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易错02 方程（组）与不等式（组）
易错陷阱1：解一元一次方程时去分母、去括号出错
解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
易错提醒：
1）分数线具有括号的作用，若分子是一个多项式，应把它看作整体，故去分母后，应该用括号括起来；
2）去括号时需乘多项式的每一项，若括号前面是负号，去括号时项的符号要改变；
3）运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母；
4）一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。
例1.（2024·浙江杭州·一模）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，合并同类项，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
易错警示：移项、去括号、去分母错误：移项时忘记变号；去括号时变号不全或漏乘括号中的某一项；去分母时漏乘整式项或忽略分数线的括号作用等，如解方程，展开括号时可能出现错误。
例2．（2024·广东中山·三模）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘问共有 辆车
变式1.（2024·广东·统考二模）若a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
变式2．（2025·广东·模拟预测）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．
变式3．（2024·浙江·二模）在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为 里/日．
变式4．（2024·浙江杭州·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程：
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
易错陷阱2：用换元法解方程组时忘换回原字母出错
解二元一次方程组的方法：①代入消元法；②加减消元法。
易错提醒：
1）若用到在用整体换元时，求得换元后值的时候还要反代回去求原方程组字母的值，切不可把换元后的值当做原方程组；
2）不擅长用整体思想，以为字母相同，值就相同。
3）对各种方程（组）的解法不熟练，导致解方程（组）出错，如移项未变号等。方程（组）无解的情况考虑不周。
4）二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
例1．（2024·江苏·一模）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ．
例2．（2024·广东广州·二模）关于x，y 的方程组 的解满足，求 的值．
变式1．（2024·广东深圳·三模）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ．
变式2.（2024·浙江杭州·三模）已知方程组，则的值为 ．
变式3．（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组
解
(1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解．
(2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）．
①猜想该方程组的解；②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程．
变式4．（2024·广东·模拟预测）某公司积极响应节能减排号召，决定采购A，B两种型号的新能源汽车．已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的倍，购进100辆A型汽车和120辆B型汽车共需5400万元．每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？
易错陷阱3：解一元二次方程失根或使用时忽视a=0致误
1、一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。
2、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3、一元二次方程根的判别式:.
（1）当时，原方程有两个不等的实数根；
（2）当时，原方程有两个相等的实数根；
（3）当时，原方程没有实数根。
4、求根公式：当时，方程的根为。
注意:求根公式的使用条件：a≠0且△=b2-4ac≥0。
易错提醒：
1）不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；若明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）
2）需要将方程化成一般形式后，而且要注意确定前面的性质符号．
3）若用到两边同时除以一个多项式时，要考虑多项式为0和多项式不为0两种情况，不然会造成丢根。
为避免丢根，需通过移项，将方程右边化为0，左边提公因式。
例1．（2024·浙江·一模）小红解方程的过程如下：
解： ①
， ②
， ③
． ④
(1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号；(2)写出你的解答过程．
易错警示：解一元二次方程时，切记不要轻易去约分哦！除非你能确定约去的因式时不等为零的。
例2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）关于的一元二次方程有实数根，的取值范围是 ．
易错警示：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。
例3．（2025·广东广州·一模）若是的一个根，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式1．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　）
A．， B．， C．， D．，
变式2．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（ ）
A．9 B．15 C．12或15 D．不能确
变式3．（2024·广东深圳·三模）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是
变式4．（2024·广东深圳·模拟预测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的正整数m的值为 ．（只需要填一个）
变式5．（2025·广东深圳·一模）（1）解方程：（2）解方程：．
易错陷阱4：运用根与系数关系时忽略a≠0和△≥0致误
根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，。
易错提醒：1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△=b2-4ac≥0。
例1.（2024·重庆·模拟预测）关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ．
例2．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ．
变式1．（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ．
变式2．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．(1)填空：________，________；
(2)求，；(3)已知，求的值．
变式3．（2024·广东·模拟预测）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．(1)求黄金分割数；(2)已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根；(3)已知两个不相等的实数满足，求的值．
易错陷阱5：解分式方程时忽略检验根的存在致误
分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
易错提醒：
1）解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。
例1．（2024·广东广州·模拟预测）解方程：
例2．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
易错警示：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。
变式1．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·广东广州·二模）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·广东清远·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元
(1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用；
(2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
易错陷阱6：易错陷阱6：增根与无解分不清楚致误（对无解考虑不全面）
1、增根：使最简公分母值为0的未知数的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根；
2、无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等；
易错提醒：分式方程有增根与无解并非是同一个概念。分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解。
例1．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程无解，则a的值为 ．
易错警示：无解有两种情况，需考虑全面：①原方程化去分母后的整式方程无解；②原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解。
例2．（2023·黑龙江·统考中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
变式1.（2024·浙江杭州·一模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ，时，分式方程的解为 ．
变式2.（2024·安徽六安·九年级校考期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式3.（2024·四川遂宁·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
易错陷阱7：解不等式忽略变号；含参问题端点值取舍易出错
1、不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
2、不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解。
易错提醒：
1）同乘或同除以一个负数时不要忽略变不等号方向；不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母。
2）已知不等式组的解集情况求参数时，需要验证临界值是否符合条件，符合则可以取到否则舍弃。
3）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
例1．（2024·广东·模拟预测）解不等式组并求它的所有的非负整数解的和．
易错警示：不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。同乘或同除以一个负数时不要忽略变不等号方向。
例2．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
易错警示：关于一元一次不等式组有解、无解、已知解集等的问题易忽视端点值是否可取的情况（即是否能取等号）。
变式1．（2024·广东·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
变式2．（2024·广东·模拟预测）下列数值不是不等式组 的整数解的是（ ）
A． B． C．0 D．1
变式3．（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是 ．
变式5．（2024·广东深圳·三模）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元．(1)求排球、足球的单价各为多少？
(2)若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元．
1-1．（2024广东广州中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
1-2．（2024·四川德阳·模拟预测）在一堂充满探索与创意的“幻方”与“幻圆”活动课上，一个小组的同学勇敢地挑战了一项任务：他们试图将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数字巧妙地填入“六角幻星”图中．这个图形的魅力在于，它的6条边上的四个数字之和必须完全相同．如图．部分数字已经被填入图中的圆圈内，请你确定a的值为（　　）
A．9 B．7 C．6 D．4
1-3.（2024·吉林长春·模拟预测）一片牧场（草以均匀的速度生长），12头牛吃4天，9头牛吃6天，（ ）头牛两天能吃完
A．20 B．21 C．30 D．18
1-4．（2024·河北邯郸·模拟预测）我国古代的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两……”意思是：“今有生丝30斤，干燥后损耗3斤12两（我国古代1斤等于16两）……”据此，若得到14斤干丝，需使用生丝x斤，则正确的是（　　）
A．依题意，得 B．依题意，得
C．需使用生丝 斤 D．得到14斤干丝，需损耗生丝 斤
1-5．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ．
2-1．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ．
2-2．（2024·浙江宁波·一模）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
2-3．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）学校开展“阳光体育”活动，张老师准备花费400元在体育用品商店订购28个哑铃，共有甲、乙、丙三种哑铃供其选择，它们的单价分别为20元、16元、10元，那么张老师不同的订购方案有 种．
2-4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知三个实数x、y、z中，x与y的平均数是127，y与z的和的是78，x与z的和的是52，则这三个数x、y、z的平均数是 ．
2-5．（2024·广东珠海·三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务.
“整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值.
小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可.
小善：由①，得，③
将③代入②，得，解得，
把代入③，解得，所以原方程组的解为
张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务.
(1)任务一：解方程组;(2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式.
2-6．（2024·浙江杭州·二模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．

2-7．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务．
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明．
例1：计算：．
解：设，则原式．
请你利用上述方法解答下列问题：(1)计算：；
(2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
2-8．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分 a b 100 无
积分可以兑换部分商品，具体如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数 800 1500 2000 1000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分．(1)求a，b的值；(2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？
3-1．（2024·广东·模拟预测）如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
3-2．（2024·广东揭阳·一模）在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（ ）
A． B． C．2 D．4
3-3．（2024·广东深圳·模拟预测）古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
3-4．（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：．
3-5．（2024·广东佛山·二模）若实数满足，则关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
4-1．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ．
4-2．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 ．（只需填写序号）
4-3．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ．
4-4．（2024·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4-5．（2024·浙江宁波·三模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根．(2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根．
4-6．（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．(1)判断方程是否是“邻近根方程”；
(2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值．
5-1．（2024·广东深圳·模拟预测）2023年3月底，国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改千米，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5-2．（2024·浙江舟山·一模）小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当越来越大时，的值越来越接近于1
5-3．（2024·浙江·三模）解下列方程：(1)； (2)．
5-4．（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：．
5-5．（2024·广东佛山·三模）据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等．(1)问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？(2)社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？
6-1．（2024·湖北·模拟预测）若分式方程的解为整数，则整数___________．
6-2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
6-3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
6-4．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且 C． D．且
7-1．（2024·广东·模拟预测）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．C．D．
7-2．（2024·广东江门·二模）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7-3．（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ．
7-4．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
7-5．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，求整数a的值．
7-6．（2025·广东揭阳·一模）（1）解方程：；（2）解不等式组：．
7-7．（2024·广东广州·模拟预测）年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错02 方程（组）与不等式（组）
易错陷阱1：解一元一次方程时去分母、去括号出错
解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
易错提醒：
1）分数线具有括号的作用，若分子是一个多项式，应把它看作整体，故去分母后，应该用括号括起来；
2）去括号时需乘多项式的每一项，若括号前面是负号，去括号时项的符号要改变；
3）运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母；
4）一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。
例1.（2024·浙江杭州·一模）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，合并同类项，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】解答过程有错误，正确的解答过程见解析
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：
去分母，得：，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
易错警示：移项、去括号、去分母错误：移项时忘记变号；去括号时变号不全或漏乘括号中的某一项；去分母时漏乘整式项或忽略分数线的括号作用等，如解方程，展开括号时可能出现错误。
例2．（2024·广东中山·三模）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘问共有 辆车
【答案】15
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有辆车，根据人数相等，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设共有辆车，由题意，得：，解得：；
答：共有辆车；故答案为：15．
变式1.（2024·广东·统考二模）若a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，故B、C错误；
∵，∴，∴，
∴，故A错误，D正确；故选：D．
变式2．（2025·广东·模拟预测）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．
【答案】A
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴把代入得：，解得：．故选A．
变式3．（2024·浙江·二模）在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为 里/日．
【答案】780
【详解】解：设主人的马的速度为x里/日，根据题意，得，
解得，即主人骑马的速度为780里/日．故答案为：780．
变式4．（2024·浙江杭州·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程：
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】圆圆解方程有错误，正确解答见解析
【详解】解：圆圆解方程有错误，正确解答为：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
易错陷阱2：用换元法解方程组时忘换回原字母出错
解二元一次方程组的方法：①代入消元法；②加减消元法。
易错提醒：
1）若用到在用整体换元时，求得换元后值的时候还要反代回去求原方程组字母的值，切不可把换元后的值当做原方程组；
2）不擅长用整体思想，以为字母相同，值就相同。
3）对各种方程（组）的解法不熟练，导致解方程（组）出错，如移项未变号等。方程（组）无解的情况考虑不周。
4）二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
例1．（2024·江苏·一模）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ．
【答案】
【详解】解：方程组可化为，
关于、的方程组的解为，
方程组的解是，即，故答案为：．
例2．（2024·广东广州·二模）关于x，y 的方程组 的解满足，求 的值．
【答案】8
【详解】解：，，得，∴，
∵，∴，∴．
变式1．（2024·广东深圳·三模）如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ．
【答案】
【详解】由题意得：，解得：，故答案为：
变式2.（2024·浙江杭州·三模）已知方程组，则的值为 ．
【答案】2
【详解】解：，，得，故答案为：2．
变式3．（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组
解
(1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解．
(2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）．
①猜想该方程组的解；②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程．
【答案】(1)(2)①；②见解析
【详解】（1）解：由题意可得：的解是：；
（2）解：①关于x，y的二元一次方程组的解是：；
②把代入①的左边可得：右边，
把代入②的左边可得：右边，
∴是方程组的解．
变式4．（2024·广东·模拟预测）某公司积极响应节能减排号召，决定采购A，B两种型号的新能源汽车．已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的倍，购进100辆A型汽车和120辆B型汽车共需5400万元．每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？
【答案】每辆A型汽车的进价为30万元，每辆B型汽车的进价为20万元．
【详解】解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，
依题意，得：，解得：，
答：每辆A型汽车的进价为30万元，每辆B型汽车的进价为20万元．
易错陷阱3：解一元二次方程失根或使用时忽视a=0致误
1、一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。
2、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3、一元二次方程根的判别式:.
（1）当时，原方程有两个不等的实数根；
（2）当时，原方程有两个相等的实数根；
（3）当时，原方程没有实数根。
4、求根公式：当时，方程的根为。
注意:求根公式的使用条件：a≠0且△=b2-4ac≥0。
易错提醒：
1）不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；若明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）
2）需要将方程化成一般形式后，而且要注意确定前面的性质符号．
3）若用到两边同时除以一个多项式时，要考虑多项式为0和多项式不为0两种情况，不然会造成丢根。
为避免丢根，需通过移项，将方程右边化为0，左边提公因式。
例1．（2024·浙江·一模）小红解方程的过程如下：
解： ①
， ②
， ③
． ④
(1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号；
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)第②步开始出现错误(2)见详解
【详解】（1）解：第②步开始出现错误；原②过程应改为，
（2），
，
则，
或，
解得，．
易错警示：解一元二次方程时，切记不要轻易去约分哦！除非你能确定约去的因式时不等为零的。
例2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）关于的一元二次方程有实数根，的取值范围是 ．
【答案】且
【详解】解：由于关于的一元二次方程有实数根，
且原方程是一个一元二次方程，则的系数不为0；
，即，解得．故答案为：且．
易错警示：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。
例3．（2025·广东广州·一模）若是的一个根，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】解：∵是的一个根，∴，∴，
∴，故选：A．
变式1．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】解：，，或，
所以，． 故选：B．
变式2．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（ ）
A．9 B．15 C．12或15 D．不能确
【答案】B
【详解】解：，，或，解得：，，
当三角形的腰为6，底为3时，三角形的周长为，
当三角形的腰为3，底为6时，，故不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为15．故选：B．
变式3．（2024·广东深圳·三模）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是
【答案】
【详解】解：当，则；由关于x的方程有实数根，
∴，即得，∴，∴a的取值范围为且．
当时为一元一次方程，方程有一根．综上所知a的取值范围为．故答案为：．
变式4．（2024·广东深圳·模拟预测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的正整数m的值为 ．（只需要填一个）
【答案】1（答案不唯一）
【详解】解：由题意得，，解得：，
则满足条件的正整数m的值有：6，5，4，3，2，1，填写一个即可，故答案为：1（答案不唯一）．
变式5．（2025·广东深圳·一模）（1）解方程：（2）解方程：．
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】解：（1）两边直接开平方得：，
则，，解得：，；
（2），整理得：，即，
两边直接开平方得：．
易错陷阱4：运用根与系数关系时忽略a≠0和△≥0致误
根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，。
易错提醒：1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△=b2-4ac≥0。
例1.（2024·重庆·模拟预测）关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ．
【答案】
【详解】解：的两个实数根，
，解得：，由题可得：，，
，即，
将，，代入得，即，解得，，
，，故答案为：．
例2．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ．
【答案】/
【详解】解：，，，
，、可看作方程的两根，，，
，．故答案为：．
变式1．（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出，，再根据新定义计算即可．
【详解】解：方程的解为、，，，
∴．故答案为：6．
变式2．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．(1)填空：________，________；
(2)求，；(3)已知，求的值．
【答案】(1)，；(2)，；(3)．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，故答案为：，；
（2）解：∵，，∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，∴，∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，∴，∴，∴，解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；∴．
变式3．（2024·广东·模拟预测）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．(1)求黄金分割数；(2)已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根；(3)已知两个不相等的实数满足，求的值．
【答案】(1)(2)详见解析(3)
【详解】（1）解：由题意，将代入，得，．
黄金分割数大于0，黄金分割数为；
（2）证明：，．．
又，是一元二次方程的两个根；
（3）解：由题意，令①，②，
①②得，．
①②得．
为两个不相等的实数，．，，
又，．
，，．
易错陷阱5：解分式方程时忽略检验根的存在致误
分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
易错提醒：
1）解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。
例1．（2024·广东广州·模拟预测）解方程：
【答案】
【详解】解：，，，，，．
经检验，是原分式方程的解，∴原分式方程的解为．
例2．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（千米小时）．
答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时；
（2）根据题意得：，即，
解得：，（不符合题意，舍去）．答：的值为．
易错警示：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。
变式1．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：是分式方程的解，，解得：，故选：C．
变式2．（2024·广东广州·二模）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，去括号得，解得：，
经检验：是原方程的根，故选：A．
变式3．（2024·广东清远·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元
(1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用；
(2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】(1)（或）；(2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动汽车每千米行驶费用为0.11元；②他们购买纯电动汽车的年费用更低．
【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）；故答案为：（或）．
（2）解：①，解得，经检验，是原分式方程的解，
∴（元），（元），
答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元；
②购买燃油车的年费：（元）
购买纯电动汽车的年费：（元）
∵∴他们购买纯电动汽车的年费用更低．
易错陷阱6：易错陷阱6：增根与无解分不清楚致误（对无解考虑不全面）
1、增根：使最简公分母值为0的未知数的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根；
2、无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等；
易错提醒：分式方程有增根与无解并非是同一个概念。分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解。
例1．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程无解，则a的值为 ．
【答案】1或
【详解】解： 去分母得：，整理得：，
当时，方程无解，故；
当时，时，分式方程无解，则，
∴关于x 的方程无解，则a的值为：1或．故答案为：1或．
易错警示：无解有两种情况，需考虑全面：①原方程化去分母后的整式方程无解；②原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解。
例2．（2023·黑龙江·统考中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】D
【详解】解：去分母得：，解得：，
∵分式方程的解是负数，∴，，即，
解得：且，故选：D．
变式1.（2024·浙江杭州·一模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ，时，分式方程的解为 ．
【答案】 且
【详解】解：原方程去分母得：，解得：，
∵原方程的解是非负数，∴且，解得：且；
当时，，检验：当时，，
故此时原方程的解为，故答案为：且；．
变式2.（2024·安徽六安·九年级校考期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】去分母得：，解得。
∵分式方程有增根，∴，即，∴增根为3。
把代入整式方程得：，解得．故选：D．
变式3.（2024·四川遂宁·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
【详解】方程两边同乘，得，整理得，
原方程无解，当时，；
当时，或，此时，，解得或，
当时，无解；当时，，解得；
综上，m的值为0或4；故选：D．
易错陷阱7：解不等式忽略变号；含参问题端点值取舍易出错
1、不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
2、不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解。
易错提醒：
1）同乘或同除以一个负数时不要忽略变不等号方向；不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母。
2）已知不等式组的解集情况求参数时，需要验证临界值是否符合条件，符合则可以取到否则舍弃。
3）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
例1．（2024·广东·模拟预测）解不等式组并求它的所有的非负整数解的和．
【答案】，3
【详解】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
则不等式组的解集为，
不等式组的非负整数解有：，
不等式组的非负整数解的和为．
易错警示：不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。同乘或同除以一个负数时不要忽略变不等号方向。
例2．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：解，得：，
∵不等式组无解，∴，，，令，
∵，∴反比例函数的图象在第四象限，随着的增大而增大，
当时，，∴当时，；故选B．
易错警示：关于一元一次不等式组有解、无解、已知解集等的问题易忽视端点值是否可取的情况（即是否能取等号）。
变式1．（2024·广东·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由①得：，由②得：，
所以这个不等式组的解集为，表示数轴上为：故选：B．
变式2．（2024·广东·模拟预测）下列数值不是不等式组 的整数解的是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【详解】解：解不等式得，解不等式得，
∴不等式组的解为：，∴整数解为：，不符合的整数为，故选A．
变式3．（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：一元一次不等式组的解集为，
所以，，解得，，故选：D
变式4．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是 ．
【答案】或
【详解】解：解不等式组，解得：，
∵所有整数解的和是12，且或
∴不等式组的整数解为①或②5，4，3，2，1，0，
∴或；故答案为：或．
变式5．（2024·广东深圳·三模）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元．(1)求排球、足球的单价各为多少？
(2)若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元．
【答案】(1)排球的单价为元，足球的单价为元；(2)张老师带的钱不够，最少还差元．
【详解】（1）解：设排球的单价为元，则足球的单价为元，
依题意得，，解得（不符合题意，舍去），，
经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，
答：排球的单价为元，足球的单价为元；
（2）解：设学校购买个足球，则购买个排球，
依题意得，，解得，
设费用为元，由题意得，，
∵，∴随的增大而增大，∴当时，的值最小，，
∵，，∴张老师带的钱不够，最少还差元，
答：张老师带的钱不够，最少还差元．
1-1．（2024广东广州中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设该车企去年5月交付新车辆，根据题意得：，故选：A．
1-2．（2024·四川德阳·模拟预测）在一堂充满探索与创意的“幻方”与“幻圆”活动课上，一个小组的同学勇敢地挑战了一项任务：他们试图将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数字巧妙地填入“六角幻星”图中．这个图形的魅力在于，它的6条边上的四个数字之和必须完全相同．如图．部分数字已经被填入图中的圆圈内，请你确定a的值为（　　）
A．9 B．7 C．6 D．4
【答案】C
【详解】如图所示．
，即，解得．
∴，解得．故选：C．
1-3.（2024·吉林长春·模拟预测）一片牧场（草以均匀的速度生长），12头牛吃4天，9头牛吃6天，（ ）头牛两天能吃完
A．20 B．21 C．30 D．18
【答案】B
【详解】解：假设每头牛每天吃的草量为单位“1”，草场每天生长的草为x，根据题意得：
，解得：，
设y头牛两天能吃完，根据题意得：，解得：，
即21头牛两天能吃完．故选：B．
1-4．（2024·河北邯郸·模拟预测）我国古代的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两……”意思是：“今有生丝30斤，干燥后损耗3斤12两（我国古代1斤等于16两）……”据此，若得到14斤干丝，需使用生丝x斤，则正确的是（　　）
A．依题意，得 B．依题意，得
C．需使用生丝 斤 D．得到14斤干丝，需损耗生丝 斤
【答案】B
【详解】解：依题意，得，解得，∴（斤），
∴若得到14斤干丝，则需使用生丝16斤，损耗生丝2斤．故选:B．
1-5．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴，解得：，故答案为：．
2-1．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由可得：，所以：
把③代入②得：，解得：，
代入可得：，解得：，故答案为：．
2-2．（2024·浙江宁波·一模）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【详解】解：设公鸡只，母鸡只，则小鸡只
由题意得，即 由于，，均为正整数
所以方程的正整数解只有或或故选：D．
2-3．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）学校开展“阳光体育”活动，张老师准备花费400元在体育用品商店订购28个哑铃，共有甲、乙、丙三种哑铃供其选择，它们的单价分别为20元、16元、10元，那么张老师不同的订购方案有 种．
【答案】5
【详解】解：设订购甲种哑铃个，乙种哑铃个，丙种哑铃个，
根据题意，可得，由，可得，
整理可得，根据题意，可知，，，且均为整数，
所以，可有或或或或，
所以，张老师不同的订购方案有5种．故答案为：5．
2-4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知三个实数x、y、z中，x与y的平均数是127，y与z的和的是78，x与z的和的是52，则这三个数x、y、z的平均数是 ．
【答案】116
【详解】解：由题意得：，即，解得：，
x、y、z的平均数是，故答案为：116．
2-5．（2024·广东珠海·三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务.
“整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值.
小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可.
小善：由①，得，③
将③代入②，得，解得，
把代入③，解得，
所以原方程组的解为
张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务.
(1)任务一：解方程组
(2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解： 由①得③
将③代入②，得，解得，将代入③，解得，
所以原方程组的解为.
（2）解：将代入得 拋物线与轴有唯一的交点，
，解得，抛物线的解析式为.
2-6．（2024·浙江杭州·二模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．

【答案】
【详解】解：设秤盘的质量为，秤砣的质量为，
由题意得：，解得：，秤盘的质量为，秤砣的质量为，
设这把杆秤的秤星E对应的刻度是克，由题意得：，解得：，
这把杆秤的秤星对应的刻度是克，故答案为：，．
2-7．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务．
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明．
例1：计算：．
解：设，则原式．
请你利用上述方法解答下列问题：(1)计算：；
(2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：依题意，设，
（2）解：方程组的解是，
同理方程组中
2-8．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分 a b 100 无
积分可以兑换部分商品，具体如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数 800 1500 2000 1000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分．(1)求a，b的值；(2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？
【答案】(1)
(2)有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张
【详解】（1）解：根据题意得：，解得：；
（2）解：共有积分为：，
设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
∴由题意得：化简得：，
∵s，t，m，n都为非负整数，∴∴原式化为：，
∴；或，
有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张．
3-1．（2024·广东·模拟预测）如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
【答案】D
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是，∴，则，
∴．故选：D．
3-2．（2024·广东揭阳·一模）在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【详解】根据题意得，解得，
方程化为，把代入得，解得，
∴，∴，∴或，∴．故选D．
3-3．（2024·广东深圳·模拟预测）古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【详解】由题意得：且 解得：且 故选：C．
3-4．（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：．
【答案】
【详解】解：，， ∴或，解得：．
3-5．（2024·广东佛山·二模）若实数满足，则关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：，，，
关于的方程根的情况是有两个不相等的实数根，故选：B．
4-1．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ．
【答案】或/或
【详解】解：当时，．
当时，可得，解得：，符合题意；
当时，可得，解得：，不符合题意；
当时， ，则∴．
∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数，
∴，解得：，，解得：，即．
综上可得，实数m的取值范围是或．故答案为：或．
4-2．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 ．（只需填写序号）
【答案】①②④
【详解】解：若，则，∴，故①是真命题；
若该方程的两根为和1，则，∴，∴，故②是真命题；
若有两个相等的实数根，则，
∴的判别式：，
∵a的符号不确定，∴方程根的情况不确定，故③是假命题；
若r是该方程的一个根，则，∵，∴，
∴，∴，∴是的一个根，故④是真命题；故答案为：①②④．
4-3．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ．
【答案】13
【详解】解：、为实数，且满足，，，，
、是方程，即的两个根，或；
①当，时，，即；
②当，时，，即，不合题意；
综上所述，；故答案为：13．
4-4．（2024·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知，将方程 的两边都除以得，
∵，，∴，为方程的两个实数根，
∴．故选：A．
4-5．（2024·浙江宁波·三模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根．(2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根．
【答案】(1)见解析(2)3
【详解】（1）解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x，则，解得，故该方程的另一个根为3．
4-6．（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．(1)判断方程是否是“邻近根方程”；
(2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值．
【答案】(1)方程是“邻近根方程”；(2)48
【详解】（1）解：由题意得，
∴，解得，
∴，∴方程是“邻近根方程”；
（2）解：设关于x的方程的两个实数根为，
则由根与系数的关系可得，
∵关于x的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴当时，有最大值48，即有最大值48．
5-1．（2024·广东深圳·模拟预测）2023年3月底，国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改千米，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设原计划每天整改千米，实际施工时每天整改千米，则
，故选：B．
5-2．（2024·浙江舟山·一模）小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当越来越大时，的值越来越接近于1
【答案】D
【详解】解：当时，，原说法错误，选项A不符合题意；
当时，去分母得，解得，经检验是方程的解，原说法错误，选项B不符合题意；当时，∵，∴，原说法错误，选项C不符合题意；
当越来越大时，的值越来越接近于1，说法正确，选项D符合题意；故选：D．
5-3．（2024·浙江·三模）解下列方程：(1)； (2)．
【答案】(1)， (2)
【详解】（1）解：
或,
解得：，；
（2）
两边同时乘以得： 解方程得：，
经检验：是原方程的解，∴原方程的解为．
5-4．（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：，等式的两边都乘，得，
，，，，
∵，，∴，∴，即．
5-5．（2024·广东佛山·三模）据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等．(1)问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？(2)社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？
【答案】(1)A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元
(2)安装购买A型慢充桩最少个
【详解】（1）解：设A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是（）万元，由题意得
，解得：，经检验：是所列方程的根，且符合实际意义，（万元），
答：A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元；
（2）解：设安装购买A型慢充桩个，由题意得，解得：，
是整数，取，故安装购买A型慢充桩最少个．
6-1．（2024·湖北·模拟预测）若分式方程的解为整数，则整数___________．
【答案】
【详解】解：，
整理得：
若分式方程的解为整数，
为整数，当时，解得：，经检验：成立；
当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:，故答案是：．
6-2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【详解】解：方程两边同时乘以得，，解得，
∵分式方程的解是负数，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴且，故选：．
6-3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【详解】解：去分母得，，整理得，，
当时，方程无解，
当时，令，解得，
所以关于x的分式方程无解时，或．故选：A．
6-4．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【详解】解：方程两边同时乘以得，，解得，
∵分式方程的解为正数，∴，∴，
又∵，即，∴，∴的取值范围为且，故选：．
7-1．（2024·广东·模拟预测）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【详解】解：解不等式得；
解不等式得；∴不等式组的解集为；
在同一条数轴上表示为；故选：C．
7-2．（2024·广东江门·二模）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，∴，故A不符合题意；∴，故B符合题意；
∴，故C不符合题意；∴，故D不符合题意；故选B．
7-3．（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：，，得，
∵，∴，∴．故答案为：．
7-4．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】16
【详解】解：， 解①得：，解②得：，
关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，，解得，
解方程，得，
关于的分式方程的解为非负整数，且，是偶数，
解得且，是偶数，且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是，故答案为：16．
7-5．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，求整数a的值．
【答案】或．
【详解】，解不等式①得：
解不等式②得： ∴
∵所有整数解的和为14，∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，，
∴或，∴或，∵a为整数，∴或．
7-6．（2025·广东揭阳·一模）（1）解方程：；（2）解不等式组：．
【答案】（1） （2）
【详解】解：（1），由得：，
将代入得：，解得：，
将代入得：，
所以原方程组的解为；
（2），解不等式得：，解不等式得：，
所以原不等式组的解集为．
7-7．（2024·广东广州·模拟预测）年4月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多元，用元购进A款和用元购进B款的文化衫的数量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有人，要求购买的A款文化衫的数量不少于B款文化衫数量的两倍，学校应如何设计采购方案才能使得购买费用最低，最低费用为多少？
【答案】(1)B款文化衫每件元，A款文化衫每件元
(2)购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元
【详解】（1）解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，
依题意得，，解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
∴，∴B款文化衫每件元，A款文化衫每件元；
（2）解：设购买A款文化衫件，则B款文化衫件，费用为元，
依题意得，，解得，，
由题意知，，
∵，∴当时，费用最低为（元），
∴购买A款文化衫件，B款文化衫件，费用最低，为元．
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