，
设，∴，∴，
∴，同理可得，
由①②得，∴，∴，故答案为：．
13．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点．
【答案】
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高时，可设，将代入解析式得出①；
喷头高时，可设；将代入解析式得 ②；
联立可求出，设喷头高为时，水柱落点距点，
∴此时的解析式为将代入可得解得 ，故答案为：．
14．（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上， 边与反比例函数图象交于点， 边与轴交于点 ，且 ．（1）的值为 ；（2） 的值为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，
∴∴∴∵∴
又∵，则∴
∴∴∴；则反比例函数解析式为
如图，延长交轴于点，过点作于点，
∵∴，∴
又∵四边形是矩形∴，，
∴∴∴
设直线的解析式为，代入，
∴解得：∴直线的解析式为，
联立解得：或（舍去）∴
∴，
∵∴∴故答案为：，．
15．（2025·四川成都·一模）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ．
【答案】 或
【详解】解：把和代入可得：，
两式相减得，即，
∵，∴；把和代入得，解得：，
∴，∴抛物线的对称轴是直线，
当时，则，若时，即，
在范围内，y随x的增大而减小，则当时，取最大值，最大值为；
当时，y取最小值，最小值为；即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义；
当，即，最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义；
当时，则，若时，即，在范围内，y随x的增大而减小，
则当时，取最大值，最大值为；当时，y取最小值，最小值为；
即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义；
当，即，最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义；
综上所述，a的取值范围为或．
16．（2025·四川南充·一模）如图，二次函数（b，c均为常数）的图象与x轴交于点A，B，点P是x轴上方的图象上一点，轴于点Q，则的长为 ．
【答案】3
【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，将点代入二次函数得：，
∴，∵二次函数（均为常数）的图象与轴交于点，
∴是关于的一元二次方程的两个实数根，∴，，
∵轴，∴，，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，∴，即，
∴，∴，
解得或（不符合题意，舍去），即，故答案为：3．
17.（2025·辽宁沈阳·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：连接，设交于E，如图所示：
对于抛物线，当时，，当时，，或，
∴点，点，点，∴，
∵点Q是的中点，∴是的中位线，∴，∴当为最小时，为最小，
根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最小，
∴当点P与点E重合时，为最小，最小值为，在中，由勾股定理得：，
∵的半径为2，∴，∴，∴的最小值为．故答案为：．
18．（2025·河南洛阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①，②，③，④，⑤若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论是 ．
【答案】①②/②①
【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，∴；故①正确，符合题意；
②抛物线与轴交于正半轴，∴；故②正确，符合题意；
③∵对称轴为直线，，即，∴，故③错误，不符合题意；
④∵图象过点，对称轴为直线，∴当时，，
即，故④错误，不符合题意；
⑤∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线，且开口向下，
∴A、B、C到对称轴的距离分别为5，，，，故⑤错误，不符合题意，
综上所述，符合题意的有：①②．故答案为：①②．
19.．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线，交轴于点为，顶点为，对称轴与轴交于点．
（1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ；
（2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ．
【答案】 /0.125 或
【详解】解：①联立抛物线和直线表达式得：，
整理得：，则，解得：，故答案为：；
②∵顶点D在第二象限，∴，当，∴，
∵，∴顶点．
情况1，点A在轴的正半轴上，如图（1），作于点G，
∵，，∴，，
，，∴．
∴．整理得：．∴或（舍）．
情况2，点A在轴的负半轴上，如图，作于点G，
∵，，∴，，
，，∴．
∴．整理得：．∴或（舍），
或，故答案为：或
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
20．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，点在边上，连接，点是的内心，连接，若，则 ．
【答案】
【详解】解：设，∵点是的内心，∴
∵，∴,∴
∵∴，∴
故答案为：．
21．（2025·新疆阿克苏·一模）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，．则的长为 ．
【答案】5
【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，∴，．
∵的周长为8，∴，∴．故答案为：5．
22．（2025·湖北恩施·一模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点为上一动点，旋转后点的对应点，则线段的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接、，过点作于点，∴，
∵在中，，，∴，
∴，∴，
∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，
∴，∵点为上一动点，旋转后点的对应点，
∴当点与点重合时，有最小值为，∴线段的最小值是．答案为：．
23．（2025·广东深圳·一模）如图，在中，，，点分别在边和边的延长线上，连接，且，，延长交于点，如果点恰好是的中点，那么 ．
【答案】
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，如图，过点作于，
∴，∴，∴，
∴，又∵，
∴在中，，∴，
取的中点，连接，∴，
又∵点是的中点，∴是的中位线，∴，，
∴，由可知，∴，
∴，∴，∴，故答案为：．
24．（2025·陕西西安·三模）如图，已知，，，若，则的长度为 ．
【答案】
【详解】解：如图，延长、交于点，延长至点，使得，连接，
，，，，，
，，，，
，，，，
又，是的垂直平分线，，
又，，，
又，，，，
，，，即：的长度为．故答案为：．
平行四边形与特殊平行四边形
25．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，∴，，
∴， 在和中，，
∴，∴，，∵在中，，
设，，∴，∵，∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵在中，，∴，解得：，∴，，
在中，，即的长为．故答案为：．
26．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，在正方形中，为CD上一点，连接，过点作于点，若，，则 ．
【答案】
【详解】解：设正方形的边长为，则，，，，
根据勾股定理可得，，
，，则，
，，，
，即，解得（负值舍去），
经检验是原分式方程的解，，故答案为：．
27．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交，于点，，，连接．若长的最小值为，则的长为 ．
【答案】/
【详解】解：∵四边形是菱形且，∴，
∵为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，且长的最小值为，
∴，即，∴，
∵垂直平分，∴，，
∴，即的长为．故答案为：．
28．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在正方形中，点为上的一点，的垂直平分线交于点，交于点，，交于点，连接．给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确结论的序号填在横线上）
【答案】①②④
【详解】解：设相交于点，∵是的垂直平分线，∴，，
∴，故①正确；过点作交于，交于，
∵四边形是正方形，∴，，
∵，∴，，∴四边形是矩形，
∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴，故②正确；
过点作于，则，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即，
又∵，∴，∵，，
∴，∴，，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∴，故③错误；∵，，
∴，，∴，故④正确；
综上，正确的结论是①②④，故答案为：．
圆的综合
29．（2025·重庆开州·一模）如图，以为直径的与相切于点A，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，则 ， ．
【答案】
【详解】解：①如图，连接，∵为的直径，，，，
∵，∴，∴，∴，
在中，，∴；
②如图，连接，在中，，
∵是的切线，∴，又∵，∴，
∴，，∴，，
又∵，∴，∵，∴，，
在中，，∵，，
∴，∴，∴，故答案为：4，．
30．（2022·黑龙江鸡西·一模）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接，如图所示：
，，．设的半径，．
在中，由勾股定理得：，解得：．．
，，．是直径，．
点分别是的中点，是的中位线．．
在中，．故答案为：．
31．（2025·陕西汉中·一模）如图，是的直径，，是的弦，且点，在异侧，是上一点，连接，，．若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：连接，，，
，，即，．故答案为：．
32．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，∵是的切线，点为切点，∴，
∵，，∴，∴，，，
∵，∴，，∴，
在中，，∴，∴，
∴，∴，答案：．
33．（2025·河南平顶山·一模）如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ．
【答案】5或
【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，
∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，∴当与相切时，最大
如图1，当点P在左侧时，根据题意得，，，
∵过点P作，交的延长线于点H，
∴∴，又∵
，即，，
∴在中，；
如图2，当点P在右侧时，同理，可得，，∴
∴在中，．
综上所述，的长为5或．故答案为：5或．
34．（2025·重庆·一模）如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，延长与过点的切线交于点，若，，则 ； ．
【答案】 /0.8
【详解】解：是的直径，，
，
是的切线，，在中，，
连接，设交于点，，，
，，在中，，
，，，
，，，，即，
，
在和中，，
，，，
，，，
，，
设，则，
，解得，，，
，故答案为：．
统计与概率
35．（2025·河北·一模）检测游泳池的水质，要求三次检测的平均值不小于7.2．且不大于7.8．已知第一次的检测值为7.2，第二次的检测值为8.1．若该游泳池的水质检测合格，则第三次的检测值可能为 ．（写出一个符合条件的一位小数）
【答案】
【详解】解：根据题意知，解得：；
则第三次的检测值可能为；故答案为：（答案不唯一）．
36．（2025·湖北·一模）截至2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者，老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是 ．
【答案】
【详解】解：记孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者分别为A，B，C，D，
根据题意可画树状图如下：
由图知，共有12种等可能的结果数，其中两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的有2种结果，
所以两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是．故答案为：．
37．（2025·广东湛江·二模）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有 个．
摸球的次数 20 40 60 80 120 160 200
摸到白球的次数 15 33 49 63 97 126 160
摸到白球的频率
【答案】8
【详解】解：根据表格可得摸到白球的概率约为，
∵盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球，∴白球个数：（个），故答案为：8．
38．（2025·湖南长沙·一模）一个不透明的袋子中，装有5个红球和8个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸球，给出如下说法：
甲说：若摸出一个球，则摸出的这个球可能是红球；
乙说：若摸出一些球，则这些球中不可能有黑球；
丙说：若要确保摸出的球中一定有一个红球，则至少要摸出9个球：
丁说：若摸出一个球，则摸出的球是红球的概率和是白球的概率相等．
上述说法中正确的是 ．（在横线上填写“甲”“乙”“丙”或“丁”）
【答案】甲乙丙
【详解】解：甲说：若摸出一个球，则摸出的这个球可能是红球，说法正确；
乙说：若摸出一些球，则这些球中不可能有黑球，说法正确；
丙说：若要确保摸出的球中一定有一个红球，则至少要摸出9个球，说法正确：
丁说：若摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是，摸出的球是白球的概率是，不可能相等，原说法错误．故答案为：甲乙丙．
39．（2025·湖北·一模）如图所示是小华设计的物理电路图，假设开关①、②、③、④都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为 ．
【答案】
【详解】解：由题意，列表如下：
① ② ③ ④
① ①，② ①，③ ①，④
② ②，① ②，③ ②，④
③ ③，① ③，② ③，④
④ ④，① ④，② ④，③
共12种等可能的结果，其中能让小灯泡发光的结果有4种，∴；故答案为：．
40．（2025·湖北·模拟预测）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（The 9th Asian Winter Games Harbin2025），于2025年2月7日至2月14日在中国黑龙江哈尔滨举行，其会徽为“超越”，这是继1996年哈尔滨亚冬会、2007年长春亚冬会后，哈尔滨第三次举办亚冬会．如图，是一幅印有哈尔滨亚冬会会徽且长为，宽为的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在会徽图案上的频率稳定在左右，由此可估计宣传画上哈尔滨亚冬会会徽图案的面积约为 ．
【答案】/
【详解】解：由题意可得：长方形的面积为，
∵骰子落在会徽图案上的频率稳定在左右，∴骰子落在会徽图案上的概率为，
∴会徽图案的面积为：，故答案为：．
41．（2025·山西·模拟预测）截至2024年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）：
型号 影响因素
城市环境 山地地形 天气 障碍物识别
A型 8.5 9.5 8 8.3
B型 9 7.5 8.3 9
平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是 型（填“A”或“B”）．
【答案】B
【详解】解：A型：（分），
B型：（分），
，∴平台应选择的无人机型号是B型，故答案为：B．
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