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易错04 平行线与三角形
易错陷阱1：混淆三个平行线性质致误
1、平行线的性质：
1）两直线平行，同位角相等；2）两直线平行，内错角相等； 3）两直线平行，同旁内角互补。
2、平行线拐点问题的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线，再和差拆分与等角转化。
平行线拐点问题主要有：猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型。
易错提醒：
1）未准确识别角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角混淆），即截线与被截线的对应关系辨别不清；
2）平行线性质需遵循“同位角相等”、“内错角相等”或“同旁内角互补”条件，不可随意组合边角关系。
例1．（2025·广东深圳·一模）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，∴，故选：D．
变式1．（2024·广东·模拟预测）如图，将一张矩形纸片沿着所在直线剪开并错位放置，点在一条直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知，，，∴，，
∵，∴，∴，故选：．
变式2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∴．故选：C．
变式3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，点在一条直线上，，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：在和中，，
∴，∴，∴，∴．
易错陷阱2：忽略三角形构成条件致误
三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。
易错提醒： 在解题时，要根据三角形存在的条件，验证求得的解，否则容易造成多解。
例1．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架的长度都为（连接处的长度忽略不计），则B，C两点之间的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，即．
只有A选项数值满足上述的范围，故选：A．
变式1．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（ ）
A．9 B．15 C．12或15 D．不能确
【答案】B
【详解】解：，，或，解得：，，
当三角形的腰为6，底为3时，三角形的周长为，
当三角形的腰为3，底为6时，，故不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为15．故选：B．
变式2．（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【答案】A
【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长，∴，，
∴∴，故选：A．
易错陷阱3：不熟悉尺规作图基本原理致误
考查频率较高的几种尺规作图：1）作线段的垂直平分线；2）作角的平分线；3）过一点作直线的垂线；4）作角等于已知角。熟练掌握这些尺规作图的基本原理和基本步骤是解决此类问题的关键。
易错提醒：学生对基本尺规作图掌握程度不够，尺规作图基本原理不熟悉 ，相关综合考察的知识基础不熟练。
例1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ．∴
由题意可知，平分，∴故选：B
例2．（2024·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）证明：为的平分线，为的垂线，，，，
在和中，，
，．
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由作法可知是的垂直平分线，∴，，，
，，，，
，，，故选：B．
变式2．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ．
【答案】16
【详解】解：∵，，，∴，如图：
∵用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，
∴是的角平分线，∴，
∵以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，∴直线是的垂直平分线，∴，，，∴，
∵，，∴，∴，
即∴四边形是菱形，则中，，
即，∴，∵，∴，
∴，∴即菱形的周长是，故答案为：．
变式3．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点．
(1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
【答案】(1)作图见解析过程(2)
【详解】（1）解：如图1所示，作，交于，点即为所求；
（2）如图2，连接，∵，，∴，
∵平分，∴，∴．
易错陷阱4：混淆重心的线段比例致误
三角形的重心：三角形三条边中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
易错提醒： 中线被重心分得两条线段比例关系要记熟，线段位置容易写相反导致比例出错。
例1．（2024·山东聊城·二模）综合与实践 教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．
莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心．
(1)初步观察：连接，判断与的数量关系并说明理由；(2)猜想验证：莹莹通过测量发现与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由；(3)尝试运用：利用（2）的结论计算的面积；(4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．

【答案】(1)，见解析(2)，，见解析(3)(4)的长为或
【详解】（1）解：∵点B与点A重叠对折，得折痕，
∴（折叠的性质），∴；故答案为：；
（2）解：猜想：， 理由如下：连接．
∵点，分别为，的中点，∴为的中位线，∴，，
∴，，∴，
∴，∴，；

（3）解：由折叠可得，，，
∵，∴，由（2）知，，
∵，∴， ∴；
（4）解：如图，连接，由（2）知，，∴，
在中，，
由折叠可知，，，∴，
∵，∴，∴，即，∴，∴，
当与点B重合时，如图①②，连接，此时；

∵，∴，
此时拼成的图形为三角形，不符合题意；当点与点F重合时，如图③④，
在中，，∴．
综上所述，的长为或．
变式1．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【详解】解：∵是边上的中线，点是重心，∴，∵，∴，故选：C．
变式2．（2024·上海杨浦·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ．
【答案】
【详解】解：连接，延长交于点，并延长至，使得，延长交于点，连接
∵点是重心，∴分别为的中点，∴，
∴四边形是平行四边形，∴∴∴
∵，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，，
∴，故答案为：．
易错陷阱5：忽略特殊三角形需要分类讨论致误
1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。
2）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。
坐标系中的等腰三角形的分类讨论。
3）若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。
4）直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。
易错提醒：1）在等腰三角形中，涉及到腰上的垂直平分线、中线，某边是底边还是腰等问题时，易错点在于忘记分情况讨论，导致漏解；2）分情况讨论后，忽略无效解（如：不满足三边关系等）。
例1．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为

(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在，点F的坐标为或或
【详解】（1）解：，∴设直线的解析式为，
∵直线经过，，，∴直线的解析式为，，，
的面积为，，
，，，直线的解析式为
（2）解：设直线的解析式为，
，∴，解得．∴直线的解析式为；
∵点P在上，且横坐标为m，，轴，∴E的纵坐标为，
代入得，，解得，，
的长；即，；
（3）解：在x轴上存在点F，使为等腰直角三角形，
①当时，如图①，有，，，
，解得，此时；
②当时，如图②，有，的长等于点E的纵坐标，
，，解得：，∴点E的横坐标为，∴；
③当时，如图③，有，．
，．作，点R为垂足，
，，．同理，．
∵点R与点E的纵坐标相同，，∴，解得：，
，∴点F的横坐标为，．
综上，在x轴上存在点F使为等腰直角三角形，点F的坐标为或或．

变式1．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【详解】如图1，三角形是锐角三角时，，顶角；
如图，三角形是钝角时，，顶角，
综上所述，顶角等于或．故选：B．
变式2．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F，若为直角三角形，则的长为 ．

【答案】1或
【详解】解：如图，当时．在中，∵，，∴，，
∵，∴，∵，∴，∴，
∴，∴，，∴，
， ，
如图，当时，作交的延长线于H．设，
∵，，∴，∴，
∵，∴，在中，，，，
在中，∵，∴，解得，
综上所述，满足条件的的值为1或，故答案为：1或．
易错陷阱6：错用SSA证明全等致误
全等三角形的判定方法：
①边边边(SSS)；②边角边(SAS)；③角边角(ASA)；④角角边代(AAS)；⑤斜边、直角边(HL)
全等三角形的证明思路：
1）根据图形和已知条件，猜测可能的全等三角形；2）寻找边角相等的3组条件；3）往往有2个条件比较好找，第3个条件需要推理。寻找第3个条件原则：
1）需要证明的边或角需首先排除，不可作为第3个条件寻找；
2）寻找第3个条件，往往需要根据题干给出的信息为指导，确定是找角还是边。
易错提醒：要注意两条边和一角的关系，应该是两边夹一角，即SAS，而不是SSA。
例1．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：(1)；(2)．

【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【详解】（1）证明，如下：∵，，∴，
∵平分交于点∴，∴，
∵，，∴，∴．
（2）证明，如下：延长交于，连接，

∵ 平分，，∴是的垂直平分线，∴，，∴，
∵，∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∵为边的中点，∴，
∵，∴，∴，∴，∴．
变式1．（2024·广东阳江·校考一模）如图，在等腰和等腰中，已知，，，，连接交于点M．(1)求证：．(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，∴，即
在和中，∴．
（2）解：∵，∴，
由三角形的外角性质得，∴．
变式2．（2024·广东湛江·模拟预测）【综合与实践】
问题情境：数学课上，同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究，已知，，，．
【操作探究1】（1）小颖将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时，、三点恰好共线．点，在点异侧，求线段的长；
【操作探究2】（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按顺时针方向旋转角度（，射线和交于点（如图2）．
①求证：；②如图3，当时，延长交于点，求线段的长．
【答案】（1）；（2）①见解析②
【详解】（1）解：如图1，在中，，∴，∴，
∵，∴，由勾股定理得；，
∵，∴，∴；
（2）①证明：如图2，连接，在和中，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即；
②当时，，∵，∴，
∵，∴；如图 设，则，
∵，在中，，∴，
解得：，即．
易错陷阱7：相似的性质与判定忽略字母要对应致误
易错提醒： 在证明三角形全等或相似时，易错点在于找准对应边和对应角，所以在证明两个三角形全等或相似的时候一定要注意字母的书写顺序，以方便找准对应关系。
例1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，，是边上的高，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，∴，
∵是边上的高，∴，
∴，∴，∴．
变式1．（2024·广东阳江·一模）如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、根据，，并不满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，不能判断，故本选项符合题意；
B、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意；
C、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意；
D、因为，，满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，，故本选项不符合题意．故选：A．
变式2．（2025·上海黄浦·一模）已知在中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，连接．(1)证明：；(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）证明：，．，．
平分，，．
（2），．
，，．
又，，．，．
又，，．
变式3．（2025·河南郑州·一模）【感知特例】
（1）如图，点，在直线上，，，垂足分别为，，点在线段上，且，垂足为．结论： 请将下列证明过程补充完整
证明：，，， ，
，______， ______ ______，同角的余角相等
______，两角分别相等的两个三角形相似
______ ______，相似三角形的对应边成比例 ，即．
【建构模型】（2）如图，点，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】（3）如图，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 ______时，有最大值是______．
【答案】（1）；；；；（2）成立；理由见解析；（3）
【详解】证明：，，，，
，，，同角的余角相等
∴，两角分别相等的两个三角形相似
，相似三角形的对应边成比例 即．
故答案为：；；；；
（2）成立，理由如下：∵，
又，∴，∴，， 即．
（3）∵，∴，∵，
又∵，∴，∴，∴，
∵长为，则，∴，解得：，
∵，∴当时，有最大值．故答案为：4，．
易错陷阱8：混淆解直角三角形中角的专业术语致误
仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）。
方位角：指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角，如B点的方位角为α（如图②）。
方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°。
坡度(坡比)：坡面的铅垂高度和水平宽度的比。
易错提醒：要分清是仰角还是俯角，分清仰视和俯视的站立点，分清涉及到游船航行方向的确认等，才能避免出错。
例1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：）
(1)求无人机从点B到点C处的飞行距离；(2)求四门塔的高度．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：由题意可知：，
在中，，则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问；
（2）解：如图，延长交的延长线于点，
则四边形为矩形，，设，则，
在中，，则，，
在中，，，
，即，解得：，答：四门塔的高度约为．
变式1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，）
【答案】58
【详解】解：由题意得：（海里），在中，海里，
∴（海里）（海里），
在中，， ∴（海里），
（海里），即乙船向正东方向航行了58海里，故答案为：58
变式2．（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角．(1)求点 D到地面 的距离；(2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据)
【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ；(2)改建后需占路面宽度 的长为
【详解】（1）作于点，，
∵斜面的坡度为，,,
答：点到地面的距离为；
（2）作 于点，∵天桥斜面的坡角，，
∵斜面的坡角，，，,
答：此改建需占路面的宽度的长约为．
1-1．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：延长交于点，∵，∴，
∵是的一个外角，∴，故选：．
1-1．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，若，，，，那么的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，，∴，，
∴，∴，故选：D．
1-3．（2024·山西太原·一模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，，，，
，，故选：D．
2-1．（2024·广东河源·一模）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm
【答案】C
【详解】解：设第三条线段长为，由题意得：，解得：，
只有适合，故选：C．
2-2．（2024·广东广州·一模）现有长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：当取这三根木棒时，则有：，故不可以构成三角形；
当取这三根木棒时，则有，故不能构成三角形；
当取这三根木棒时，则有，故能构成三角形；
当取这三根木棒时，则有，故可以构成三角形；∴能构成三角形的有2个；故选B．
3-1．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线交于点F，交于点G，连接．若，，则的周长为 ．
【答案】9
【详解】解：由作图可知，直线垂直平分，∴，
∵，∴的周长．故答案为：．
3-2．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；作射线．则的度数为 ．
【答案】/65度
【详解】解：∵，，∴，
由题意知：平分，∴，故答案为：．
3-3．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中，是的角平分线．
(1)实践与操作：用尺规作图法，在上找到一点E使得为以为底边的等腰三角形；(保留作图痕迹，不写作法)(2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作交于点F，求证：
【答案】(1)图见解析(2)见解析
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：作图如下：是的角平分线，的垂直平分线交于点，
，，，，
，，，，．
3-4．（2024·广东·模拟预测）如图所示，已知中，．

(1)过点 B作平分面积的直线l．（尺规作图，不写作法，保留痕迹）
(2)设（1）中的直线交于点 D． 若， 求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）解：如图，直线l即为所求；

（2）过点A 作， 垂足为点 E， 过点 D 作， 垂足为点 F，
∵，在中，
∵平分面积，∴点 D 为的中点， 即
在中，
在中，，
4-1．（2025·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且．那么的周长与的周长之比为 ．
【答案】
【详解】解：连接并延长交于点，∵点是的重心，∴，
∵，∴，，∴；
∴的周长与的周长之比为；故答案为：．
4-2．（2025·上海崇明·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么 ．
【答案】18
【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接并延长交于点H，
∵点是重心，∴是中线，，∴，，．
∴，∴，∵，∴，∴，
设，则，∴，∴，
∴，∴．故答案为：18．
4-3．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ．
【答案】3
【详解】解：、分别是，的中点，点为的重心，
，．故答案为3．
4-4．（2024·江苏镇江·一模）【阅读】我们知道，a、b两数的算术平均数是，如图1，数轴上点A、B（点A在点B的左侧）分别表示数a和b，那么线段的中点表示的数是．它们的表达形式之所以是一致的，其原因就是算术平均数的意义与线段中点的意义是一致的．同样的，若点M在线段上且，即，说明点M更靠近点A，则可以利用加权平均数的意义，将点M表示为．
【理解与运用】(1)数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，点N在线段上，且，则点N表示的数为 ；(2)在平面直角坐标系中，点P的坐标是，点Q的坐标是，线段的中点坐标是．线段的三等分点也有相类似的结论，例如，点T在线段上，，直接写出T点的坐标为（ ， ）；
(3)如图2，在平面直角坐标系中，点H、I、K分别是三边上的三等分点，且，，．试证明：的重心与的重心重合．（三角形的三条中线的交点称为三角形的重心，重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为）
【答案】(1)；(2)，；(3)证明见解析
【详解】（1）解：∵，∴点N是线段的四等分点且更靠近点B，
∴点N表示的数为，故答案为：；
（2）解：∵，∴点T的横坐标为，纵坐标为
T点的坐标为, 故答案为：，；
（3）解：设，则的中点为，
∵重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为，
∴的重心坐标为，化简得，，
∵，，，
∴，，，
∴的中点坐标为，即，
∴的重心为
即，∴的重心与的重心重合．
5-1．（2024·广东惠州·一模）若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则这个三角形的周长为（　　）
A．15 B．12或21 C．15或18 D．21
【答案】C
【详解】解：①腰长为4时，符合三角形三边关系，则其周长；
②腰长为7时，符合三角形三边关系，则其周长．所以三角形的周长为15或18．故选：C．
5-2．（24-25九年级上·山东·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：（1）圆心在外部，在优弧上任选一点，连接，．
∵，，；
，；
（2）圆心在内部．∵，∴，
，．综上所述，底角的度数为或，故选：C．
5-3．（2023春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ．
【答案】
【详解】有三种情况：
①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝；∴D（0，）；
②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×yA=4，∴P（0，4）；
③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，由勾股定理得：OC＝AC＝，
∴OC＝，∴C（0，）；故答案为：．
在优弧上任选一点，连接，．
5-4．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或
【答案】A
【详解】解：当和为直角边时，则斜边，中线，
当斜边为时，中线，∴斜边的长为或，故选：A．
5-5．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在中，，点是射线上的一个动点．（1）当为直角三角形时，的长为 ．
（2）若点在边的下方，当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】 或
【详解】（1）∵∴，
当为直角三角形时，即，
∵，∴，，故答案为：．
（2）如图1所示，当时，，
为等边三角形，∴；
如图2所示，当时，，
∴,，，
又．．故答案为：或．
5-6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P点的对应点为点Q，连接OQ，BQ。(1)点B的坐标为 ；(2)①如图①，当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°；
②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）；
(3)在点P运动的过程中，若△OBQ是直角三角形，直接写出点P的坐标.
【答案】(1)(，1)(2)①见解析；②补全图②见解析，成立(3)(，0)或(，0)
【详解】（1）解：如图，过点B作轴，
∵点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，∴，，∴，
∴，∴，∴B(，1)；故答案为：(，1)；
（2）①由旋转的性质可知AP=AQ，．
∵为等边三角形，∴AO=AB，，∴，
∴，∴，∴．∵，∴；
②补全图②如图，①中的结论仍然成立．
由①同理可证，∴；
（3）当点P在x轴负半轴运动时，∵，，∴．
当点P在x轴正半轴运动时，∵，，∴．
综上可知，故可分类讨论：①当时，如图，此时点P在x轴负半轴，
∵，，∴．
∵，∴，解得：或（舍）．
∵，∴，∴P(，0)；
②当时，如图，此时点P在x轴负半轴，
∵，，∴，∴．
∵，∴，∴P(，0)．
综上可知当△OBQ是直角三角形时，点P坐标为(，0)或(，0)．
6-1．（2023·广东深圳·三模）如图，在中，，边上有一点，使，点是线段的延长线上的一点，连接，，且，若，，则的长为 ．

【答案】
【详解】解：过作交于，设，则，，

∵，∴，∴，∴（舍去负值），
∴，∴，∵，∴，
∵，，∴是等腰直角三角形，
∴，，∴，
∵，∴，，∴，
∴，∴，∴，∴．故答案为：．
6-2．（2025·陕西西安·一模）如图，在正五边形中，于点，连接，交于点，则的度数为 ．
【答案】/度
【详解】解：连接，，∵正五边形，
∴，
∴，∴，
∵∴，∴，∴
∵于点，∴，，
∴，∴，∴，故答案为：．
6-3．（2025·陕西西安·二模）如图，是上一点，，，平分，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，∴，
∵平分，∴，∴，
在和中，，∴，∴．
6-4．（2023·广东惠州·二模）如图，，，于．
(1)求证：平分；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)6
【详解】（1）证明：过点作，交的延长线于点．，，
，，，
在与中，，，，
又∵平分；
（2）解：由（1）可得，在和中，
，∴，，．
6-5．（2024·广东·校考一模）如图，已知，在边上取点，在的外部取点，连接，交于点，且，，．
(1)求证：；(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）证明：∵，∴，，
，，，，即，
在和中，，；
（2）解：∵，，，
．
6-6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，将拼接到，连接交于点，
则，，，，
，当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，
，，，，，
，即最小时，的度数为．故选：C．
6-7．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ．
【答案】
【详解】①∵，∴为等边三角形，∴
∵， ∴，∵是等边三角形，∴，，
∴，，∴，
在和中，，∴，∴；
②过点作定直线的对称点，连，
∴，，∴∴为等边三角形，
∴为的中垂线，，∴，连接，∴，
又，∴，，三点共圆，为直径，∴为直角三角形，
∵，∴，∴，
∴的最小值为；故答案为：；．
7-1．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵为的角平分线，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴．故选∶B．
7-2．（2025·广东揭阳·一模）如图，和为两个同高的晾衣柱，高，一无弹性的绳子一端系在A点，另一端P系在柱子上（不计绳结的长度），现有一裤子晾在上面，已知挂钩挂在绳子的O点处，竖直方向上O点到裤子最下方的距离为，绳子长度为，两个柱子间距，某位同学通过课外物理知识对图中衣服进行受力分析，并且得到一个结论：，则为了保证裤子不沾地，点P离地面的距离至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点作，分别交于点，如图所示：
依题意，，∵∴
∴四边形是矩形∴，设∴
∵，∴，
∴则∴，当保证裤子恰好沾地时，则
在中，即
∵∴解得∴∴∴∴，
则为了保证裤子不沾地，点P离地面的距离至少为故选：C．
7-3．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？
A．增大 B．增大 C．减小 D．减小
【答案】A
【详解】解：∵，，，，∴，∴，
∵将减小，∴调整后的，∵电流表示数才能为0，∴，
∵，，，则，解得，∴，即增大，选：A．
7-4．（2025·湖北·一模）（1）如图1，在中，于点H，求证：；
（2）如图2，已知，E为上一点，且，若，求的值；
（3）如图3，在四边形中，，，E为边上一点，且，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，∴，∴；
（2）过点A作于点F，则，∵，∴．
∵，∴，
∴，∴，∴．又∵，∴，∴．
（3）过点A作于点H，延长相交于点N．
∵，∴．设，则．
∵，∴，
∴．又∵，∴，∴．
∵，∴，
∴，∴，∴，∴，∴，
∴．∵，∴，∴，
∴，∴．
7-5．（2025·广东广州·一模）综合与实践
[项目式学习]探索凸透镜成像的奥秘
[项目背景]某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
[项目素材]
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折
射后光线经过焦点．
素材二：设物距为，像距为和焦距为，小明在研究的过程中发现了物距，像距和焦距之间在成实像时存在着一定的数量关系．
【项目任务】根据项目素材解决问题：
(1)小明取物距，然后画出光路图（如图①，其中为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴（即图中的点斜线），折射光线经过焦点为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成_______（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像；
(2)小明取物距．当时，，物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像，请在图②中用三角形全等的知识解释；
(3)小明取物距，探究一般情况下物距，像距和焦距之间在成实像时存在的数量关系．如图③，为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点为所成的像，主光轴，主光轴．焦距，物距，像距．求证：；
【答案】(1)放大(2)解释证明见解析(3)证明见解析
【详解】（1）解：由图①可知，，，，，
，，即，，，
，即，，，，
物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像，故答案为：放大；
（2）证明：，，即．
主光轴，主光轴，．
在和中，，，
物高等于像高，即物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像．

（3）证明：如图，设．与主光轴平行，，
，即，整理得：．①
主光轴，主光轴，．
又，，，即．②
把②代入①得：，整理得：．
8-1．（2024·山西大同·模拟预测）在新农村建设中，某村依托当地区位条件，资源特色和市场需求，围绕体验性、参与性和互动性，打造一批休闲农业类旅游景点，如图是景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正西方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏东方向上，E在A的东北方向上，C，D相距，E在的中点处．则景点B，A之间的距离是 ．（结果保留根号）

【答案】
【详解】解：由题意得，，，，
，，，
在的中点处，，如图，过作于，
在中， ，在中，，
，故答案为：，
8-2．（2024·广东·模拟预测）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ）

【答案】农夫所在的E处到地面的高度为米．
【详解】解：如图所示，过点作于H，

∵米，，米，米，
∴，米，米，∴，
在中，米；
答：农夫所在的E处到地面的高度为米．
8-3.（2024·江苏徐州·模拟预测）如图1，徐州云龙山是国家5A级景区，它既有自然风光，又有人文景观．小明沿图2所示的路线图登顶云龙山，他从山脚A出发；沿行走166米到达点B，再沿到山顶点C．已知山高为142米，从点A看点B的仰角为，从点B看点C的仰角为．求小明从山脚点A到达山顶点C共走了多少米？（结果精确到1米）．
（参考数据：，，）
【答案】．
【详解】解：过点B作，垂足为F，过点B作，垂足为G．如图，
则，．在中，，，∴．
∵，∴．
在中，．∴．
答：小明从山脚点A到达山顶点C共走了．
8-4．（23-24九年级下·安徽亳州·阶段练习）如图所示，阿进站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是．若阿进的眼睛与地面的距离是，，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长，点在同一个平面上，则此时小船到岸边的距离的长约为多少米 (参考数据：，结果精确到0.01)

【答案】8.36米
【详解】解：延长交的延长线于点，过点作，垂足为点．
在中， 因为， 即，．设，，则，由，得，从而，

在中，，
(米)．
答：小船到岸边的距离的长约为8．36米．
8-5．（2025·广东揭阳·一模）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 测量河流两岸的宽度
活动工具 皮尺，激光笔
测量过程 【步骤一】在P，Q点处均竖立一光屏以便确定激光位置（为南北方向）； 【步骤二】在河流的一岸的东西方向选取A和B两点，并且测得，，；用皮尺测得的长度．
解决问题 计算的长度
请帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据：，）
【答案】
【详解】解：连接并延长交于C，则
∵，，∴，∴
设，则，在中，，
在中，，解得，
在中，，∴，
答：的长度为．
8-6．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为．
(1)求点到墙面的距离；
(2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
【答案】(1)米(2)米
【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），∴（米），
在中，，∴（米），∴（米），
在中，∴（米），∴（米）．
8-7．（2025·广东佛山·一模）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点跳跃到点，随后纵身跃至点，已知，，，．（参考数据：，，）
(1)在图2中，________；
(2)醒狮少年在某次演出时需要从点直接腾跃至点进行“采青”，请求出“采青”路径的长度；
(3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点处，梅花桩的影子顶端恰好与点重合，请在图3中画出梅花桩，的影子并计算出的高度；
(4)如图4，保持不变，通过调整梅花桩的高度，使得的值最小，请求出此时的高度（结果精确到）．
【答案】(1)(2)的长度约为(3)见解析，的高度约为(4)的高度约为
【详解】（1）解：如图：延长至，由题意可得：，
∴，，∴；
（2）解：如图，过点作直线，分别交，于点，，过点作直线，交于点，连接．
由题意得，
∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，
∴，，，∴．
∵，，∴，，
∴，，∴，
∵在中，，，∴．即“采青”路径的长度约为．
（3）解：如图，线段，为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子．
∵，，∴，
∴．由（1）得，∴，解得．
经检验且符合题意，所以的高度约为米．
（4）解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接并延长交于，连接，，∴，则就是的最小值，
由对称性质可知：，同理（2）得，由轴对称得，∴．
∵∴，∴．即，解得，
∴，∴此时的高度约为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错04 平行线与三角形
易错陷阱1：混淆三个平行线性质致误
1、平行线的性质：
1）两直线平行，同位角相等；2）两直线平行，内错角相等； 3）两直线平行，同旁内角互补。
2、平行线拐点问题的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线，再和差拆分与等角转化。
平行线拐点问题主要有：猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型。
易错提醒：
1）未准确识别角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角混淆），即截线与被截线的对应关系辨别不清；
2）平行线性质需遵循“同位角相等”、“内错角相等”或“同旁内角互补”条件，不可随意组合边角关系。
例1．（2025·广东深圳·一模）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·广东·模拟预测）如图，将一张矩形纸片沿着所在直线剪开并错位放置，点在一条直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ 　）
A． B． C． D．
变式3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，点在一条直线上，，求证：．
易错陷阱2：忽略三角形构成条件致误
三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。
易错提醒： 在解题时，要根据三角形存在的条件，验证求得的解，否则容易造成多解。
例1．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架的长度都为（连接处的长度忽略不计），则B，C两点之间的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（ ）
A．9 B．15 C．12或15 D．不能确
变式2．（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
易错陷阱3：不熟悉尺规作图基本原理致误
考查频率较高的几种尺规作图：1）作线段的垂直平分线；2）作角的平分线；3）过一点作直线的垂线；4）作角等于已知角。熟练掌握这些尺规作图的基本原理和基本步骤是解决此类问题的关键。
易错提醒：学生对基本尺规作图掌握程度不够，尺规作图基本原理不熟悉 ，相关综合考察的知识基础不熟练。
例1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
变式1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
变式2．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ．
变式3．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点．
(1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
易错陷阱4：混淆重心的线段比例致误
三角形的重心：三角形三条边中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
易错提醒： 中线被重心分得两条线段比例关系要记熟，线段位置容易写相反导致比例出错。
例1．（2024·山东聊城·二模）综合与实践 教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．
莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心．
(1)初步观察：连接，判断与的数量关系并说明理由；(2)猜想验证：莹莹通过测量发现与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由；(3)尝试运用：利用（2）的结论计算的面积；(4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．

变式1．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
变式2．（2024·上海杨浦·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ．
易错陷阱5：忽略特殊三角形需要分类讨论致误
1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。
2）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。
坐标系中的等腰三角形的分类讨论。
3）若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。
4）直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。
易错提醒：1）在等腰三角形中，涉及到腰上的垂直平分线、中线，某边是底边还是腰等问题时，易错点在于忘记分情况讨论，导致漏解；2）分情况讨论后，忽略无效解（如：不满足三边关系等）。
例1．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为

(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A． B．或 C．或 D．
变式2．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F，若为直角三角形，则的长为 ．

易错陷阱6：错用SSA证明全等致误
全等三角形的判定方法：
①边边边(SSS)；②边角边(SAS)；③角边角(ASA)；④角角边代(AAS)；⑤斜边、直角边(HL)
全等三角形的证明思路：
1）根据图形和已知条件，猜测可能的全等三角形；2）寻找边角相等的3组条件；3）往往有2个条件比较好找，第3个条件需要推理。寻找第3个条件原则：
1）需要证明的边或角需首先排除，不可作为第3个条件寻找；
2）寻找第3个条件，往往需要根据题干给出的信息为指导，确定是找角还是边。
易错提醒：要注意两条边和一角的关系，应该是两边夹一角，即SAS，而不是SSA。
例1．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：(1)；(2)．

变式1．（2024·广东阳江·校考一模）如图，在等腰和等腰中，已知，，，，连接交于点M．(1)求证：．(2)若，求的度数．
变式2．（2024·广东湛江·模拟预测）【综合与实践】
问题情境：数学课上，同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究，已知，，，．
【操作探究1】（1）小颖将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时，、三点恰好共线．点，在点异侧，求线段的长；
【操作探究2】（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按顺时针方向旋转角度（，射线和交于点（如图2）．
①求证：；②如图3，当时，延长交于点，求线段的长．
易错陷阱7：相似的性质与判定忽略字母要对应致误
易错提醒： 在证明三角形全等或相似时，易错点在于找准对应边和对应角，所以在证明两个三角形全等或相似的时候一定要注意字母的书写顺序，以方便找准对应关系。
例1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，，是边上的高，求证：．
变式1．（2024·广东阳江·一模）如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2025·上海黄浦·一模）已知在中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，连接．(1)证明：；(2)如果，求证：．
变式3．（2025·河南郑州·一模）【感知特例】
（1）如图，点，在直线上，，，垂足分别为，，点在线段上，且，垂足为．结论： 请将下列证明过程补充完整
证明：，，， ，
，______， ______ ______，同角的余角相等
______，两角分别相等的两个三角形相似
______ ______，相似三角形的对应边成比例 ，即．
【建构模型】（2）如图，点，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】（3）如图，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 ______时，有最大值是______．
易错陷阱8：混淆解直角三角形中角的专业术语致误
仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）。
方位角：指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角，如B点的方位角为α（如图②）。
方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°。
坡度(坡比)：坡面的铅垂高度和水平宽度的比。
易错提醒：要分清是仰角还是俯角，分清仰视和俯视的站立点，分清涉及到游船航行方向的确认等，才能避免出错。
例1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：）
(1)求无人机从点B到点C处的飞行距离；(2)求四门塔的高度．
变式1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，）
变式2．（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角．(1)求点 D到地面 的距离；(2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据)
1-1．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
1-1．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，若，，，，那么的度数为（ ）

A． B． C． D．
1-3．（2024·山西太原·一模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2-1．（2024·广东河源·一模）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm
2-2．（2024·广东广州·一模）现有长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3-1．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线交于点F，交于点G，连接．若，，则的周长为 ．
3-2．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；作射线．则的度数为 ．
3-3．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中，是的角平分线．
(1)实践与操作：用尺规作图法，在上找到一点E使得为以为底边的等腰三角形；(保留作图痕迹，不写作法)(2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作交于点F，求证：
3-4．（2024·广东·模拟预测）如图所示，已知中，．
(1)过点 B作平分面积的直线l．（尺规作图，不写作法，保留痕迹）
(2)设（1）中的直线交于点 D． 若， 求的长．

4-1．（2025·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且．那么的周长与的周长之比为 ．
4-2．（2025·上海崇明·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么 ．
4-3．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ．
4-4．（2024·江苏镇江·一模）【阅读】我们知道，a、b两数的算术平均数是，如图1，数轴上点A、B（点A在点B的左侧）分别表示数a和b，那么线段的中点表示的数是．它们的表达形式之所以是一致的，其原因就是算术平均数的意义与线段中点的意义是一致的．同样的，若点M在线段上且，即，说明点M更靠近点A，则可以利用加权平均数的意义，将点M表示为．
【理解与运用】(1)数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，点N在线段上，且，则点N表示的数为 ；(2)在平面直角坐标系中，点P的坐标是，点Q的坐标是，线段的中点坐标是．线段的三等分点也有相类似的结论，例如，点T在线段上，，直接写出T点的坐标为（ ， ）；
(3)如图2，在平面直角坐标系中，点H、I、K分别是三边上的三等分点，且，，．试证明：的重心与的重心重合．（三角形的三条中线的交点称为三角形的重心，重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为）
5-1．（2024·广东惠州·一模）若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则这个三角形的周长为（　　）
A．15 B．12或21 C．15或18 D．21
5-2．（24-25九年级上·山东·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
5-3．（2023春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ．
5-4．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或
5-5．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在中，，点是射线上的一个动点．（1）当为直角三角形时，的长为 ．
（2）若点在边的下方，当为直角三角形时，的长为 ．
5-6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P点的对应点为点Q，连接OQ，BQ。(1)点B的坐标为 ；(2)①如图①，当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°；
②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）；
(3)在点P运动的过程中，若△OBQ是直角三角形，直接写出点P的坐标.
6-1．（2023·广东深圳·三模）如图，在中，，边上有一点，使，点是线段的延长线上的一点，连接，，且，若，，则的长为 ．

6-2．（2025·陕西西安·一模）如图，在正五边形中，于点，连接，交于点，则的度数为 ．
6-3．（2025·陕西西安·二模）如图，是上一点，，，平分，求证：．
6-4．（2023·广东惠州·二模）如图，，，于．
(1)求证：平分；(2)若，，求的长．
6-5．（2024·广东·校考一模）如图，已知，在边上取点，在的外部取点，连接，交于点，且，，．
(1)求证：；(2)求的度数．
6-6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
6-7．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ．
7-1．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
7-2．（2025·广东揭阳·一模）如图，和为两个同高的晾衣柱，高，一无弹性的绳子一端系在A点，另一端P系在柱子上（不计绳结的长度），现有一裤子晾在上面，已知挂钩挂在绳子的O点处，竖直方向上O点到裤子最下方的距离为，绳子长度为，两个柱子间距，某位同学通过课外物理知识对图中衣服进行受力分析，并且得到一个结论：，则为了保证裤子不沾地，点P离地面的距离至少为（ ）
A． B． C． D．
7-3．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？
A．增大 B．增大 C．减小 D．减小
7-4．（2025·湖北·一模）（1）如图1，在中，于点H，求证：；
（2）如图2，已知，E为上一点，且，若，求的值；（3）如图3，在四边形中，，，E为边上一点，且，求的值．
7-5．（2025·广东广州·一模）综合与实践
[项目式学习]探索凸透镜成像的奥秘
[项目背景]某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
[项目素材]
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折
射后光线经过焦点．
素材二：设物距为，像距为和焦距为，小明在研究的过程中发现了物距，像距和焦距之间在成实像时存在着一定的数量关系．
【项目任务】根据项目素材解决问题：
(1)小明取物距，然后画出光路图（如图①，其中为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴（即图中的点斜线），折射光线经过焦点为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成_______（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像；
(2)小明取物距．当时，，物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像，请在图②中用三角形全等的知识解释；
(3)小明取物距，探究一般情况下物距，像距和焦距之间在成实像时存在的数量关系．如图③，为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点为所成的像，主光轴，主光轴．焦距，物距，像距．求证：；

8-1．（2024·山西大同·模拟预测）在新农村建设中，某村依托当地区位条件，资源特色和市场需求，围绕体验性、参与性和互动性，打造一批休闲农业类旅游景点，如图是景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正西方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏东方向上，E在A的东北方向上，C，D相距，E在的中点处．则景点B，A之间的距离是 ．（结果保留根号）

8-2．（2024·广东·模拟预测）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ）

8-3.（2024·江苏徐州·模拟预测）如图1，徐州云龙山是国家5A级景区，它既有自然风光，又有人文景观．小明沿图2所示的路线图登顶云龙山，他从山脚A出发；沿行走166米到达点B，再沿到山顶点C．已知山高为142米，从点A看点B的仰角为，从点B看点C的仰角为．求小明从山脚点A到达山顶点C共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
8-4．（23-24九年级下·安徽亳州·阶段练习）如图所示，阿进站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是．若阿进的眼睛与地面的距离是，，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长，点在同一个平面上，则此时小船到岸边的距离的长约为多少米 (参考数据：，结果精确到0.01)

8-5．（2025·广东揭阳·一模）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 测量河流两岸的宽度
活动工具 皮尺，激光笔
测量过程 【步骤一】在P，Q点处均竖立一光屏以便确定激光位置（为南北方向）； 【步骤二】在河流的一岸的东西方向选取A和B两点，并且测得，，；用皮尺测得的长度．
解决问题 计算的长度
请帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据：，）
8-6．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为．(1)求点到墙面的距离；(2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
8-7．（2025·广东佛山·一模）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点跳跃到点，随后纵身跃至点，已知，，，．（参考数据：，，）
(1)在图2中，________；
(2)醒狮少年在某次演出时需要从点直接腾跃至点进行“采青”，请求出“采青”路径的长度；
(3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点处，梅花桩的影子顶端恰好与点重合，请在图3中画出梅花桩，的影子并计算出的高度；
(4)如图4，保持不变，通过调整梅花桩的高度，使得的值最小，请求出此时的高度（结果精确到）．
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