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消灭易错 选择题必刷70道
A组 中考真题
数与式
1．（2024·广东深圳·中考真题）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ）
A．a B．b C．c D．d
2．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
3．（2024·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为
6．（2024·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
方程（组）与不等式（组）
7．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
一次函数、反比例函数、二次函数
11．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
12．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
14．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
15．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
16．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
17．（2024·湖北·中考真题）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
平行四边形与特殊平行四边形
19．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
21．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
23．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形中，点H在边上（不与点A、D重合），，交正方形外角的平分线于点F，连接交于点M，连接交于点G，交于点N，连接．则下列结论：①；②点G是的中点；③若点H是的中点，则；④；⑤若，则，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
圆的综合
24．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
25．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
26．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
27．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（ ）

A． B． C． D．
统计与概率
29．（2024·江苏连云港·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
30．（2024·广东广州·中考真题）为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．的值为20
B．用地面积在这一组的公园个数最多
C．用地面积在这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
31．（2024·四川广元·中考真题）在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是94
32．（2024·江苏苏州·中考真题）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
33．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
34．（2024·福建·中考真题）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
B组 中考模拟
数与式
1．（2025·湖北·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽蚌埠·一模）在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽蚌埠·一模）2024年底，发布了新一代大语言模型 并宣布开源，紧接着，在世界经济论坛2025年年会开幕当天，又发布了最新开源模型，再次引发全球人工智能领域的关注热潮．而其训练成本却远低于美国开放人工智能研究中心、谷歌、“元”公司等美国科技巨头在人工智能技术上的投入．据悉，模型训练成本仅为万美元，数据万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·重庆潼南·一模）如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子那么，第8个图中的棋子数是（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
方程（组）与不等式（组）
5．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·安徽蚌埠·一模）已知，，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·河北·一模）已知一元二次方程最多有一个根，且二次函数的最小值为3，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·四川广元·一模）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·河南周口·一模）某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩880套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前5天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
一次函数、反比例函数、二次函数
11．（2025·贵州·一模）现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均速度大于乙的平均速度 B．乙出发后用了8分钟追上甲
C．当乙追上甲时，乙距离小区米 D．当乙到达小区时，甲距离小区米
12．（2025·陕西西安·一模）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·河南平顶山·一模）烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小
B．当光敏电阻的阻值为时，光照强度为
C．若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大
D．当光照强度为时，控制电路中的电流为
14．（2025·陕西西安·二模）已知抛物线（为常数，）上有四个点，若四个数中有且只有一个数大于0，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
15．（2025·江苏南通·一模）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
16．（2025·湖北孝感·二模）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
17．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，在中， ，，，点 、 分别是、 上的动点，当 时，的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．9
18．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，为上一点，连接交于点，作交直线于点，若，，，则（ ）
A． B．3 C． D．
19．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（ ）
A． B． C． D．
20．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．
21．（2025·浙江·模拟预测）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为3的位似图形，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
平行四边形与特殊平行四边形
22．（2025·重庆·一模）如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，正方形的对角线、交于点，连结，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
23．（2025·陕西西安·一模）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
24．（2025·四川南充·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与点A重合），过点D作交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，交于点H，连接，则下列结论：①；②当点恰好落在的延长线上时，；③当点在边上运动时，为定值；④当点在边上运动时，长度的最大值为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．（2025·河北沧州·一模）如图，矩形中，点分别为边上两动点，且，．沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点为点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
26．（2025·贵州铜仁·模拟预测）足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员，如图，球员和球员的水平距离米，球员距边线的距离米，球员距边线的距离米，则两次传球中足球飞过的最短路径的长度为（　　）
A． B． C．10 D．17
圆的综合
27．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是某校数学课外活动上，小明同学的尺规作图作业，观察作图痕迹，下列说法不一定成立的是（ ）
A．是线段的垂直平分线 B．，都是的切线
C． D．
28．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知四边形内接于圆O，，，若，则的长可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
29．（2025·重庆·一模）如图，在中，，，在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
30．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
31．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，是的外接圆，P是延长线上一点，连接，且，点D是中点，的延长线交于点Q，则下列结论：①；②垂直平分；③直线和都是的切线；④．其中正确的结论是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
统计与概率
32．（2025·山东枣庄·一模）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”、“环卫小卫士”“图书管理小卫士”、“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验，甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A． B． C． D．
33．（2025·湖南长沙·一模）打水漂源自民间传统游戏，又名轻功水上漂，七点漂，漂瓦．它能够锻炼玩家的手眼协调能力和投掷技巧．长沙少年小明连续打水漂8次的成绩如下表所示：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
成绩/下 8 9 8 8 7 9 16 8
则小明连续打水漂8次成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．8，8 B．8， C．9，8 D．8，9
34．（2025·贵州铜仁·模拟预测）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃
D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球
35．（2025·江西·模拟预测）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突 出的位置．根据国家统计局发布的数据，2012~2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的息，下列说法错误的是（ ）
A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人
B．2012年末至2019年末，农村贫困人口逐年减少累计减少超过9000万人
C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上
D．若维持从2018年末至2019年末的农村贫困人口下降率，2020年末农村贫困人口将全部脱贫
36．（2025·浙江·模拟预测）在一组数据24，31，15，26，5■，44中，发现“5■”的个位数字模糊不清，下列统计量中与■的值无关的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
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A组 中考真题
数与式
1．（2024·广东深圳·中考真题）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】A
【详解】解：由数轴知，，则最小的实数为a，故选：A．
2．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】C
【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺，∴一共织布（尺），故选：．
3．（2024·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；故选：B．
4．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】解：∵，
∴解得：，故选：B．
5．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为
【答案】D
【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：则由题意得：，∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，∴D选项符合题意，
当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，故选：D．
6．（2024·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】B
【详解】解：由图可得，第1种如图①有4个氢原子，即
第2种如图②有6个氢原子，即第3种如图③有8个氢原子，即，
第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；故选：B．
方程（组）与不等式（组）
7．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，得，故选：B．
8．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可得方程组为：，故选：A.
9．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得，，故选：C．
10．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
【答案】C
【详解】解：∵点在第二象限，∴，∴，故选项A错误；
∵点为“整点”， ，∴整数a为，，0，1，
∴点P的个数为4个，故选项B错误；∴“整点”P为，，，，
∵，，，∴“超整点”P为，故选项C正确；
∵点为“超整点”，∴点P坐标为，
∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误，故选：C．
一次函数、反比例函数、二次函数
11．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
【答案】A
【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当时，，即，整理得：解得：或（舍去）
当即时，一次函数y随x的增大而减小，∴当时，，
即，整理得：解得：或（舍去）
综上，或，故选：A
12．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】轴，点的坐标为，，则点的纵坐标为3，代入，
得：，则点的坐标为．，，，
由旋转可知，，，，
，，，
．设点的坐标为，则，
解得或（舍去），则，点的坐标为．故选C．
14．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；故选：C．
15．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】C
【详解】解：①函数图象开口方向向上，；对称轴在轴右侧，、异号，，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，，，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，，
，时，，，，，故②正确；
③对称轴为，，最小值，，∴，故③正确；
④，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，，，
，，，故④正确；综上所述，正确的有②③④，
故选：C
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
16．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
由作图知，平分，∴，
又∴故选：B
17．（2024·湖北·中考真题）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵为半圆的直径，∴，
∵，∴，由作图知，是的角平分线，∴，故选：C
18．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，∴点的对应点的坐标为，即，故选：．
平行四边形与特殊平行四边形
19．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由作图可知，为的角平分，∴，故A正确；
∵四边形为平行四边形，∴，
∵∴，∴，∴，
∴，故B正确；∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，，故D错误；∵，∴，故C正确，故选：D．
20．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，如图，∵菱形中，与互相垂直平分，

又∵点是的中点，∴A、O、C三点在同一直线上，∴，
∵，，∴，∵，∴，
∴，，
∵，，∴
∴，∴，
∴，∴，故选：C．
21．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、∵，∴，
∵四边形是平行四边形，∴是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，∴∴，∴是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵，∴，即，
∵四边形是平行四边形，∴是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵，∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意；故选：D
22．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【详解】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I，
∵，∴点E、M、F、G四点共圆，∴，
∵，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴最小值是．故选：C．
23．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形中，点H在边上（不与点A、D重合），，交正方形外角的平分线于点F，连接交于点M，连接交于点G，交于点N，连接．则下列结论：①；②点G是的中点；③若点H是的中点，则；④；⑤若，则，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【答案】A
【详解】连接，如图，∵四边形是正方形，
∴，，，垂直平分，∴，
∵平分，∴，∴，
∵，∴点B、H、D、F四点共圆，∴，，
∴，故①正确，∵垂直平分，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴点G是的中点，故②正确，∵，
∴，∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，故④正确，
∴，若，则，∴，
∴，即，∵，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，故⑤错误，
如图，③若点H是的中点，设，即，
∴，∴，同理可证明，
∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴在中，，
，故③正确，则正确的有：①②③④，故选：A．
圆的综合
24．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，，
∴，，设拱门所在圆的半径为，∴，而，
∴，∴，解得：，∴拱门所在圆的半径为；故选B
25．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
【答案】C
【详解】解：如图，令与的交点为，为半径，为弦，且，，
，在中，，，，
，，即的半径为4，，点在外，故选：C．
26．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解∶过D作于E，∵是边长为的等边三角形的外接圆，
∴，，，∴，
∵点D是的中点，∴，∴，∴，，
∴，∴，故选：C．
27．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接，∵，∴，∴，故选：．
28．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，，∵，∴，

∵，∴，∴∴，
在中，，∴，
又，∵∴，∴的长度为，故选：C．
统计与概率
29．（2024·江苏连云港·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【答案】C
【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意；
B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意；
C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意；
D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意；故选：C．
30．（2024·广东广州·中考真题）为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．的值为20
B．用地面积在这一组的公园个数最多
C．用地面积在这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
【答案】B
【详解】解：由题意可得：，故A不符合题意；
用地面积在这一组的公园个数有16个，数量最多，故B符合题意；
用地面积在这一组的公园个数最少，故C不符合题意；
这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，不到一半，故D不符合题意；故选B
31．（2024·四川广元·中考真题）在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是94
【答案】B
【详解】解：将数据从小到大排列为91，92，94，95，95，95，96，共7个数据,居中的一个数据是95，
∴中位数是95，故A选项正确；这组数据中出现次数最多的数据是95，故众数是95，故C选项正确；
这组数据的平均数是，故D选项正确；
这组数据的方差为，故B选项错误；
故选：B
32．（2024·江苏苏州·中考真题）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
【答案】C
【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，
则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，
因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊故选：C．
33．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，∴四边形是矩形，∴
∴∵点是的中点∴∴
∴∴，，
点落在阴影部分的概率是故选：B．
34．（2024·福建·中考真题）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是，故选：B
B组 中考模拟
数与式
1．（2025·湖北·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并 ，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算错误，不符合题意； C、 ，计算正确，符合题意；
D、 ，此选项计算错误，不符合题意；故选：C
2．（2025·安徽蚌埠·一模）在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：这四个数中，最小的数是故选：C．
3．（2025·安徽蚌埠·一模）2024年底，发布了新一代大语言模型 并宣布开源，紧接着，在世界经济论坛2025年年会开幕当天，又发布了最新开源模型，再次引发全球人工智能领域的关注热潮．而其训练成本却远低于美国开放人工智能研究中心、谷歌、“元”公司等美国科技巨头在人工智能技术上的投入．据悉，模型训练成本仅为万美元，数据万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：万，故选：D．
4．（2025·重庆潼南·一模）如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子那么，第8个图中的棋子数是（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
【答案】B
【详解】解：根据题意可得：第一个：，第二个：，
第三个：，第四个：，……第n个：，
∴第8个图中的棋子数是，故选：B．
方程（组）与不等式（组）
5．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，根据题意得：，故选：C．
6．（2025·安徽蚌埠·一模）已知，，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，，∴
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D.∵ ，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．
7．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解:解得：，
关于的不等式组的整数解仅有5个，
，解得：，故选：C．
8．（2025·河北·一模）已知一元二次方程最多有一个根，且二次函数的最小值为3，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程最多有一个根，
∴，化简得，解得：，
∵， ∵，抛物线开口向上，
当时，∵，y随m增大而增大，∴时y值最小，此时最小值为，
∵的最小值为3，∴，解得：；
当时，当时，y有最小值
∵的最小值为3，∴此时m无解；
当时，∵，y随t增大而减小，∴，y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，∴解得（舍去）；
综上，若的最小值为3，则．故选：A．
9．（2024·四川广元·一模）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得，，解得：，
∵两个同号的实数根，∴，∴，故选：B．
10．（2025·河南周口·一模）某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩880套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前5天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，原计划用时天，
则提高效率之后每天生产套校服，用时天，由此可得，故选D．
一次函数、反比例函数、二次函数
11．（2025·贵州·一模）现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均速度大于乙的平均速度 B．乙出发后用了8分钟追上甲
C．当乙追上甲时，乙距离小区米 D．当乙到达小区时，甲距离小区米
【答案】D
【详解】解：由题图可知，甲先出发2分钟，骑行了600米，8分钟时乙追上甲，
∴乙的平均速度大于甲的平均速度，故A选项不符合题意；
乙出发后用了（分钟）追上甲，故B选项不符合题意；
（米/分钟），，解得：（米/分钟），
当乙追上甲时，骑行了（米），
∴此时乙距离小区（米），故C选项不符合题意；
乙骑行米所用时间为（分钟），
则当乙到达小区时，甲骑行了（米），
∴当乙到小区时，甲与小区的距离为（米），故D选项符合题意；故选：D．
12．（2025·陕西西安·一模）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，∴函数图象开口向下，∵二次函数的对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称点为，
∵当时，y随x的增大而增大， ， ∴． 故答案为：B．
13．（2025·河南平顶山·一模）烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小
B．当光敏电阻的阻值为时，光照强度为
C．若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大
D．当光照强度为时，控制电路中的电流为
【答案】C
【详解】A、由题图可知光敏电阻的直值随光照强度的增大雨减小，故A选项正确；
B、由题图可知图象上点的横、纵坐标之积为定值，可得，将代入反比例函数，得；
C、要使报警器在浓度更低的烟雾下报警，此时光照强度增强，由题图，可知光的电阻的阻值减小，从而控制电路的总电阻减小．因为触发投资器报警的电流不交，由，可知应减小控制电路电压，故C选项错误；
D、当光照强度为时，可知光敏电阻控制电路中的电流，故D选项正确；故选 C．
14．（2025·陕西西安·二模）已知抛物线（为常数，）上有四个点，若四个数中有且只有一个数大于0，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：抛物线的对称轴为，关于对称轴的对应点为，，
抛物线与轴的交点为，关于对称轴的对应点为，
若四个数中有且只有一个数大于0，当时，在对称轴左侧随的增大而减小，
故，，解得，
当时，在对称轴左侧随的增大而增大，四个数全都大于，不符合题意；故选B．
15．（2025·江苏南通·一模）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：反比例函数的图象经过点
，，反比例函数，经过原点O，设的解析式为，
经过点， 则，，的解析式为，
反比例函数经过点C，设，且，
四边形是平行四边形，，，点B的纵坐标为，
的解析式为，∴，∴，，，
，解得：或（舍去），点B的坐标是，故选：A．
16．（2025·湖北孝感·二模）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：①∵抛物线的顶点坐标为
∴对称轴为直线，∴，即，故①正确
②根据函数图象可得抛物线开口向上，∵抛物线的顶点坐标为，
∴时，函数有最小值，，所以②错误；
③若且，则，故，③正确；
④抛物线的对称轴为直线，可得关于的一元二次方程的根为或，故④错误；
⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，
∵点，在抛物线上，，∴，所以⑤正确．正确选项有3个，故选：B．
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
17．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，在中， ，，，点 、 分别是、 上的动点，当 时，的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．9
【答案】C
【详解】解：如图所示，作，且过点作于点，过点作交的延长线于点，又∵∴∴，
∴当在上，取得最小值，此时
∵，∴， ∴，
∵，∴∴
∵∴∴则中，
在中，，
∵∴∴在，选：C．
18．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，为上一点，连接交于点，作交直线于点，若，，，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【详解】解：是等腰直角三角形，，∴，
∵，，∴，过点E作于点M，作于点N，
∴，，∵，，
∴，∴，∴，
∴，即，解得：，故选：D．
19．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过作，，连接，
∵等腰直角中，，∴，
∵，∴，∴，
∵点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，
∴当取最小值时，刚好是2个，∴共线时，最小，
∵为的三等分点，∴设，则，∴，
解得：，（舍去），∴，∴；故选：C
20．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴点为的中点， ，为等腰三角形，∴为的中线，
∴点为的中点，∴为的中位线，，
∵，∴，∴，故选：C．
21．（2025·浙江·模拟预测）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为3的位似图形，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：作轴于，轴于，如图，
∵与以点O为位似中心，相似比为3，∴，，
∵轴于，轴于∴
∴∵∴，，∴∴，，
∵点C在第二象限内，∴．故选：C．
平行四边形与特殊平行四边形
22．（2025·重庆·一模）如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，正方形的对角线、交于点，连结，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在上截取，使，设与交于点F，
由勾股定理得，
∵四边形是正方形，∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，，
∴，∴，
由勾股定理得，∴，故选：A．
23．（2025·陕西西安·一模）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，∴，
∵是线段的中点，，，∴，
∵，∴，，∴，
∵，，故选： D．
24．（2025·四川南充·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与点A重合），过点D作交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，交于点H，连接，则下列结论：①；②当点恰好落在的延长线上时，；③当点在边上运动时，为定值；④当点在边上运动时，长度的最大值为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵四边形和都是矩形，，
∴，，
∴，，，
∴，，∴，∴，则结论①正确；
如图，点恰好落在的延长线上，
∵四边形和都是矩形，∴，
∴，，，∴，，
在和中，，∴，∴，∴，
又∵，∴垂直平分，∴，
∴当点恰好落在的延长线上时，，则结论②正确；如图，过点作于点，
∵四边形和都是矩形，，∴，，
设，由上已证：，∴，
∴，∴，∵，，
∴，又∵，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴，
即当点在边上运动时，为定值，则结论③正确；
设，则，由上可知，，，
又∵，，∴，∴，
∴，∴，又∵，∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为，
即当点在边上运动时，长度的最大值为，则结论④正确；
综上，正确结论的个数是4个，故选：D．
25．（2025·河北沧州·一模）如图，矩形中，点分别为边上两动点，且，．沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点为点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】解：连接，
∵以翻折后，点D与点G重合，∴，∴，
∵四边形为矩形，，当的最小时，最小，当点G与点B重合时，最长，最小，
设则在中，，
∴，解得，∴的最小值为．故选：C．
26．（2025·贵州铜仁·模拟预测）足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员，如图，球员和球员的水平距离米，球员距边线的距离米，球员距边线的距离米，则两次传球中足球飞过的最短路径的长度为（　　）
A． B． C．10 D．17
【答案】D
【详解】解：作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过E作交延长线于F，则四边形是矩形，
∴米，米，∴，
∴两次传球中皮球飞过的最短路径长等于的长，在中，米，
∴米，即两次传球中皮球飞过的最短路径为17米，故选：D．
圆的综合
27．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是某校数学课外活动上，小明同学的尺规作图作业，观察作图痕迹，下列说法不一定成立的是（ ）
A．是线段的垂直平分线 B．，都是的切线
C． D．
【答案】C
【详解】解：由作图痕迹得出是线段的垂直平分线，故A选项不符合题意；
由作图痕迹得出是的直径，∴，
∵都是的半径，∴，都是的切线，故B选项不符合题意；
则，∴，∴，故D选项不符合题意；
无法证明，故C选项符合题意；故选：C
28．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知四边形内接于圆O，，，若，则的长可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】解：连接，作于点，
，，又，，
，，，，
，，整理得，
，，，，故选：B．
29．（2025·重庆·一模）如图，在中，，，在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，如图：
∵，，∴是等腰直角三角形，∴，
∵在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧，∴，
则，，
，
则图中阴影部分的面积，故选：D．
30．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
∵正五边形内接于，∴，∴的度数为，
∵点为的中点，∴的度数为，∴，
由圆周角定理得：，故选：C．
31．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，是的外接圆，P是延长线上一点，连接，且，点D是中点，的延长线交于点Q，则下列结论：①；②垂直平分；③直线和都是的切线；④．其中正确的结论是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【详解】解：∵点D是中点，∴，
∵，∴，∴垂直平分，故②正确；∴，
∵，∴，故①正确；∵，
∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，，
∴，
∵都是的半径，，，∴直线和都是的切线，故③正确；
假设正确，则，∴，
∴，∴，显然与已知条件不符，
∴不正确，故④错误，故选：C．
统计与概率
32．（2025·山东枣庄·一模）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”、“环卫小卫士”“图书管理小卫士”、“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验，甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：将“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位分别记作、、、，列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中这两名同学恰好在同一岗位体验的有4种结果，
所以这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为，故选：A．
33．（2025·湖南长沙·一模）打水漂源自民间传统游戏，又名轻功水上漂，七点漂，漂瓦．它能够锻炼玩家的手眼协调能力和投掷技巧．长沙少年小明连续打水漂8次的成绩如下表所示：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
成绩/下 8 9 8 8 7 9 16 8
则小明连续打水漂8次成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．8，8 B．8， C．9，8 D．8，9
【答案】A
【详解】解：由表中数据可知，小明连续打水漂8次成绩的最多的是8，故众数是8，
将成绩按照由小到大的顺序排列：7，8，8，8，8，9，9，16，
则小明连续打水漂8次成绩的中位数是8，故选：A．
34．（2025·贵州铜仁·模拟预测）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃
D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球
【答案】B
【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下，
∴A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意；
C、在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃的概率是，不符合题意；
D、不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球的概率是，不符合题意；故选：B．
35．（2025·江西·模拟预测）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突 出的位置．根据国家统计局发布的数据，2012~2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的息，下列说法错误的是（ ）
A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人
B．2012年末至2019年末，农村贫困人口逐年减少累计减少超过9000万人
C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上
D．若维持从2018年末至2019年末的农村贫困人口下降率，2020年末农村贫困人口将全部脱贫
【答案】D
【详解】解：A、，即2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人，故本选项推断合理，不符合题意；
B、2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少：，所以超过9000万人，故本选项推断合理，不符合题意；
C、，，，，，，，所以连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，故本选项推理合理，不符合题意；
D、从2018年末至2019年末的农村贫困人口下降率为，则2019年末到2020年末预计农村贫困人口减少万人，，所以2020年末农村贫困人口不能全部脱贫，故本选项推理不合理，符合题意；故选：D．
36．（2025·浙江·模拟预测）在一组数据24，31，15，26，5■，44中，发现“5■”的个位数字模糊不清，下列统计量中与■的值无关的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【答案】C
【详解】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，
数据排列后为：15，24，26，31，44，5■，
而这组数据的中位数为，与被涂污数字无关．故选：C．
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