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易错03 函数及其图象
易错陷阱1.没有准确辨别函数的增减性致误
一次函数的增减性：
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。
反比例函数的增减性：当时，在同一象限内，随的增大而减小：当时，在同一象限内，随的增大而增大。
二次函数的增减性：
当时，在对称轴的左边，随的增大而减小；在对称轴的右边，随的增大而增大；
当时，在对称轴的左边，随的增大而增大；在对称轴的右边，随的增大而减小。
易错提醒：先确定函数图像增减性，再数形结合比较大小。
例1．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点．，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵二次函数中的，∴抛物线开口向下，∴距离对称轴越远，其函数值越小，
∵，，在的图象上，∴对称轴为直线，
∵，，，即点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，∴，故选：C．
易错警示：一次函数值的大小比较，直接判别增减性，比较大小即可。
反比例函数值比较大小，同一象限内的根据增减性比较大小即可，不同象限的则要根据图象（符号）比较。
二次函数值大小比较：需先确定开口方向和对称轴，再根据下面结论比较即可。
若开口向上，离对称轴越近则函数值越小；若开口向下，离对称轴越近则函数值越大。
变式1．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵当时，反比例函数的图像位于第二、四象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点在反比例函数（）的图像上，又，∴．故选：C
变式2．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，则与的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵二次函数的图像的对称轴为直线，
又∵，∴该函数图像的开口向上，
，∴点离对称轴的距离比点要远，，故选：A．
变式3．（2024·广东东莞·三模）已知点，点在直线上，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【详解】解：，中，随的增大而减小，，，故答案为：．
易错陷阱2.混淆不同函数的字母意义致误
在函数图象识别题型中：
二次函数字母的意义：①决定抛物线的开口方向和大小；②和共同决定对称轴的位置（左同右异）；③决定抛物线与轴交点的纵坐标；
一次函数字母的意义：表示该直线的斜率（陡峭程度）或函数的增减性、表示该直线的截距（与轴交点的纵坐标）。
反比例函数字母的意义：表示函数过象限或增减性。
易错提醒：虽然字母相同，但在不同的函数中，代表的意义完全不同，切不可一概而论
例1．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，
∵，∴，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选：C．
例2．（2025·广东·模拟预测）一次函数与反比例函数（，）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【详解】解：当时，，或，．
当，，则一次函数经过一、二、三象限，反比例函数（，）经过一、三象限，故选A符合；
当，时，则一次函数经过二、三、四象限，反比例函数（，）经过一、三象限，故排除B；
当时，，或，．
当，时，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数（，）经过二、四象限，故排除C；
当，时，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数（，）经过二、四象限，故排除D．故选：A．
易错警示：切记字母相同，但在不同的函数中，代表的意义完全不同！
变式1．（2025·广东广州·一模）若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵直线经过一、二、四象限，，，
∴直线的图象经过第一、二、三象限，故选：B．
变式2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：B．
易错陷阱3.混淆二次函数中各系数的作用致误
在二次函数中：
①决定抛物线的开口方向和大小：当时，向上开口；当时，向下开口；
②和共同决定对称轴位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左边；当a与b异号时，对称轴在轴右边；
③决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于；④顶点坐标；
⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=；
⑥韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
易错提醒：需熟悉二次函数中系数代表的意义。
例1.（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：观察图象，可知，∴，故①符合题意；
∵该抛物线的对称轴为直线，，∴，，
∴点，点，∴当时，，即，故②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，即，，
∵，∴，∴，∴，∵，∴，故③符合题意；
当时，函数有最大值，由，可得，
若m为任意实数，则，故④不符合题意，综上，符合题意的有3个，故选：C．
变式1．（2024·广东东莞·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的有：①；②；③；④；⑤．（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，∴，
∵对称轴在直线和y轴之间，∴，∴，故③错误；∴，故①正确；
∵二次函数与x轴有两个不相同的交点，∴，故②错误；
∵当时，，时，，∴，
∴，∴，故④正确；
∵当时，，∴，∴，故⑤正确；∴正确的有3个，故选：B．
变式2．（2024·广东广州·三模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【详解】解：图象经过，，若对称轴在轴的左侧则，
当时，，则，此时；当时，，则，此时．①正确．
，，的一个根为，
的一个根为：，即．②正确．
抛物线与轴两交点之间的距离为：，
即，，③正确．若，开口向上，与轴交于正半轴，
，，则对称轴，当时，、的大小关系不确定．④错误．综上①②③正确，故选：A．
易错陷阱4.运用k的几何意义忽略象限致误
反比例函数图象中有关图形的面积
易错提醒：利用|k|的几何意义求出的k带有绝对值，需要结合图象分布象限来确定具体的符号。
例1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，O是坐标原点，菱形的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接相交于点E，过点B作轴与点D，
四边形为菱形，，，，，
，，，
即，解得：，，，
函数的图象经过顶点B，，故答案为：．
变式1．（2024·广东·模拟预测）如图，在等腰中，，顶点A为反比例函数（其中）图像上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作，交反比例函数的图像于点C，连接交于点D，若，，则的面积为（　　）
A． B．6 C． D．5
【答案】C
【详解】解：过点A作轴于点H，交于点E，
，，，，
，， ，， ，
轴，轴，，，
，，，，，
设，则，，，，选：C．
变式2．（2025·广东深圳·一模）如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为 ．
【答案】8
【详解】设，∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，
∴，∴，∴，∴，∴，，
∴矩形的面积为，故答案为：．
易错陷阱5.函数左右平移没有考虑x的系数
点的平移规律：向左平移个单位得到；
点的平移规律：向右平移个单位得到；
函数图象的平移规律：向左平移个单位时，对直接进行加
函数图象的平移规律：向右平移个单位时，对直接进行减
易错提醒：（1）左右平移，图象的变换与点的变换刚好相反，切不可混淆；（2）图象平移中，记得把系数变成“1”。
例1．（2024·广东惠州·模拟预测）函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 ．
【答案】
【详解】解：函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为，故答案为：．
例2．（2024·广东汕头·二模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】D
【详解】解：∵一次函数与轴交点为，∴点关于直线的对称点为，
代入直线，可得，∵一次函数与轴交点为，
∴关于直线的对称点为，代入直线，可得，解得．故选：D．
变式1．（2024·广东珠海·三模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 .
【答案】
【详解】解：的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到
，即．故答案为：
变式2．（2024·广东韶关·模拟预测）将直线向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
【答案】
【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为，即，
故答案为：．
变式3．（2024·四川德阳·二模）一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点A、B，若点A、B关于原点对称，则m的值是（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【详解】解：将一次函数的图象向上平移3个单位长度后的直线解析式为，
∵与反比例函数的图象交于点A、B，且点A、B关于原点对称，
∴直线是正比例函数，即，∴，故选：B．
易错陷阱6.不会结合不等式号与函数图象的关键点
函数与不等式：可以看作当一个函数的函数值大（小）于另一个函数的函数值，通过两个函数的交点可求自变量相应的取值范围
易错提醒：容易把这类题型与求函数解析式题型混淆，直接去求函数解析式，思路错误后容易出现求解不出解析式的情况，导致无法做出答案
例1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】解：由图可知，或时，．
∴则函数值时，的取值范围是或，故选：D．
例2．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】解：由，得到：．根据图象可知：两函数的交点为，
∴关于的一元一次不等式的解集是，
即关于的一元一次不等式的解集是，故答案为：．
变式1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，，
直线一定经过点，故选：C．
变式2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【分析】本考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，熟练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小是解题的关键．找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的的值即【详解】解：与的图象相交于，，
当时，由图象可知的图像在的图象的下方，
关于的不等式的解集为．故选：C．
变式3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点．(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；(2)连接，，求的面积；(3)直接写出当时，关于的不等式的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例的解析式为(2)4(3)或
【详解】（1）解：将，代入，得：，解得：，
∴一次函数的解析式为，将代入，得，
∴反比例的解析式为；
（2）解：对于，当时， ∴点D的坐标为，
由，解得或，∴点B的坐标为，
∴的面积；
（3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或．
易错陷阱7.解决函数最值时忽略自变量的范围致误
易错提醒：在利用函数解决实际问题时，要特别注意自变量的取值范围，例如确定有多少人、几条船等，那么自变量就不能取负数和小数，一定要是非负整数，
例1．（2024·广东·校考二模）为了推进乡村振兴战略，提升茶叶的品牌竞争力，某地政府在新茶上市30天内，帮助茶农集中销售．设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知：
销量：第1天销量为42斤，以后每天比前一天多销售2斤；
价格：前12天的价格一直为500元/斤，从第13天开始价格每天比前一天少10元．
请根据以上信息，解决问题：（1）当时，写出关于的函数表达式；（2）当为何值时日销售额最大，最大为多少？（3）若要保证第13天到第22天的日销售额随增大而增大，则价格需要在当天的售价基础上上涨元/斤，求整数的最小值．（直接写出结果）
【答案】（1）；（2）当为第21天时日销售额最大，最大为33620元；（3）20
【详解】解：（1）由题意得；；
（2）由题意得，销售量为，
当时，则，
当时，取最大值为，
当时，则，
∵，∴当时，取最大值为33620，
∵，∴当时，取最大值为33620，
答：当为第21天时日销售额最大，最大为33620元；
（3）依题意，，
∵第13天到第22天的日销售额随增大而增大，
∴对称轴，得，故的最小值为20．
变式1．（2024.湖北中考模拟预测）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售、两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知型，型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日）
型
型
根据市场行情，该销售商对型手写板降价销售，同时对型手写板提高售价，此时发现型手写板每降低元就可多卖个，型手写板每提高元就少卖个，要保持每天销售总量不变，设其中型手写板每天多销售个，每天总获利的利润为元（1）求与之间的函数关系式并写出的取值范围；（2）要使每天的利润不低于元，直接写出的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个型手写板，就捐元给因“新冠疫情”影响的困难家庭，当时，每天的最大利润为元，求的值．
【答案】（1）（），且x为整数；（2），且x为整数；（3）
【解析】（1） ，
化简得，，由题意知，，解得，，
故的取值范围为且为整数；
（2）的取值范围为，理由如下：，
当时，，
∴，，∴或，要使，由图象知，；
，，且为整数；
（3）设捐款后每天的利润为元，
则，
对称轴为，，，
抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
当时，最大，，解得，．
变式2．（2024·江苏·九年级二模）某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）的平方成正比例；乙种产品所获得年利润（万元）与投入资金（万元）成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金（万元）（为常数且）生产甲、乙两种产品，其中投入甲种产品资金为（万元）（其中），所获全年总利润（万元）为与之和．
（万元）
（万元）
（万元）
分别求和关于的函数关系式；求关于的函数关系式（用含的式子表示）；
当时，①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元，请你通过计算说明该预判是否正确；②公司从全年总利润中扣除投入甲种产品资金的倍（）用于其它产品的生产后，得到剩余利润（万元），若随增大而减小，直接写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）①该预判正确，理由见解析；②．
【详解】解：（1）由题意，设，由表格数据可得，，解得∴．
设，由表格数据可得，，解得，∴．
（2）由题意可知，投入甲种产品资金为万元，则投入乙种产品资金为万元，
则有，即．
（3）①由，得，
∵，抛物线开口向上，对称轴为，∴当时，，
当时，，，∴该预判正确．
②．设剩余年利润为，由题意可得：，
对称轴为，，抛物线开口向上，
若要满足全年利润随增大而减小，则必有，解得，又，∴．
易错陷阱8.没有对未知参数进行分类讨论致误
易错提醒：含参最值问题中，系数的符号不知道，函数的增减性就不清楚，故最值位置需分类讨论
例1.（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线．(1)求二次函数的表达式；(2)若点向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)的值为3；(3)．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，
把代入得，解得，，整理得：；
（2）解：点平移后的点的坐标为，则，
解得或（舍），的值为3；
（3）解：当时，最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，的取值范围为．
变式1.（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【详解】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在，∵的最小值为，∴，∴；
当时，在，∴当时函数有最小值，∴，解得：,
综上所述：的值为或，故选：．
变式2.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，数形结合是解题的关键．
结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行分类讨论解答即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上，大致图象如下：
且，，分两种情况讨论：
第种情况：当时，此时，∴当时，y随x增大而减小，
当时，y取最小值，即，
当时，最大值为，，解得：或（舍）∴，
第②种情况：当时，此时，
根据图象可得：当时，函数取得最小值，解得（舍）故答案为：0．
变式2．（2024·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【详解】解：将，代入中，得，解得：，
∴，，则其顶点坐标为，
当时，，当时，，
当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
当顶点在线段上方时，，即：，
∵当时，随增大而减小，∴此时，抛物线与线段有一个交点，
即：在上方，在下方，∴，可得；
当顶点在线段上时，，可得；
综上：或．故答案为：或．
变式3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数．(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标；(2)当时，求y的最大值与最小值之差；(3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
【答案】(1)顶点坐标，对称轴是直线，与x轴的交点坐标是，
(2)9(3)或
【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标，对称轴是直线，
由，得，解得：，故与x轴的交点坐标是，；
（2）解：∵对称轴是直线，图象开口向上，
∴当时，当时，y取得最小值，此时；
当时，y取得最大值，此时；
∵，∴当时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）解：∵，当时，则在时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
∴当时，y有最小值，最小值为； 综上所述，y的最小值为或．
易错陷阱9.探究几何图形存在性考虑不全面致误
易错提醒：在做几何与函数相结合的题目时，要注意结合几何性质来确定函数，有时候往往需要分类讨论，做此题的方法，最好可以在直角坐标系中画出几何图形，有利于解题思路的打开
例1．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；(2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)存在，或或
【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为，
是正方形，，，，
，，，
在和中，，，
，，，，
在反比例函数图象上，，反比例函数解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标，
设直线解析式为，代入点坐标得：，解得：，
直线解析式为：，设， ，
当为平行四边形的对角线时，
得：，即：，解得：， ；
当为平行四边形的对角线时，
得：，即：，解得：， ；
当为平行四边形的对角线时，
得：，即：，解得：， ；
综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或．
易错警示：利用函数图象进行分类（平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形）以及分类的求解方法。
变式1．（2024·广东佛山·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q．
(1)当时，求证：．(2)探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见详解(2)(3)时，时，时，
【详解】（1）证明：由知，，则，
则点、的坐标分别为：，
当时，，则，即点，；
（2）解：，理由：设直线的表达式为：，
将代入得：，解得：，∴直线的表达式为：，
联立上式和得，解得．即点，
同理（1）可得，点，，
，；
（3）解：分别过点作轴，轴，，
，，，，
，，
设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、，
①若，如图2，则，
当时，，，，
联立方程组：，解得：，∴时，，
②若，如图3，
当时，，，，
联立方程组：，解得：．时，；
③若，当时，如图4，，
，，，，
联立方程组：，解得：，；
④的情况不存在，
综上，时，时，时，．
变式2．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；(2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的解析式为：；(2)；
(3)存在，点的坐标为或或或
【详解】（1）解：点，，，，
，， 把和代入二次函数中得：
，解得：， 二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，直线经过点和，设直线的解析式为，
，解得：，直线的解析式为：，
二次函数，设点，则，
， 当时，的最大值为，
点的坐标为，；
（3）解：存在，，对称轴为直线，
设，分三种情况：点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，解得：，；
点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，解得：，；
点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，解得：或，或，
综上，点的坐标为或或或．
1-1．（2023广东广州中考真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
【答案】
【详解】解：的对称轴为y轴，
∵，∴开口向上，当时， y随x的增大而增大，∵，∴．故答案为：．
1-2．（2024·广东·模拟预测）已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，∵，∴，，∴．故选：C．
1-3．（2024·广东梅州·模拟预测）已知点，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：把代入得：，解得：，
∴该反比例函数图象位于二、四象限，再每一象限内，y随x的增大而增大，
∵，∴点A和点B位于第二象限，第C位于第四象限，∴，故选：C．
1-4．（2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）．
【答案】
【详解】解：由可知，抛物线的开口向上，且对称轴为直线，
抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大，
点到对称轴的距离为；点到对称轴的距离为；且，
，故答案为：．
2-1．（2024广东中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解∶∵不等式的解集是，∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，故选：B．
2-2．（2023广东广州中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限，
∴正比例函数经过二、四象限，∴，∵反比例函数的图象位于第一、第三象限，∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象一定不经过第三象限，
故选：C．
2-3．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（　　）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：当，时，直线经过一、二、三象限；则直线经过一、二、三象限；无正确选项；当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、二、四象限；A选项正确；当，时，直线经过一、二、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项；当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项；故选：A．
2-4．（2024·广东广州·二模）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　）
A．B． C． D．
【答案】A
【详解】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象分布在一、三象限，选项A符合题意；当时，函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在二、四象限，没有正确选项．故选：A．
2-5．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，其中，则该二次函数图象大致是（ ）
A．B． C．D．
【答案】B
【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，
∵， ∴对称轴直线，∴对称轴在y轴左侧．
∵，∴抛物线交y轴的正半轴，故选：B．
2-6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，，设点运动的路程为，则的面积随变化的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：当点P在上运动时，作于点E，如图：
∵为的直径，∴，∵，∴是等腰直角三角形，
∴，∵点D为的中点，∴，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∴；即当时，，排除C，D选项；
当点P在上运动时，如图：
∵，∴，
即当时，，排除B选项；故选：A．
3-1．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示．有下列结论．①；②；③；④；⑤．其中，正确结论的是 ．
【答案】①②③④
【详解】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此，故①正确；
抛物线开口向上，因此，对称轴为，a、b异号，因此，
抛物线与y轴交在负半轴，因此，所以，故②正确；
由图象可知，当时，，又对称轴，即：，所以，故③正确；当时，，因此④正确；
当时，，当时，，
所以，即，也就是，故⑤错误，
综上所述，正确结论有：①②③④．故答案为：①②③④．
3-2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列五个结论：①；②；③；④ (m为任意实数)；⑤．其中，正确结论的序号是 ．
【答案】②④⑤
【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，图象与y轴正半轴相交，
∴， ，，∴∴．故①错误．
由函数图象可知，抛物线与x轴有两个交点，∴，∴．故②正确．
∵抛物线对称轴为直线，与x轴交点，∴抛物线与x轴另一交点为，
把代入抛物线解析式得，∴，故③错误；
∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下，∴当时，y有最大值，最大值为，
∵当 （m为任意实数）时，，∴，
∴，故④正确；把代入代入抛物线解析式得，
∵∴∴∴∴，故⑤正确；
∴正确的有②④⑤．故答案为：②④⑤．
4-1．（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴，∵点与点分别在反比例函数与的图像上，
∴，，∴，∴，∵，∴；
故选C．
4-2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：设，则．设，则，，∴，
∵，∴，那么直线 的比例系数可表示为 或，
∴变形得．又，∴．
4-3．（2024·浙江杭州·三模）如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，
∴A，B关于原点对称，∴，∵轴，∵，∴,∴，
∴，∴，，∴，
∵反比例函数图象上在第二象限，∴．故选：D．
4-4.（2024·山东枣庄·二模）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作轴于，轴于，如图，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴
∵，，∴，故正确；
∵，，∴，故正确；
当， 四边形是矩形，∴不能确定与相等，
而，∴不能判断，∴不能判断，∴不能确定，故错误；
若四边形是菱形，则，而，∴，
∴，∴，又由图象可得，，，∴，∴，故正确；
∴结论正确的是，故选：．
5-1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点，
设直线的表达式为，则，解得：，，故选：B．
5-2．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【详解】A、当时，，
一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意；
B、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项B错误，不合题意
C、，随的增大而减小，选项C错误，不符合题意；
D、，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意；故选：D．
5-3．（2024·广东佛山·三模）把直线向上平移三个单位长度后经过点，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将直线向上平移3个单位长度后的直线解析式为，
平移后的直线经过点，，，故选：B．
5-4．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移2个单位，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为．故选：A．
5-5．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点B作轴，垂足为点D，
∵顶点在直线上，点的横坐标是8，∴，即，∴，
∵轴，∴由勾股定理得：，∵四边形是菱形，∴轴，∴将点B向左平移10个单位得到点C，∴点，故选：B．
6-1．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】解：函数的图象过点，，解得，
由图象得：不等式的解集是：，故答案为：．
6-2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】解：，，
由图象可得，当时，则有，
不等式的解集为．故答案为：．
6-3．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A． B．随x的增大而增大 C．当时，
D．关于x，y的方程组的解为
【答案】C
【详解】解：A、由图象得：，，所以，故本选项不符合题意；
B、由图象得随的增大而减小，故本选项不符合题意；
C、由图象得：当时，，故本选项符合题意；
D、由图象得：的解为，故本选项不符合题意．故选：C．
6-4．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求的值；(2)利用图像直接写出时的取值范围；(3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)或(3)8
【详解】（1）点在的图像上，当时，．∴，
将点代入，得．
（2）由（1）知：，联立，解得：或，∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
（3）∵，∴当时，，∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，∴，直线的解析式为：，
设直线与轴交于点H∴当时，，当时，，
∴，，∴，∴，
如图，过点作，垂足为，∴．
又，，．连接，∵平移，∴，，
∴四边形为平行四边形，∴阴影部分面积等于的面积，即．
7-1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）经市场调查发现，某商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，该商品的售价x（元/件），周销售量y（件），周销售利润w（元）三者对应值如下表：
售价x（元/件） 30 40 60 80
周销售量y（件） 210 120 60
周销售利润w（元） 2100 4800 3600
(1)________，________；
(2)因该商品原材料上涨，进价提高了6元/件，商场为稳定销量，规定该商品售价x不得超过60，求进价提高后周销售利润的最大值．
【答案】(1)180，3600 (2)4080
【详解】（1）设根据题意得，解得∴
∴当时，；
∵该商品的进价为元/件，∴
∴当时，；
（2）根据题意得，
∵∴开口向下 ∵规定该商品售价x不得超过60，
∴当时，．
∴当售价为60元时，周销售利润的最大值为4080元．
7-2．（2024湖北中考模拟预测）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额=销售量×销售价格）
【答案】（1）；（2）当第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元．
【解析】（1）当时，设，由图象得：
解得：∴
当时，设，由图象得：解得：∴
综上，．
（2）设当月该农产品的销售额为w元，则．
当时，
∵，由二次函数的性质可知：∴当时，
当时，
∵，由二次函数的性质可知：当时，
∵ ∴当时，w取得最大值，该最大值为500．
答：当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元．
8-1．（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：二次函数的图象经过点，
，解得，，
该函数的图象开口向下，对称轴是直线，当时，该函数取得最大值，
当时，有最大值，最小值，当时，，
根据对称性可得时，，，故选：C．
8-2．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】解：关于的方程有三个不同的实根，
与有三个不同的交点，有恒过点，如下图：
当过点时，，当过点时，，
当过点时，，当过点时，，
关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是或 ．
故选：D．
8-3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9，
∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小；
①当时，当时，y随的x增大而增大，
那么时取得最小值，时取得最大值，最小值为，最大值为，
已知最大值与最小值的差为12，则可列出方程- ，解得，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去；
②当时，此时 时取得最大值，时取得最小值，最大值为9，最小值为，
此时最大值与最小值的差为12，符合题意；
③当时，此时时取得最大值，时取得最小值，最大值为9，最小值为，
已知最大值与最小值的差为12，则可列出方程，解得，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去．
∴综上，得到n的取值范围为：．故选：B．
8-4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（是实数）．
(1)求函数顶点坐标（用含的代数式表示）；(2)若，且函数顶点在轴上，当时，函数最大值为，求的值；(3)对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．求的取值范围．
【答案】(1)(2)1或8(3)
【详解】（1）解：，
函数顶点坐标为；
（2）解：函数顶点在轴上，，解得：或，
，，二次函数表达式为：，
，二次函数图象的对称轴为，且开口向下，时，函数最大值为，
当时，，则时，函数有最大值，
即，解得：（舍去）；
当时，则时，函数有最大值，即，解得：（舍去）；
当时，函数最大值为0，不符合题意；综上，的值为1或8；
（3）解：由（1）知二次函数图象的对称轴为，且开口向下，
二次函数图象上的两点，，时，始终有成立，
∴点A到对称轴的距离小于或等于B点到对称轴的距离，
，即，，即，
，，，即，，解得：，
，．
8-5．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）将抛物线（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点．(1)求原抛物线的函数表达式．(2)已知点，在抛物线上．①求证：；②若，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；(2)①见解析；②．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为．
又∵图象经过点，∴．∴．∴原抛物线的函数表达式为；
（2）①证明：由（1）抛物线为，∵点，在上，
∴，．
∴．
∵对于任意的实数m都有，∴；
②解：∵抛物线为，∴抛物线的对称轴是直线．
∵，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
∵，且当时，，∴．∴．
8-6．（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线．
(1)若抛物线与直线只有一个交点．①求a与b之间的关系式；②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值；(2)若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围．
【答案】(1)①②(2)
【详解】（1）解：①∵抛物线与直线只有一个交点，∴方程有相等实数根，
∴，∴，整理，得；
②将直线向上平移t个单位，，，整理得：，
，由①得：，，
，，，①，
当时，随x的增大而减小，，，，整理得：，②，
由①②得：，t取最小整数，；
（2）解：抛物线与直线有两个交点，此方程有两个实根、，
且满足，，当时，，
当时，，∴，，，
①，②，
①②得：，，，．
8-7．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）定义：对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．如函数，在范围内，该函数的最大值是，最小值为，即．
请根据以上信息，完成下列问题：(1)已知二次函数的图象经过点．①求该函数的表达式；②求该函数的的值(2)已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值．
【答案】(1)①二次函数解析式为；②；(2)的值为或
【详解】（1）解：①∵二次函数的图象经过点，
∴，解得，，∴二次函数解析式为；
②∵二次函数解析式为，
∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为，顶点坐标为，即当时，二次函数有最小值，
当时，随的增大而减小，∴在中，有最大值，最大值为，
∴；
（2）解：∵函数的图象经过点∴函数的图象经过第一、三象限，随的增大而增大，
∴在中，时有最小值，最小为，时有最大值，最大值为
∴函数的极差值为：，
∵函数的图象经过点，∴，解得，，
当时，，∴函数的图象经过第二、四象限，随的增大而减小，
∴在中，时有最大值，最大为，时有最小值，最小值为
∴，∵两个函数的相等，∴，解得，；
当时，，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为，
∴当时，二次函数有最大值，最大值为，当时，随的增大而增大，
在中，函数的最小值为，
∵函数的极差值，两个函数的相等，
∴当的最大值为时，，解得，，，
∵，不符合题意，∴，∴把代入函数中得，，解得，，
综上所述，的值为或．
9-1．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A．
(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交直线l于点E，求的最大值；(3)设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(2)3(3)或
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，∴、，
∵点B、C在抛物线解上，
∴，解得：，∴抛物线的解析式为．
（2）解：设，
∵点P在直线l下方的抛物线上，轴，轴，点D，E都在直线上，
∴，，
∴，，
∴，∴，
∵，∴当时，的最大值是3．
（3）解；抛物线的解析式为，令，解得：或，
∴，，∴，
若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，
①当以为边时，则且，设，则，
∴∴，解得：或(与A重合，舍去)，∴；
②当以为对角线时，设，则，
由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，解得：或与（A重合，舍去），∴．
综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，此时点F的坐标为或．
9-2．（2024.重庆中考模拟预测）（1）已知抛物线经过原点O，其顶点P的坐标为．求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若抛物线与x轴交于另一点E，过O，E两点作开口向下的抛物线，设其顶点为Q（点Q在点P的下方），线段的垂直平分线与抛物线相交于M，N两点，若四边形的面积为时，求抛物线的函数表达式；（3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，且与y轴正半轴，x轴正半轴分别交于A，B两点，连接，过点P作轴于点，在直线上有一点C，坐标平面内有一点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的D点的坐标：______．
【答案】（1）；（2）；（3）或或或
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：，将点代入得：，解得：，
∴；
（2）如图所示：∵为过O，E两点的抛物线，且其顶点为，则轴，∴，，
∵线段的垂直平分线与抛物线相交于M，N两点，∴，
令，即：，则是方程的两个实数根，
∴，∴，
∵四边形的面积，解得：，∴，
设抛物线的函数表达式为：，将点代入得：，
解得：，∴物线的函数表达式为：；
（3）由题意得：抛物线的表达式为：，
令，则；令，则；∴，
∵在直线上有一点C，∴设，设点，则：，
时，，∴，解得：，∴，
此时，∴；
，，∴，解得：，∴，
此时，∴；
，，∴，解得：或，∴或，
此时或∴或；
综上所述，或或或，故答案为：或或或．
9-3．（2024·广东·模拟预测）综合探究：如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，．(1)求的长．(2)求a的值．(3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长．
【答案】(1)1(2)1(3)或
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∴，，
∵轴，∴，∵二次函数对称轴为轴， B，C，D在二次函数的图象上，
，；
（2）解：由（1）可得，，，设则
代入得，解得，∴；
（3）解：如图2，过点C作 于点N，设直线交射线与点M，连接，
在菱形中，，，
，，，
∴在中，，，
∵点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，
则绕点F逆时针旋转得到，，
∵，，，由是直角三角形，可知需分三种情况讨论：
①当以为直角顶点时，如图，∵，∴点落在的延长线上，且与点M重合，
∵，∴，∴点 F与点N重合，∴，∴；
②当以为直角顶点时，如图 ，，∴点落在的延长线上，且与点M重合，
，，，在中，，
，；
③当以A为直角顶点时，如图，∵，，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
设，则，
∴，，，
，，，
，，，，
，化简得 ，
，无解，不存在此种情况，不符合题意，
综上所述，当是直角三角形时，的长为或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错03 函数及其图象
易错陷阱1.没有准确辨别函数的增减性致误
一次函数的增减性：
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。
反比例函数的增减性：当时，在同一象限内，随的增大而减小：当时，在同一象限内，随的增大而增大。
二次函数的增减性：
当时，在对称轴的左边，随的增大而减小；在对称轴的右边，随的增大而增大；
当时，在对称轴的左边，随的增大而增大；在对称轴的右边，随的增大而减小。
易错提醒：先确定函数图像增减性，再数形结合比较大小。
例1．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点．，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
易错警示：一次函数值的大小比较，直接判别增减性，比较大小即可。
反比例函数值比较大小，同一象限内的根据增减性比较大小即可，不同象限的则要根据图象（符号）比较。
二次函数值大小比较：需先确定开口方向和对称轴，再根据下面结论比较即可。
若开口向上，离对称轴越近则函数值越小；若开口向下，离对称轴越近则函数值越大。
变式1．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，则与的大小为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·广东东莞·三模）已知点，点在直线上，则 ．（填“”“”或“”）
易错陷阱2.混淆不同函数的字母意义致误
在函数图象识别题型中：
二次函数字母的意义：①决定抛物线的开口方向和大小；②和共同决定对称轴的位置（左同右异）；③决定抛物线与轴交点的纵坐标；
一次函数字母的意义：表示该直线的斜率（陡峭程度）或函数的增减性、表示该直线的截距（与轴交点的纵坐标）。
反比例函数字母的意义：表示函数过象限或增减性。
易错提醒：虽然字母相同，但在不同的函数中，代表的意义完全不同，切不可一概而论
例1．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
例2．（2025·广东·模拟预测）一次函数与反比例函数（，）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C．D．
易错警示：切记字母相同，但在不同的函数中，代表的意义完全不同！
变式1．（2025·广东广州·一模）若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ）
A．B． C． D．
变式2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　）
A． B． C． D．
易错陷阱3.混淆二次函数中各系数的作用致误
在二次函数中：
①决定抛物线的开口方向和大小：当时，向上开口；当时，向下开口；
②和共同决定对称轴位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左边；当a与b异号时，对称轴在轴右边；
③决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于；④顶点坐标；
⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=；
⑥韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
易错提醒：需熟悉二次函数中系数代表的意义。
例1.（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（2024·广东东莞·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的有：①；②；③；④；⑤．（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式2．（2024·广东广州·三模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
易错陷阱4.运用k的几何意义忽略象限致误
反比例函数图象中有关图形的面积
易错提醒：利用|k|的几何意义求出的k带有绝对值，需要结合图象分布象限来确定具体的符号。
例1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，O是坐标原点，菱形的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为 ．
变式1．（2024·广东·模拟预测）如图，在等腰中，，顶点A为反比例函数（其中）图像上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作，交反比例函数的图像于点C，连接交于点D，若，，则的面积为（　　）
A． B．6 C． D．5
变式2．（2025·广东深圳·一模）如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为 ．
易错陷阱5.函数左右平移没有考虑x的系数
点的平移规律：向左平移个单位得到；
点的平移规律：向右平移个单位得到；
函数图象的平移规律：向左平移个单位时，对直接进行加
函数图象的平移规律：向右平移个单位时，对直接进行减
易错提醒：（1）左右平移，图象的变换与点的变换刚好相反，切不可混淆；（2）图象平移中，记得把系数变成“1”。
例1．（2024·广东惠州·模拟预测）函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 ．
例2．（2024·广东汕头·二模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
变式1．（2024·广东珠海·三模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 .
变式2．（2024·广东韶关·模拟预测）将直线向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
变式3．（2024·四川德阳·二模）一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点A、B，若点A、B关于原点对称，则m的值是（ ）
A． B． C．0 D．3
易错陷阱6.不会结合不等式号与函数图象的关键点
函数与不等式：可以看作当一个函数的函数值大（小）于另一个函数的函数值，通过两个函数的交点可求自变量相应的取值范围
易错提醒：容易把这类题型与求函数解析式题型混淆，直接去求函数解析式，思路错误后容易出现求解不出解析式的情况，导致无法做出答案
例1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
例2．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ．
变式1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．或
变式3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点．(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；(2)连接，，求的面积；(3)直接写出当时，关于的不等式的解集．
易错陷阱7.解决函数最值时忽略自变量的范围致误
易错提醒：在利用函数解决实际问题时，要特别注意自变量的取值范围，例如确定有多少人、几条船等，那么自变量就不能取负数和小数，一定要是非负整数，
例1．（2024·广东·校考二模）为了推进乡村振兴战略，提升茶叶的品牌竞争力，某地政府在新茶上市30天内，帮助茶农集中销售．设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知：
销量：第1天销量为42斤，以后每天比前一天多销售2斤；
价格：前12天的价格一直为500元/斤，从第13天开始价格每天比前一天少10元．
请根据以上信息，解决问题：（1）当时，写出关于的函数表达式；（2）当为何值时日销售额最大，最大为多少？（3）若要保证第13天到第22天的日销售额随增大而增大，则价格需要在当天的售价基础上上涨元/斤，求整数的最小值．（直接写出结果）
变式1．（2024.湖北中考模拟预测）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售、两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知型，型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日）
型
型
根据市场行情，该销售商对型手写板降价销售，同时对型手写板提高售价，此时发现型手写板每降低元就可多卖个，型手写板每提高元就少卖个，要保持每天销售总量不变，设其中型手写板每天多销售个，每天总获利的利润为元（1）求与之间的函数关系式并写出的取值范围；（2）要使每天的利润不低于元，直接写出的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个型手写板，就捐元给因“新冠疫情”影响的困难家庭，当时，每天的最大利润为元，求的值．
变式2．（2024·江苏·九年级二模）某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）的平方成正比例；乙种产品所获得年利润（万元）与投入资金（万元）成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金（万元）（为常数且）生产甲、乙两种产品，其中投入甲种产品资金为（万元）（其中），所获全年总利润（万元）为与之和．
（万元）
（万元）
（万元）
分别求和关于的函数关系式；求关于的函数关系式（用含的式子表示）；
当时，①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元，请你通过计算说明该预判是否正确；②公司从全年总利润中扣除投入甲种产品资金的倍（）用于其它产品的生产后，得到剩余利润（万元），若随增大而减小，直接写出的取值范围．
易错陷阱8.没有对未知参数进行分类讨论致误
易错提醒：含参最值问题中，系数的符号不知道，函数的增减性就不清楚，故最值位置需分类讨论
例1.（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线．(1)求二次函数的表达式；(2)若点向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
变式1.（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
变式2.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则 ．
变式2．（2024·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
变式3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数．(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标；(2)当时，求y的最大值与最小值之差；(3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
易错陷阱9.探究几何图形存在性考虑不全面致误
易错提醒：在做几何与函数相结合的题目时，要注意结合几何性质来确定函数，有时候往往需要分类讨论，做此题的方法，最好可以在直角坐标系中画出几何图形，有利于解题思路的打开
例1．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；(2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
易错警示：利用函数图象进行分类（平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形）以及分类的求解方法。
变式1．（2024·广东佛山·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q．
(1)当时，求证：．(2)探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；(2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
1-1．（2023广东广州中考真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
1-2．（2024·广东·模拟预测）已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
1-3．（2024·广东梅州·模拟预测）已知点，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
1-4．（2024·广东·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）．
2-1．（2024广东中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2-2．（2023广东广州中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2-3．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（　　）
A．B．C．D．
2-4．（2024·广东广州·二模）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　）
A．B． C． D．
2-5．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，其中，则该二次函数图象大致是（ ）
A．B． C．D．
2-6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，，设点运动的路程为，则的面积随变化的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
3-1．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示．有下列结论．①；②；③；④；⑤．其中，正确结论的是 ．
3-2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列五个结论：①；②；③；④ (m为任意实数)；⑤．其中，正确结论的序号是 ．
4-1．（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4-2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为 ．
4-3．（2024·浙江杭州·三模）如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
4-4.（2024·山东枣庄·二模）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5-1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5-2．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限
5-3．（2024·广东佛山·三模）把直线向上平移三个单位长度后经过点，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
5-4．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
5-5．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6-1．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ．
6-2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解集为 ．
6-3．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A． B．随x的增大而增大 C．当时，
D．关于x，y的方程组的解为
6-4．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求的值；(2)利用图像直接写出时的取值范围；(3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
7-1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）经市场调查发现，某商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，该商品的售价x（元/件），周销售量y（件），周销售利润w（元）三者对应值如下表：
售价x（元/件） 30 40 60 80
周销售量y（件） 210 120 60
周销售利润w（元） 2100 4800 3600
(1)________，________；
(2)因该商品原材料上涨，进价提高了6元/件，商场为稳定销量，规定该商品售价x不得超过60，求进价提高后周销售利润的最大值．
7-2．（2024湖北中考模拟预测）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额=销售量×销售价格）
8-1．（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是( )
A． B． C． D．
8-2．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8-3．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8-4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（是实数）．
(1)求函数顶点坐标（用含的代数式表示）；(2)若，且函数顶点在轴上，当时，函数最大值为，求的值；(3)对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．求的取值范围．
8-5．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）将抛物线（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点．(1)求原抛物线的函数表达式．(2)已知点，在抛物线上．①求证：；②若，直接写出m的取值范围．
8-6．（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线．
(1)若抛物线与直线只有一个交点．①求a与b之间的关系式；②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值；(2)若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围．
8-7．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）定义：对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．如函数，在范围内，该函数的最大值是，最小值为，即．
请根据以上信息，完成下列问题：(1)已知二次函数的图象经过点．①求该函数的表达式；②求该函数的的值(2)已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值．
9-1．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A．
(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交直线l于点E，求的最大值；(3)设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
9-2．（2024.重庆中考模拟预测）（1）已知抛物线经过原点O，其顶点P的坐标为．求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若抛物线与x轴交于另一点E，过O，E两点作开口向下的抛物线，设其顶点为Q（点Q在点P的下方），线段的垂直平分线与抛物线相交于M，N两点，若四边形的面积为时，求抛物线的函数表达式；（3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，且与y轴正半轴，x轴正半轴分别交于A，B两点，连接，过点P作轴于点，在直线上有一点C，坐标平面内有一点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的D点的坐标：______．
9-3．（2024·广东·模拟预测）综合探究：如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，．(1)求的长．(2)求a的值．(3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长．
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