资源简介

消灭易错 解答题必刷58道
A组 中考真题
数与式
1．（2024·四川广元·中考真题）计算：．
2．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
3．（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
4．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题:小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题:销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题:某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题:在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
方程（组）与不等式（组）
5．（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
6．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
7．（2024·广东深圳·中考真题）
背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．
问题解决
任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
一次函数、反比例函数、二次函数
8．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 22
乙 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．(1)求的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
9．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．【构建联系】（1）求证：函数的图象必经过点C．（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
10．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
(1)求抛物线的对称轴；(2)求的值；(3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．①求的值；②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
11．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
12．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为________；②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为①此时点B的坐标为________；②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值．
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
13．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图
【问题解决】（1）计算，两点间的距离．
（参考数据：，，，，）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可．
（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
14．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．(1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．(2)当点E与点C重合时，求t的值．(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．

15．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．

（1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．
（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
16．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】（3）若，，请直接写出的值．
平行四边形与特殊平行四边形
17．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
(2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
18．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边的中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”．
(1)求证：中顶点四边形为平行四边形；(2)①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形；
②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．(1)当点是边的中点时，求的长；(2)当时，点到直线的距离为________；(3)连结，当时，求正方形的边长；(4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可）
圆的综合
20．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明．
(2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
21．（2024·湖南·中考真题）【问题背景】已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角．
【初步感知】（1）如图1，当时， ；
【问题探究】（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F．①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
22．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
23．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．
(1)当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若，为的外接圆，设的半径为．①求的取值范围；
②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
24．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．(2)若正方形的边长为，求的半径．(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
25．（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：与相切；(3)若，，求的半径．
统计与概率
26．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79
82 78 76 79 91 91 76 74 75 85
75 91 80 77 75 75 87 85 76 77
整理、描述数据
成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91
人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 众数 中位数
80 c 78
解决问题(1)表格中的______；______；______；
(2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
(3)学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
27．（2024·内蒙古通辽·中考真题）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机扎取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．
【收集数据】调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
60 61 62 94 73 73 85 85 87 72
63 64 70 66 74 65 67 75 76 71
94 93 84 91 76 82 83 83 92 84
80 80 82 92 91 86 77 86 88 72
70 71 93 90 81 90 74 78 81 75
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图：
组别 成绩分组 频数
16
16
（1）频数分布表中________，________，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中________，所对应的扇形的圆心角度数是________．
【应用数据】（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．
28．（2024·江西·中考真题）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：A．；B．；C．；D．．将所得数据进行收集、整理、描述．
收集数据
七年级10名男生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高（） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72
体重（） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5
21.6 s 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 26.6 30.6
七年级10名女生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高（） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62
体重（） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8
21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8
整理、描述数据
七年级20名学生频数分布表
组别 男生频数 女生频数
A 3 2
B 4 6
C t 2
D 1 0
应用数据(1)______，____________；(2)已知该校七年级有男生260人，女生240人．
①估计该校七年级男生偏胖的人数；②估计该校七年级学生的人数
(3)根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．
B组 中考模拟
数与式
1．（2025·山东枣庄·一模）计算：
(1)．(2)先简化，再求值，其中．
2．（2025·四川成都·一模）（1）计算∶ ；（2）解不等式组：
3．（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中，．
方程（组）与不等式（组）
4．（2025·陕西宝鸡·一模）解方程：．
5．（2025·河南平顶山·一模）产于河南禹州的冬桃肉质细腻，甘甜多汁，因其成熟期较晚，正好填补了冬季无鲜果的空白，深受市场青睐．果农小王采摘了320千克的冬桃进行线上和线下销售，其中线下以10元/千克的标价销售，线上以线下标价的七折销售，全部售完后，销售额为2600元．
(1)求线下和线上销售的冬桃数量．
(2)小王又采摘了450千克的冬桃进行线上和线下销售且售价不变，若线下销售冬桃的数量不超过线上销售冬桃数量的一半，且使售完这批冬桃后销售额最大，应如何对这批冬桃进行销售？
6．（2025·山东枣庄·一模）【项目学习】配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1．把代数式进行配方．解：原式；
例2．求代数式的最大值．解：原式，
∵，∴，∴，∴的最大值为．
【问题解决】（1）若m，k，h满足，求的值．
【迁移应用】（2）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．
①设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S；②运用“配方法”求S的最大值．
7．（2025·山东聊城·模拟预测）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
8．（2025·河北沧州·一模）课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程：
作业题1 作业题2
解分式方程：． 解：去分母，得 ① 去括号，得 ② 移项，得 ③ 合并同类项，得 ④ 系数化为1，得 ⑤ 经检验，是原分式方程的解． 化简分式：． 解： ① ② ③
(1)分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
(2)从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程．
一次函数、反比例函数、二次函数
9．（2025·山西运城·模拟预测）综合与实践
问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．
数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题

(1)求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围
(2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称．
①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计
10．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
11．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． (1)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．(2)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．(3)当，都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
12．（2025·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得．
(1)探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分：
(2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积：
(3)探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2025·广东深圳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
14．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应任务．
三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分，，．，． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分，，……
任务：(1)如图5，在中，是的平分线．若，则_______．
(2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整．
(3)如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长．
15．（2025·辽宁辽阳·二模）已知、是等腰直角三角形，，，．将绕顶点A旋转，将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，得到线段，连接，，．
【观察发现】（1）如图1，当点E在线段上时，猜想的形状_______．
【探究迁移】（2）如图2，当点E不在线段上时，（1）猜想的结论是否依然成立？请说明理由．
【拓展应用】（3）若线段，时，在绕点A旋转过程中．当垂直时，求的正切值．
16．（2025·贵州·模拟预测）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接．
(1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接．
①求证：；②若，，求的周长．
(2)如图2，点在的内部，试探究，，之间的数量关系并说明理由．
17．（2025·陕西西安·二模）知识初探 、是两个等腰直角三角形，
（1）如图①，当点、、三点共线，且点在上时，连接、，线段、的数量关系是______，位置关系是______．
（2）如图②，将绕点逆时针方向旋转到点恰好落在边上（），作关于对称的．连接，若，．请求出的长．
应用拓广（3）如图③，四边形中，，，，，．
在四边形内部是否存在一点，使得、、、中有两个以点为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，请证明，并求出点到中点的距离．若不存在，请说明理由．
平行四边形与特殊平行四边形
18．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考
下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1），同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形．性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现：性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，，，，……
任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____．依据2是指：_____．
(2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程．
(3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____．
19．（2025·河南平顶山·一模）若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”．
【概念理解】（1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________．
【性质探究】（2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”．
【拓展应用】（3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长．
20．（2025·辽宁沈阳·一模）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点．
(1)如图1，若，直接写出和的数量关系和的度数．
(2)如图2，若为的中点，求的值．
(3)如图3，连接并延长交于点，若，，直接写出的长．
圆的综合
21．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图1、自左向右C、D分别是线段上两点、且，以C为圆心，AC为半径在线段的上方作半圆C、P是半圆C上任意一点．
(1)如图2、若，连接交半圆C于点Q、求的长；
(2)若线段与半圆C有两个公共点，求长l的取值范围．
22．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是的直径，为上一点，延长到点，过点作切于点，连接，，于点，交于点，交于点．
(1)求证：；(2)若，，，求的长．
23．（2025·福建·模拟预测）如图1，点A、C、E、G在上，；
(1)求证：；(2)如图2，点F在上，连接、，延长、交于点B，作延长线于点H，若，，求证：；(3)在（2）的条件下，若°，求的长．
24．（2025·陕西咸阳·一模）【问题提出】（1）如图1，为半圆的直径，，且，是半圆上的一个动点，连接，则长的最小值是___________；
【问题探究】（2）如图2，在中，，且，过点作，且，连接，当长取最小值时，求的长；
【问题解决】（3）如图3，某物流园区规划了一个正方形的货物分拣区域，其边长米．为了提高货物分拣的效率，安排了两辆自动搬运车，分别沿着边和行驶，设两辆自动搬运车的位置分别为点，且在搬运过程中始终保持．在货物分拣过程中，需要在与的交点处设置一个监控装置，以便对货物分拣过程进行实时监控．由于监控装置需要定期进行维护和检查，为了减少维护人员的行走距离，求从固定的维护站点到监控装置位置的最短距离．
25．（2025·陕西西安·三模）综合与实践
在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“图形到图形的最近距离”进行研究．定义：平面内，为图形上任意一点，为图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形到图形的最近距离，记作．例如：在平面上有、两点，且，将点记为图形，点记为图形，则．
数学理解：(1)在平面内有、两点，将点记为图形，以点为圆心，5为半径作，将记为图形，若，则__________．
(2)在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，将记为图形，的坐标为，的半径为2，将记为图形，若，则的值为__________．
推广运用：(3)如图，正方形的边长为2，点为其内一点，且点与点的距离为1，将绕点逆时针旋转得到，将点记为图形，将满足条件的点构成的图形记为图形，求的值．
统计与概率
26．（2025·山西运城·模拟预测）学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用x表示，共分为四组：，，，下面给出了部分信息．
七年级10名学生的竞赛成绩：80、96、99、99、90、99、89、82、86、
八年级10名学生的竞赛成绩：94、90、94部分数据被墨水污染
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 a 52
八年级 92 b 100
根据以上信息，解答下列问题．(1)填空： ， ，并补全条形统计图．
(2)若规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有800人和860人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
(3)分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好？请说明理由写一条即可
27．（2025·贵州黔南·一模）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格，其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试成绩的相关情况，便于精准找出差距，进行合理的训练规划，特整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a.本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
b.本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228
c.本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223
请根据所给信息，解答下列问题：(1)求的值；(2)本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩；
(3)请你结合该校所在区县的测试成绩，为该校提出一条合理化建议．
28．（2025·广东深圳·一模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)______，E所对应的扇形圆心角是______；
(2)请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
(3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
A B C D E
A
B
C
D
E
29．（2025·山西晋中·一模）4月23日是“世界读书日”，今年是联合国教科文组织确定“世界读书日”三十周年．某校以此为契机开展了主题教育活动．九年级（1）班班主任王老师对本班学生寒假至今的课外阅读情况进行了调查．首先制作调查问卷，对每位同学寒假至今阅读的课外书籍数量进行调查；然后将所有问卷全部收回，整理数据并绘制成如下统计图（不完整）．
课外读书量条形统计图
课外读书量扇形统计图
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)九年级（1）班共有______名学生；
(2)补全条形统计图；(3)九年级（1）班学生寒假至今的课外读书量的中位数是______本，众数是______本；
(4)为了鼓励学生们主动阅读，班主任王老师给寒假至今课外读书量高于全班平均数的学生颁发了“阅读之星”奖章．学生小华找到王老师说：“全班有一半以上的同学课外读书量小于或等于2本，所以全班平均数肯定小于2本．我的课外读书数量为2本，为什么我没拿到奖章？”假如你是王老师，请给出合理解释．
30．（2025·贵州铜仁·模拟预测）行酒令是汉族民间风俗之一，是一种有中国特色的酒文化，大家轮流说诗词、联语或其他游戏，明朝唐之淳在《忆吴越风景》中写道“旋折藕花行酒令，细书蕉叶送诗筒”．行酒令中有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、减虫、以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”）
(1)若张三已经决定喊“虎”，那么李四获胜的概率为___________；
(2)判断这个游戏是否公平，并说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)消灭易错 解答题必刷58道
A组 中考真题
数与式
1．（2024·四川广元·中考真题）计算：．
【答案】
【详解】解：原式．
2．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】；
【详解】解：
∵∴当时，原式
3．（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：原式，
当时，原式．
4．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题:小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题:销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题:某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题:在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析
【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，∴每行铲的路径长为，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，∴相当于有行，
∴铲除全部籽的路径总长为，故答案为：；；；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，∴每列铲的路径长为，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，∴相当于有列，
∴铲除全部籽的路径总长为，故答案为：；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，∴铲除全部籽的路径总长为：；
解决问题 由上得：，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；，
∵，当时，，，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
方程（组）与不等式（组）
5．（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：0，1，2，3．
【详解】解：解不等式①，得
解不等式②，得
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3
6．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【详解】（1）解：把，代入
得，解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：把，代入，∴，
第二次漂洗：把，代入，∴，
而，∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
7．（2024·广东深圳·中考真题）
背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．
问题解决
任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
【答案】任务1：；任务2：一次性最多可以运输18台购物车；任务3：共有3种方案
【详解】解：任务1：∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加∴
任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，令，
解得：∴一次性最多可以运输18辆购物车；
任务3：设x次扶手电梯，则次直梯，
由题意∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次
可列方程为：，解得：，∵x为整数，∴，
方案一：直梯3次，扶梯2次；方案二：直梯2次，扶梯3次：方案三：直梯1次，扶梯4次
答：共有三种方案.
一次函数、反比例函数、二次函数
8．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 22
乙 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．(1)求的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
【答案】(1)，
(2)，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元
【详解】（1）解：根据题意，得，解得；
（2）解：当时，根据题意，得，
∵，∴随的增大而增大，∴当时，有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当时，根据题意，得，
∵，∴随的增大而减小，∴时，有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元．
9．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】（1）求证：函数的图象必经过点C．（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【详解】（1）设，则，∵轴，∴D点的纵坐标为，
∴将代入中得：得，∴，∴，∴，
∴将代入中得出，∴函数的图象必经过点C；
（2）∵点在直线上，∴，∴，∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，
∵函数的图象经过点A，C，∴，，∴，∴，
∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，
∴，，∴，
如图，过点D作轴，过点B作轴，
∵轴，∴H，A，D三点共线，∴，，∴，
∵，∴，∴,
∵，∴，，∴，由图知，，∴，∴；
（3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，∴，
∵四边形为矩形，∴四边形为正方形，，
∴，，，
∵轴，∴直线为一，三象限的夹角平分线，∴，
当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，∵轴，∴H，A，D三点共线，
∵以点O为圆心，长为半径作，，∴，
∴，∴，，，
∵轴，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，∵,∴为等边三角形，∵，∴，
∴，，
∴，， ∵轴，∴，
∴，∴,∴，
∴，∴，∴,
∴当与的边有交点时，k的取值范围为．
10．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
(1)求抛物线的对称轴；(2)求的值；(3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．①求的值；②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
【答案】(1)对称轴为直线：；(2)(3)①，②的最大值为，抛物线为；
【详解】（1）解：∵抛物线，∴抛物线对称轴为直线：；
（2）解：∵直线过点，∴，如图，
∵直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，∴在的左边，，
∵在抛物线的对称轴上，∴，∴，设，
∴，解得：，∴，∴，∴，解得：；
（3）解：①如图，当时，与抛物线交于，
∵直线，∴，∴，解得：，
②∵，当时，，
∴，∴，，
∴，
∵，∴当时，的最小值为，∴此时，
∵对于任意的，均有成立，∴的最大值为，∴抛物线为；
11．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，
由题意得， ，
∵，∴当时，w有最大值，最大值为，∴，
答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元．
12．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为________；②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为①此时点B的坐标为________；②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值．
【答案】(1)图见解析，；(2)方案一：①；②；方案二：①；②；
(3)a的值为或．
【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示，
观察图象知，函数为二次函数，设抛物线的解析式为，
由题意得，解得，∴y与x的关系式为；
（2）解：方案一：①∵，，∴，此时点的坐标为；故答案为：；
②由题意得，解得，故答案为：；
方案二：①∵C点坐标为，，，∴，此时点B的坐标为；
故答案为：；
②由题意得，解得，故答案为：；
（3）解：根据题意和的对称轴为，则，，的顶点坐标为，
∴顶点距线段的距离为，∴的顶点距线段的距离为，
∴的顶点坐标为或，当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；
当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；综上，a的值为或．
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
13．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图
【问题解决】（1）计算，两点间的距离．
（参考数据：，，，，）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可．
（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
【答案】（1），两点间的距离为米；（2）②
【详解】解：如图，过作于，
∵米，，，，
∴，，
∵，，∴，∴，
∴，∴（米）；即，两点间的距离为米；
（2）∵，，当，，在同一条直线上时，
∴，∴，∴，
∴只需测量即可得到长度；∴乙小组的方案用到了②；
14．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．

(1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．(2)当点E与点C重合时，求t的值．(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)等腰三角形，(2)(3)
【详解】（1）解：过点Q作于点H，由题意得：

∵，，∴，∵平分，∴，
∵，∴，∴，∴，∴为等腰三角形，
∵，∴，∴在中，；
（2）解：如图，∵为等边三角形，∴，由（1）得，
∴，即，∴；
（3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，

∵，∴，∵是等边三角形，∴，
∴，由（2）知当点E与点C重合时，，∴；
当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，
∵是等边三角形，∴，而，∴，
∴，
∴，
当点P与点D重合时，在中，，
∴，∴；
当点P在上，重合部分为，如图，∵，由上知，∴，
∴此时，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，∴，
∵，∴，∴当点P与点B重合时，，解得：，
∴，
综上所述：．
15．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．

（1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．
（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析
【详解】解：图②的结论是：
证明：∵∴是等边三角形，∴，
以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，

，，，
又即
又，，；
∵∴，∴
，∴，
在中,可得：即
整理得
图③的结论是：
证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，
，，，
又即
又，，
在中，，，;，
在中,可得：即
整理得
16．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】（3）若，，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或
【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点，
由旋转得，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，故答案为：；
（2）补全图形如图：，理由如下：过点作交于点，
由旋转得，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴；
（3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接，
由（2）得，，∴，
∴，∴．
当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接，
同理可得：，∴，，∴，
∴，∴；综上：或
平行四边形与特殊平行四边形
17．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
(2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
【答案】(1)，(2)，理由见解析(3)①见解析；②或．
【详解】（1）解：，为的中点，，，，
，，，即，解得，
，；故答案为：1；；
（2）解：，理由如下：根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点，
，；又，，；
设，则，，，
，，，
，，；
（3）解：①第一种情况：作的平行线，使，连接，
则四边形为平行四边形；延长交于点，，，，
，，，即，为的中点；
故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
第二种情况：作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，故为的中点；
同理可证明：，则，则四边形是平行四边形；
故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
第三种情况：作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；
在延长线上取点F，使，连接，则为的中点，
同理可证明，从而，故四边形是平行四边形；
故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
②若按照图1作图， 由题意可知，，
四边形是平行四边形，，，是等腰三角形；
过P作于H，则，，，，，
，；
,，，，即
∴
若按照图2作图， 延长、交于点，同理可得：是等腰三角形，连接，
，，，，；
同理，，，，，
，即， ，
若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或．
18．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边的中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”．
(1)求证：中顶点四边形为平行四边形；(2)①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形；
②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析(2)①；②见解析．
【详解】（1）证明：∵， ∴，
∵点E、F、G、H分别是各边的中点，∴，
∴四边形为平行四边形，同理可得：四边形为平行四边形，
∴，∴四边形是平行四边形；
（2）①当平行四边形满足时，中顶点四边形是菱形，
由（1）得四边形是平行四边形，∵，∴，
∴中顶点四边形是菱形，故答案为：；
②如图所示，即为所求，连接，作直线，交于点O，然后作（或作BM=MN=ND），然后连接即可，
∴点M和N分别为的重心，符合题意；
证明：矩形，∴，
∵，∴，∴四边形为平行四边形；
分别延长交四边于点E、F、G、H如图所示：
∵矩形，∴，，由作图得，
∴，∴，∴点F为的中点，
同理得：点E为的中点，点G为的中点，点H为的中点．
19．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．(1)当点是边的中点时，求的长；(2)当时，点到直线的距离为________；(3)连结，当时，求正方形的边长；(4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可）
【答案】(1)(2)(3)(4)或
【详解】（1）解：根据题意可知：，
为等腰三角形，故点是边的中点时，；
在中，；
（2）根据题意作，如图所示；
当时，则，设点到直线的距离为，
，解得：；
（3）如图，当时，点落在上，
设，则，，过点作于
则，，
，解得：故，所以正方形的边长为；
（4）如图，，在异侧时；设，，则
三边的比值为，，，
当，在同侧设，则，，
三边比为，三边比为，
设，则，，解得：
综上所述：的长为或
圆的综合
20．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明．
(2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
【答案】(1)见解析(2)塑像的高约为
【详解】（1）证明：如图，连接．
则．∵，∴．
（2）解：在中，，．
∵，∴．
∵，∴．
在中，，∴．
∴．答：塑像的高约为．
21．（2024·湖南·中考真题）【问题背景】已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角．
【初步感知】（1）如图1，当时， ；
【问题探究】（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F．①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
【答案】（1）；①证明见解析；②补全图形见解析，，
【详解】解：（1）由题意得，∵，∴是等边三角形，∴，
∵直线l是的切线，∴，∴，故答案为：；
（2）①如图：∵， ∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵四边形是矩形，∴，，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵四边形是矩形，∴，∵，∴；
②补全图形如图：过点O作于点G，于点H，
在中，，∴由勾股定理得，
∵，∴，∴，∴点E在线段上，∴在，，
∵，，∴，∵，∴，
∴，在中，，
∴设，∴由勾股定理得，∴，
∴在中，
∵四边形是矩形，∴，∴，
而，∴，∴在中，．
22．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）在和中，
∵，，，∴，∴；
（2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接，
∵平分，∴，
在和中，∵，，，
∴，∴，，
∵，，∴，∴，
∴，∴；
选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接，
∵平分，∴，
在和中，∵，，，∴，
∴，，∵，∴，
∴，∴，∴，∵，∴；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
∵的平分线，∴，∴，∴，
∵为的直径，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴．
23．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．
(1)当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若，为的外接圆，设的半径为．①求的取值范围；
②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，(2)①且；②能，
【详解】（1）解：，；理由如下：
∵在菱形中，，∴，，
∵，∴，∴，由对折可得：，∴；
（2）解：①如图，设的外接圆为，连接交于．连接，，，，
∵四边形为菱形，，∴， ，，
∴为等边三角形，∴，
∴共圆，，在上，
∵，∴，过作于，∴，，∴，
当时，最小，则最小，∵，，
∴，∴；
点E不与B、C重合，，且，∴的取值范围为且；
②能为的切线，理由如下：如图，以为圆心，为半径画圆，
∵，∴在上，延长与交于，连接，
同理可得为等边三角形，∴，∴，∴，
∵为的切线，∴，∴，∵，∴为等边三角形，
∴，∴，∴，∴，
由对折可得：，，过作于，∴设，
∵，∴，∴，
解得：，∴，∴．
24．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．(2)若正方形的边长为，求的半径．(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）方法一：证明：连接，过点作于点，
与相切于点，．
四边形是正方形，是正方形的对角线，，，
为的半径，为的半径，，与相切．
方法二：证明：连接，过点作于点，
与相切于点，，，
四边形是正方形，，
又，，，
为的半径，为的半径，，与相切．
方法三：证明：过点作于点，连接．
与相切，为半径，，，
，，又四边形为正方形，，四边形为矩形，
又为正方形的对角线，，，
矩形为正方形，．又为的半径，为的半径，
又，与相切．
（2）解：为正方形的对角线，，
与相切于点，，由（1）可知，设，
在中，，，
，，又正方形的边长为．
在中，，
，，．∴的半径为．
（3）方法一：解：连接，设，
，，，．
在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，
又，．．
方法二：解：连接，为的直径，，，
，，，
，，，
，，，
，，．
方法三：解：连接，为的直径，，，
，，，
，，，，
，，设，则，，．
又，，．
25．（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：与相切；(3)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是，的中点，∴，，
又∵，，∴，
∴，，∴，，∴四边形是平行四边形；
（2）证明：如图，连接，∵，为中点，∴，
∴过圆心，∵，∴，而为半径，∴为的切线；
（3）解：如图，过作于，连接，
∵，∴，设，则，∴，
∴，∴，∴，∴，
∴，∵，，，∴，
∴，设半径为，∴，∴，解得：，
∴的半径为．
统计与概率
26．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79
82 78 76 79 91 91 76 74 75 85
75 91 80 77 75 75 87 85 76 77
整理、描述数据
成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91
人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 众数 中位数
80 c 78
解决问题(1)表格中的______；______；______；
(2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
(3)学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
【答案】(1)5；2；75(2)78；80(3)A，B两名队员恰好同时被选中的概率为．
【详解】（1）解：根据收集的数据知；；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则；故答案为：5；2；75；
（2）解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．故答案为：78；80；
（3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为．
27．（2024·内蒙古通辽·中考真题）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机扎取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．
【收集数据】调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
60 61 62 94 73 73 85 85 87 72
63 64 70 66 74 65 67 75 76 71
94 93 84 91 76 82 83 83 92 84
80 80 82 92 91 86 77 86 88 72
70 71 93 90 81 90 74 78 81 75
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图：
组别 成绩分组 频数
16
16
（1）频数分布表中________，________，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中________，所对应的扇形的圆心角度数是________．
【应用数据】（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．
【答案】（1）；，补全图形见解析；（2）；；（3）人
【详解】解：（1）整理数据可得：有：60、61、62、63、64、66、65、67；∴；
的有：94、94、93、91、92、92、91、93、90、90、∴；
补全图形如下：
；
（2）由，∴；所对应的扇形的圆心角度数是；
（3）若成绩不低于90分为优秀，估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的有（人）；
28．（2024·江西·中考真题）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：A．；B．；C．；D．．将所得数据进行收集、整理、描述．
收集数据
七年级10名男生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高（） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72
体重（） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5
21.6 s 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 26.6 30.6
七年级10名女生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高（） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62
体重（） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8
21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8
整理、描述数据
七年级20名学生频数分布表
组别 男生频数 女生频数
A 3 2
B 4 6
C t 2
D 1 0
应用数据(1)______，____________；(2)已知该校七年级有男生260人，女生240人．
①估计该校七年级男生偏胖的人数；②估计该校七年级学生的人数
(3)根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．
【答案】(1)22；2；；(2)①人；②人(3)见解析
【详解】（1）解：根据题意：，
由统计表得：内，；∴，故答案为：22；2；；
（2）①男生偏胖的人数为：（人）；
②七年级学生的人数为：（人）；
（3）对学校学生进行合理、健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼．
B组 中考模拟
数与式
1．（2025·山东枣庄·一模）计算：
(1)．(2)先简化，再求值，其中．
【答案】(1)(2)，
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式
；
当时，原式．
2．（2025·四川成都·一模）（1）计算∶ ；（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【详解】解：
，
代入，，原式．
方程（组）与不等式（组）
4．（2025·陕西宝鸡·一模）解方程：．
【答案】
【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得
，解得，
检验：当时，，则是原方程的根，
故原分式方程的解为．
5．（2025·河南平顶山·一模）产于河南禹州的冬桃肉质细腻，甘甜多汁，因其成熟期较晚，正好填补了冬季无鲜果的空白，深受市场青睐．果农小王采摘了320千克的冬桃进行线上和线下销售，其中线下以10元/千克的标价销售，线上以线下标价的七折销售，全部售完后，销售额为2600元．
(1)求线下和线上销售的冬桃数量．
(2)小王又采摘了450千克的冬桃进行线上和线下销售且售价不变，若线下销售冬桃的数量不超过线上销售冬桃数量的一半，且使售完这批冬桃后销售额最大，应如何对这批冬桃进行销售？
【答案】(1)线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克
(2)线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大
【详解】（1）解：设线下和线上销售冬桃的数量分别为千克和千克．
由题意，得解得
答：线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克．
（2）解：设线上销售冬桃的数量为千克，则线下销售冬桃的数量为千克，销售额为元．
由题意，得，解得．由题意，得
，随着的增大而减小．当取最小值300时，取最大值．．
答：线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大．
6．（2025·山东枣庄·一模）【项目学习】配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1．把代数式进行配方．解：原式；
例2．求代数式的最大值．解：原式，
∵，∴，∴，∴的最大值为．
【问题解决】（1）若m，k，h满足，求的值．
【迁移应用】（2）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．
①设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S；②运用“配方法”求S的最大值．
【答案】（1）；（2）①；②当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米
【分析】本题考查了配方法的应用，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）将所给式子配方求出，的值，即可求解；
（2）①设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形的性质可证明，根据相似三角形的性质求出与之间的函数关系式为，最后根据矩形的面积公式求解即可；
②将配方，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）由题意，∵，
又∵，∴，，∴；
（2）①设的长度是x厘米，的长度是y厘米时，
∵四边形为矩形，∴，∴，
∴，∴，∴y与x之间的函数关系式为，
∴矩形面积；
② ，
故当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米．
7．（2025·山东聊城·模拟预测）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
【答案】，
【详解】解：
，
，，
该不等式组的整数解为：，，
，，，，当时，原式．
8．（2025·河北沧州·一模）课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程：
作业题1 作业题2
解分式方程：． 解：去分母，得 ① 去括号，得 ② 移项，得 ③ 合并同类项，得 ④ 系数化为1，得 ⑤ 经检验，是原分式方程的解． 化简分式：． 解： ① ② ③
(1)分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
(2)从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程．
【答案】(1)作业题1：第①步；作业题2：第②步
(2)选作业题1，见解析
【详解】（1）解：作业题1：第①步；作业题2：第②步；
（2）解：选作业题1：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
经检验，是原分式方程的解．
选作业题2：
．
一次函数、反比例函数、二次函数
9．（2025·山西运城·模拟预测）综合与实践
问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．
数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题

(1)求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围
(2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称．
①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计
【答案】(1)；(2)①米；；②落点D在安全范围内． 理由见解析
【详解】（1）解：由题意，水滑道所在抛物线的顶点，可设抛物线为
又，抛物线为；
（2）①由题意，抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称．是它们的中点．
又，，抛物线的顶点为此人腾空后的最大高度为米．
又此时可设抛物线为，将代入得，
；抛物线的解析式
②由①得，令，或舍去米．
又米，落点D在安全范围内．
10．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)或(3)存在，或
【详解】（1）解：∵物线的对称轴为直线，且经过点和，则B点坐标为，
则抛物线将代入上式中，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设点M的坐标为，直线的解析式为
∵代入上式得：再将点代入上式得：∴直线的解析式为
∵∴直线的解析式为∵∴直线的解析式为
令 解得：，∴
∵是以为底的等腰三角形，∴则解得
∴P的坐标为或；
（3）设点，∵∴∴
∴使得中有一个角是的2倍 则为直角三角形
当时，如图，过点Q作轴于点D，
∵∴∴
∵，，，，∴，
∴，即，∴，则，∴；
当时，如图，过点Q作轴于点F，同理：
∵，，∴，
∴，则，∴；
当时，该情况不存在∴Q点的坐标为：或．
11．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． (1)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．(2)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．(3)当，都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
【答案】(1)(2)1或8(3)
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
抛物线解析式为，顶点坐标为，
点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为，，解得：..
（2）解：①轴，由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
当轴时，点，关于直线对称，，
，则，，，，点与点的纵坐标的差为；
②轴 同理，当轴时，则，关于直线对称，
，，则，，；
点与点的纵坐标的差为；综上所述，点与点的纵坐标的差为1或8；
（3）解：如图所示，，都在对称轴的左侧，则，，
，，即，
；，
，，即，解得：或（舍去），的值为．
12．（2025·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得．
(1)探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分：
(2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积：
(3)探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）探究一：证明：，，的坐标是，的坐标是：，
在线上，，又的横坐标是，把代入，则，
是的中点，即，又，，在的平分线上，即平分；
（2）探究二：解：设正方形的边长是，则，，
则的坐标是：，的坐标是，则，
．四边形是正方形．∴，，
∵，∴又∵，
∴，，又平分，，
，设，则，∴的坐标是，
代入得：，∴，∴正方形的面积是；
（3）解：根据题意得：解得：或 舍去，则的坐标是．
的横坐标是，则的横坐标是，则，
在中，当时，，，如图所示，作于点．
折叠
又则，
解得：，∴在中，，则，，，
把代入中得：，．
13．（2025·广东深圳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
【答案】(1)(2)①，81；②，方案二的矩形面积更小
【详解】（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，抛物线的解析式为；
（2）解：①，顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，，，
点D与点C关于直线对称，，，，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，，由题意可知，，则，
直线的解析式为，直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，即直线与抛物线只有一个交点，
联立，整理得：，，解得：，
直线的解析式为，联立，解得：，，
，，
，，，设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，整理得：，，解得：，
直线的解析式为，同理可求，，
矩形的面积为，，方案二的矩形面积更小．
特殊三角形、全等三角形、相似三角形
14．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应任务．
三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分，，．，． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分，，……
任务：(1)如图5，在中，是的平分线．若，则_______．
(2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整．
(3)如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长．
【答案】(1)(2)补全证明见解析(3)
【详解】（1）解：如图所示：
由三角形内角平分线性质定理可得，，，，
在中，，，则由勾股定理可得，
设，，则，解得，，故答案为：；
（2）解：过点作，过点作，垂足分别为，如图4，
平分，，．，；
（3）解：如图所示：在中，由三角形内角平分线性质定理可得，；
在中，由三角形外角平分线性质定理可得，；
，，，，
设，则由可得，，解得，，
，若是的平分线，是的外角的平分线，
，是线段的中点，．
15．（2025·辽宁辽阳·二模）已知、是等腰直角三角形，，，．将绕顶点A旋转，将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，得到线段，连接，，．
【观察发现】（1）如图1，当点E在线段上时，猜想的形状_______．
【探究迁移】（2）如图2，当点E不在线段上时，（1）猜想的结论是否依然成立？请说明理由．
【拓展应用】（3）若线段，时，在绕点A旋转过程中．当垂直时，求的正切值．
【答案】（1）是等腰直角三形；（2）成立，见解析；（3）或．
【详解】解：（1）作于，，
， ，由题意知∶ ，，，
，，，四边形是矩形，，
中，，， ，， ，
等腰直角三形．故答案为：等腰直角三形；
（2）①解法一 证明：连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，
，，，
，．，
，，，
，，，，
作射线，交于，作于， ， ，，将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，，，
，，，
， ，，
，，，，，
，，，，
，，∴等腰直角三角形．
②解法二∶ 连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，作射线，交于，作于， ， ，，
将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，，，
，，，，
，，，
，，，
∵，∴∽，∴．即，
，即，∵，∴∽，
∴，∴即，∴，∴为等腰直角三角形．
（3）①过F点作交延长线于H点，
四边形中，，∴，
四边形是矩形，，∵，，∴，
由（2）的结论，，，
∴中，，
中，，，
∴，，
∴，∴中，．
②如图，于，四边形中，，
∴，四边形是矩形，，，，
∵，，∴，
由（2）的结论，，，
∴中， ，．
综上所述，或．
16．（2025·贵州·模拟预测）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接．
(1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接．
①求证：；②若，，求的周长．
(2)如图2，点在的内部，试探究，，之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②(2)，理由见解析
【详解】（1）①证明：，，
，，在和中，，
，由折叠可得：，；
②解：，，，，
，，
，，，
，翻折，，，
，，
，点，，共线，，
的周长为；
（2）如图，过作交的延长线于点，，
，，，，，，
在和中，， ，，，，翻折，，，，
∴D、G、B三点共线，，，．
17．（2025·陕西西安·二模）知识初探 、是两个等腰直角三角形，
（1）如图①，当点、、三点共线，且点在上时，连接、，线段、的数量关系是______，位置关系是______．
（2）如图②，将绕点逆时针方向旋转到点恰好落在边上（），作关于对称的．连接，若，．请求出的长．
应用拓广（3）如图③，四边形中，，，，，．
在四边形内部是否存在一点，使得、、、中有两个以点为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，请证明，并求出点到中点的距离．若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）或；（3）存在，点到中点的距离为或
【详解】（1）证明：∵、是两个等腰直角三角形，∴，
∵，点、、三点共线，且点在上，∴，
∴；延长交与点H，
∵，∴，
∴，
∵是两个等腰直角三角形，∴，即，
∴，∴，即；
（2）连接交于点G，连接，
∵、是两个等腰直角三角形，∴，，
∴，∴，∴，
∴，，∴，∴是直角三角形，
∵等腰直角与关于对称，∴四边形是正方形，∴点G是的中点，，
∴，∴五点共圆，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
设，则，∵，∴，即，
解得：或，∴或；
（3）存在，过点C作，交于点F，过点B作于点H，过点D作于点G，交于点P，连接，
∵，，，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，
∵，∴，∵，∴，∵，
∴，∴，∴是等腰直角三角形，
∵，∴，∴，
∵，∴四边形是矩形，
∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，
∵，∴是等腰三角形，∵，
∴点是的中点，即是的垂直平分线，∴，∴，
∵四边形是正方形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，
综上，当点E与点H重合时，是等腰直角三角形，此时点到中点的距离为；
当点E与点P重合时，是等腰直角三角形，此时点到中点的距离为．
平行四边形与特殊平行四边形
18．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考
下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1），同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形．性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现：性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，，，，……
任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____．依据2是指：_____．
(2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程．
(3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____．
【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)见解析(3)20
【详解】（1）解：三角形的中位线平行且等于底边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，理由如下：如图2，连接，
，分别为，的中点，，（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半），同理可得，，，，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
同时可得，连接，同理可得，．
故答案为：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）证明：如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到，
则，，，，，
，，，，，，
，；同理可证，，
．
（3）解：连接，，如图，和是等边三角形，
，，，
， ，，；
由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和，；
， ，，，
，，，
四边形的周长为20；故答案为：20．
19．（2025·河南平顶山·一模）若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”．
【概念理解】（1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________．
【性质探究】（2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”．
【拓展应用】（3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）或 （2）见解析 （3）或
【详解】．解：（1）情况一：点与点在同侧，
点、 关于互为“唯美点”，且，，
又点在线段的垂直平分线上，，，
，，
则；
情况二：点与点在异侧，
点、 关于互为“唯美点”，且，，
又点在线段的垂直平分线上，，，
，，
由于、在异侧，；
综上所述，或，故答案为：或；
（2）证明：平分，，
在和中，，，
，，
又均为等腰三角形，其中，
点与点关于互为“唯美点”；
（3）当点在线段上时，如解图所示，连接，
点与点关于互为“唯美点”，，
，又，，
设，，，，，
在中，，即，解得，；
当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接，
同理，可得，设，则，
，在中，，
即，解得，，综上所述，的长为或．
20．（2025·辽宁沈阳·一模）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点．
(1)如图1，若，直接写出和的数量关系和的度数．
(2)如图2，若为的中点，求的值．
(3)如图3，连接并延长交于点，若，，直接写出的长．
【答案】(1)，(2)(3)15
【详解】（1）解：∵正方形，∴，，，
由翻折的性质可得，，∴，
又∵，∴，即是等边三角形，
∴，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，∴综上所述，，．
（2）解：∵正方形，∴，，，
由翻折的性质可得，，，∴，
∵为的中点，∴，延长交延长线于点，
∵，∴，又∵，∴，∴，
又∵，即，∴垂直平分，∴，∴，
∴，在中，，∴；
（3）解：如图，延长交于点，连接交于点，
∵正方形，∴，，
由翻折的性质可得，，，∴，，
∴，又∵，∴，∴，
∴是的垂直平分线，∴，，∴，
又∵，∴，即，
又∵，，∴，∴，∴，
∵，∴设，则，∴，
设，则，，
在中，，∴，解得：或（舍去），
∴，∴，即，又∵，∴，即，
∴，∴，∴，
在中，，∴，解得：，∴．
圆的综合
21．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图1、自左向右C、D分别是线段上两点、且，以C为圆心，AC为半径在线段的上方作半圆C、P是半圆C上任意一点．
(1)如图2、若，连接交半圆C于点Q、求的长；
(2)若线段与半圆C有两个公共点，求长l的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：连接，∵，∴
∵，，∴过点C作于E点，∴
∵，∴，∴，∴，∴
（2）解：当点P与半圆C相切时，连接，
∵，∴，∴．
当点P与点A重合时，，∴若线段与半圆C有两个公共点，．
22．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是的直径，为上一点，延长到点，过点作切于点，连接，，于点，交于点，交于点．
(1)求证：；(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵是的直径，∴，∴，
∵是的切线，∴，∴，∴；
（2）解：∵是的直径，∴，∴，
∵是的切线，∴，∴，∴，
∵于点，∴，∵，，
∴，∴，∴，即，∴．
23．（2025·福建·模拟预测）如图1，点A、C、E、G在上，；
(1)求证：；(2)如图2，点F在上，连接、，延长、交于点B，作延长线于点H，若，，求证：；(3)在（2）的条件下，若°，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明： ，，；
（2）证明：，，，，
，，，，
，，，，，，，
，，；
（3）解：连接、、，
，，，
，是等边三角形，，
，是的直径，，
在中，，，，，
，，，，设，
在中， ，，，
，，．
24．（2025·陕西咸阳·一模）【问题提出】（1）如图1，为半圆的直径，，且，是半圆上的一个动点，连接，则长的最小值是___________；
【问题探究】（2）如图2，在中，，且，过点作，且，连接，当长取最小值时，求的长；
【问题解决】（3）如图3，某物流园区规划了一个正方形的货物分拣区域，其边长米．为了提高货物分拣的效率，安排了两辆自动搬运车，分别沿着边和行驶，设两辆自动搬运车的位置分别为点，且在搬运过程中始终保持．在货物分拣过程中，需要在与的交点处设置一个监控装置，以便对货物分拣过程进行实时监控．由于监控装置需要定期进行维护和检查，为了减少维护人员的行走距离，求从固定的维护站点到监控装置位置的最短距离．
【答案】（1）； （2）；（3）
【详解】解：（1）依题意，当在上时，的长最小，
∵为半圆的直径，，，∴，∴；
（2）解：∵，∴点在以为直径的半圆上，如图所示，取的中点，作半圆，连接，
同（1）可得在上时，最小，∵，，∴，
在中，，过点作于点，
∴，∴，∴，
又∵，，∴，∴，∴，
在中，，∴当长取最小值时，的长为；
（3）如图所示，取的中点，连接，
∵四边形是正方形，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵在以为直径的圆上运动，∴当在上时，取得最小值，
在中，，，∴，∴，
∴从固定的维护站点到监控装置位置的最短距离为米．
25．（2025·陕西西安·三模）综合与实践
在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“图形到图形的最近距离”进行研究．定义：平面内，为图形上任意一点，为图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形到图形的最近距离，记作．例如：在平面上有、两点，且，将点记为图形，点记为图形，则．
数学理解：(1)在平面内有、两点，将点记为图形，以点为圆心，5为半径作，将记为图形，若，则__________．
(2)在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，将记为图形，的坐标为，的半径为2，将记为图形，若，则的值为__________．
推广运用：(3)如图，正方形的边长为2，点为其内一点，且点与点的距离为1，将绕点逆时针旋转得到，将点记为图形，将满足条件的点构成的图形记为图形，求的值．
【答案】(1)3或7(2)或(3)
【详解】（1）解：当点在内，连接并延长交于，如图所示：
，，，，；
当点在外，连接交于，如图所示：，，，
，；故答案为：3或7；
（2）解：①当在外且在右侧时，如图所示：
由题意可知，，，的坐标为，的半径为2，，，，
，，，，，；
②当在外且在左侧时，如图所示：，，
，，，；
③当在内时，交轴于、，作于，交于点
当时，，，，
，，，，
，此时与有交点，，故矛盾；
当时，如图所示：此时，在原点，
此时与有交点，，故矛盾；故答案为：或；
（3）解：以点为圆心，半径为画圆，交于，交于，
正方形的边长为2，点为其内一点，且点与点的距离为1，
点在（不包括和）上运动，
如图所示：绕点逆时针旋转得到，，
，，点在延长线上，
绕点逆时针旋转得到，，
，，点在延长线上，，
绕点逆时针旋转得到，，
，，，点在延长线上，
连接，，，四边形是平行四边形，
，，四边形是正方形，
以点为圆心，半径为1画圆，交于点，交于点，
将绕点逆时针旋转得到，在（不包括和）上运动，
在（不包括和）运动，连接交于点，，
，，，
，的值为．
统计与概率
26．（2025·山西运城·模拟预测）学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用x表示，共分为四组：，，，下面给出了部分信息．
七年级10名学生的竞赛成绩：80、96、99、99、90、99、89、82、86、
八年级10名学生的竞赛成绩：94、90、94部分数据被墨水污染
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 a 52
八年级 92 b 100
根据以上信息，解答下列问题．(1)填空： ， ，并补全条形统计图．
(2)若规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有800人和860人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
(3)分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好？请说明理由写一条即可
【答案】(1)99，94 ，图见解析(2)1082人；(3)八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好，理由见解析
【详解】（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次，
故众数为99，即，八年级B组的人数为，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是94，90，94，
中位数是，即，补全统计图如下：
故答案为：99，94
（2）由题意可得，人，
答：估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有1082人；
（3）八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好，
理由：虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好．
27．（2025·贵州黔南·一模）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格，其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试成绩的相关情况，便于精准找出差距，进行合理的训练规划，特整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a.本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
b.本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228
c.本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223
请根据所给信息，解答下列问题：(1)求的值；(2)本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩；
(3)请你结合该校所在区县的测试成绩，为该校提出一条合理化建议．
【答案】(1)(2)乙同学的测试成绩是(3)加强训练强度，努力提高优秀率
【详解】（1）解：；
（2）解：设乙同学的测试成绩是，中位数为228，，解得，
答：乙同学的测试成绩是；
（3）解：从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩高于全县的平均数：从优秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩低于全县的优秀率，所以要加强训练强度，努力提高优秀率，（写出一条合理化建议即可给分）．
28．（2025·广东深圳·一模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)______，E所对应的扇形圆心角是______；
(2)请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
(3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
【答案】(1)50，72(2)120(3)
【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），故；
E所对应的扇形圆心角是，故答案为：50，；
（2）解：（人），答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
（3）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
29．（2025·山西晋中·一模）4月23日是“世界读书日”，今年是联合国教科文组织确定“世界读书日”三十周年．某校以此为契机开展了主题教育活动．九年级（1）班班主任王老师对本班学生寒假至今的课外阅读情况进行了调查．首先制作调查问卷，对每位同学寒假至今阅读的课外书籍数量进行调查；然后将所有问卷全部收回，整理数据并绘制成如下统计图（不完整）．
课外读书量条形统计图
课外读书量扇形统计图
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)九年级（1）班共有______名学生；
(2)补全条形统计图；(3)九年级（1）班学生寒假至今的课外读书量的中位数是______本，众数是______本；
(4)为了鼓励学生们主动阅读，班主任王老师给寒假至今课外读书量高于全班平均数的学生颁发了“阅读之星”奖章．学生小华找到王老师说：“全班有一半以上的同学课外读书量小于或等于2本，所以全班平均数肯定小于2本．我的课外读书数量为2本，为什么我没拿到奖章？”假如你是王老师，请给出合理解释．
【答案】(1)50(2)见解析(3)2，2(4)见解析
【详解】（1）解：九年级（1）班共有：（人），故答案为：；
（2）解：由条形统计图可得：（人），画图如下：
；
（3）解：∵九年级（1）班共有人，∴中位数为第和的平均值，∴中位数为：，
∵阅读本的人数最多，∴众数为：，故答案为：2，2；
（4）解：全班平均数为本，全班有一半以上同学的课外读书量小于或等于2本，但平均数不一定比2小，平均数会受到极端值的影响，你的读书量2本小于平均数本，所以未拿到奖．
30．（2025·贵州铜仁·模拟预测）行酒令是汉族民间风俗之一，是一种有中国特色的酒文化，大家轮流说诗词、联语或其他游戏，明朝唐之淳在《忆吴越风景》中写道“旋折藕花行酒令，细书蕉叶送诗筒”．行酒令中有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、减虫、以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”）
(1)若张三已经决定喊“虎”，那么李四获胜的概率为___________；
(2)判断这个游戏是否公平，并说明理由．
【答案】(1)(2)游戏公平，理由见解析
【详解】（1）解：张三喊出“虎”，李四可能喊出“虎”、“棒”、“鸡”、“虫”四种情况，
其中“虎棒”， 李四胜，∴张三喊出“虎”, 李四取胜的概率为，故答案为：；
（2）解：游戏公平，理由如下：用，，，分别表示老虎，棒子，鸡，虫，画树状图如下：
共种等可能的情况，其中张三获胜的有、、、，共种，
则张三获胜的概率是，其中李四获胜的有、、、，共种，
则李四获胜的概率是，则张三、李四获胜的概率相等，所以游戏公平．
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