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易错点01 数与式
易错陷阱一：错误理解实数的有关概念
1.实数的分类：
2.数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴上所有的点与全体实数一 一对应。
3.相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。若a、b互为相反数，则a+b=0。
4.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|。即：。
5.倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。若a、b互为倒数，则ab=1。
6.算术平方根：若一个正数x的平方等于a，则这个正数x叫做a的算术平方根，记为，a叫做被开方数。
7.平方根：若一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，记为。
8.立方根：如果一个数x的立方等于a，那么x叫做a的立方根或三次方根，记为。
易错提醒：1）有理数、无理数概念易混淆，如：将无限循环小数误判为无理数等；
2）相反数、倒数、绝对值概念理解不清，如：计算绝对值时忽略符号规则等；
3）实数分类时需牢记相关概念之间的包含关系才能避免出错；任何时候都不要忽略考虑0的存在哦！
4）几个特殊值注意：相反数是它本身的有：0；倒数是它本身的有：1，－1；切记0没有倒数；
绝对值是它本身的有：正数和0；绝对值是它的相反数的有：负数和0；
算术平方根是它本身的有：0，1；平方根是它本身的有：0；立方根是它本身的有：－1，0和1。
例1．（2024·广东揭阳·模拟预测）绝对值的相反数是（　　）
A． B． C．2 D．
易错警示：有理数、无理数以及实数的有关概念容易理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念容易混淆。属于广东地区中考常考题。
例2．（2025·广东·模拟预测）下列各数：，，3.14，，，tan45°，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
点评：在判断一个实数的属性时，一定是一化简，二辨析，三判断。切记：带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数。（如：就是有理数）
变式1．（2024·广东·模拟预测）已知a与c互为相反数，且，那么下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2025·广东佛山·一模）刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将珠江的水位下降4米记作“米”，则“米”表示珠江的水位（ ）
A．下降3米 B．上升4米 C．上升3米 D．下降4米
变式3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）在数中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·浙江杭州·模拟预测）下列各数中，负整数是（ ）
A．3 B．0 C． D．
易错陷阱二：忽略运算顺序、不合理使用运算律及符号处理错误
1.实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。
2.实数的大小比较
（1）数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
（2）作差比较法：若a，b是任意两个实数，则：①a-b>0 a>b；②a-b=0 a=b；③a-b<0 a（3）平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2 a>b；②对任意负实数a，b，若a2>b2 a（4）倒数比较法：若>，ab>0，则 a（5）作商比较法：1）正实数a，b，>1 a>b，<1 a>b；2）负实数a，b，>1 ab。
易错提醒：
1）在有理数混合运算中不注意运算导致计算错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次进行；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，后算大括号．
2）非负数性质应用易遗忘，如几个非负数相加为零，则每个非负数都为零。
例1．（2025·广东·模拟预测）计算：．
易错警示：实数的运算要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
点评：重点把握五个基本数的计算：零指数幂，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。
例2．（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8 B．18 C．28 D．32
例3．（2025·广东广州·一模）已知，则的值等于 ．
变式1．（2025·广东揭阳·一模）记里鼓车，又称记里车、大章车，是我国古代用来记录车辆行过距离的马车，构造与指南车相似，如图，车有上下两层，每层各有木制机械人，手执木槌，下层木人打鼓，车每行一里路，敲鼓一下，上层机械人敲打铃铛，车每行十里，敲打铃铛一次，设一古人从城驾车到城，铃铛和鼓一共恰好响了次，则，两城的距离是 里．
变式2．（2024·浙江台州·模拟预测）已知，设，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（ ）
A．2 B． C．0 D．
变式4．（2024·广东·模拟预测）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是 ．
变式5．（2025·广东深圳·一模）计算：．
易错陷阱三：忽略“亿”“万”等单位致错
1、科学记数法：表示形式为的形式，其中为整数．
科学计数法中确定时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值＞1时，是正数；当原数的绝对值＜1时，是负数。
2、近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位。
3、有效数字：从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字。
易错提醒：
1）含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示。
2）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字即可（如：3.06×105的有效数字分别是3，0，6）。不过这个近几年广东中考暂时还没有考过，知道就好！
例1．（2025·广东揭阳·一模）2025年1月8日，山东省政府举办“稳步扩内需促开放，赋能经济高质量发展情况”新闻发布会，会议介绍2024年山东筹集落实资金亿元，集中支持汽车、家电等8个领域消费品以旧换新工作，合计带动销售亿元左右，山东汽车报废更新万辆，居全国首位，家电以旧换新万台．将数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
易错警示：含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示。例2．（2025·广东·模拟预测）已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·广东汕头·二模）机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型DNA工业纳米机器人，其大小仅约100nm．已知，则用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·浙江杭州·二模）2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到亿元．数据亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
易错陷阱四：混淆幂运算法则和乘法公式
1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变
2、幂的运算：①同底数幂的乘法：；②幂的乘方：；③积的乘方：；④同底数幂的除法：。
3、乘法公式：（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。
易错提醒：
1）规范书写格式：列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
2）合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式。
3）同底数幂乘法和幂的乘方混淆。
例1．（2025·广东佛山·一模），，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
例2．（2024·广东·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2025·广东揭阳·一模）化简： ．
例4．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ．
变式1．（2025·广东深圳·一模）下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·广东广州·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·广东深圳·模拟预测）下列等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024广东广州中考真题）若，则 ．
易错陷阱五：忽略分式的分母不能为零、分式化简符号变化错误
1、分式：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母的式子。
2.对于分式来说：①若 B≠0 ，则有意义；②若 B=0 ，则无意义；③若 A=0且B≠0 ，则=0；
④当 A=B≠0 时，分式的值为1；⑤若 >0 ，则A、B同号，若 <0 ，则A、B异号。
3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
易错提醒：
1）求分式值为零时，切不可忽略分母分母不能为零。
2）代入求值要使式子有意义（即分式的分母不能为零，否则原分式无意义）。各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。
3）分式运算易因运算法则不熟、符号变化错误，或未将分子分母是多项式时先因式分解并化为最简分式而致错。
例1．（2024·浙江湖州·模拟预测）若分式的值为0，则的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
例2．（2025·深圳·一模）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
易错警示：分式运算要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。
例3．（2024·广东·模拟预测）下面是某同学化简分式 的运算过程．
解：原式…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
上面的运算过程中第 步出现错误，请你写出正确的解答过程．
变式1．（2024·浙江杭州·模拟预测）下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024九年级下·浙江·专题练习）若分式的值为整数，则正整数x的个数为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
变式3．（2024·广东中山·三模）先化简，再求值：，其中．
变式4．（2024·广东广州·一模）已知．化简；若点是抛物线上的一点，求的值．
易错陷阱六：因式分解不彻底致错
1、因式分解的常用方法：
①提公因式法：；
②公式法： ；
③分组分解法；
④十字相乘法：。
2.分解因式的一般步骤（可以概括为“一提，二套，三检查”）：
1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项及以上时，考虑利用分组的方法进行分解；
3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
易错提醒：
1）要牢记公式法和十字相乘法，切不可混淆；
2）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
3）因式分解分解对象是多项式，分解结果必是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可。
例1．（2025·广东深圳·三模）因式分解：_______．
易错警示：切记检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
例2．（2024·浙江嘉兴·一模）若多项式（为不等于0的常数）能在有理数范围内因式分解，则的值可以是 ．（写出一个即可）
例3．（2023广东深圳中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
变式1．（2024·广东·模拟预测）在实数范围内因式分解： ．
变式2．（2024·广东深圳·模拟预测）分解因式： ．
变式3．（2024·浙江嘉兴·一模）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
1-1．（2024·浙江·模拟预测）有4个实数：，0， ，，其中负数是 （ ）
A． B．0 C． D．
1-2．（2024·广东·模拟预测）若，则a的值为（ ）
A．2024 B． C． D．
1-3．（2024·广东广州·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
1-4．（2024·浙江舟山·一模）舟山市体育中考，女生立定跳远的测试中，以为满分标准，若小贺跳出了，可记作，则小郑跳出了，应记作（ ）
A． B． C． D．
1-5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．
2-1．（2024·广东·模拟预测）广东省某市1月份连续4天的最低气温分别为，，，，其中最低气温是（ ）
A． B． C． D．
2-2．（2024·广东·模拟预测）某市2024年1月的最高气温为，最低气温为零下，则计算2024年1月该市温差列式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2-3．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
2-4．（2024·浙江宁波·二模）已知，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2-5．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：．
2-6．（2025·广东阳江·模拟预测）计算：．
3-1．（2024·广东·模拟预测）“鸭嘴兽”被认为是世界上最奇怪的哺乳动物，因为它身上有许多怪异的特征：嘴里没有牙齿；汗液像牛奶；后脚有毒刺等，且最古老的鸭嘴兽于南美洲的6100万年前的地层被发现．将“6100万”用科学记数法表示为，其中n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3-2．（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3-3．（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4-1．（2024·广东·模拟预测）下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4-2．（2025·广东揭阳·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4-3．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
4-4．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知代数式化简后为一个完全平方式，且当时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4-5．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，，．求 ．
4-6．（2024·浙江宁波·模拟预测）若，则 ．
4-7．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
A．28 B．30 C．34 D．36
5-1．（2025·江苏·一模）已知分式满足条件“只含有字母x，且当时分式的值为0”，请写出一个这样的分式 ．
5-2．（2024·浙江杭州·二模）分式的值，可以等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5-3．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0：
5-4．（2024·广东肇庆·一模）先化简，再求值：，其中．
5-5．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： ，其中．
5-6．（2024·广东·模拟预测）（1）计算：；
（2）化简：.
6-1．（2025·广东深圳·一模）因式分解： ．
6-2．（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
6-3．（2023年成都市中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
6-4．（2024·浙江·一模）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵．如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵．则原长方形队阵中有同学 人．
6-5．（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以．(1)= ；(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值．
6-6．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：（）（ ）（ ）；（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
6-7．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错点01 数与式
易错陷阱一：错误理解实数的有关概念
1.实数的分类：
2.数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴上所有的点与全体实数一 一对应。
3.相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。若a、b互为相反数，则a+b=0。
4.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|。即：。
5.倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。若a、b互为倒数，则ab=1。
6.算术平方根：若一个正数x的平方等于a，则这个正数x叫做a的算术平方根，记为，a叫做被开方数。
7.平方根：若一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，记为。
8.立方根：如果一个数x的立方等于a，那么x叫做a的立方根或三次方根，记为。
易错提醒：1）有理数、无理数概念易混淆，如：将无限循环小数误判为无理数等；
2）相反数、倒数、绝对值概念理解不清，如：计算绝对值时忽略符号规则等；
3）实数分类时需牢记相关概念之间的包含关系才能避免出错；任何时候都不要忽略考虑0的存在哦！
4）几个特殊值注意：相反数是它本身的有：0；倒数是它本身的有：1，－1；切记0没有倒数；
绝对值是它本身的有：正数和0；绝对值是它的相反数的有：负数和0；
算术平方根是它本身的有：0，1；平方根是它本身的有：0；立方根是它本身的有：－1，0和1。
例1．（2024·广东揭阳·模拟预测）绝对值的相反数是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：∵的绝对值是，的相反数是，
∴绝对值的相反数是．故选：A．
易错警示：有理数、无理数以及实数的有关概念容易理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念容易混淆。属于广东地区中考常考题。
例2．（2025·广东·模拟预测）下列各数：，，3.14，，，tan45°，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵=3，tan45°=1，∴根据实数分类可得：3.14，，，tan45°是有理数．，，2.1717717771……（自左向右每两个“1”之间依次多一个“1”）是无理数．故选：C．
点评：在判断一个实数的属性时，一定是一化简，二辨析，三判断。切记：带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数。（如：就是有理数）
变式1．（2024·广东·模拟预测）已知a与c互为相反数，且，那么下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵a与c互为相反数，且，∴，
A、的结果不确定，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；故选：D．
变式2．（2025·广东佛山·一模）刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将珠江的水位下降4米记作“米”，则“米”表示珠江的水位（ ）
A．下降3米 B．上升4米 C．上升3米 D．下降4米
【答案】C
【详解】解：∵珠江的水位下降4米记作“米”， ∴米表示上升3米，故C正确．故选：C．
变式3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）在数中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在中，是无理数的是：；故选D．
变式4．（2024·浙江杭州·模拟预测）下列各数中，负整数是（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】C
【详解】解：3是正整数，0既不是正数也不是负数，是分数；是负整数；故选：C．
易错陷阱二：忽略运算顺序、不合理使用运算律及符号处理错误
1.实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。
2.实数的大小比较
（1）数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
（2）作差比较法：若a，b是任意两个实数，则：①a-b>0 a>b；②a-b=0 a=b；③a-b<0 a（3）平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2 a>b；②对任意负实数a，b，若a2>b2 a（4）倒数比较法：若>，ab>0，则 a（5）作商比较法：1）正实数a，b，>1 a>b，<1 a>b；2）负实数a，b，>1 ab。
易错提醒：
1）在有理数混合运算中不注意运算导致计算错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次进行；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，后算大括号．
2）非负数性质应用易遗忘，如几个非负数相加为零，则每个非负数都为零。
例1．（2025·广东·模拟预测）计算：．
【答案】
【详解】原式．
易错警示：实数的运算要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
点评：重点把握五个基本数的计算：零指数幂，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。
例2．（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8 B．18 C．28 D．32
【答案】C
【详解】解∶∵，，∴8不是完美数，故选项A不符合题意；
∵，，∴18不是完美数，故选项B不符合题意；
∵，，∴28是完美数，故选项C符合题意；
∵，，∴32不是完美数，故选项D不符合题意；故选：C
例3．（2025·广东广州·一模）已知，则的值等于 ．
【答案】8
【详解】解：∵，，
∴，，∴，，∴，故答案为：8．
变式1．（2025·广东揭阳·一模）记里鼓车，又称记里车、大章车，是我国古代用来记录车辆行过距离的马车，构造与指南车相似，如图，车有上下两层，每层各有木制机械人，手执木槌，下层木人打鼓，车每行一里路，敲鼓一下，上层机械人敲打铃铛，车每行十里，敲打铃铛一次，设一古人从城驾车到城，铃铛和鼓一共恰好响了次，则，两城的距离是 里．
【答案】
【详解】解：，∴铃铛响了2次，，∴鼓响了次，
∴，两城的距离是里，故答案为：．
变式2．（2024·浙江台州·模拟预测）已知，设，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，正确，不符合题意；
B．，正确，不符合题意；C．，正确，不符合题意；
D．，错误，符合题意；故选：D．
变式3．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【详解】解：
的整数部分为a，小数部分为b，
，故选：A．
变式4．（2024·广东·模拟预测）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：．
变式5．（2025·广东深圳·一模）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
易错陷阱三：忽略“亿”“万”等单位致错
1、科学记数法：表示形式为的形式，其中为整数．
科学计数法中确定时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值＞1时，是正数；当原数的绝对值＜1时，是负数。
2、近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位。
3、有效数字：从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字。
易错提醒：
1）含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示。
2）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字即可（如：3.06×105的有效数字分别是3，0，6）。不过这个近几年广东中考暂时还没有考过，知道就好！
例1．（2025·广东揭阳·一模）2025年1月8日，山东省政府举办“稳步扩内需促开放，赋能经济高质量发展情况”新闻发布会，会议介绍2024年山东筹集落实资金亿元，集中支持汽车、家电等8个领域消费品以旧换新工作，合计带动销售亿元左右，山东汽车报废更新万辆，居全国首位，家电以旧换新万台．将数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：万，故选：B．
易错警示：含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示。
例2．（2025·广东·模拟预测）已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．故选：B ．
变式1．（2024·广东汕头·二模）机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型DNA工业纳米机器人，其大小仅约100nm．已知，则用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，故选：A．
变式2．（2024·浙江杭州·二模）2023年湖州经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到亿元．数据亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：亿．故答案为：C．
易错陷阱四：混淆幂运算法则和乘法公式
1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变
2、幂的运算：①同底数幂的乘法：；②幂的乘方：；③积的乘方：；④同底数幂的除法：。
3、乘法公式：（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。
易错提醒：
1）规范书写格式：列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
2）合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式。
3）同底数幂乘法和幂的乘方混淆。
例1．（2025·广东佛山·一模），，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，即，
∴，∴，故选：A．
例2．（2024·广东·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A. ，原计算错误；B. ，原计算错误；
C. ，原计算错误；D. ，计算正确；故选D．
例3．（2025·广东揭阳·一模）化简： ．
【答案】
【详解】解：依题意， ，
故答案为：．
例4．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意知，，故答案为：．
变式1．（2025·广东深圳·一模）下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；故选：B．
变式2．（2024·广东广州·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A．，运算正确，符合题意；
B. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C. 当或时，，否则，故此选项错误，不符合题意；
D. ，故此选项计算错误，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项的法则、乘方、利用二次根式的性质化简和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
变式3．（2024·广东深圳·模拟预测）下列等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，故A成立；B、，故B不成立；
C、，故C不成立；D、不能合并，故D不成立；故选：A．
变式4．（2024广东广州中考真题）若，则 ．
【答案】11
【详解】解：，，，故答案为：11．
易错陷阱五：忽略分式的分母不能为零、分式化简符号变化错误
1、分式：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母的式子。
2.对于分式来说：①若 B≠0 ，则有意义；②若 B=0 ，则无意义；③若 A=0且B≠0 ，则=0；
④当 A=B≠0 时，分式的值为1；⑤若 >0 ，则A、B同号，若 <0 ，则A、B异号。
3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
易错提醒：
1）求分式值为零时，切不可忽略分母分母不能为零。
2）代入求值要使式子有意义（即分式的分母不能为零，否则原分式无意义）。各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。
3）分式运算易因运算法则不熟、符号变化错误，或未将分子分母是多项式时先因式分解并化为最简分式而致错。
例1．（2024·浙江湖州·模拟预测）若分式的值为0，则的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【详解】解：∵分式的值为0∴，∴，故选：A
例2．（2025·深圳·一模）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】，
【详解】解：原式
因为，，所以，，所以只能为0，
当时，原式．
易错警示：分式运算要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。
例3．（2024·广东·模拟预测）下面是某同学化简分式 的运算过程．
解：原式…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
上面的运算过程中第 步出现错误，请你写出正确的解答过程．
【答案】二，解答过程见解析
【详解】第二步出现错误，原因是分子相减时未变号，
．
变式1．（2024·浙江杭州·模拟预测）下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，分式有意义，符合题意；
B、，当时，分式无意义，不符合题意；
C、，当时，分式无意义，本选项不符合题意；
D、时，分式无意义，本选项不符合题意，故选：A．
变式2．（2024九年级下·浙江·专题练习）若分式的值为整数，则正整数x的个数为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】解：＝＝，
∵分式的值为整数，∴或或或且，
∴正整数或2或5或1或6或9，共6个．故选：B．
变式3．（2024·广东中山·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：原式，
当时，原式．
变式4．（2024·广东广州·一模）已知．化简；若点是抛物线上的一点，求的值．
【答案】，
【详解】解：
；
∵点是抛物线上的一点，∴∴∴．
易错陷阱六：因式分解不彻底致错
1、因式分解的常用方法：
①提公因式法：；
②公式法： ；
③分组分解法；
④十字相乘法：。
2.分解因式的一般步骤（可以概括为“一提，二套，三检查”）：
1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项及以上时，考虑利用分组的方法进行分解；
3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
易错提醒：
1）要牢记公式法和十字相乘法，切不可混淆；
2）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
3）因式分解分解对象是多项式，分解结果必是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可。
例1．（2025·广东深圳·三模）因式分解：_______．
【答案】
【详解】解：，故答案为：．
易错警示：切记检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
例2．（2024·浙江嘉兴·一模）若多项式（为不等于0的常数）能在有理数范围内因式分解，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查因式分解的概念．根据题意，写出一个符合题意的值即可．
【详解】解：．故答案为：．
例3．（2023广东深圳中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
【答案】42
【详解】．故答案为：42．
变式1．（2024·广东·模拟预测）在实数范围内因式分解： ．
【答案】
【详解】解：， 故答案为：．
变式2．（2024·广东深圳·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【详解】解：依题意，．故答案为：．
变式3．（2024·浙江嘉兴·一模）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【详解】解：
∵k为任意整数，∴为整数，∴一定能被3整除，
∴的值总能被3整除，故选：B．
1-1．（2024·浙江·模拟预测）有4个实数：，0， ，，其中负数是 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【详解】解：在，0， ，中，是负数，故答案为：A．
1-2．（2024·广东·模拟预测）若，则a的值为（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，故选D
1-3．（2024·广东广州·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【详解】解：A中、和互为相反数，符合题意；B中、，不是互为相反数，故不符合题意；
C中、，不是互为相反数，故不符合题意；D中、和不是互为相反数，不符合题意；故选：A．
1-4．（2024·浙江舟山·一模）舟山市体育中考，女生立定跳远的测试中，以为满分标准，若小贺跳出了，可记作，则小郑跳出了，应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，小郑跳出了，应记作．故选：A
1-5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．
【答案】否
【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积，大正方形的边长，
设长方形纸片的长为，宽为，依题意可得：，
解得：或（不合题意，故舍去），
，因此，若将此大正方形纸片的局部剪掉，不能剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，故答案为：否．
2-1．（2024·广东·模拟预测）广东省某市1月份连续4天的最低气温分别为，，，，其中最低气温是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵∴最低气温是．故选：D．
2-2．（2024·广东·模拟预测）某市2024年1月的最高气温为，最低气温为零下，则计算2024年1月该市温差列式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵某市2024年1月的最高气温为，最低气温为零下，
∴2024年1月该市温差为，故选：A．
2-3．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，，而，∴平方最大的数是3；故选A
2-4．（2024·浙江宁波·二模）已知，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【详解】解：设，，，，，
，，，即，
，，
，，．故选：．
2-5．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：．
【答案】
【详解】解：原式
．
2-6．（2025·广东阳江·模拟预测）计算：．
【答案】
【详解】解：
3-1．（2024·广东·模拟预测）“鸭嘴兽”被认为是世界上最奇怪的哺乳动物，因为它身上有许多怪异的特征：嘴里没有牙齿；汗液像牛奶；后脚有毒刺等，且最古老的鸭嘴兽于南美洲的6100万年前的地层被发现．将“6100万”用科学记数法表示为，其中n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【详解】解：6100万，∴；故选A．
3-2．（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，故选D．
3-3．（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：百万分之一．故选：B．
4-1．（2024·广东·模拟预测）下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；故选：A．
4-2．（2025·广东揭阳·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；D、，故该选项不符合题意；故选：C
4-3．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，6
【详解】解：；
当，时，原式．
4-4．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知代数式化简后为一个完全平方式，且当时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵当时此代数式的值为0，∴，即：；
∵
∴，由得，故选：A
4-5．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，，．求 ．
【答案】1
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，即，∴，∴．故答案为：
4-6．（2024·浙江宁波·模拟预测）若，则 ．
【答案】8
【详解】解：∵，∴
∴，故答案为：8
4-7．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
A．28 B．30 C．34 D．36
【答案】D
【详解】由所给图形可知，第 1 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
第 2 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
第3个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
所以第个图形中灰砖块数为块，白砖块数为块，
当时，（舍负），则（块），
即所选的图中灰砖有 64 块，则白砖有 36 块．故选：D．
5-1．（2025·江苏·一模）已知分式满足条件“只含有字母x，且当时分式的值为0”，请写出一个这样的分式 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：“只含有字母x，且当时分式的值为0”的分式为，故答案为：（答案不唯一）．
5-2．（2024·浙江杭州·二模）分式的值，可以等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】解：，
的值可以等于2，故选：D．
5-3．（2024·上海·模拟预测）已知有意义的分式：，请你写出一个含的二次分式，当它有意义时，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0：
【答案】
【详解】解：有意义，，即，解得，且，
，则是一个含的二次分式，当它有意义时，可能大于0，可能小于0，不可能等于0，故答案为：．
5-4．（2024·广东肇庆·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：
．
当时，原式．
5-5．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： ，其中．
【答案】
【详解】解：，
当时，原式．
5-6．（2024·广东·模拟预测）（1）计算：；
（2）化简：.
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）
.
（2）.
6-1．（2025·广东深圳·一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
6-2．（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
【答案】D
【详解】解： 原式
∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大；故选：D．
6-3．（2023年成都市中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
【答案】
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第4个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，列表如下，
观察表格可知当时，时，智慧数为，
时，智慧数为，，时，智慧数为，，时，智慧数为，
第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为 故答案为：，．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
6-4．（2024·浙江·一模）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵．如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵．则原长方形队阵中有同学 人．
【答案】1025
【详解】解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，n为正整数．
两式相减，得，即．
∵，和同奇或同偶，
∴或或，解得或或，
当时，，，
当时，，，不合题意，舍去；
当时，，，不合题意，舍去；
故原长方形队阵中有同学1025人．故答案为：1025．
6-5．（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以．(1)= ；(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值．
【答案】(1)130(2)34
【详解】（1）．∵，∴，故答案为：．
（2）∵能被7整除，，∴或，∴或或或，
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，此时q不是平方差数，不符合题意；
当，时，，
∵，∴．∵，∴的最小值为34．
6-6．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：（）（ ）（ ）；（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
【答案】(1)（），；（）；(2)
【详解】（1）（）由规律可得，，故答案为：，；
（）由规律可得，，故答案为：；
（2）解：假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析：
若均为偶数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．
而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．故答案为：．
6-7．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)不可能都为整数，理由见解析．
【详解】（1）解：因为，所以．
则．
因为是实数，所以，所以为非负数．
（2）不可能都为整数．理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．①当都为奇数时，则必为偶数．又，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．
又因为，所以．因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
综上所述，不可能都为整数．
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