备战2025年中考数学考试易错题(广东专用)易错03函数及其图象(九大易错分析+举一反三+易错题通关)(学生版+解析)

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备战2025年中考数学考试易错题(广东专用)易错03函数及其图象(九大易错分析+举一反三+易错题通关)(学生版+解析)

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易错03 函数及其图象
易错陷阱1.没有准确辨别函数的增减性致误
一次函数的增减性:
当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小。
反比例函数的增减性:当时,在同一象限内,随的增大而减小:当时,在同一象限内,随的增大而增大。
二次函数的增减性:
当时,在对称轴的左边,随的增大而减小;在对称轴的右边,随的增大而增大;
当时,在对称轴的左边,随的增大而增大;在对称轴的右边,随的增大而减小。
易错提醒:先确定函数图像增减性,再数形结合比较大小。
例1.(2024·广东广州·二模)已知二次函数(为常数,且)的图象上有四点.,,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:∵二次函数中的,∴抛物线开口向下,∴距离对称轴越远,其函数值越小,
∵,,在的图象上,∴对称轴为直线,
∵,,,即点到对称轴的距离为,点到对称轴的距离为,点到对称轴的距离为,∴,故选:C.
易错警示:一次函数值的大小比较,直接判别增减性,比较大小即可。
反比例函数值比较大小,同一象限内的根据增减性比较大小即可,不同象限的则要根据图象(符号)比较。
二次函数值大小比较:需先确定开口方向和对称轴,再根据下面结论比较即可。
若开口向上,离对称轴越近则函数值越小;若开口向下,离对称轴越近则函数值越大。
变式1.(2024·广东·模拟预测)已知点在反比例函数()的图像上,下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:∵当时,反比例函数的图像位于第二、四象限,
∴在每个象限内,y随x的增大而减小,
∵点在反比例函数()的图像上,又,∴.故选:C
变式2.(24-25九年级上·湖北恩施·期末)已知抛物线()的对称轴为直线,且经过点,,则与的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解:∵二次函数的图像的对称轴为直线,
又∵,∴该函数图像的开口向上,
,∴点离对称轴的距离比点要远,,故选:A.
变式3.(2024·广东东莞·三模)已知点,点在直线上,则 .(填“”“”或“”)
【答案】
【详解】解:,中,随的增大而减小,,,故答案为:.
易错陷阱2.混淆不同函数的字母意义致误
在函数图象识别题型中:
二次函数字母的意义:①决定抛物线的开口方向和大小;②和共同决定对称轴的位置(左同右异);③决定抛物线与轴交点的纵坐标;
一次函数字母的意义:表示该直线的斜率(陡峭程度)或函数的增减性、表示该直线的截距(与轴交点的纵坐标)。
反比例函数字母的意义:表示函数过象限或增减性。
易错提醒:虽然字母相同,但在不同的函数中,代表的意义完全不同,切不可一概而论
例1.(2024·广东东莞·一模)已知二次函数的图象如图所示,则一次函数的图象大致为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:∵抛物线开口向下,∴,
∵,∴,∴一次函数的图象经过第一、二、四象限,故选:C.
例2.(2025·广东·模拟预测)一次函数与反比例函数(,)在同一坐标系中的图象可能是( )
A.B. C.D.
【答案】A
【详解】解:当时,,或,.
当,,则一次函数经过一、二、三象限,反比例函数(,)经过一、三象限,故选A符合;
当,时,则一次函数经过二、三、四象限,反比例函数(,)经过一、三象限,故排除B;
当时,,或,.
当,时,则一次函数经过一、三、四象限,反比例函数(,)经过二、四象限,故排除C;
当,时,则一次函数经过一、二、四象限,反比例函数(,)经过二、四象限,故排除D.故选:A.
易错警示:切记字母相同,但在不同的函数中,代表的意义完全不同!
变式1.(2025·广东广州·一模)若直线经过一,二,四象限,则直线的图象只能是图中的( )
A.B. C. D.
【答案】B
【详解】解:∵直线经过一、二、四象限,,,
∴直线的图象经过第一、二、三象限,故选:B.
变式2.(24-25九年级上·内蒙古通辽·期末)在同一平面直角坐标系中,一次函数与二次函数的图像可能是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解:A、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项不符合题意;
B、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项符合题意;
C、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项不符合题意;
D、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项不符合题意.
故选:B.
易错陷阱3.混淆二次函数中各系数的作用致误
在二次函数中:
①决定抛物线的开口方向和大小:当时,向上开口;当时,向下开口;
②和共同决定对称轴位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左边;当a与b异号时,对称轴在轴右边;
③决定抛物线与轴交点,抛物线与y轴交于;④顶点坐标;
⑤若与x轴交点,;确定对称轴为:x=;
⑥韦达定理: 具体要考虑哪些量,需要视图形告知的条件而定。
易错提醒:需熟悉二次函数中系数代表的意义。
例1.(2024·广东·模拟预测)如图,抛物线的对称轴是直线,与x轴交于A,B两点,且.给出下列4个结论:①;②;③;④若m为任意实数,则.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【详解】解:观察图象,可知,∴,故①符合题意;
∵该抛物线的对称轴为直线,,∴,,
∴点,点,∴当时,,即,故②符合题意;
∵抛物线的对称轴为直线,即,,
∵,∴,∴,∴,∵,∴,故③符合题意;
当时,函数有最大值,由,可得,
若m为任意实数,则,故④不符合题意,综上,符合题意的有3个,故选:C.
变式1.(2024·广东东莞·三模)二次函数的图象如图所示,下列结论中正确的有:①;②;③;④;⑤.( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【详解】解:∵二次函数开口向下,与y轴交于正半轴,∴,
∵对称轴在直线和y轴之间,∴,∴,故③错误;∴,故①正确;
∵二次函数与x轴有两个不相同的交点,∴,故②错误;
∵当时,,时,,∴,
∴,∴,故④正确;
∵当时,,∴,∴,故⑤正确;∴正确的有3个,故选:B.
变式2.(2024·广东广州·三模)已知二次函数的图像经过,下列结论:①若图像对称轴在y轴左侧,则;②是方程的一个根;③若图像与x轴的另一个交点在和之间,则;④点在抛物线上,若,则当时,.其中正确结论的序号为( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【答案】A
【详解】解:图象经过,,若对称轴在轴的左侧则,
当时,,则,此时;当时,,则,此时.①正确.
,,的一个根为,
的一个根为:,即.②正确.
抛物线与轴两交点之间的距离为:,
即,,③正确.若,开口向上,与轴交于正半轴,
,,则对称轴,当时,、的大小关系不确定.④错误.综上①②③正确,故选:A.
易错陷阱4.运用k的几何意义忽略象限致误
反比例函数图象中有关图形的面积
易错提醒:利用|k|的几何意义求出的k带有绝对值,需要结合图象分布象限来确定具体的符号。
例1.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,O是坐标原点,菱形的顶点C在x轴的负半轴上,,函数的图象经过顶点B,则k的值为 .
【答案】
【详解】解:如图,连接相交于点E,过点B作轴与点D,
四边形为菱形,,,,,
,,,
即,解得:,,,
函数的图象经过顶点B,,故答案为:.
变式1.(2024·广东·模拟预测)如图,在等腰中,,顶点A为反比例函数(其中)图像上的一点,点B在x轴正半轴上,过点B作,交反比例函数的图像于点C,连接交于点D,若,,则的面积为(  )
A. B.6 C. D.5
【答案】C
【详解】解:过点A作轴于点H,交于点E,
,,,,
,, ,, ,
轴,轴,,,
,,,,,
设,则,,,,选:C.
变式2.(2025·广东深圳·一模)如图,已知矩形的一边落在轴的正半轴,它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上,则矩形的面积为 .
【答案】8
【详解】设,∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上,
∴,∴,∴,∴,∴,,
∴矩形的面积为,故答案为:.
易错陷阱5.函数左右平移没有考虑x的系数
点的平移规律:向左平移个单位得到;
点的平移规律:向右平移个单位得到;
函数图象的平移规律:向左平移个单位时,对直接进行加
函数图象的平移规律:向右平移个单位时,对直接进行减
易错提醒:(1)左右平移,图象的变换与点的变换刚好相反,切不可混淆;(2)图象平移中,记得把系数变成“1”。
例1.(2024·广东惠州·模拟预测)函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 .
【答案】
【详解】解:函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为,故答案为:.
例2.(2024·广东汕头·二模)若直线与直线关于直线对称,则k、b值分别为( )
A.、 B.、 C.、 D.、
【答案】D
【详解】解:∵一次函数与轴交点为,∴点关于直线的对称点为,
代入直线,可得,∵一次函数与轴交点为,
∴关于直线的对称点为,代入直线,可得,解得.故选:D.
变式1.(2024·广东珠海·三模)将二次函数的图象向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的函数解析式为 .
【答案】
【详解】解:的图象向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到
,即.故答案为:
变式2.(2024·广东韶关·模拟预测)将直线向上平移3个单位长度,平移后直线的解析式为 .
【答案】
【详解】解:将直线向上平移3个单位长度,平移后直线的解析式为,即,
故答案为:.
变式3.(2024·四川德阳·二模)一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点A、B,若点A、B关于原点对称,则m的值是( )
A. B. C.0 D.3
【答案】B
【详解】解:将一次函数的图象向上平移3个单位长度后的直线解析式为,
∵与反比例函数的图象交于点A、B,且点A、B关于原点对称,
∴直线是正比例函数,即,∴,故选:B.
易错陷阱6.不会结合不等式号与函数图象的关键点
函数与不等式:可以看作当一个函数的函数值大(小)于另一个函数的函数值,通过两个函数的交点可求自变量相应的取值范围
易错提醒:容易把这类题型与求函数解析式题型混淆,直接去求函数解析式,思路错误后容易出现求解不出解析式的情况,导致无法做出答案
例1.(23-24九年级上·浙江杭州·期中)二次函数的图象如图所示,则函数值时,的取值范围是( )
A. B. C. D.或
【答案】D
【详解】解:由图可知,或时,.
∴则函数值时,的取值范围是或,故选:D.
例2.(2024·广东深圳·模拟预测)在平面直角坐标系中,一次函数和的图象如图所示,则关于的一元一次不等式的解集是 .
【答案】
【详解】解:由,得到:.根据图象可知:两函数的交点为,
∴关于的一元一次不等式的解集是,
即关于的一元一次不等式的解集是,故答案为:.
变式1.(2024·广东·模拟预测)若关于x的方程的解是,则直线一定经过点( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:由方程的解可知:当时,,即当时,,
直线一定经过点,故选:C.
变式2.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)如图,一次函数与二次函数的图象相交于,两点,则关于的不等式的解集为( )
A.或 B. C. D.或
【答案】C
【分析】本考查了一次函数与二次函数图象交点问题,利用交点求不等式的解集,熟练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小是解题的关键.找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的的值即【详解】解:与的图象相交于,,
当时,由图象可知的图像在的图象的下方,
关于的不等式的解集为.故选:C.
变式3.(23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习)如图,直线与双曲线相交于,两点,与轴相交于点.(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式;(2)连接,,求的面积;(3)直接写出当时,关于的不等式的解集.
【答案】(1)一次函数的解析式为,反比例的解析式为(2)4(3)或
【详解】(1)解:将,代入,得:,解得:,
∴一次函数的解析式为,将代入,得,
∴反比例的解析式为;
(2)解:对于,当时, ∴点D的坐标为,
由,解得或,∴点B的坐标为,
∴的面积;
(3)解:观察图象,当时,关于x的不等式的解集是或.
易错陷阱7.解决函数最值时忽略自变量的范围致误
易错提醒:在利用函数解决实际问题时,要特别注意自变量的取值范围,例如确定有多少人、几条船等,那么自变量就不能取负数和小数,一定要是非负整数,
例1.(2024·广东·校考二模)为了推进乡村振兴战略,提升茶叶的品牌竞争力,某地政府在新茶上市30天内,帮助茶农集中销售.设第天(为整数)的售价为(元/斤),日销售额为(元).据销售记录知:
销量:第1天销量为42斤,以后每天比前一天多销售2斤;
价格:前12天的价格一直为500元/斤,从第13天开始价格每天比前一天少10元.
请根据以上信息,解决问题:(1)当时,写出关于的函数表达式;(2)当为何值时日销售额最大,最大为多少?(3)若要保证第13天到第22天的日销售额随增大而增大,则价格需要在当天的售价基础上上涨元/斤,求整数的最小值.(直接写出结果)
【答案】(1);(2)当为第21天时日销售额最大,最大为33620元;(3)20
【详解】解:(1)由题意得;;
(2)由题意得,销售量为,
当时,则,
当时,取最大值为,
当时,则,
∵,∴当时,取最大值为33620,
∵,∴当时,取最大值为33620,
答:当为第21天时日销售额最大,最大为33620元;
(3)依题意,,
∵第13天到第22天的日销售额随增大而增大,
∴对称轴,得,故的最小值为20.
变式1.(2024.湖北中考模拟预测)受“新冠”疫情的影响,某销售商在网上销售、两种型号的“手写板”,获利颇丰.已知型,型手写板进价、售价和每日销量如表格所示:
进价(元/个) 售价(元/个) 销量(个/日)


根据市场行情,该销售商对型手写板降价销售,同时对型手写板提高售价,此时发现型手写板每降低元就可多卖个,型手写板每提高元就少卖个,要保持每天销售总量不变,设其中型手写板每天多销售个,每天总获利的利润为元(1)求与之间的函数关系式并写出的取值范围;(2)要使每天的利润不低于元,直接写出的取值范围;(3)该销售商决定每销售一个型手写板,就捐元给因“新冠疫情”影响的困难家庭,当时,每天的最大利润为元,求的值.
【答案】(1)(),且x为整数;(2),且x为整数;(3)
【解析】(1) ,
化简得,,由题意知,,解得,,
故的取值范围为且为整数;
(2)的取值范围为,理由如下:,
当时,,
∴,,∴或,要使,由图象知,;
,,且为整数;
(3)设捐款后每天的利润为元,
则,
对称轴为,,,
抛物线开口向下,当时,随的增大而增大,
当时,最大,,解得,.
变式2.(2024·江苏·九年级二模)某公司计划生产甲、乙两种产品,公司市场部根据调查后得出:甲种产品所获年利润(万元)与投入资金(万元)的平方成正比例;乙种产品所获得年利润(万元)与投入资金(万元)成正比例,并得到表格中的数据.设公司计划共投入资金(万元)(为常数且)生产甲、乙两种产品,其中投入甲种产品资金为(万元)(其中),所获全年总利润(万元)为与之和.
(万元)
(万元)
(万元)
分别求和关于的函数关系式;求关于的函数关系式(用含的式子表示);
当时,①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元,请你通过计算说明该预判是否正确;②公司从全年总利润中扣除投入甲种产品资金的倍()用于其它产品的生产后,得到剩余利润(万元),若随增大而减小,直接写出的取值范围.
【答案】(1),;(2);(3)①该预判正确,理由见解析;②.
【详解】解:(1)由题意,设,由表格数据可得,,解得∴.
设,由表格数据可得,,解得,∴.
(2)由题意可知,投入甲种产品资金为万元,则投入乙种产品资金为万元,
则有,即.
(3)①由,得,
∵,抛物线开口向上,对称轴为,∴当时,,
当时,,,∴该预判正确.
②.设剩余年利润为,由题意可得:,
对称轴为,,抛物线开口向上,
若要满足全年利润随增大而减小,则必有,解得,又,∴.
易错陷阱8.没有对未知参数进行分类讨论致误
易错提醒:含参最值问题中,系数的符号不知道,函数的增减性就不清楚,故最值位置需分类讨论
例1.(24-25九年级上·河北石家庄·期中)已知二次函数(,为常数)的图象经过点,对称轴为直线.(1)求二次函数的表达式;(2)若点向上平移2个单位长度,向右平移个单位长度后,恰好落在的图象上,求的值;(3)当时,二次函数的最大值与最小值的差为,求的取值范围.
【答案】(1);(2)的值为3;(3).
【详解】(1)解:设二次函数的解析式为,
把代入得,解得,,整理得:;
(2)解:点平移后的点的坐标为,则,
解得或(舍),的值为3;
(3)解:当时,最大值与最小值的差为,解得:不符合题意,舍去;
当时,最大值与最小值的差为,符合题意;
当时,最大值与最小值的差为,解得或,不符合题意;
综上所述,的取值范围为.
变式1.(24-25九年级上·浙江金华·期中)已知二次函数,当时,的最小值为,则的值为(  )
A.或 B.或 C.或 D.或
【答案】B
【详解】解:由题意得,的对称轴为直线,顶点坐标为,
当时,在,∵的最小值为,∴,∴;
当时,在,∴当时函数有最小值,∴,解得:,
综上所述:的值为或,故选:.
变式2.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)已知二次函数,当,且时,的最小值为,最大值为,则 .
【答案】0
【分析】本题考查二次函数的图像与性质,最值,一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内,数形结合是解题的关键.
结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行分类讨论解答即可.
【详解】解:二次函数的对称轴为直线,开口向上,大致图象如下:
且,,分两种情况讨论:
第种情况:当时,此时,∴当时,y随x增大而减小,
当时,y取最小值,即,
当时,最大值为,,解得:或(舍)∴,
第②种情况:当时,此时,
根据图象可得:当时,函数取得最小值,解得(舍)故答案为:0.
变式2.(2024·广东东莞·模拟预测)在平面直角坐标系中,抛物线(a,b,c为常数,且)经过和两点.已知点,,若该抛物线与线段恰有一个公共点,则a的取值范围是( )
A.或 B. C.或 D.
【答案】C
【详解】解:将,代入中,得,解得:,
∴,,则其顶点坐标为,
当时,,当时,,
当时,随增大而增大,当时,随增大而减小,
当顶点在线段上方时,,即:,
∵当时,随增大而减小,∴此时,抛物线与线段有一个交点,
即:在上方,在下方,∴,可得;
当顶点在线段上时,,可得;
综上:或.故答案为:或.
变式3.(24-25九年级上·浙江宁波·期中)已知二次函数.(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标;(2)当时,求y的最大值与最小值之差;(3)当时,求y的最小值.(可用含k的代数式表示)
【答案】(1)顶点坐标,对称轴是直线,与x轴的交点坐标是,
(2)9(3)或
【详解】(1)解:∵, ∴顶点坐标,对称轴是直线,
由,得,解得:,故与x轴的交点坐标是,;
(2)解:∵对称轴是直线,图象开口向上,
∴当时,当时,y取得最小值,此时;
当时,y取得最大值,此时;
∵,∴当时,求y的最大值与最小值之差为9;
(3)解:∵,当时,则在时,y随x的增大而减小,
∴当时,y有最小值,最小值为;
当时,则在时,抛物线的顶点在图象上处于最低点,
∴当时,y有最小值,最小值为; 综上所述,y的最小值为或.
易错陷阱9.探究几何图形存在性考虑不全面致误
易错提醒:在做几何与函数相结合的题目时,要注意结合几何性质来确定函数,有时候往往需要分类讨论,做此题的方法,最好可以在直角坐标系中画出几何图形,有利于解题思路的打开
例1.(2024·广东广州·一模)如图,四边形为正方形,点在轴上,点在轴上,且,,反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点.
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式;(2)若点为直线上的一动点(不与点重合),在轴上是否存在点,使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),(2)存在,或或
【详解】(1)解:如图,过点作轴,垂足为,
是正方形,,,,
,,,
在和中,,,
,,,,
在反比例函数图象上,,反比例函数解析式为:;
(2)解:存在,理由如下:根据(1)中求点坐标,同理可得点坐标,
设直线解析式为,代入点坐标得:,解得:,
直线解析式为:,设, ,
当为平行四边形的对角线时,
得:,即:,解得:, ;
当为平行四边形的对角线时,
得:,即:,解得:, ;
当为平行四边形的对角线时,
得:,即:,解得:, ;
综上所述,符合条件的点有3个,坐标为或或.
易错警示:利用函数图象进行分类(平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形)以及分类的求解方法。
变式1.(2024·广东佛山·模拟预测)如图, 在平面直角坐标系中,点O为原点,的顶点B、C在x轴上,A在y轴上,,直线)分别与x轴,y轴,线段,直线交于点E,F,P,Q.
(1)当时,求证:.(2)探究线段之间的数量关系,并说明理由.
(3)在x轴上是否存在点M,使得,且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见详解(2)(3)时,时,时,
【详解】(1)证明:由知,,则,
则点、的坐标分别为:,
当时,,则,即点,;
(2)解:,理由:设直线的表达式为:,
将代入得:,解得:,∴直线的表达式为:,
联立上式和得,解得.即点,
同理(1)可得,点,,
,;
(3)解:分别过点作轴,轴,,
,,,,
,,
设点,由(2)知,点、的坐标分别为:、,
①若,如图2,则,
当时,,,,
联立方程组:,解得:,∴时,,
②若,如图3,
当时,,,,
联立方程组:,解得:.时,;
③若,当时,如图4,,
,,,,
联立方程组:,解得:,;
④的情况不存在,
综上,时,时,时,.
变式2.(2024·山东淄博·模拟预测)如图,已知二次函数经过,两点,轴于点,且点,,.
(1)求抛物线的解析式;(2)点是线段上一动点(不与,重合),过点作轴的垂线,交抛物线于点,当线段的长度最大时,求点的坐标及;(3)点是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在这样的点,使成为直角三角形?若存在,求出所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)二次函数的解析式为:;(2);
(3)存在,点的坐标为或或或
【详解】(1)解:点,,,,
,, 把和代入二次函数中得:
,解得:, 二次函数的解析式为:;
(2)解:如图1,直线经过点和,设直线的解析式为,
,解得:,直线的解析式为:,
二次函数,设点,则,
, 当时,的最大值为,
点的坐标为,;
(3)解:存在,,对称轴为直线,
设,分三种情况:点为直角顶点时,由勾股定理得:,
,解得:,;
点为直角顶点时,由勾股定理得:,
,解得:,;
点为直角顶点时,由勾股定理得:,
,解得:或,或,
综上,点的坐标为或或或.
1-1.(2023广东广州中考真题)已知点,在抛物线上,且,则 .(填“<”或“>”或“=”)
【答案】
【详解】解:的对称轴为y轴,
∵,∴开口向上,当时, y随x的增大而增大,∵,∴.故答案为:.
1-2.(2024·广东·模拟预测)已知点,,在反比例函数(为常数)的图象上,则下列判断正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:∵,∴函数(k为常数)的图像分布在第一、三象限,在每一象限,y随x的增大而减小,∵,∴,,∴.故选:C.
1-3.(2024·广东梅州·模拟预测)已知点,,,都在反比例函数的图象上,则、、的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:把代入得:,解得:,
∴该反比例函数图象位于二、四象限,再每一象限内,y随x的增大而增大,
∵,∴点A和点B位于第二象限,第C位于第四象限,∴,故选:C.
1-4.(2024·广东东莞·三模)若点在抛物线上,则的大小关系为 (用“”连接).
【答案】
【详解】解:由可知,抛物线的开口向上,且对称轴为直线,
抛物线上的点,离对称轴越远,其函数值越大,
点到对称轴的距离为;点到对称轴的距离为;且,
,故答案为:.
2-1.(2024广东中考真题)已知不等式的解集是,则一次函数的图象大致是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】解∶∵不等式的解集是,∴当时,,
观察各个选项,只有选项B符合题意,故选:B.
2-2.(2023广东广州中考真题)已知正比例函数的图象经过点,反比例函数的图象位于第一、第三象限,则一次函数的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【详解】解:∵正比例函数的图象经过点,在第四象限,
∴正比例函数经过二、四象限,∴,∵反比例函数的图象位于第一、第三象限,∴,
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限,则一次函数的图象一定不经过第三象限,
故选:C.
2-3.(2024·广东汕头·模拟预测)如图,两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是(  )
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】解:当,时,直线经过一、二、三象限;则直线经过一、二、三象限;无正确选项;当,时,直线经过一、三、四象限;则直线经过一、二、四象限;A选项正确;当,时,直线经过一、二、四象限;则直线经过一、三、四象限;无正确选项;当,时,直线经过一、三、四象限;则直线经过一、三、四象限;无正确选项;故选:A.
2-4.(2024·广东广州·二模)在同一直角坐标系中,函数与的图象可能是(  )
A.B. C. D.
【答案】A
【详解】解:当时,函数的图象经过一、二、三象限,反比例函数的图象分布在一、三象限,选项A符合题意;当时,函数的图象经过一、二、四象限,反比例函数的图象分布在二、四象限,没有正确选项.故选:A.
2-5.(24-25九年级上·浙江湖州·期中)已知二次函数,其中,则该二次函数图象大致是( )
A.B. C.D.
【答案】B
【详解】解:∵, ∴抛物线开口向下,
∵, ∴对称轴直线,∴对称轴在y轴左侧.
∵,∴抛物线交y轴的正半轴,故选:B.
2-6.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,的直径为,,点为的中点,点沿路线运动,连接,,设点运动的路程为,则的面积随变化的函数图象大致为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】解:当点P在上运动时,作于点E,如图:
∵为的直径,∴,∵,∴是等腰直角三角形,
∴,∵点D为的中点,∴,
∵,∴是等腰直角三角形,∴,
∴;即当时,,排除C,D选项;
当点P在上运动时,如图:
∵,∴,
即当时,,排除B选项;故选:A.
3-1.(2024·广东·模拟预测)已知二次函数的图象如图所示.有下列结论.①;②;③;④;⑤.其中,正确结论的是 .
【答案】①②③④
【详解】解:抛物线与x轴有两个不同的交点,因此,故①正确;
抛物线开口向上,因此,对称轴为,a、b异号,因此,
抛物线与y轴交在负半轴,因此,所以,故②正确;
由图象可知,当时,,又对称轴,即:,所以,故③正确;当时,,因此④正确;
当时,,当时,,
所以,即,也就是,故⑤错误,
综上所述,正确结论有:①②③④.故答案为:①②③④.
3-2.(2024·广东惠州·模拟预测)如图是抛物线的部分图象,图象过点,对称轴为直线,下列五个结论:①;②;③;④ (m为任意实数);⑤.其中,正确结论的序号是 .
【答案】②④⑤
【详解】解:由函数图象可知,抛物线开口向下,对称轴为直线,图象与y轴正半轴相交,
∴, ,,∴∴.故①错误.
由函数图象可知,抛物线与x轴有两个交点,∴,∴.故②正确.
∵抛物线对称轴为直线,与x轴交点,∴抛物线与x轴另一交点为,
把代入抛物线解析式得,∴,故③错误;
∵抛物线对称轴为直线,抛物线开口向下,∴当时,y有最大值,最大值为,
∵当 (m为任意实数)时,,∴,
∴,故④正确;把代入代入抛物线解析式得,
∵∴∴∴∴,故⑤正确;
∴正确的有②④⑤.故答案为:②④⑤.
4-1.(2024·广东广州·模拟预测)已知点与点分别在反比例函数与的图像上,且,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:过点作轴,过点作轴,则:,∴,
∵,∴,∴,∴,∴,
∴,∵点与点分别在反比例函数与的图像上,
∴,,∴,∴,∵,∴;
故选C.
4-2.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,的顶点, 在双曲线上,顶点在轴上,边与双曲线交于点,若,的面积为50,则的值为 .
【答案】
【详解】解:设,则.设,则,,∴,
∵,∴,那么直线 的比例系数可表示为 或,
∴变形得.又,∴.
4-3.(2024·浙江杭州·三模)如图,正比例函数为常数图象与反比例函数为常数)图象交于A,B两点,轴于点H,连接交y轴于点G,若,则k的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解:∵正比例函数图象与反比例函数图象交于A,B两点,
∴A,B关于原点对称,∴,∵轴,∵,∴,∴,
∴,∴,,∴,
∵反比例函数图象上在第二象限,∴.故选:D.
4-4.(2024·山东枣庄·二模)如图,是平行四边形,对角线在轴正半轴上,位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上,分别过点作轴的垂线段,垂足分别为点和点,给出如下四个结论: 阴影部分的面积是 ;当时,; 若是菱形,则 ;以上结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解:作轴于,轴于,如图,
∵四边形是平行四边形,∴,∴,∴
∵,,∴,故正确;
∵,,∴,故正确;
当, 四边形是矩形,∴不能确定与相等,
而,∴不能判断,∴不能判断,∴不能确定,故错误;
若四边形是菱形,则,而,∴,
∴,∴,又由图象可得,,,∴,∴,故正确;
∴结论正确的是,故选:.
5-1.(2024·广东·模拟预测)在平面直角坐标系中,点A的坐标为,把点A先向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到点B,则直线的表达式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解:点A的坐标为,把点A先向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到点,
设直线的表达式为,则,解得:,,故选:B.
5-2.(2024·广东广州·模拟预测)关于一次函数,下列说法正确的是( )
A.图象过点 B.其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C.随着的增大而增大 D.图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【详解】A、当时,,
一次函数的图象经过点,选项A错误,不符合题意;
B、由的图象向下平移2个单位长度得到,故选项B错误,不合题意
C、,随的增大而减小,选项C错误,不符合题意;
D、,,一次函数的图象经过第一、二、四象限,选项D正确,符合题意;故选:D.
5-3.(2024·广东佛山·三模)把直线向上平移三个单位长度后经过点,则b的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解:将直线向上平移3个单位长度后的直线解析式为,
平移后的直线经过点,,,故选:B.
5-4.(24-25九年级上·贵州遵义·期末)将抛物线向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得抛物线的表达式为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【解答】解:抛物线的顶点坐标为,把点向左平移2个单位,再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为,所以平移后的抛物线解析式为.故选:A.
5-5.(2024·辽宁·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,菱形的顶点在轴负半轴上,顶点在直线上,若点的横坐标是8,为点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解:过点B作轴,垂足为点D,
∵顶点在直线上,点的横坐标是8,∴,即,∴,
∵轴,∴由勾股定理得:,∵四边形是菱形,∴轴,∴将点B向左平移10个单位得到点C,∴点,故选:B.
6-1.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试)如图,一次函数与的图象交于点,则根据图象可得不等式的解集是 .
【答案】
【详解】解:函数的图象过点,,解得,
由图象得:不等式的解集是:,故答案为:.
6-2.(24-25九年级上·浙江金华·阶段练习)如图,二次函数与一次函数为的图象相交于,两点,则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】解:,,
由图象可得,当时,则有,
不等式的解集为.故答案为:.
6-3.(2024·广东河源·一模)在同一平面直角坐标系中,一次函数与的图象如图所示,则下列结论正确的是( )

A. B.随x的增大而增大 C.当时,
D.关于x,y的方程组的解为
【答案】C
【详解】解:A、由图象得:,,所以,故本选项不符合题意;
B、由图象得随的增大而减小,故本选项不符合题意;
C、由图象得:当时,,故本选项符合题意;
D、由图象得:的解为,故本选项不符合题意.故选:C.
6-4.(2024·江苏连云港·中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B,与轴交于点C,点A的横坐标为2.
(1)求的值;(2)利用图像直接写出时的取值范围;(3)如图2,将直线沿轴向下平移4个单位,与函数的图像交于点D,与轴交于点E,再将函数的图像沿平移,使点A、D分别平移到点C、F处,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)(2)或(3)8
【详解】(1)点在的图像上,当时,.∴,
将点代入,得.
(2)由(1)知:,联立,解得:或,∴;
由图像可得:时的取值范围为:或.
(3)∵,∴当时,,∴,
∵将直线沿轴向下平移4个单位,∴,直线的解析式为:,
设直线与轴交于点H∴当时,,当时,,
∴,,∴,∴,
如图,过点作,垂足为,∴.
又,,.连接,∵平移,∴,,
∴四边形为平行四边形,∴阴影部分面积等于的面积,即.
7-1.(24-25九年级上·浙江台州·期末)经市场调查发现,某商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数,该商品的售价x(元/件),周销售量y(件),周销售利润w(元)三者对应值如下表:
售价x(元/件) 30 40 60 80
周销售量y(件) 210 120 60
周销售利润w(元) 2100 4800 3600
(1)________,________;
(2)因该商品原材料上涨,进价提高了6元/件,商场为稳定销量,规定该商品售价x不得超过60,求进价提高后周销售利润的最大值.
【答案】(1)180,3600 (2)4080
【详解】(1)设根据题意得,解得∴
∴当时,;
∵该商品的进价为元/件,∴
∴当时,;
(2)根据题意得,
∵∴开口向下 ∵规定该商品售价x不得超过60,
∴当时,.
∴当售价为60元时,周销售利润的最大值为4080元.
7-2.(2024湖北中考模拟预测)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年,荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x的函数关系式为,销售量y(千克)与x之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少?(销售额=销售量×销售价格)
【答案】(1);(2)当第15天,该产品的销售额最大,最大销售额是500元.
【解析】(1)当时,设,由图象得:
解得:∴
当时,设,由图象得:解得:∴
综上,.
(2)设当月该农产品的销售额为w元,则.
当时,
∵,由二次函数的性质可知:∴当时,
当时,
∵,由二次函数的性质可知:当时,
∵ ∴当时,w取得最大值,该最大值为500.
答:当月第15天,该产品的销售额最大,最大销售额是500元.
8-1.(2024·山东临沂·三模)若二次函数的图象经过点,当时,有最大值,最小值,则的取值范围应是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:二次函数的图象经过点,
,解得,,
该函数的图象开口向下,对称轴是直线,当时,该函数取得最大值,
当时,有最大值,最小值,当时,,
根据对称性可得时,,,故选:C.
8-2.(2024·广东广州·二模)高斯函数也称取整函数,记作,表示不超过的最大整数.例如,.已知函数,若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.或
【答案】D
【详解】解:关于的方程有三个不同的实根,
与有三个不同的交点,有恒过点,如下图:
当过点时,,当过点时,,
当过点时,,当过点时,,
关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是或 .
故选:D.
8-3.(24-25九年级上·浙江温州·期末)已知二次函数.当时,函数的最大值与最小值的差为12,则n的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】∵开口向下,顶点为,对称轴为y轴,最大值为9,
∴在对称轴左侧,y的值随着x的值增大而增大;在对称轴右侧,y的值随着x的值增大而减小;
①当时,当时,y随的x增大而增大,
那么时取得最小值,时取得最大值,最小值为,最大值为,
已知最大值与最小值的差为12,则可列出方程- ,解得,
但是这与假设矛盾,所以这种情况不符合题意,舍去;
②当时,此时 时取得最大值,时取得最小值,最大值为9,最小值为,
此时最大值与最小值的差为12,符合题意;
③当时,此时时取得最大值,时取得最小值,最大值为9,最小值为,
已知最大值与最小值的差为12,则可列出方程,解得,
但是这与假设矛盾,所以这种情况不符合题意,舍去.
∴综上,得到n的取值范围为:.故选:B.
8-4.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)已知二次函数(是实数).
(1)求函数顶点坐标(用含的代数式表示);(2)若,且函数顶点在轴上,当时,函数最大值为,求的值;(3)对于该二次函数图象上的两点,,当时,始终有成立.求的取值范围.
【答案】(1)(2)1或8(3)
【详解】(1)解:,
函数顶点坐标为;
(2)解:函数顶点在轴上,,解得:或,
,,二次函数表达式为:,
,二次函数图象的对称轴为,且开口向下,时,函数最大值为,
当时,,则时,函数有最大值,
即,解得:(舍去);
当时,则时,函数有最大值,即,解得:(舍去);
当时,函数最大值为0,不符合题意;综上,的值为1或8;
(3)解:由(1)知二次函数图象的对称轴为,且开口向下,
二次函数图象上的两点,,时,始终有成立,
∴点A到对称轴的距离小于或等于B点到对称轴的距离,
,即,,即,
,,,即,,解得:,
,.
8-5.(24-25九年级下·浙江温州·开学考试)将抛物线(a为常数)的图象向上平移1个单位后,图象经过点.(1)求原抛物线的函数表达式.(2)已知点,在抛物线上.①求证:;②若,直接写出m的取值范围.
【答案】(1);(2)①见解析;②.
【详解】(1)解:由题意得,,
∴图象向上平移1个单位后,可得新抛物线为.
又∵图象经过点,∴.∴.∴原抛物线的函数表达式为;
(2)①证明:由(1)抛物线为,∵点,在上,
∴,.
∴.
∵对于任意的实数m都有,∴;
②解:∵抛物线为,∴抛物线的对称轴是直线.
∵,∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大.
∵,且当时,,∴.∴.
8-6.(2024·广东广州·三模)在平面直角坐标系中,已知抛物线,直线.
(1)若抛物线与直线只有一个交点.①求a与b之间的关系式;②将直线向上平移t个单位,与抛物线两个交点横坐标分别为、,当时,随x的增大而减小,求t的最小整数值;(2)若抛物线与直线有二个交点,,且满足,此时设抛物线对称轴为直线,求m的取值范围.
【答案】(1)①②(2)
【详解】(1)解:①∵抛物线与直线只有一个交点,∴方程有相等实数根,
∴,∴,整理,得;
②将直线向上平移t个单位,,,整理得:,
,由①得:,,
,,,①,
当时,随x的增大而减小,,,,整理得:,②,
由①②得:,t取最小整数,;
(2)解:抛物线与直线有两个交点,此方程有两个实根、,
且满足,,当时,,
当时,,∴,,,
①,②,
①②得:,,,.
8-7.(24-25九年级上·浙江湖州·期末)定义:对于关于的函数,函数在范围内有最大值和最小值,则称为极差值,记作.如函数,在范围内,该函数的最大值是,最小值为,即.
请根据以上信息,完成下列问题:(1)已知二次函数的图象经过点.①求该函数的表达式;②求该函数的的值(2)已知函数,函数的图象经过点,且两个函数的相等,求的值.
【答案】(1)①二次函数解析式为;②;(2)的值为或
【详解】(1)解:①∵二次函数的图象经过点,
∴,解得,,∴二次函数解析式为;
②∵二次函数解析式为,
∴二次函数图象开口向上,对称轴直线为,顶点坐标为,即当时,二次函数有最小值,
当时,随的增大而减小,∴在中,有最大值,最大值为,
∴;
(2)解:∵函数的图象经过点∴函数的图象经过第一、三象限,随的增大而增大,
∴在中,时有最小值,最小为,时有最大值,最大值为
∴函数的极差值为:,
∵函数的图象经过点,∴,解得,,
当时,,∴函数的图象经过第二、四象限,随的增大而减小,
∴在中,时有最大值,最大为,时有最小值,最小值为
∴,∵两个函数的相等,∴,解得,;
当时,,
∴二次函数的图象开口向下,对称轴直线为,顶点坐标为,
∴当时,二次函数有最大值,最大值为,当时,随的增大而增大,
在中,函数的最小值为,
∵函数的极差值,两个函数的相等,
∴当的最大值为时,,解得,,,
∵,不符合题意,∴,∴把代入函数中得,,解得,,
综上所述,的值为或.
9-1.(24-25九年级上·广东汕头·期末)如图,直线与x轴、y轴分别交于点B、C,经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A.
(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P在直线l下方的抛物线上,过点P作轴交l于点D,轴交直线l于点E,求的最大值;(3)设F为直线l上的点,以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1)(2)3(3)或
【详解】(1)解:∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C,∴、,
∵点B、C在抛物线解上,
∴,解得:,∴抛物线的解析式为.
(2)解:设,
∵点P在直线l下方的抛物线上,轴,轴,点D,E都在直线上,
∴,,
∴,,
∴,∴,
∵,∴当时,的最大值是3.
(3)解;抛物线的解析式为,令,解得:或,
∴,,∴,
若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形,
①当以为边时,则且,设,则,
∴∴,解得:或(与A重合,舍去),∴;
②当以为对角线时,设,则,
由平行四边形对角线中点坐标相同可得:,解得:或与(A重合,舍去),∴.
综上所述,以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形,此时点F的坐标为或.
9-2.(2024.重庆中考模拟预测)(1)已知抛物线经过原点O,其顶点P的坐标为.求抛物线的函数表达式;(2)如图1,若抛物线与x轴交于另一点E,过O,E两点作开口向下的抛物线,设其顶点为Q(点Q在点P的下方),线段的垂直平分线与抛物线相交于M,N两点,若四边形的面积为时,求抛物线的函数表达式;(3)如图2,将抛物线向左平移1个单位长度,得到抛物线,且与y轴正半轴,x轴正半轴分别交于A,B两点,连接,过点P作轴于点,在直线上有一点C,坐标平面内有一点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形是矩形,请直接写出所有满足条件的D点的坐标:______.
【答案】(1);(2);(3)或或或
【详解】解:(1)设抛物线的解析式为:,将点代入得:,解得:,
∴;
(2)如图所示:∵为过O,E两点的抛物线,且其顶点为,则轴,∴,,
∵线段的垂直平分线与抛物线相交于M,N两点,∴,
令,即:,则是方程的两个实数根,
∴,∴,
∵四边形的面积,解得:,∴,
设抛物线的函数表达式为:,将点代入得:,
解得:,∴物线的函数表达式为:;
(3)由题意得:抛物线的表达式为:,
令,则;令,则;∴,
∵在直线上有一点C,∴设,设点,则:,
时,,∴,解得:,∴,
此时,∴;
,,∴,解得:,∴,
此时,∴;
,,∴,解得:或,∴或,
此时或∴或;
综上所述,或或或,故答案为:或或或.
9-3.(2024·广东·模拟预测)综合探究:如图(1)所示,在平面直角坐标系中,已知菱形的顶点A在y轴正半轴上,顶点B,C,D在二次函数(a为常数,且)的图象上,且轴,与y轴交于点E,.(1)求的长.(2)求a的值.(3)如图(2)所示,F是射线上的一动点,点C,D同时绕点F按逆时针方向旋转得点,当是直角三角形时,求的长.
【答案】(1)1(2)1(3)或
【详解】(1)解:∵四边形是菱形,∴,,
∵轴,∴,∵二次函数对称轴为轴, B,C,D在二次函数的图象上,
,;
(2)解:由(1)可得,,,设则
代入得,解得,∴;
(3)解:如图2,过点C作 于点N,设直线交射线与点M,连接,
在菱形中,,,
,,,
∴在中,,,
∵点C,D同时绕点F按逆时针方向旋转得点,
则绕点F逆时针旋转得到,,
∵,,,由是直角三角形,可知需分三种情况讨论:
①当以为直角顶点时,如图,∵,∴点落在的延长线上,且与点M重合,
∵,∴,∴点 F与点N重合,∴,∴;
②当以为直角顶点时,如图 ,,∴点落在的延长线上,且与点M重合,
,,,在中,,
,;
③当以A为直角顶点时,如图,∵,,∴,,
∴,∴,
∵,∴,∴,
设,则,
∴,,,
,,,
,,,,
,化简得 ,
,无解,不存在此种情况,不符合题意,
综上所述,当是直角三角形时,的长为或.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错03 函数及其图象
易错陷阱1.没有准确辨别函数的增减性致误
一次函数的增减性:
当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小。
反比例函数的增减性:当时,在同一象限内,随的增大而减小:当时,在同一象限内,随的增大而增大。
二次函数的增减性:
当时,在对称轴的左边,随的增大而减小;在对称轴的右边,随的增大而增大;
当时,在对称轴的左边,随的增大而增大;在对称轴的右边,随的增大而减小。
易错提醒:先确定函数图像增减性,再数形结合比较大小。
例1.(2024·广东广州·二模)已知二次函数(为常数,且)的图象上有四点.,,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
易错警示:一次函数值的大小比较,直接判别增减性,比较大小即可。
反比例函数值比较大小,同一象限内的根据增减性比较大小即可,不同象限的则要根据图象(符号)比较。
二次函数值大小比较:需先确定开口方向和对称轴,再根据下面结论比较即可。
若开口向上,离对称轴越近则函数值越小;若开口向下,离对称轴越近则函数值越大。
变式1.(2024·广东·模拟预测)已知点在反比例函数()的图像上,下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
变式2.(24-25九年级上·湖北恩施·期末)已知抛物线()的对称轴为直线,且经过点,,则与的大小为( )
A. B. C. D.
变式3.(2024·广东东莞·三模)已知点,点在直线上,则 .(填“”“”或“”)
易错陷阱2.混淆不同函数的字母意义致误
在函数图象识别题型中:
二次函数字母的意义:①决定抛物线的开口方向和大小;②和共同决定对称轴的位置(左同右异);③决定抛物线与轴交点的纵坐标;
一次函数字母的意义:表示该直线的斜率(陡峭程度)或函数的增减性、表示该直线的截距(与轴交点的纵坐标)。
反比例函数字母的意义:表示函数过象限或增减性。
易错提醒:虽然字母相同,但在不同的函数中,代表的意义完全不同,切不可一概而论
例1.(2024·广东东莞·一模)已知二次函数的图象如图所示,则一次函数的图象大致为(  )
A. B. C. D.
例2.(2025·广东·模拟预测)一次函数与反比例函数(,)在同一坐标系中的图象可能是( )
A.B. C.D.
易错警示:切记字母相同,但在不同的函数中,代表的意义完全不同!
变式1.(2025·广东广州·一模)若直线经过一,二,四象限,则直线的图象只能是图中的( )
A.B. C. D.
变式2.(24-25九年级上·内蒙古通辽·期末)在同一平面直角坐标系中,一次函数与二次函数的图像可能是(  )
A. B. C. D.
易错陷阱3.混淆二次函数中各系数的作用致误
在二次函数中:
①决定抛物线的开口方向和大小:当时,向上开口;当时,向下开口;
②和共同决定对称轴位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左边;当a与b异号时,对称轴在轴右边;
③决定抛物线与轴交点,抛物线与y轴交于;④顶点坐标;
⑤若与x轴交点,;确定对称轴为:x=;
⑥韦达定理: 具体要考虑哪些量,需要视图形告知的条件而定。
易错提醒:需熟悉二次函数中系数代表的意义。
例1.(2024·广东·模拟预测)如图,抛物线的对称轴是直线,与x轴交于A,B两点,且.给出下列4个结论:①;②;③;④若m为任意实数,则.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
变式1.(2024·广东东莞·三模)二次函数的图象如图所示,下列结论中正确的有:①;②;③;④;⑤.( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
变式2.(2024·广东广州·三模)已知二次函数的图像经过,下列结论:①若图像对称轴在y轴左侧,则;②是方程的一个根;③若图像与x轴的另一个交点在和之间,则;④点在抛物线上,若,则当时,.其中正确结论的序号为( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
易错陷阱4.运用k的几何意义忽略象限致误
反比例函数图象中有关图形的面积
易错提醒:利用|k|的几何意义求出的k带有绝对值,需要结合图象分布象限来确定具体的符号。
例1.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,O是坐标原点,菱形的顶点C在x轴的负半轴上,,函数的图象经过顶点B,则k的值为 .
变式1.(2024·广东·模拟预测)如图,在等腰中,,顶点A为反比例函数(其中)图像上的一点,点B在x轴正半轴上,过点B作,交反比例函数的图像于点C,连接交于点D,若,,则的面积为(  )
A. B.6 C. D.5
变式2.(2025·广东深圳·一模)如图,已知矩形的一边落在轴的正半轴,它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上,则矩形的面积为 .
易错陷阱5.函数左右平移没有考虑x的系数
点的平移规律:向左平移个单位得到;
点的平移规律:向右平移个单位得到;
函数图象的平移规律:向左平移个单位时,对直接进行加
函数图象的平移规律:向右平移个单位时,对直接进行减
易错提醒:(1)左右平移,图象的变换与点的变换刚好相反,切不可混淆;(2)图象平移中,记得把系数变成“1”。
例1.(2024·广东惠州·模拟预测)函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 .
例2.(2024·广东汕头·二模)若直线与直线关于直线对称,则k、b值分别为( )
A.、 B.、 C.、 D.、
变式1.(2024·广东珠海·三模)将二次函数的图象向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的函数解析式为 .
变式2.(2024·广东韶关·模拟预测)将直线向上平移3个单位长度,平移后直线的解析式为 .
变式3.(2024·四川德阳·二模)一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点A、B,若点A、B关于原点对称,则m的值是( )
A. B. C.0 D.3
易错陷阱6.不会结合不等式号与函数图象的关键点
函数与不等式:可以看作当一个函数的函数值大(小)于另一个函数的函数值,通过两个函数的交点可求自变量相应的取值范围
易错提醒:容易把这类题型与求函数解析式题型混淆,直接去求函数解析式,思路错误后容易出现求解不出解析式的情况,导致无法做出答案
例1.(23-24九年级上·浙江杭州·期中)二次函数的图象如图所示,则函数值时,的取值范围是( )
A. B. C. D.或
例2.(2024·广东深圳·模拟预测)在平面直角坐标系中,一次函数和的图象如图所示,则关于的一元一次不等式的解集是 .
变式1.(2024·广东·模拟预测)若关于x的方程的解是,则直线一定经过点( )
A. B. C. D.
变式2.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)如图,一次函数与二次函数的图象相交于,两点,则关于的不等式的解集为( )
A.或 B. C. D.或
变式3.(23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习)如图,直线与双曲线相交于,两点,与轴相交于点.(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式;(2)连接,,求的面积;(3)直接写出当时,关于的不等式的解集.
易错陷阱7.解决函数最值时忽略自变量的范围致误
易错提醒:在利用函数解决实际问题时,要特别注意自变量的取值范围,例如确定有多少人、几条船等,那么自变量就不能取负数和小数,一定要是非负整数,
例1.(2024·广东·校考二模)为了推进乡村振兴战略,提升茶叶的品牌竞争力,某地政府在新茶上市30天内,帮助茶农集中销售.设第天(为整数)的售价为(元/斤),日销售额为(元).据销售记录知:
销量:第1天销量为42斤,以后每天比前一天多销售2斤;
价格:前12天的价格一直为500元/斤,从第13天开始价格每天比前一天少10元.
请根据以上信息,解决问题:(1)当时,写出关于的函数表达式;(2)当为何值时日销售额最大,最大为多少?(3)若要保证第13天到第22天的日销售额随增大而增大,则价格需要在当天的售价基础上上涨元/斤,求整数的最小值.(直接写出结果)
变式1.(2024.湖北中考模拟预测)受“新冠”疫情的影响,某销售商在网上销售、两种型号的“手写板”,获利颇丰.已知型,型手写板进价、售价和每日销量如表格所示:
进价(元/个) 售价(元/个) 销量(个/日)


根据市场行情,该销售商对型手写板降价销售,同时对型手写板提高售价,此时发现型手写板每降低元就可多卖个,型手写板每提高元就少卖个,要保持每天销售总量不变,设其中型手写板每天多销售个,每天总获利的利润为元(1)求与之间的函数关系式并写出的取值范围;(2)要使每天的利润不低于元,直接写出的取值范围;(3)该销售商决定每销售一个型手写板,就捐元给因“新冠疫情”影响的困难家庭,当时,每天的最大利润为元,求的值.
变式2.(2024·江苏·九年级二模)某公司计划生产甲、乙两种产品,公司市场部根据调查后得出:甲种产品所获年利润(万元)与投入资金(万元)的平方成正比例;乙种产品所获得年利润(万元)与投入资金(万元)成正比例,并得到表格中的数据.设公司计划共投入资金(万元)(为常数且)生产甲、乙两种产品,其中投入甲种产品资金为(万元)(其中),所获全年总利润(万元)为与之和.
(万元)
(万元)
(万元)
分别求和关于的函数关系式;求关于的函数关系式(用含的式子表示);
当时,①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元,请你通过计算说明该预判是否正确;②公司从全年总利润中扣除投入甲种产品资金的倍()用于其它产品的生产后,得到剩余利润(万元),若随增大而减小,直接写出的取值范围.
易错陷阱8.没有对未知参数进行分类讨论致误
易错提醒:含参最值问题中,系数的符号不知道,函数的增减性就不清楚,故最值位置需分类讨论
例1.(24-25九年级上·河北石家庄·期中)已知二次函数(,为常数)的图象经过点,对称轴为直线.(1)求二次函数的表达式;(2)若点向上平移2个单位长度,向右平移个单位长度后,恰好落在的图象上,求的值;(3)当时,二次函数的最大值与最小值的差为,求的取值范围.
变式1.(24-25九年级上·浙江金华·期中)已知二次函数,当时,的最小值为,则的值为(  )
A.或 B.或 C.或 D.或
变式2.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)已知二次函数,当,且时,的最小值为,最大值为,则 .
变式2.(2024·广东东莞·模拟预测)在平面直角坐标系中,抛物线(a,b,c为常数,且)经过和两点.已知点,,若该抛物线与线段恰有一个公共点,则a的取值范围是( )
A.或 B. C.或 D.
变式3.(24-25九年级上·浙江宁波·期中)已知二次函数.(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标;(2)当时,求y的最大值与最小值之差;(3)当时,求y的最小值.(可用含k的代数式表示)
易错陷阱9.探究几何图形存在性考虑不全面致误
易错提醒:在做几何与函数相结合的题目时,要注意结合几何性质来确定函数,有时候往往需要分类讨论,做此题的方法,最好可以在直角坐标系中画出几何图形,有利于解题思路的打开
例1.(2024·广东广州·一模)如图,四边形为正方形,点在轴上,点在轴上,且,,反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点.
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式;(2)若点为直线上的一动点(不与点重合),在轴上是否存在点,使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
易错警示:利用函数图象进行分类(平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形)以及分类的求解方法。
变式1.(2024·广东佛山·模拟预测)如图, 在平面直角坐标系中,点O为原点,的顶点B、C在x轴上,A在y轴上,,直线)分别与x轴,y轴,线段,直线交于点E,F,P,Q.
(1)当时,求证:.(2)探究线段之间的数量关系,并说明理由.
(3)在x轴上是否存在点M,使得,且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
变式2.(2024·山东淄博·模拟预测)如图,已知二次函数经过,两点,轴于点,且点,,.
(1)求抛物线的解析式;(2)点是线段上一动点(不与,重合),过点作轴的垂线,交抛物线于点,当线段的长度最大时,求点的坐标及;(3)点是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在这样的点,使成为直角三角形?若存在,求出所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
1-1.(2023广东广州中考真题)已知点,在抛物线上,且,则 .(填“<”或“>”或“=”)
1-2.(2024·广东·模拟预测)已知点,,在反比例函数(为常数)的图象上,则下列判断正确的是(  )
A. B. C. D.
1-3.(2024·广东梅州·模拟预测)已知点,,,都在反比例函数的图象上,则、、的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
1-4.(2024·广东·三模)若点在抛物线上,则的大小关系为 (用“”连接).
2-1.(2024广东中考真题)已知不等式的解集是,则一次函数的图象大致是( )
A.B.C.D.
2-2.(2023广东广州中考真题)已知正比例函数的图象经过点,反比例函数的图象位于第一、第三象限,则一次函数的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2-3.(2024·广东汕头·模拟预测)如图,两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是(  )
A.B.C.D.
2-4.(2024·广东广州·二模)在同一直角坐标系中,函数与的图象可能是(  )
A.B. C. D.
2-5.(24-25九年级上·浙江湖州·期中)已知二次函数,其中,则该二次函数图象大致是( )
A.B. C.D.
2-6.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,的直径为,,点为的中点,点沿路线运动,连接,,设点运动的路程为,则的面积随变化的函数图象大致为( )
A.B.C.D.
3-1.(2024·广东·模拟预测)已知二次函数的图象如图所示.有下列结论.①;②;③;④;⑤.其中,正确结论的是 .
3-2.(2024·广东惠州·模拟预测)如图是抛物线的部分图象,图象过点,对称轴为直线,下列五个结论:①;②;③;④ (m为任意实数);⑤.其中,正确结论的序号是 .
4-1.(2024·广东广州·模拟预测)已知点与点分别在反比例函数与的图像上,且,则的值为( )
A. B. C. D.
4-2.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,的顶点, 在双曲线上,顶点在轴上,边与双曲线交于点,若,的面积为50,则的值为 .
4-3.(2024·浙江杭州·三模)如图,正比例函数为常数图象与反比例函数为常数)图象交于A,B两点,轴于点H,连接交y轴于点G,若,则k的值为(  )
A. B. C. D.
4-4.(2024·山东枣庄·二模)如图,是平行四边形,对角线在轴正半轴上,位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上,分别过点作轴的垂线段,垂足分别为点和点,给出如下四个结论: 阴影部分的面积是 ;当时,; 若是菱形,则 ;以上结论正确的是( )
A. B. C. D.
5-1.(2024·广东·模拟预测)在平面直角坐标系中,点A的坐标为,把点A先向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到点B,则直线的表达式为( )
A. B. C. D.
5-2.(2024·广东广州·模拟预测)关于一次函数,下列说法正确的是( )
A.图象过点 B.其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C.随着的增大而增大 D.图象经过第一、二、四象限
5-3.(2024·广东佛山·三模)把直线向上平移三个单位长度后经过点,则b的值是( )
A. B. C. D.
5-4.(24-25九年级上·贵州遵义·期末)将抛物线向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得抛物线的表达式为(  )
A. B. C. D.
5-5.(2024·辽宁·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,菱形的顶点在轴负半轴上,顶点在直线上,若点的横坐标是8,为点的坐标为( )
A. B. C. D.
6-1.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试)如图,一次函数与的图象交于点,则根据图象可得不等式的解集是 .
6-2.(24-25九年级上·浙江金华·阶段练习)如图,二次函数与一次函数为的图象相交于,两点,则不等式的解集为 .
6-3.(2024·广东河源·一模)在同一平面直角坐标系中,一次函数与的图象如图所示,则下列结论正确的是( )

A. B.随x的增大而增大 C.当时,
D.关于x,y的方程组的解为
6-4.(2024·江苏连云港·中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B,与轴交于点C,点A的横坐标为2.
(1)求的值;(2)利用图像直接写出时的取值范围;(3)如图2,将直线沿轴向下平移4个单位,与函数的图像交于点D,与轴交于点E,再将函数的图像沿平移,使点A、D分别平移到点C、F处,求图中阴影部分的面积.
7-1.(24-25九年级上·浙江台州·期末)经市场调查发现,某商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数,该商品的售价x(元/件),周销售量y(件),周销售利润w(元)三者对应值如下表:
售价x(元/件) 30 40 60 80
周销售量y(件) 210 120 60
周销售利润w(元) 2100 4800 3600
(1)________,________;
(2)因该商品原材料上涨,进价提高了6元/件,商场为稳定销量,规定该商品售价x不得超过60,求进价提高后周销售利润的最大值.
7-2.(2024湖北中考模拟预测)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年,荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x的函数关系式为,销售量y(千克)与x之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少?(销售额=销售量×销售价格)
8-1.(2024·山东临沂·三模)若二次函数的图象经过点,当时,有最大值,最小值,则的取值范围应是( )
A. B. C. D.
8-2.(2024·广东广州·二模)高斯函数也称取整函数,记作,表示不超过的最大整数.例如,.已知函数,若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.或
8-3.(24-25九年级上·浙江温州·期末)已知二次函数.当时,函数的最大值与最小值的差为12,则n的取值范围是( )
A. B. C. D.
8-4.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)已知二次函数(是实数).
(1)求函数顶点坐标(用含的代数式表示);(2)若,且函数顶点在轴上,当时,函数最大值为,求的值;(3)对于该二次函数图象上的两点,,当时,始终有成立.求的取值范围.
8-5.(24-25九年级下·浙江温州·开学考试)将抛物线(a为常数)的图象向上平移1个单位后,图象经过点.(1)求原抛物线的函数表达式.(2)已知点,在抛物线上.①求证:;②若,直接写出m的取值范围.
8-6.(2024·广东广州·三模)在平面直角坐标系中,已知抛物线,直线.
(1)若抛物线与直线只有一个交点.①求a与b之间的关系式;②将直线向上平移t个单位,与抛物线两个交点横坐标分别为、,当时,随x的增大而减小,求t的最小整数值;(2)若抛物线与直线有二个交点,,且满足,此时设抛物线对称轴为直线,求m的取值范围.
8-7.(24-25九年级上·浙江湖州·期末)定义:对于关于的函数,函数在范围内有最大值和最小值,则称为极差值,记作.如函数,在范围内,该函数的最大值是,最小值为,即.
请根据以上信息,完成下列问题:(1)已知二次函数的图象经过点.①求该函数的表达式;②求该函数的的值(2)已知函数,函数的图象经过点,且两个函数的相等,求的值.
9-1.(24-25九年级上·广东汕头·期末)如图,直线与x轴、y轴分别交于点B、C,经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A.
(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P在直线l下方的抛物线上,过点P作轴交l于点D,轴交直线l于点E,求的最大值;(3)设F为直线l上的点,以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.
9-2.(2024.重庆中考模拟预测)(1)已知抛物线经过原点O,其顶点P的坐标为.求抛物线的函数表达式;(2)如图1,若抛物线与x轴交于另一点E,过O,E两点作开口向下的抛物线,设其顶点为Q(点Q在点P的下方),线段的垂直平分线与抛物线相交于M,N两点,若四边形的面积为时,求抛物线的函数表达式;(3)如图2,将抛物线向左平移1个单位长度,得到抛物线,且与y轴正半轴,x轴正半轴分别交于A,B两点,连接,过点P作轴于点,在直线上有一点C,坐标平面内有一点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形是矩形,请直接写出所有满足条件的D点的坐标:______.
9-3.(2024·广东·模拟预测)综合探究:如图(1)所示,在平面直角坐标系中,已知菱形的顶点A在y轴正半轴上,顶点B,C,D在二次函数(a为常数,且)的图象上,且轴,与y轴交于点E,.(1)求的长.(2)求a的值.(3)如图(2)所示,F是射线上的一动点,点C,D同时绕点F按逆时针方向旋转得点,当是直角三角形时,求的长.
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