资源简介 易错03 函数及其图象易错陷阱1.没有准确辨别函数的增减性致误一次函数的增减性:当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小。反比例函数的增减性:当时,在同一象限内,随的增大而减小:当时,在同一象限内,随的增大而增大。二次函数的增减性:当时,在对称轴的左边,随的增大而减小;在对称轴的右边,随的增大而增大;当时,在对称轴的左边,随的增大而增大;在对称轴的右边,随的增大而减小。易错提醒:先确定函数图像增减性,再数形结合比较大小。例1.(2024·广东广州·二模)已知二次函数(为常数,且)的图象上有四点.,,,,则,,的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】C【详解】解:∵二次函数中的,∴抛物线开口向下,∴距离对称轴越远,其函数值越小,∵,,在的图象上,∴对称轴为直线,∵,,,即点到对称轴的距离为,点到对称轴的距离为,点到对称轴的距离为,∴,故选:C.易错警示:一次函数值的大小比较,直接判别增减性,比较大小即可。反比例函数值比较大小,同一象限内的根据增减性比较大小即可,不同象限的则要根据图象(符号)比较。二次函数值大小比较:需先确定开口方向和对称轴,再根据下面结论比较即可。若开口向上,离对称轴越近则函数值越小;若开口向下,离对称轴越近则函数值越大。变式1.(2024·广东·模拟预测)已知点在反比例函数()的图像上,下列结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】C【详解】解:∵当时,反比例函数的图像位于第二、四象限,∴在每个象限内,y随x的增大而减小,∵点在反比例函数()的图像上,又,∴.故选:C变式2.(24-25九年级上·湖北恩施·期末)已知抛物线()的对称轴为直线,且经过点,,则与的大小为( )A. B. C. D.【答案】A【详解】解:∵二次函数的图像的对称轴为直线,又∵,∴该函数图像的开口向上,,∴点离对称轴的距离比点要远,,故选:A.变式3.(2024·广东东莞·三模)已知点,点在直线上,则 .(填“”“”或“”)【答案】【详解】解:,中,随的增大而减小,,,故答案为:.易错陷阱2.混淆不同函数的字母意义致误在函数图象识别题型中:二次函数字母的意义:①决定抛物线的开口方向和大小;②和共同决定对称轴的位置(左同右异);③决定抛物线与轴交点的纵坐标;一次函数字母的意义:表示该直线的斜率(陡峭程度)或函数的增减性、表示该直线的截距(与轴交点的纵坐标)。反比例函数字母的意义:表示函数过象限或增减性。易错提醒:虽然字母相同,但在不同的函数中,代表的意义完全不同,切不可一概而论例1.(2024·广东东莞·一模)已知二次函数的图象如图所示,则一次函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】C【详解】解:∵抛物线开口向下,∴,∵,∴,∴一次函数的图象经过第一、二、四象限,故选:C.例2.(2025·广东·模拟预测)一次函数与反比例函数(,)在同一坐标系中的图象可能是( )A.B. C.D.【答案】A【详解】解:当时,,或,.当,,则一次函数经过一、二、三象限,反比例函数(,)经过一、三象限,故选A符合;当,时,则一次函数经过二、三、四象限,反比例函数(,)经过一、三象限,故排除B;当时,,或,.当,时,则一次函数经过一、三、四象限,反比例函数(,)经过二、四象限,故排除C;当,时,则一次函数经过一、二、四象限,反比例函数(,)经过二、四象限,故排除D.故选:A.易错警示:切记字母相同,但在不同的函数中,代表的意义完全不同!变式1.(2025·广东广州·一模)若直线经过一,二,四象限,则直线的图象只能是图中的( )A.B. C. D.【答案】B【详解】解:∵直线经过一、二、四象限,,,∴直线的图象经过第一、二、三象限,故选:B.变式2.(24-25九年级上·内蒙古通辽·期末)在同一平面直角坐标系中,一次函数与二次函数的图像可能是( )A. B. C. D.【答案】B【详解】解:A、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项不符合题意;B、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项符合题意;C、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项不符合题意;D、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项不符合题意.故选:B.易错陷阱3.混淆二次函数中各系数的作用致误在二次函数中:①决定抛物线的开口方向和大小:当时,向上开口;当时,向下开口;②和共同决定对称轴位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左边;当a与b异号时,对称轴在轴右边;③决定抛物线与轴交点,抛物线与y轴交于;④顶点坐标;⑤若与x轴交点,;确定对称轴为:x=;⑥韦达定理: 具体要考虑哪些量,需要视图形告知的条件而定。易错提醒:需熟悉二次函数中系数代表的意义。例1.(2024·广东·模拟预测)如图,抛物线的对称轴是直线,与x轴交于A,B两点,且.给出下列4个结论:①;②;③;④若m为任意实数,则.其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【详解】解:观察图象,可知,∴,故①符合题意;∵该抛物线的对称轴为直线,,∴,,∴点,点,∴当时,,即,故②符合题意;∵抛物线的对称轴为直线,即,,∵,∴,∴,∴,∵,∴,故③符合题意;当时,函数有最大值,由,可得,若m为任意实数,则,故④不符合题意,综上,符合题意的有3个,故选:C.变式1.(2024·广东东莞·三模)二次函数的图象如图所示,下列结论中正确的有:①;②;③;④;⑤.( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【详解】解:∵二次函数开口向下,与y轴交于正半轴,∴,∵对称轴在直线和y轴之间,∴,∴,故③错误;∴,故①正确;∵二次函数与x轴有两个不相同的交点,∴,故②错误;∵当时,,时,,∴,∴,∴,故④正确;∵当时,,∴,∴,故⑤正确;∴正确的有3个,故选:B.变式2.(2024·广东广州·三模)已知二次函数的图像经过,下列结论:①若图像对称轴在y轴左侧,则;②是方程的一个根;③若图像与x轴的另一个交点在和之间,则;④点在抛物线上,若,则当时,.其中正确结论的序号为( )A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】A【详解】解:图象经过,,若对称轴在轴的左侧则,当时,,则,此时;当时,,则,此时.①正确.,,的一个根为,的一个根为:,即.②正确.抛物线与轴两交点之间的距离为:,即,,③正确.若,开口向上,与轴交于正半轴,,,则对称轴,当时,、的大小关系不确定.④错误.综上①②③正确,故选:A.易错陷阱4.运用k的几何意义忽略象限致误反比例函数图象中有关图形的面积易错提醒:利用|k|的几何意义求出的k带有绝对值,需要结合图象分布象限来确定具体的符号。例1.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,O是坐标原点,菱形的顶点C在x轴的负半轴上,,函数的图象经过顶点B,则k的值为 .【答案】【详解】解:如图,连接相交于点E,过点B作轴与点D,四边形为菱形,,,,,,,,即,解得:,,,函数的图象经过顶点B,,故答案为:.变式1.(2024·广东·模拟预测)如图,在等腰中,,顶点A为反比例函数(其中)图像上的一点,点B在x轴正半轴上,过点B作,交反比例函数的图像于点C,连接交于点D,若,,则的面积为( )A. B.6 C. D.5【答案】C【详解】解:过点A作轴于点H,交于点E,,,,,,, ,, ,轴,轴,,,,,,,,设,则,,,,选:C.变式2.(2025·广东深圳·一模)如图,已知矩形的一边落在轴的正半轴,它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上,则矩形的面积为 .【答案】8【详解】设,∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上,∴,∴,∴,∴,∴,,∴矩形的面积为,故答案为:.易错陷阱5.函数左右平移没有考虑x的系数点的平移规律:向左平移个单位得到;点的平移规律:向右平移个单位得到;函数图象的平移规律:向左平移个单位时,对直接进行加函数图象的平移规律:向右平移个单位时,对直接进行减易错提醒:(1)左右平移,图象的变换与点的变换刚好相反,切不可混淆;(2)图象平移中,记得把系数变成“1”。例1.(2024·广东惠州·模拟预测)函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 .【答案】【详解】解:函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为,故答案为:.例2.(2024·广东汕头·二模)若直线与直线关于直线对称,则k、b值分别为( )A.、 B.、 C.、 D.、【答案】D【详解】解:∵一次函数与轴交点为,∴点关于直线的对称点为,代入直线,可得,∵一次函数与轴交点为,∴关于直线的对称点为,代入直线,可得,解得.故选:D.变式1.(2024·广东珠海·三模)将二次函数的图象向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的函数解析式为 .【答案】【详解】解:的图象向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到,即.故答案为:变式2.(2024·广东韶关·模拟预测)将直线向上平移3个单位长度,平移后直线的解析式为 .【答案】【详解】解:将直线向上平移3个单位长度,平移后直线的解析式为,即,故答案为:.变式3.(2024·四川德阳·二模)一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点A、B,若点A、B关于原点对称,则m的值是( )A. B. C.0 D.3【答案】B【详解】解:将一次函数的图象向上平移3个单位长度后的直线解析式为,∵与反比例函数的图象交于点A、B,且点A、B关于原点对称,∴直线是正比例函数,即,∴,故选:B.易错陷阱6.不会结合不等式号与函数图象的关键点函数与不等式:可以看作当一个函数的函数值大(小)于另一个函数的函数值,通过两个函数的交点可求自变量相应的取值范围易错提醒:容易把这类题型与求函数解析式题型混淆,直接去求函数解析式,思路错误后容易出现求解不出解析式的情况,导致无法做出答案例1.(23-24九年级上·浙江杭州·期中)二次函数的图象如图所示,则函数值时,的取值范围是( )A. B. C. D.或【答案】D【详解】解:由图可知,或时,.∴则函数值时,的取值范围是或,故选:D.例2.(2024·广东深圳·模拟预测)在平面直角坐标系中,一次函数和的图象如图所示,则关于的一元一次不等式的解集是 .【答案】【详解】解:由,得到:.根据图象可知:两函数的交点为,∴关于的一元一次不等式的解集是,即关于的一元一次不等式的解集是,故答案为:.变式1.(2024·广东·模拟预测)若关于x的方程的解是,则直线一定经过点( )A. B. C. D.【答案】C【详解】解:由方程的解可知:当时,,即当时,,直线一定经过点,故选:C.变式2.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)如图,一次函数与二次函数的图象相交于,两点,则关于的不等式的解集为( )A.或 B. C. D.或【答案】C【分析】本考查了一次函数与二次函数图象交点问题,利用交点求不等式的解集,熟练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小是解题的关键.找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的的值即【详解】解:与的图象相交于,,当时,由图象可知的图像在的图象的下方,关于的不等式的解集为.故选:C.变式3.(23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习)如图,直线与双曲线相交于,两点,与轴相交于点.(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式;(2)连接,,求的面积;(3)直接写出当时,关于的不等式的解集.【答案】(1)一次函数的解析式为,反比例的解析式为(2)4(3)或【详解】(1)解:将,代入,得:,解得:,∴一次函数的解析式为,将代入,得,∴反比例的解析式为;(2)解:对于,当时, ∴点D的坐标为,由,解得或,∴点B的坐标为,∴的面积;(3)解:观察图象,当时,关于x的不等式的解集是或.易错陷阱7.解决函数最值时忽略自变量的范围致误易错提醒:在利用函数解决实际问题时,要特别注意自变量的取值范围,例如确定有多少人、几条船等,那么自变量就不能取负数和小数,一定要是非负整数,例1.(2024·广东·校考二模)为了推进乡村振兴战略,提升茶叶的品牌竞争力,某地政府在新茶上市30天内,帮助茶农集中销售.设第天(为整数)的售价为(元/斤),日销售额为(元).据销售记录知:销量:第1天销量为42斤,以后每天比前一天多销售2斤;价格:前12天的价格一直为500元/斤,从第13天开始价格每天比前一天少10元.请根据以上信息,解决问题:(1)当时,写出关于的函数表达式;(2)当为何值时日销售额最大,最大为多少?(3)若要保证第13天到第22天的日销售额随增大而增大,则价格需要在当天的售价基础上上涨元/斤,求整数的最小值.(直接写出结果)【答案】(1);(2)当为第21天时日销售额最大,最大为33620元;(3)20【详解】解:(1)由题意得;;(2)由题意得,销售量为,当时,则,当时,取最大值为,当时,则,∵,∴当时,取最大值为33620,∵,∴当时,取最大值为33620,答:当为第21天时日销售额最大,最大为33620元;(3)依题意,,∵第13天到第22天的日销售额随增大而增大,∴对称轴,得,故的最小值为20.变式1.(2024.湖北中考模拟预测)受“新冠”疫情的影响,某销售商在网上销售、两种型号的“手写板”,获利颇丰.已知型,型手写板进价、售价和每日销量如表格所示:进价(元/个) 售价(元/个) 销量(个/日)型型根据市场行情,该销售商对型手写板降价销售,同时对型手写板提高售价,此时发现型手写板每降低元就可多卖个,型手写板每提高元就少卖个,要保持每天销售总量不变,设其中型手写板每天多销售个,每天总获利的利润为元(1)求与之间的函数关系式并写出的取值范围;(2)要使每天的利润不低于元,直接写出的取值范围;(3)该销售商决定每销售一个型手写板,就捐元给因“新冠疫情”影响的困难家庭,当时,每天的最大利润为元,求的值.【答案】(1)(),且x为整数;(2),且x为整数;(3)【解析】(1) ,化简得,,由题意知,,解得,,故的取值范围为且为整数;(2)的取值范围为,理由如下:,当时,,∴,,∴或,要使,由图象知,;,,且为整数;(3)设捐款后每天的利润为元,则,对称轴为,,,抛物线开口向下,当时,随的增大而增大,当时,最大,,解得,.变式2.(2024·江苏·九年级二模)某公司计划生产甲、乙两种产品,公司市场部根据调查后得出:甲种产品所获年利润(万元)与投入资金(万元)的平方成正比例;乙种产品所获得年利润(万元)与投入资金(万元)成正比例,并得到表格中的数据.设公司计划共投入资金(万元)(为常数且)生产甲、乙两种产品,其中投入甲种产品资金为(万元)(其中),所获全年总利润(万元)为与之和.(万元)(万元)(万元)分别求和关于的函数关系式;求关于的函数关系式(用含的式子表示);当时,①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元,请你通过计算说明该预判是否正确;②公司从全年总利润中扣除投入甲种产品资金的倍()用于其它产品的生产后,得到剩余利润(万元),若随增大而减小,直接写出的取值范围.【答案】(1),;(2);(3)①该预判正确,理由见解析;②.【详解】解:(1)由题意,设,由表格数据可得,,解得∴.设,由表格数据可得,,解得,∴.(2)由题意可知,投入甲种产品资金为万元,则投入乙种产品资金为万元,则有,即.(3)①由,得,∵,抛物线开口向上,对称轴为,∴当时,,当时,,,∴该预判正确.②.设剩余年利润为,由题意可得:,对称轴为,,抛物线开口向上,若要满足全年利润随增大而减小,则必有,解得,又,∴.易错陷阱8.没有对未知参数进行分类讨论致误易错提醒:含参最值问题中,系数的符号不知道,函数的增减性就不清楚,故最值位置需分类讨论例1.(24-25九年级上·河北石家庄·期中)已知二次函数(,为常数)的图象经过点,对称轴为直线.(1)求二次函数的表达式;(2)若点向上平移2个单位长度,向右平移个单位长度后,恰好落在的图象上,求的值;(3)当时,二次函数的最大值与最小值的差为,求的取值范围.【答案】(1);(2)的值为3;(3).【详解】(1)解:设二次函数的解析式为,把代入得,解得,,整理得:;(2)解:点平移后的点的坐标为,则,解得或(舍),的值为3;(3)解:当时,最大值与最小值的差为,解得:不符合题意,舍去;当时,最大值与最小值的差为,符合题意;当时,最大值与最小值的差为,解得或,不符合题意;综上所述,的取值范围为.变式1.(24-25九年级上·浙江金华·期中)已知二次函数,当时,的最小值为,则的值为( )A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【详解】解:由题意得,的对称轴为直线,顶点坐标为,当时,在,∵的最小值为,∴,∴;当时,在,∴当时函数有最小值,∴,解得:,综上所述:的值为或,故选:.变式2.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)已知二次函数,当,且时,的最小值为,最大值为,则 .【答案】0【分析】本题考查二次函数的图像与性质,最值,一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内,数形结合是解题的关键.结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行分类讨论解答即可.【详解】解:二次函数的对称轴为直线,开口向上,大致图象如下:且,,分两种情况讨论:第种情况:当时,此时,∴当时,y随x增大而减小,当时,y取最小值,即,当时,最大值为,,解得:或(舍)∴,第②种情况:当时,此时,根据图象可得:当时,函数取得最小值,解得(舍)故答案为:0.变式2.(2024·广东东莞·模拟预测)在平面直角坐标系中,抛物线(a,b,c为常数,且)经过和两点.已知点,,若该抛物线与线段恰有一个公共点,则a的取值范围是( )A.或 B. C.或 D.【答案】C【详解】解:将,代入中,得,解得:,∴,,则其顶点坐标为,当时,,当时,,当时,随增大而增大,当时,随增大而减小,当顶点在线段上方时,,即:,∵当时,随增大而减小,∴此时,抛物线与线段有一个交点,即:在上方,在下方,∴,可得;当顶点在线段上时,,可得;综上:或.故答案为:或.变式3.(24-25九年级上·浙江宁波·期中)已知二次函数.(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标;(2)当时,求y的最大值与最小值之差;(3)当时,求y的最小值.(可用含k的代数式表示)【答案】(1)顶点坐标,对称轴是直线,与x轴的交点坐标是,(2)9(3)或【详解】(1)解:∵, ∴顶点坐标,对称轴是直线, 由,得,解得:,故与x轴的交点坐标是,;(2)解:∵对称轴是直线,图象开口向上,∴当时,当时,y取得最小值,此时;当时,y取得最大值,此时;∵,∴当时,求y的最大值与最小值之差为9;(3)解:∵,当时,则在时,y随x的增大而减小,∴当时,y有最小值,最小值为;当时,则在时,抛物线的顶点在图象上处于最低点,∴当时,y有最小值,最小值为; 综上所述,y的最小值为或.易错陷阱9.探究几何图形存在性考虑不全面致误易错提醒:在做几何与函数相结合的题目时,要注意结合几何性质来确定函数,有时候往往需要分类讨论,做此题的方法,最好可以在直角坐标系中画出几何图形,有利于解题思路的打开例1.(2024·广东广州·一模)如图,四边形为正方形,点在轴上,点在轴上,且,,反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点.(1)求点的坐标和反比例函数的解析式;(2)若点为直线上的一动点(不与点重合),在轴上是否存在点,使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1),(2)存在,或或【详解】(1)解:如图,过点作轴,垂足为,是正方形,,,,,,,在和中,,,,,,,在反比例函数图象上,,反比例函数解析式为:;(2)解:存在,理由如下:根据(1)中求点坐标,同理可得点坐标,设直线解析式为,代入点坐标得:,解得:,直线解析式为:,设, ,当为平行四边形的对角线时,得:,即:,解得:, ;当为平行四边形的对角线时,得:,即:,解得:, ;当为平行四边形的对角线时,得:,即:,解得:, ;综上所述,符合条件的点有3个,坐标为或或.易错警示:利用函数图象进行分类(平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形)以及分类的求解方法。变式1.(2024·广东佛山·模拟预测)如图, 在平面直角坐标系中,点O为原点,的顶点B、C在x轴上,A在y轴上,,直线)分别与x轴,y轴,线段,直线交于点E,F,P,Q.(1)当时,求证:.(2)探究线段之间的数量关系,并说明理由.(3)在x轴上是否存在点M,使得,且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)见详解(2)(3)时,时,时,【详解】(1)证明:由知,,则,则点、的坐标分别为:,当时,,则,即点,;(2)解:,理由:设直线的表达式为:,将代入得:,解得:,∴直线的表达式为:,联立上式和得,解得.即点,同理(1)可得,点,,,;(3)解:分别过点作轴,轴,,,,,,,,设点,由(2)知,点、的坐标分别为:、,①若,如图2,则,当时,,,,联立方程组:,解得:,∴时,,②若,如图3,当时,,,,联立方程组:,解得:.时,;③若,当时,如图4,,,,,,联立方程组:,解得:,;④的情况不存在,综上,时,时,时,.变式2.(2024·山东淄博·模拟预测)如图,已知二次函数经过,两点,轴于点,且点,,.(1)求抛物线的解析式;(2)点是线段上一动点(不与,重合),过点作轴的垂线,交抛物线于点,当线段的长度最大时,求点的坐标及;(3)点是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在这样的点,使成为直角三角形?若存在,求出所有点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)二次函数的解析式为:;(2);(3)存在,点的坐标为或或或【详解】(1)解:点,,,,,, 把和代入二次函数中得:,解得:, 二次函数的解析式为:;(2)解:如图1,直线经过点和,设直线的解析式为,,解得:,直线的解析式为:, 二次函数,设点,则,, 当时,的最大值为,点的坐标为,;(3)解:存在,,对称轴为直线, 设,分三种情况:点为直角顶点时,由勾股定理得:,,解得:,; 点为直角顶点时,由勾股定理得:,,解得:,; 点为直角顶点时,由勾股定理得:,,解得:或,或,综上,点的坐标为或或或.1-1.(2023广东广州中考真题)已知点,在抛物线上,且,则 .(填“<”或“>”或“=”)【答案】【详解】解:的对称轴为y轴,∵,∴开口向上,当时, y随x的增大而增大,∵,∴.故答案为:.1-2.(2024·广东·模拟预测)已知点,,在反比例函数(为常数)的图象上,则下列判断正确的是( )A. B. C. D.【答案】C【详解】解:∵,∴函数(k为常数)的图像分布在第一、三象限,在每一象限,y随x的增大而减小,∵,∴,,∴.故选:C.1-3.(2024·广东梅州·模拟预测)已知点,,,都在反比例函数的图象上,则、、的大小关系为 ( )A. B. C. D.【答案】C【详解】解:把代入得:,解得:,∴该反比例函数图象位于二、四象限,再每一象限内,y随x的增大而增大,∵,∴点A和点B位于第二象限,第C位于第四象限,∴,故选:C.1-4.(2024·广东东莞·三模)若点在抛物线上,则的大小关系为 (用“”连接).【答案】【详解】解:由可知,抛物线的开口向上,且对称轴为直线,抛物线上的点,离对称轴越远,其函数值越大,点到对称轴的距离为;点到对称轴的距离为;且,,故答案为:.2-1.(2024广东中考真题)已知不等式的解集是,则一次函数的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】B【详解】解∶∵不等式的解集是,∴当时,,观察各个选项,只有选项B符合题意,故选:B.2-2.(2023广东广州中考真题)已知正比例函数的图象经过点,反比例函数的图象位于第一、第三象限,则一次函数的图象一定不经过( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【详解】解:∵正比例函数的图象经过点,在第四象限,∴正比例函数经过二、四象限,∴,∵反比例函数的图象位于第一、第三象限,∴,∴一次函数的图象经过第一、二、四象限,则一次函数的图象一定不经过第三象限,故选:C.2-3.(2024·广东汕头·模拟预测)如图,两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是( )A.B.C.D.【答案】A【详解】解:当,时,直线经过一、二、三象限;则直线经过一、二、三象限;无正确选项;当,时,直线经过一、三、四象限;则直线经过一、二、四象限;A选项正确;当,时,直线经过一、二、四象限;则直线经过一、三、四象限;无正确选项;当,时,直线经过一、三、四象限;则直线经过一、三、四象限;无正确选项;故选:A.2-4.(2024·广东广州·二模)在同一直角坐标系中,函数与的图象可能是( )A.B. C. D.【答案】A【详解】解:当时,函数的图象经过一、二、三象限,反比例函数的图象分布在一、三象限,选项A符合题意;当时,函数的图象经过一、二、四象限,反比例函数的图象分布在二、四象限,没有正确选项.故选:A.2-5.(24-25九年级上·浙江湖州·期中)已知二次函数,其中,则该二次函数图象大致是( )A.B. C.D.【答案】B【详解】解:∵, ∴抛物线开口向下,∵, ∴对称轴直线,∴对称轴在y轴左侧.∵,∴抛物线交y轴的正半轴,故选:B.2-6.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,的直径为,,点为的中点,点沿路线运动,连接,,设点运动的路程为,则的面积随变化的函数图象大致为( )A.B.C.D.【答案】A【详解】解:当点P在上运动时,作于点E,如图:∵为的直径,∴,∵,∴是等腰直角三角形,∴,∵点D为的中点,∴,∵,∴是等腰直角三角形,∴,∴;即当时,,排除C,D选项;当点P在上运动时,如图:∵,∴,即当时,,排除B选项;故选:A.3-1.(2024·广东·模拟预测)已知二次函数的图象如图所示.有下列结论.①;②;③;④;⑤.其中,正确结论的是 .【答案】①②③④【详解】解:抛物线与x轴有两个不同的交点,因此,故①正确;抛物线开口向上,因此,对称轴为,a、b异号,因此,抛物线与y轴交在负半轴,因此,所以,故②正确;由图象可知,当时,,又对称轴,即:,所以,故③正确;当时,,因此④正确;当时,,当时,,所以,即,也就是,故⑤错误,综上所述,正确结论有:①②③④.故答案为:①②③④.3-2.(2024·广东惠州·模拟预测)如图是抛物线的部分图象,图象过点,对称轴为直线,下列五个结论:①;②;③;④ (m为任意实数);⑤.其中,正确结论的序号是 .【答案】②④⑤【详解】解:由函数图象可知,抛物线开口向下,对称轴为直线,图象与y轴正半轴相交,∴, ,,∴∴.故①错误.由函数图象可知,抛物线与x轴有两个交点,∴,∴.故②正确.∵抛物线对称轴为直线,与x轴交点,∴抛物线与x轴另一交点为,把代入抛物线解析式得,∴,故③错误;∵抛物线对称轴为直线,抛物线开口向下,∴当时,y有最大值,最大值为,∵当 (m为任意实数)时,,∴,∴,故④正确;把代入代入抛物线解析式得,∵∴∴∴∴,故⑤正确;∴正确的有②④⑤.故答案为:②④⑤.4-1.(2024·广东广州·模拟预测)已知点与点分别在反比例函数与的图像上,且,则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【详解】解:过点作轴,过点作轴,则:,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∵点与点分别在反比例函数与的图像上,∴,,∴,∴,∵,∴;故选C.4-2.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,的顶点, 在双曲线上,顶点在轴上,边与双曲线交于点,若,的面积为50,则的值为 .【答案】【详解】解:设,则.设,则,,∴,∵,∴,那么直线 的比例系数可表示为 或,∴变形得.又,∴.4-3.(2024·浙江杭州·三模)如图,正比例函数为常数图象与反比例函数为常数)图象交于A,B两点,轴于点H,连接交y轴于点G,若,则k的值为( )A. B. C. D.【答案】D【详解】解:∵正比例函数图象与反比例函数图象交于A,B两点,∴A,B关于原点对称,∴,∵轴,∵,∴,∴,∴,∴,,∴,∵反比例函数图象上在第二象限,∴.故选:D.4-4.(2024·山东枣庄·二模)如图,是平行四边形,对角线在轴正半轴上,位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上,分别过点作轴的垂线段,垂足分别为点和点,给出如下四个结论: 阴影部分的面积是 ;当时,; 若是菱形,则 ;以上结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】B【详解】解:作轴于,轴于,如图,∵四边形是平行四边形,∴,∴,∴∵,,∴,故正确;∵,,∴,故正确;当, 四边形是矩形,∴不能确定与相等,而,∴不能判断,∴不能判断,∴不能确定,故错误;若四边形是菱形,则,而,∴,∴,∴,又由图象可得,,,∴,∴,故正确;∴结论正确的是,故选:.5-1.(2024·广东·模拟预测)在平面直角坐标系中,点A的坐标为,把点A先向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到点B,则直线的表达式为( )A. B. C. D.【答案】B【详解】解:点A的坐标为,把点A先向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到点,设直线的表达式为,则,解得:,,故选:B.5-2.(2024·广东广州·模拟预测)关于一次函数,下列说法正确的是( )A.图象过点 B.其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到C.随着的增大而增大 D.图象经过第一、二、四象限【答案】D【详解】A、当时,,一次函数的图象经过点,选项A错误,不符合题意;B、由的图象向下平移2个单位长度得到,故选项B错误,不合题意C、,随的增大而减小,选项C错误,不符合题意;D、,,一次函数的图象经过第一、二、四象限,选项D正确,符合题意;故选:D.5-3.(2024·广东佛山·三模)把直线向上平移三个单位长度后经过点,则b的值是( )A. B. C. D.【答案】B【详解】解:将直线向上平移3个单位长度后的直线解析式为,平移后的直线经过点,,,故选:B.5-4.(24-25九年级上·贵州遵义·期末)将抛物线向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得抛物线的表达式为( )A. B. C. D.【答案】A【解答】解:抛物线的顶点坐标为,把点向左平移2个单位,再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为,所以平移后的抛物线解析式为.故选:A.5-5.(2024·辽宁·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,菱形的顶点在轴负半轴上,顶点在直线上,若点的横坐标是8,为点的坐标为( )A. B. C. D.【答案】B【详解】解:过点B作轴,垂足为点D,∵顶点在直线上,点的横坐标是8,∴,即,∴,∵轴,∴由勾股定理得:,∵四边形是菱形,∴轴,∴将点B向左平移10个单位得到点C,∴点,故选:B.6-1.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试)如图,一次函数与的图象交于点,则根据图象可得不等式的解集是 .【答案】【详解】解:函数的图象过点,,解得,由图象得:不等式的解集是:,故答案为:.6-2.(24-25九年级上·浙江金华·阶段练习)如图,二次函数与一次函数为的图象相交于,两点,则不等式的解集为 .【答案】【详解】解:,,由图象可得,当时,则有,不等式的解集为.故答案为:.6-3.(2024·广东河源·一模)在同一平面直角坐标系中,一次函数与的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. B.随x的增大而增大 C.当时,D.关于x,y的方程组的解为【答案】C【详解】解:A、由图象得:,,所以,故本选项不符合题意;B、由图象得随的增大而减小,故本选项不符合题意;C、由图象得:当时,,故本选项符合题意;D、由图象得:的解为,故本选项不符合题意.故选:C.6-4.(2024·江苏连云港·中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B,与轴交于点C,点A的横坐标为2.(1)求的值;(2)利用图像直接写出时的取值范围;(3)如图2,将直线沿轴向下平移4个单位,与函数的图像交于点D,与轴交于点E,再将函数的图像沿平移,使点A、D分别平移到点C、F处,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)(2)或(3)8【详解】(1)点在的图像上,当时,.∴,将点代入,得.(2)由(1)知:,联立,解得:或,∴;由图像可得:时的取值范围为:或.(3)∵,∴当时,,∴,∵将直线沿轴向下平移4个单位,∴,直线的解析式为:,设直线与轴交于点H∴当时,,当时,,∴,,∴,∴,如图,过点作,垂足为,∴.又,,.连接,∵平移,∴,,∴四边形为平行四边形,∴阴影部分面积等于的面积,即.7-1.(24-25九年级上·浙江台州·期末)经市场调查发现,某商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数,该商品的售价x(元/件),周销售量y(件),周销售利润w(元)三者对应值如下表:售价x(元/件) 30 40 60 80周销售量y(件) 210 120 60周销售利润w(元) 2100 4800 3600(1)________,________;(2)因该商品原材料上涨,进价提高了6元/件,商场为稳定销量,规定该商品售价x不得超过60,求进价提高后周销售利润的最大值.【答案】(1)180,3600 (2)4080【详解】(1)设根据题意得,解得∴∴当时,;∵该商品的进价为元/件,∴∴当时,;(2)根据题意得,∵∴开口向下 ∵规定该商品售价x不得超过60,∴当时,.∴当售价为60元时,周销售利润的最大值为4080元.7-2.(2024湖北中考模拟预测)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年,荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x的函数关系式为,销售量y(千克)与x之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少?(销售额=销售量×销售价格)【答案】(1);(2)当第15天,该产品的销售额最大,最大销售额是500元.【解析】(1)当时,设,由图象得:解得:∴当时,设,由图象得:解得:∴综上,.(2)设当月该农产品的销售额为w元,则.当时,∵,由二次函数的性质可知:∴当时,当时,∵,由二次函数的性质可知:当时,∵ ∴当时,w取得最大值,该最大值为500.答:当月第15天,该产品的销售额最大,最大销售额是500元.8-1.(2024·山东临沂·三模)若二次函数的图象经过点,当时,有最大值,最小值,则的取值范围应是( )A. B. C. D.【答案】C【详解】解:二次函数的图象经过点,,解得,,该函数的图象开口向下,对称轴是直线,当时,该函数取得最大值,当时,有最大值,最小值,当时,,根据对称性可得时,,,故选:C.8-2.(2024·广东广州·二模)高斯函数也称取整函数,记作,表示不超过的最大整数.例如,.已知函数,若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.或【答案】D【详解】解:关于的方程有三个不同的实根,与有三个不同的交点,有恒过点,如下图:当过点时,,当过点时,,当过点时,,当过点时,,关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是或 .故选:D.8-3.(24-25九年级上·浙江温州·期末)已知二次函数.当时,函数的最大值与最小值的差为12,则n的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【详解】∵开口向下,顶点为,对称轴为y轴,最大值为9,∴在对称轴左侧,y的值随着x的值增大而增大;在对称轴右侧,y的值随着x的值增大而减小;①当时,当时,y随的x增大而增大,那么时取得最小值,时取得最大值,最小值为,最大值为,已知最大值与最小值的差为12,则可列出方程- ,解得,但是这与假设矛盾,所以这种情况不符合题意,舍去;②当时,此时 时取得最大值,时取得最小值,最大值为9,最小值为,此时最大值与最小值的差为12,符合题意;③当时,此时时取得最大值,时取得最小值,最大值为9,最小值为,已知最大值与最小值的差为12,则可列出方程,解得,但是这与假设矛盾,所以这种情况不符合题意,舍去.∴综上,得到n的取值范围为:.故选:B.8-4.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)已知二次函数(是实数).(1)求函数顶点坐标(用含的代数式表示);(2)若,且函数顶点在轴上,当时,函数最大值为,求的值;(3)对于该二次函数图象上的两点,,当时,始终有成立.求的取值范围.【答案】(1)(2)1或8(3)【详解】(1)解:,函数顶点坐标为;(2)解:函数顶点在轴上,,解得:或,,,二次函数表达式为:,,二次函数图象的对称轴为,且开口向下,时,函数最大值为,当时,,则时,函数有最大值,即,解得:(舍去);当时,则时,函数有最大值,即,解得:(舍去);当时,函数最大值为0,不符合题意;综上,的值为1或8;(3)解:由(1)知二次函数图象的对称轴为,且开口向下,二次函数图象上的两点,,时,始终有成立,∴点A到对称轴的距离小于或等于B点到对称轴的距离,,即,,即,,,,即,,解得:,,.8-5.(24-25九年级下·浙江温州·开学考试)将抛物线(a为常数)的图象向上平移1个单位后,图象经过点.(1)求原抛物线的函数表达式.(2)已知点,在抛物线上.①求证:;②若,直接写出m的取值范围.【答案】(1);(2)①见解析;②.【详解】(1)解:由题意得,,∴图象向上平移1个单位后,可得新抛物线为.又∵图象经过点,∴.∴.∴原抛物线的函数表达式为;(2)①证明:由(1)抛物线为,∵点,在上,∴,.∴.∵对于任意的实数m都有,∴;②解:∵抛物线为,∴抛物线的对称轴是直线.∵,∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大.∵,且当时,,∴.∴.8-6.(2024·广东广州·三模)在平面直角坐标系中,已知抛物线,直线.(1)若抛物线与直线只有一个交点.①求a与b之间的关系式;②将直线向上平移t个单位,与抛物线两个交点横坐标分别为、,当时,随x的增大而减小,求t的最小整数值;(2)若抛物线与直线有二个交点,,且满足,此时设抛物线对称轴为直线,求m的取值范围.【答案】(1)①②(2)【详解】(1)解:①∵抛物线与直线只有一个交点,∴方程有相等实数根,∴,∴,整理,得;②将直线向上平移t个单位,,,整理得:,,由①得:,,,,,①,当时,随x的增大而减小,,,,整理得:,②,由①②得:,t取最小整数,;(2)解:抛物线与直线有两个交点,此方程有两个实根、,且满足,,当时,,当时,,∴,,,①,②,①②得:,,,.8-7.(24-25九年级上·浙江湖州·期末)定义:对于关于的函数,函数在范围内有最大值和最小值,则称为极差值,记作.如函数,在范围内,该函数的最大值是,最小值为,即.请根据以上信息,完成下列问题:(1)已知二次函数的图象经过点.①求该函数的表达式;②求该函数的的值(2)已知函数,函数的图象经过点,且两个函数的相等,求的值.【答案】(1)①二次函数解析式为;②;(2)的值为或【详解】(1)解:①∵二次函数的图象经过点,∴,解得,,∴二次函数解析式为;②∵二次函数解析式为,∴二次函数图象开口向上,对称轴直线为,顶点坐标为,即当时,二次函数有最小值,当时,随的增大而减小,∴在中,有最大值,最大值为,∴;(2)解:∵函数的图象经过点∴函数的图象经过第一、三象限,随的增大而增大,∴在中,时有最小值,最小为,时有最大值,最大值为∴函数的极差值为:,∵函数的图象经过点,∴,解得,,当时,,∴函数的图象经过第二、四象限,随的增大而减小,∴在中,时有最大值,最大为,时有最小值,最小值为∴,∵两个函数的相等,∴,解得,;当时,,∴二次函数的图象开口向下,对称轴直线为,顶点坐标为,∴当时,二次函数有最大值,最大值为,当时,随的增大而增大,在中,函数的最小值为,∵函数的极差值,两个函数的相等,∴当的最大值为时,,解得,,,∵,不符合题意,∴,∴把代入函数中得,,解得,,综上所述,的值为或.9-1.(24-25九年级上·广东汕头·期末)如图,直线与x轴、y轴分别交于点B、C,经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P在直线l下方的抛物线上,过点P作轴交l于点D,轴交直线l于点E,求的最大值;(3)设F为直线l上的点,以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)(2)3(3)或【详解】(1)解:∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C,∴、,∵点B、C在抛物线解上,∴,解得:,∴抛物线的解析式为.(2)解:设,∵点P在直线l下方的抛物线上,轴,轴,点D,E都在直线上,∴,,∴,,∴,∴,∵,∴当时,的最大值是3.(3)解;抛物线的解析式为,令,解得:或,∴,,∴,若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形,①当以为边时,则且,设,则,∴∴,解得:或(与A重合,舍去),∴;②当以为对角线时,设,则,由平行四边形对角线中点坐标相同可得:,解得:或与(A重合,舍去),∴.综上所述,以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形,此时点F的坐标为或.9-2.(2024.重庆中考模拟预测)(1)已知抛物线经过原点O,其顶点P的坐标为.求抛物线的函数表达式;(2)如图1,若抛物线与x轴交于另一点E,过O,E两点作开口向下的抛物线,设其顶点为Q(点Q在点P的下方),线段的垂直平分线与抛物线相交于M,N两点,若四边形的面积为时,求抛物线的函数表达式;(3)如图2,将抛物线向左平移1个单位长度,得到抛物线,且与y轴正半轴,x轴正半轴分别交于A,B两点,连接,过点P作轴于点,在直线上有一点C,坐标平面内有一点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形是矩形,请直接写出所有满足条件的D点的坐标:______.【答案】(1);(2);(3)或或或【详解】解:(1)设抛物线的解析式为:,将点代入得:,解得:,∴;(2)如图所示:∵为过O,E两点的抛物线,且其顶点为,则轴,∴,,∵线段的垂直平分线与抛物线相交于M,N两点,∴,令,即:,则是方程的两个实数根,∴,∴,∵四边形的面积,解得:,∴,设抛物线的函数表达式为:,将点代入得:,解得:,∴物线的函数表达式为:;(3)由题意得:抛物线的表达式为:,令,则;令,则;∴,∵在直线上有一点C,∴设,设点,则:,时,,∴,解得:,∴,此时,∴;,,∴,解得:,∴,此时,∴;,,∴,解得:或,∴或,此时或∴或;综上所述,或或或,故答案为:或或或.9-3.(2024·广东·模拟预测)综合探究:如图(1)所示,在平面直角坐标系中,已知菱形的顶点A在y轴正半轴上,顶点B,C,D在二次函数(a为常数,且)的图象上,且轴,与y轴交于点E,.(1)求的长.(2)求a的值.(3)如图(2)所示,F是射线上的一动点,点C,D同时绕点F按逆时针方向旋转得点,当是直角三角形时,求的长.【答案】(1)1(2)1(3)或【详解】(1)解:∵四边形是菱形,∴,,∵轴,∴,∵二次函数对称轴为轴, B,C,D在二次函数的图象上,,;(2)解:由(1)可得,,,设则代入得,解得,∴;(3)解:如图2,过点C作 于点N,设直线交射线与点M,连接,在菱形中,,,,,,∴在中,,,∵点C,D同时绕点F按逆时针方向旋转得点,则绕点F逆时针旋转得到,,∵,,,由是直角三角形,可知需分三种情况讨论:①当以为直角顶点时,如图,∵,∴点落在的延长线上,且与点M重合,∵,∴,∴点 F与点N重合,∴,∴;②当以为直角顶点时,如图 ,,∴点落在的延长线上,且与点M重合,,,,在中,,,;③当以A为直角顶点时,如图,∵,,∴,,∴,∴,∵,∴,∴,设,则,∴,,,,,,,,,,,化简得 ,,无解,不存在此种情况,不符合题意,综上所述,当是直角三角形时,的长为或.21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错03 函数及其图象易错陷阱1.没有准确辨别函数的增减性致误一次函数的增减性:当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小。反比例函数的增减性:当时,在同一象限内,随的增大而减小:当时,在同一象限内,随的增大而增大。二次函数的增减性:当时,在对称轴的左边,随的增大而减小;在对称轴的右边,随的增大而增大;当时,在对称轴的左边,随的增大而增大;在对称轴的右边,随的增大而减小。易错提醒:先确定函数图像增减性,再数形结合比较大小。例1.(2024·广东广州·二模)已知二次函数(为常数,且)的图象上有四点.,,,,则,,的大小关系是( )A. B. C. D.易错警示:一次函数值的大小比较,直接判别增减性,比较大小即可。反比例函数值比较大小,同一象限内的根据增减性比较大小即可,不同象限的则要根据图象(符号)比较。二次函数值大小比较:需先确定开口方向和对称轴,再根据下面结论比较即可。若开口向上,离对称轴越近则函数值越小;若开口向下,离对称轴越近则函数值越大。变式1.(2024·广东·模拟预测)已知点在反比例函数()的图像上,下列结论正确的是( )A. B. C. D.变式2.(24-25九年级上·湖北恩施·期末)已知抛物线()的对称轴为直线,且经过点,,则与的大小为( )A. B. C. D.变式3.(2024·广东东莞·三模)已知点,点在直线上,则 .(填“”“”或“”)易错陷阱2.混淆不同函数的字母意义致误在函数图象识别题型中:二次函数字母的意义:①决定抛物线的开口方向和大小;②和共同决定对称轴的位置(左同右异);③决定抛物线与轴交点的纵坐标;一次函数字母的意义:表示该直线的斜率(陡峭程度)或函数的增减性、表示该直线的截距(与轴交点的纵坐标)。反比例函数字母的意义:表示函数过象限或增减性。易错提醒:虽然字母相同,但在不同的函数中,代表的意义完全不同,切不可一概而论例1.(2024·广东东莞·一模)已知二次函数的图象如图所示,则一次函数的图象大致为( )A. B. C. D.例2.(2025·广东·模拟预测)一次函数与反比例函数(,)在同一坐标系中的图象可能是( )A.B. C.D.易错警示:切记字母相同,但在不同的函数中,代表的意义完全不同!变式1.(2025·广东广州·一模)若直线经过一,二,四象限,则直线的图象只能是图中的( )A.B. C. D.变式2.(24-25九年级上·内蒙古通辽·期末)在同一平面直角坐标系中,一次函数与二次函数的图像可能是( )A. B. C. D.易错陷阱3.混淆二次函数中各系数的作用致误在二次函数中:①决定抛物线的开口方向和大小:当时,向上开口;当时,向下开口;②和共同决定对称轴位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左边;当a与b异号时,对称轴在轴右边;③决定抛物线与轴交点,抛物线与y轴交于;④顶点坐标;⑤若与x轴交点,;确定对称轴为:x=;⑥韦达定理: 具体要考虑哪些量,需要视图形告知的条件而定。易错提醒:需熟悉二次函数中系数代表的意义。例1.(2024·广东·模拟预测)如图,抛物线的对称轴是直线,与x轴交于A,B两点,且.给出下列4个结论:①;②;③;④若m为任意实数,则.其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4变式1.(2024·广东东莞·三模)二次函数的图象如图所示,下列结论中正确的有:①;②;③;④;⑤.( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个变式2.(2024·广东广州·三模)已知二次函数的图像经过,下列结论:①若图像对称轴在y轴左侧,则;②是方程的一个根;③若图像与x轴的另一个交点在和之间,则;④点在抛物线上,若,则当时,.其中正确结论的序号为( )A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④易错陷阱4.运用k的几何意义忽略象限致误反比例函数图象中有关图形的面积易错提醒:利用|k|的几何意义求出的k带有绝对值,需要结合图象分布象限来确定具体的符号。例1.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,O是坐标原点,菱形的顶点C在x轴的负半轴上,,函数的图象经过顶点B,则k的值为 .变式1.(2024·广东·模拟预测)如图,在等腰中,,顶点A为反比例函数(其中)图像上的一点,点B在x轴正半轴上,过点B作,交反比例函数的图像于点C,连接交于点D,若,,则的面积为( )A. B.6 C. D.5变式2.(2025·广东深圳·一模)如图,已知矩形的一边落在轴的正半轴,它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上,则矩形的面积为 .易错陷阱5.函数左右平移没有考虑x的系数点的平移规律:向左平移个单位得到;点的平移规律:向右平移个单位得到;函数图象的平移规律:向左平移个单位时,对直接进行加函数图象的平移规律:向右平移个单位时,对直接进行减易错提醒:(1)左右平移,图象的变换与点的变换刚好相反,切不可混淆;(2)图象平移中,记得把系数变成“1”。例1.(2024·广东惠州·模拟预测)函数的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解析式为 .例2.(2024·广东汕头·二模)若直线与直线关于直线对称,则k、b值分别为( )A.、 B.、 C.、 D.、变式1.(2024·广东珠海·三模)将二次函数的图象向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的函数解析式为 .变式2.(2024·广东韶关·模拟预测)将直线向上平移3个单位长度,平移后直线的解析式为 .变式3.(2024·四川德阳·二模)一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点A、B,若点A、B关于原点对称,则m的值是( )A. B. C.0 D.3易错陷阱6.不会结合不等式号与函数图象的关键点函数与不等式:可以看作当一个函数的函数值大(小)于另一个函数的函数值,通过两个函数的交点可求自变量相应的取值范围易错提醒:容易把这类题型与求函数解析式题型混淆,直接去求函数解析式,思路错误后容易出现求解不出解析式的情况,导致无法做出答案例1.(23-24九年级上·浙江杭州·期中)二次函数的图象如图所示,则函数值时,的取值范围是( )A. B. C. D.或例2.(2024·广东深圳·模拟预测)在平面直角坐标系中,一次函数和的图象如图所示,则关于的一元一次不等式的解集是 .变式1.(2024·广东·模拟预测)若关于x的方程的解是,则直线一定经过点( )A. B. C. D.变式2.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)如图,一次函数与二次函数的图象相交于,两点,则关于的不等式的解集为( )A.或 B. C. D.或变式3.(23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习)如图,直线与双曲线相交于,两点,与轴相交于点.(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式;(2)连接,,求的面积;(3)直接写出当时,关于的不等式的解集.易错陷阱7.解决函数最值时忽略自变量的范围致误易错提醒:在利用函数解决实际问题时,要特别注意自变量的取值范围,例如确定有多少人、几条船等,那么自变量就不能取负数和小数,一定要是非负整数,例1.(2024·广东·校考二模)为了推进乡村振兴战略,提升茶叶的品牌竞争力,某地政府在新茶上市30天内,帮助茶农集中销售.设第天(为整数)的售价为(元/斤),日销售额为(元).据销售记录知:销量:第1天销量为42斤,以后每天比前一天多销售2斤;价格:前12天的价格一直为500元/斤,从第13天开始价格每天比前一天少10元.请根据以上信息,解决问题:(1)当时,写出关于的函数表达式;(2)当为何值时日销售额最大,最大为多少?(3)若要保证第13天到第22天的日销售额随增大而增大,则价格需要在当天的售价基础上上涨元/斤,求整数的最小值.(直接写出结果)变式1.(2024.湖北中考模拟预测)受“新冠”疫情的影响,某销售商在网上销售、两种型号的“手写板”,获利颇丰.已知型,型手写板进价、售价和每日销量如表格所示:进价(元/个) 售价(元/个) 销量(个/日)型型根据市场行情,该销售商对型手写板降价销售,同时对型手写板提高售价,此时发现型手写板每降低元就可多卖个,型手写板每提高元就少卖个,要保持每天销售总量不变,设其中型手写板每天多销售个,每天总获利的利润为元(1)求与之间的函数关系式并写出的取值范围;(2)要使每天的利润不低于元,直接写出的取值范围;(3)该销售商决定每销售一个型手写板,就捐元给因“新冠疫情”影响的困难家庭,当时,每天的最大利润为元,求的值.变式2.(2024·江苏·九年级二模)某公司计划生产甲、乙两种产品,公司市场部根据调查后得出:甲种产品所获年利润(万元)与投入资金(万元)的平方成正比例;乙种产品所获得年利润(万元)与投入资金(万元)成正比例,并得到表格中的数据.设公司计划共投入资金(万元)(为常数且)生产甲、乙两种产品,其中投入甲种产品资金为(万元)(其中),所获全年总利润(万元)为与之和.(万元)(万元)(万元)分别求和关于的函数关系式;求关于的函数关系式(用含的式子表示);当时,①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元,请你通过计算说明该预判是否正确;②公司从全年总利润中扣除投入甲种产品资金的倍()用于其它产品的生产后,得到剩余利润(万元),若随增大而减小,直接写出的取值范围.易错陷阱8.没有对未知参数进行分类讨论致误易错提醒:含参最值问题中,系数的符号不知道,函数的增减性就不清楚,故最值位置需分类讨论例1.(24-25九年级上·河北石家庄·期中)已知二次函数(,为常数)的图象经过点,对称轴为直线.(1)求二次函数的表达式;(2)若点向上平移2个单位长度,向右平移个单位长度后,恰好落在的图象上,求的值;(3)当时,二次函数的最大值与最小值的差为,求的取值范围.变式1.(24-25九年级上·浙江金华·期中)已知二次函数,当时,的最小值为,则的值为( )A.或 B.或 C.或 D.或变式2.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)已知二次函数,当,且时,的最小值为,最大值为,则 .变式2.(2024·广东东莞·模拟预测)在平面直角坐标系中,抛物线(a,b,c为常数,且)经过和两点.已知点,,若该抛物线与线段恰有一个公共点,则a的取值范围是( )A.或 B. C.或 D.变式3.(24-25九年级上·浙江宁波·期中)已知二次函数.(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标;(2)当时,求y的最大值与最小值之差;(3)当时,求y的最小值.(可用含k的代数式表示)易错陷阱9.探究几何图形存在性考虑不全面致误易错提醒:在做几何与函数相结合的题目时,要注意结合几何性质来确定函数,有时候往往需要分类讨论,做此题的方法,最好可以在直角坐标系中画出几何图形,有利于解题思路的打开例1.(2024·广东广州·一模)如图,四边形为正方形,点在轴上,点在轴上,且,,反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点.(1)求点的坐标和反比例函数的解析式;(2)若点为直线上的一动点(不与点重合),在轴上是否存在点,使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.易错警示:利用函数图象进行分类(平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形)以及分类的求解方法。变式1.(2024·广东佛山·模拟预测)如图, 在平面直角坐标系中,点O为原点,的顶点B、C在x轴上,A在y轴上,,直线)分别与x轴,y轴,线段,直线交于点E,F,P,Q.(1)当时,求证:.(2)探究线段之间的数量关系,并说明理由.(3)在x轴上是否存在点M,使得,且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.变式2.(2024·山东淄博·模拟预测)如图,已知二次函数经过,两点,轴于点,且点,,.(1)求抛物线的解析式;(2)点是线段上一动点(不与,重合),过点作轴的垂线,交抛物线于点,当线段的长度最大时,求点的坐标及;(3)点是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在这样的点,使成为直角三角形?若存在,求出所有点的坐标;若不存在,请说明理由.1-1.(2023广东广州中考真题)已知点,在抛物线上,且,则 .(填“<”或“>”或“=”)1-2.(2024·广东·模拟预测)已知点,,在反比例函数(为常数)的图象上,则下列判断正确的是( )A. B. C. D.1-3.(2024·广东梅州·模拟预测)已知点,,,都在反比例函数的图象上,则、、的大小关系为 ( )A. B. C. D.1-4.(2024·广东·三模)若点在抛物线上,则的大小关系为 (用“”连接).2-1.(2024广东中考真题)已知不等式的解集是,则一次函数的图象大致是( )A.B.C.D.2-2.(2023广东广州中考真题)已知正比例函数的图象经过点,反比例函数的图象位于第一、第三象限,则一次函数的图象一定不经过( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2-3.(2024·广东汕头·模拟预测)如图,两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是( )A.B.C.D.2-4.(2024·广东广州·二模)在同一直角坐标系中,函数与的图象可能是( )A.B. C. D.2-5.(24-25九年级上·浙江湖州·期中)已知二次函数,其中,则该二次函数图象大致是( )A.B. C.D.2-6.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,的直径为,,点为的中点,点沿路线运动,连接,,设点运动的路程为,则的面积随变化的函数图象大致为( )A.B.C.D.3-1.(2024·广东·模拟预测)已知二次函数的图象如图所示.有下列结论.①;②;③;④;⑤.其中,正确结论的是 .3-2.(2024·广东惠州·模拟预测)如图是抛物线的部分图象,图象过点,对称轴为直线,下列五个结论:①;②;③;④ (m为任意实数);⑤.其中,正确结论的序号是 .4-1.(2024·广东广州·模拟预测)已知点与点分别在反比例函数与的图像上,且,则的值为( )A. B. C. D.4-2.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,的顶点, 在双曲线上,顶点在轴上,边与双曲线交于点,若,的面积为50,则的值为 .4-3.(2024·浙江杭州·三模)如图,正比例函数为常数图象与反比例函数为常数)图象交于A,B两点,轴于点H,连接交y轴于点G,若,则k的值为( )A. B. C. D.4-4.(2024·山东枣庄·二模)如图,是平行四边形,对角线在轴正半轴上,位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上,分别过点作轴的垂线段,垂足分别为点和点,给出如下四个结论: 阴影部分的面积是 ;当时,; 若是菱形,则 ;以上结论正确的是( )A. B. C. D.5-1.(2024·广东·模拟预测)在平面直角坐标系中,点A的坐标为,把点A先向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到点B,则直线的表达式为( )A. B. C. D.5-2.(2024·广东广州·模拟预测)关于一次函数,下列说法正确的是( )A.图象过点 B.其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到C.随着的增大而增大 D.图象经过第一、二、四象限5-3.(2024·广东佛山·三模)把直线向上平移三个单位长度后经过点,则b的值是( )A. B. C. D.5-4.(24-25九年级上·贵州遵义·期末)将抛物线向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得抛物线的表达式为( )A. B. C. D.5-5.(2024·辽宁·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,菱形的顶点在轴负半轴上,顶点在直线上,若点的横坐标是8,为点的坐标为( )A. B. C. D.6-1.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试)如图,一次函数与的图象交于点,则根据图象可得不等式的解集是 .6-2.(24-25九年级上·浙江金华·阶段练习)如图,二次函数与一次函数为的图象相交于,两点,则不等式的解集为 .6-3.(2024·广东河源·一模)在同一平面直角坐标系中,一次函数与的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. B.随x的增大而增大 C.当时,D.关于x,y的方程组的解为6-4.(2024·江苏连云港·中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B,与轴交于点C,点A的横坐标为2.(1)求的值;(2)利用图像直接写出时的取值范围;(3)如图2,将直线沿轴向下平移4个单位,与函数的图像交于点D,与轴交于点E,再将函数的图像沿平移,使点A、D分别平移到点C、F处,求图中阴影部分的面积.7-1.(24-25九年级上·浙江台州·期末)经市场调查发现,某商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数,该商品的售价x(元/件),周销售量y(件),周销售利润w(元)三者对应值如下表:售价x(元/件) 30 40 60 80周销售量y(件) 210 120 60周销售利润w(元) 2100 4800 3600(1)________,________;(2)因该商品原材料上涨,进价提高了6元/件,商场为稳定销量,规定该商品售价x不得超过60,求进价提高后周销售利润的最大值.7-2.(2024湖北中考模拟预测)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年,荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x的函数关系式为,销售量y(千克)与x之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少?(销售额=销售量×销售价格)8-1.(2024·山东临沂·三模)若二次函数的图象经过点,当时,有最大值,最小值,则的取值范围应是( )A. B. C. D.8-2.(2024·广东广州·二模)高斯函数也称取整函数,记作,表示不超过的最大整数.例如,.已知函数,若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.或8-3.(24-25九年级上·浙江温州·期末)已知二次函数.当时,函数的最大值与最小值的差为12,则n的取值范围是( )A. B. C. D.8-4.(24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习)已知二次函数(是实数).(1)求函数顶点坐标(用含的代数式表示);(2)若,且函数顶点在轴上,当时,函数最大值为,求的值;(3)对于该二次函数图象上的两点,,当时,始终有成立.求的取值范围.8-5.(24-25九年级下·浙江温州·开学考试)将抛物线(a为常数)的图象向上平移1个单位后,图象经过点.(1)求原抛物线的函数表达式.(2)已知点,在抛物线上.①求证:;②若,直接写出m的取值范围.8-6.(2024·广东广州·三模)在平面直角坐标系中,已知抛物线,直线.(1)若抛物线与直线只有一个交点.①求a与b之间的关系式;②将直线向上平移t个单位,与抛物线两个交点横坐标分别为、,当时,随x的增大而减小,求t的最小整数值;(2)若抛物线与直线有二个交点,,且满足,此时设抛物线对称轴为直线,求m的取值范围.8-7.(24-25九年级上·浙江湖州·期末)定义:对于关于的函数,函数在范围内有最大值和最小值,则称为极差值,记作.如函数,在范围内,该函数的最大值是,最小值为,即.请根据以上信息,完成下列问题:(1)已知二次函数的图象经过点.①求该函数的表达式;②求该函数的的值(2)已知函数,函数的图象经过点,且两个函数的相等,求的值.9-1.(24-25九年级上·广东汕头·期末)如图,直线与x轴、y轴分别交于点B、C,经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P在直线l下方的抛物线上,过点P作轴交l于点D,轴交直线l于点E,求的最大值;(3)设F为直线l上的点,以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.9-2.(2024.重庆中考模拟预测)(1)已知抛物线经过原点O,其顶点P的坐标为.求抛物线的函数表达式;(2)如图1,若抛物线与x轴交于另一点E,过O,E两点作开口向下的抛物线,设其顶点为Q(点Q在点P的下方),线段的垂直平分线与抛物线相交于M,N两点,若四边形的面积为时,求抛物线的函数表达式;(3)如图2,将抛物线向左平移1个单位长度,得到抛物线,且与y轴正半轴,x轴正半轴分别交于A,B两点,连接,过点P作轴于点,在直线上有一点C,坐标平面内有一点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形是矩形,请直接写出所有满足条件的D点的坐标:______.9-3.(2024·广东·模拟预测)综合探究:如图(1)所示,在平面直角坐标系中,已知菱形的顶点A在y轴正半轴上,顶点B,C,D在二次函数(a为常数,且)的图象上,且轴,与y轴交于点E,.(1)求的长.(2)求a的值.(3)如图(2)所示,F是射线上的一动点,点C,D同时绕点F按逆时针方向旋转得点,当是直角三角形时,求的长.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 备战2025年中考数学考试易错题(广东专用)易错03函数及其图象(九大易错分析+举一反三+易错题通关)(学生版).docx 备战2025年中考数学考试易错题(广东专用)易错03函数及其图象(九大易错分析+举一反三+易错题通关)(教师版).docx