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易错点04 二次函数
易错陷阱一：二次函数的图象与性质
易错点1:二次函数图象与各项系数关系
1.系数a：决定抛物线的开口方向及大小。当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。绝对值lal越大，抛物线越窄；绝对值lal越小，抛物线越宽。
2.系数b：与a共同决定抛物线对称轴的位置。当b等于0时，对称轴为y轴；当b不等于0时，若b与a同号，对称轴在y轴左侧；若b与a异号，对称轴在y轴右侧。对称轴的x坐标为-b/2a。
3.系数c：决定抛物线与y轴交点的位置。当c等于0时，抛物线过原点；当c大于0时，抛物线与y轴交于正半轴；当c小于0时，抛物线与y轴交于负半轴。
4.判别式b2-4ac：决定抛物线与x轴交点的个数。当b2-4ac等于0时，与x轴有唯一交点；当b2-4ac大于0时，与x轴有两个交点；当b2-4ac小于0时，与x轴没有交点。
易错提醒：（1）忽略a不等于0的条件：在二次函数中，二次项系数a不能为0，这是定义二次函数的基础；
（2）对a的多个意义理解不清：a不仅决定抛物线的开口方向，还与b共同决定对称轴的位置，以及影响抛物线的宽窄；（3）平移规律理解不透：平移抛物线时，形状和开口方向不变，只是位置改变。平移后的抛物线可以通过原抛物线的系数经过数学变换得到；（4）求函数值取值范围时忽略顶点：顶点坐标是二次函数的一个重要性质，它决定了函数的最大值或最小值，也是求解函数值取值范围的关键；（5）与x轴交点问题需分类讨论：根据判别式b2-4ac的值，抛物线与x轴的交点个数可能不同，需要分类讨论。
易错点2:二次函数与x、y轴交点
一、与y轴的交点
二次函数一般式为y=ax +bx+c，与y轴的交点即为x=0时的y值，因此交点坐标为(0,c)。
二、与x轴的交点
二次函数与x轴的交点即为一元二次方程ax +bx+c=0的根。根据判别式Δ=b -4ac的值，可以确定交点个数：
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个交点。
Δ=0时，方程有两个相等的实数根，即抛物线与x轴有一个交点，或称为相切。
Δ<0时，方程无实数根，即抛物线与x轴无交点，或称为相离。
三、求交点的方法
令y=0，解方程ax +bx+c=0，得到x的值，即为与x轴的交点横坐标。
将x=0代入函数式，得到y的值，即为与y轴的交点纵坐标。
易错提醒：（1）忽略a、b、c的取值对交点的影响；（2）未正确理解判别式的意义；（3）在求解交点时忽略分类讨论；（4）对平移规律理解不透或应用错误.
易错点3:二次函数的平移
二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规律。
1.上加下减常数项：当常数项c大于0时，图像向上平移c个单位；当c小于0时，图像向下平移c个单位。
2.左加右减自变量：图像向左或向右平移时，调整的是自变量x。向左平移时，将原式中的每个x替换为(x+a)，向右平移时，将每个x替换为(x-a)。
3.顶点式y=a(x-h) +k可以直接看出平移轨迹，(h,k)对应原顶点(h0,k0)的平移量h=h0±a（x轴平移），k=k0±b（y轴平移）。
易错提醒：（1）对平移规律理解不透：未能准确掌握“左加右减，上加下减”的规律，导致在平移图像时出错；（2）平移规律的灵活应用：在解决实际问题时，不能灵活运用平移规律，导致解题错误；（3）自变量在一定取值范围下的最值问题：在平移后，未能根据新的函数表达式正确求出自变量在一定取值范围下的最值；（4）二次函数性质理解不透：对二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等性质理解不透彻，导致在平移过程中出错。
易错点4:y=ax +bx+c的图象与性质
1 二次函数定义：形如y=ax +bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数。其中a、b、c是常数，x是变量。
2 二次函数图象：二次函数的图象是抛物线，它根据a、b、c的取值有不同的形态。
3 开口方向与顶点坐标：抛物线的开口方向由a决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。顶点坐标为(-b/2a, c-b /4a)，这也是抛物线的最值点。
4 对称轴：抛物线的对称轴为直线x=-b/2a。
5 增减性：根据x的取值范围，可判断y的增减性。例如，当a>0时，若x≤-b/2a，则y随x增大而减小；若x≥-b/2a，则y随x增大而增大。反之，当a<0时，增减性相反。
6 与坐标轴的交点：抛物线与x轴的交点即为一元二次方程ax +bx+c=0的根；抛物线与y轴的交点为(0,c)。
7 二次函数的表达式转化：二次函数一般式y=ax +bx+c可以转化为顶点式y=a(x-h) +k和交点式，便于分析和解决问题。
易错提醒：（1）混淆开口方向与a的符号关系：需明确a>0时开口向上，a<0时开口向下；（2）顶点坐标计算错误：顶点坐标的计算公式为(-b/2a, c-b /4a)，需准确代入a、b、c的值进行计算。（3）忽视抛物线的对称性：在分析和解决问题时，需充分利用抛物线的对称性。（4）平移变换中的错误：在进行平移变换时，需正确转化函数表达式，遵循“左加右减（x），上加下减（整体）”的原则。（5）误解抛物线与坐标轴交点的意义：抛物线与x轴的交点表示函数值为零的点，与y轴的交点表示x=0时的函数值。
易错点5:二次函数的最值
1 二次函数的标准形式：y=ax2+bx+c（a≠0）。
2 二次函数图像的开口方向：当a>0时，图像开口向上，有最低点，即最小值；当a<0时，图像开口向下，有最高点，即最大值。
3 二次函数图像的对称轴：直线x=-b/2a，或若函数为顶点式y=a(x+m)2+k，则对称轴为直线x=-m。
4 二次函数的顶点坐标：(-b/2a，c-b2/4a)，或若函数为顶点式y=a(x+m)2+k，则顶点坐标为(-m，k)。
5 二次函数的最值：对于开口向上的抛物线，顶点处取得最小值；对于开口向下的抛物线，顶点处取得最大值。若二次函数的定义域有限制，则需比较端点和顶点的函数值来确定最值。
易错提醒：（1）忽视二次函数的定义域限制导致最值求解错误。在求解最值时，需结合定义域和顶点坐标综合考虑；（2）混淆左右平移和上下平移对h和k的影响。例如，将y=x2的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的函数是y=(x+2)2+3；（3）误解横纵坐标伸缩的比例关系。若原函数为y=ax2，则当系数变为ka时（k为正数），图像在纵轴上拉伸k倍；若自变量变为mx（m为非零常数），则图像在横轴上压缩或拉伸至原来的1/|m|倍；（4）仅凭开口方向判断单调区间，未考虑对称轴位置。需根据开口方向和对称轴位置综合判断。当a>0时，在对称轴左侧递减，右侧递增；当a<0时，在对称轴左侧递增，右侧递减；（5）无法准确地将一般式转化为顶点式或完全平方形式。应多进行配方法的练习，熟悉转化过程。
易错点6:待定系数法求二次函数的解析式
待定系数法是求解二次函数解析式的重要方法之一。其基本原理是将二次函数通过配方等方式转化为已知形式，并设定待定系数，然后利用已知条件列出方程求解这些待定系数。二次函数解析式常见的形式包括一般式y=ax +bx+c（a≠0）、顶点式y=a(x-h) +k（a≠0）和交点式y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），其中x1,x2分别为两个交点的横坐标。根据题目给出的条件，可以选择合适的形式设立方程，如已知任意三点坐标可用一般式，已知顶点和一个点可用顶点式，已知两个交点和另一个点可用交点式。
待定系数法的应用步骤一般包括：
一、将二次函数转化为已知形式，并写出转化后的方程。
二、根据题目条件，选择合适的待定系数。
三、代入已知条件，列出方程并求解待定系数。
四、得出二次函数的解析式。
易错提醒：（1）在选择待定系数法时，首先要考虑题目是否适合使用该方法；（2）在设立方程时，要确保方程的数量与待定系数的数量相匹配。如果方程数量不足，则无法唯一确定待定系数的值；如果方程数量过多，则需要检查方程之间是否存在矛盾；（3）在求解待定系数时，要注意计算过程的准确性。错误的计算步骤或结果可能导致得出的二次函数解析式不正确；（4）在解题过程中，要关注待定系数的实际意义；（5）对于含有参数的二次函数解析式，要认真分析参数的作用，并根据参数的特点选择合适的方法进行求解；（6）在综合题中，对于探究性问题的答案要考虑全面。
例1．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x 轴的一个交点的坐标为．有下列结论：①；②；③；④ 关于x 的一元二次方程无实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由题图可知，抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，抛物线的对称轴为直线，得到，可判断①②，将代入，得，将代入，得，可判断③，直线与抛物线有两个交点，可判断④，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：由题图可知，抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
，，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
∴，故①符合题意，②不符合题意，
将代入，
得：，
将代入，
得，故③符合题意，
∵抛物线开口向上，顶点在x轴下方，
∴直线与抛物线有两个交点，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④符合题意，
∴符合题意的有①③，
故选：A．
例2．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
… …
… …
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【详解】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线，故②正确；
设抛物线解析式为，将代入解得，
∵，
故抛物线的开口向下，故①错误；
由抛物线关于直线对称知，
当时，或，
故方程的根为和，故③正确；
当时，的取值范围是或，故④正确 ．
故选：C．
例3．将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，把化成顶点式，代数式求值知识点，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减．
先把化成顶点式，然后根据二次函数图象的平移规律求出平移后的抛物线解析式，由此即可得出、、的值，然后将其代入求值即可．
【详解】解：，
将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为：
，
，，，
，
故选：．
例4．已知二次函数的与的部分对应值如表：
x 0 2
y 5 0
下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线；当时，；抛物线与轴的两个交点间的距离是；若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的一般式，二次函数的对称性、增减性以及待定系数法，是解题关键．
先根据表格数据列出关于a，b，c的方程组，求出二次函数表达式，再据此分析各个结论是否正确．
【详解】解：依题，把分别代入，得：
，
解得：，
∴该二次函数的表达式为，
∵
∴抛物线的开口向上
①正确；
抛物线的对称轴为直线，
②错误；
令，即，解得或，由抛物线开口向上可知，当时，，
当时，该结论错误。
③错误；
抛物线与轴的两个交点间的距离是，
④正确；
若是抛物线上两点，则，
⑤正确，
综上，①④⑤正确，共3个正确，
故选：B．
例5．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（ ）
A． B．1 C． 1 D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，根据增减性确定的符号，再根据最值求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
∵当时，随的增大而减小，
∴抛物线的开口向上，
∴，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴当时，有最大值为，
解得：或（舍去）；
故选B．
例6.如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为P，求的面积；
(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)9
(3)存在，或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出点坐标，求出直线的解析式，过点作轴并延长交于E，根据进行求解即可；
（3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论，利用平移思想进行求解即可．
【详解】（1）解：，
∴当时，，
∴，
∵抛物线的图象与x轴交于，两点，
∴，把，代入，得：，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴设的解析式为：，把代入，得：，
∴，
过点作轴并延长交于E，则：，
∴，
∴；
（3）解：存在；
由（2）知，直线的解析式为：，设，
∵，且以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，
∴；
①当四边形为平行四边形时，
∵，
∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，（不符合题意，舍去）；
②当四边形为平行四边形时，
∵，
∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，（不符合题意，舍去）；
综上：或．
变式1．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个．
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可．
【详解】解：由图可知抛物线开口向上，
，
对称轴为直线，
符号相同，
，
与y轴的交点在之间（不含端点），
，
，
故①不正确；
对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
与轴交于另一点为，
当时，，
故②不正确；
由题意可得方程的两个根为，
，
，
，
，
，
故③正确；
若方程两根为，
则直线与抛物线的交点的横坐标为，
直线过第一、二、三象限且过点，
直线与抛物线的交点在第一，三象限，
如图所示，
由图象可知，
故④正确；
综上所述，正确的结论是③④，有个，
故答案为：B.
变式2．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是抛物线上两点，且，，则． 其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数图象的对称轴为直线得出，即可判断①；由图象可得当时，，即可判断②；由图象得出，，从而可得，即可判断③；求出图象与轴的另一个交点为，即可判断④；由，是抛物线上两点，且，，得出，即可判断⑤；采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由图象可得：当时，，
∴，故②错误；
∵函数图象开口向下，与轴交于正半轴，
∴，，
∴，
∴，故③正确；
∵图象过点，对称轴为，
∴图象与轴的另一个交点为，
由图象可得，当时，或，故④错误，
∵，是抛物线上两点，且，，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤；共个，
故选：B．
变式3．抛物线与轴的交点是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，正确把握二次函数图象上点的特征是解题的关键．根据题意，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点．
【详解】解：令，则，
抛物线与轴的交点是．
故答案为：．
变式4．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
(1)如图1，若A点横坐标为1，点在抛物线M上，求t的值；
(2)如图2，若，直线，求b变化时点A到直线l的距离最小值；
(3)若，当时，求a的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用顶点A横坐标为1，得到，再代入到抛物线即可求解；
（2）设直线l分别交轴、轴于点、，过点作于点，作轴交直线l于点，利用一次函数的知识求出、的坐标，利用勾股定理求出的长，利用抛物线顶点式可得顶点A的坐标为，进而表示出的长，再通过证明，得到，代入数据得到的表达式，再利用二次函数的性质求出最小值即可；
（3）由题意得，令，解得，；分析可知当时，即，抛物线符合题意；再分2种情况讨论：①当时，抛物线开口向上；②当时，抛物线开口向下，再结合抛物线与轴交点的位置进行分析，即可解答．
【详解】（1）解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为1，
，
，
点在抛物线M上，
，
的值为0．
（2）解：如图，设直线l分别交轴、轴于点、，过点作于点，作轴交直线l于点，则，
代入到，得，
代入到，则有，解得，
，，
，
，
，
顶点A的坐标为，
代入到，得，
，
，
轴，
，
又，
，
，
，
当时，有最小值，
点A到直线l的距离最小值为．
（3）解：，
，
令，则，
解得：，，
当时，即，
此时，当时，符合题意；
当时，抛物线与轴的交点为和，
下面分2种情况讨论：
①当时，抛物线开口向上，此时，
若，则抛物线在的图象在轴下方，不符合题意；
若，即，则抛物线在的图象随着的增大而增大，且满足，符合题意；
；
②当时，抛物线开口向下，此时，
抛物线在的图象在轴上方，
当时，
，
解得：；
综上所述，a的取值范围为或．
变式5．已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征，求二次函数的解析式等知识点，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键．
先判断抛物线经过点A、C，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出设平移后的抛物线为，令，得到解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得m，即可求得平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式．
【详解】解：在直线上，
或B是抛物线的顶点，
的横坐标相同，
抛物线不会同时经过B、C点，
抛物线过点A和C两点，
把代入：
得，解得，
二次函数为
顶点始终在直线上，
抛物线向左、向下平移的距离相同，
设平移后的抛物线为，
令，则，
时，抛物线与y轴交点纵坐标有最大值为，
平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为．
故答案为：．
变式6．如图1，抛物线经过点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于另一个点，点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，．当的面积最大时，求的坐标以及的面积的最大值；
(3)如图3，将点D向左平移1个单位长度得到点N.将抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点N，射线与新抛物线交于点R，连接，在新抛物线的对称轴上是否存在点H，使？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为
(2)的面积的最大值为，此时
(3)存在点或，使
【分析】（1）把把代入求出即可得到抛物线解析式，再求出，根据待定系数法求出直线的解析式；
（2）过作轴交于，设，则，，再根据得到，利用二次函数的性质即可得到的面积的最大值为；
（3）先求出，，，过作轴于，得到，即可得到将抛物线沿射线平移得到新抛物线，即向上平移个单位长度再向右平移个单位长度得到新抛物线，求出新抛物线的解析式，再以为直角边构造等腰直角三角形和，再根据一线三等角构造全等三角形求出，，最后根据，，得到点H为和与新抛物线的对称轴交点，据此求解即可．
【详解】（1）解：把代入得，，解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线与轴交点，
∵在上，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的面积的最大，最大值为，此时；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，顶点，
∵抛物线的对称轴与轴交于点，
∴，
∴将点D向左平移1个单位长度得到点，
取两点，，使，，在上，即和为等腰直角三角形，过作轴于，过作轴，过作轴于，过作轴于，
∵，
∴，
∴，，
∴将抛物线沿射线平移得到新抛物线，即向上平移个单位长度再向右平移个单位长度得到新抛物线，其中，
∴新抛物线解析式为，
∵经过点，
∴，
解得或（舍去），
∴新抛物线解析式为，
∴新抛物线的对称轴为直线，
同理由，可得直线的解析式为，
联立，解得，，
∴射线与新抛物线交于点，
∵，轴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，即为中点，
∴，
同理由，可得直线的解析式为，
，可得直线的解析式为，
∵和为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴点H为和与新抛物线的对称轴交点，
当为与新抛物线的对称轴交点时，此时，，此时；
当为与新抛物线的对称轴交点时，此时，，此时；
综上所述，在新抛物线的对称轴上存在点或，使．
变式7．已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么 ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由二次函数的图象与性质可知抛物线对称轴为直线，结合二次函数的图象开口向上可知，当时随的增大而减小，然后由即可得出答案．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
二次函数的图像开口向上，
当时，随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
变式8．在平面直角坐标系中，已知二次函数(b，c是常数)．
(1)当时，
①该函数图象的顶点坐标是；
②若，则y的取值范围是
(2)当该函数的图象经过点时，设该二次函数图象的顶点坐标是，求n关于m的函数表达式
(3)若当时，y的最大值为3；当时，y的最大值为4．求二次函数的表达式．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）先把解析式进行配方，再求顶点；
（2）根据函数的增减性求解，待定系数法求函数解析式；
（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴该函数图象的顶点坐标为，
若，则在时取最大值，在时取最小值，
∴若，则，
故答案为：，；
（2）解：∵该函数的图象经过点，
，
，
，
，，
由可知，
将代入，
∴；
（3）解：∵当时，的最大值为，当时，的最大值为，，
∴抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴当时，，
，
∴当时，，
，
，（负值舍去），
∴二次函数的表达式为．
变式9．设 ，且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，由题意得：，，从而得出，将变形为，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∵
，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当时，最小为，
故答案为：．
变式10．如图，一条抛物线和直线l交于点O、B，其中O是平面直角坐标系的原点，B点坐标是，在抛物线上．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)在直线l下方的抛物线上有一点P，当的面积取得最大值时，求此时P点的坐标．
【答案】(1)
(2)18
(3)P点坐标是
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到：待定系数法、一次函数表达式的确定、轴对称、最值问题，综合性强，难度大．
（1）把，，代入，用待定系数法即可求解；
（2）求直线l的表达式是：；过点A作轴交直线l于点D，求的面积和即可；
（3）过点P作轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样，设，则，则，求
即可，进而可求坐标．
【详解】（1）解：设抛物线对应的函数表示式为，
依题，它经过，，，
则： ，
解得：，
∴抛物线对应的函数表示式为；
（2）解：因为直线l经过原点，设直线l的表达式：，
把代入，
得：，
，
∴直线l的表达式是：；
过点A作轴交直线l于点D，
则：D点的横坐标和A点的横坐标一样，都是3，
∴在中，令，则，
，
，的高均为3，
∴；
（3）解：过点P作轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样，
设，则，则：
；
∴当时，取得最大值，
此时，，
P点坐标是．
变式11．已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）先根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，再利用待定系数法求解即可；
（2）设点M的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式，令，求出点，根据，建立方程求解即可；
（3）设点，由易证是等腰直角三角形，得到，分和两种情况讨论，利用正切的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵物线的对称轴为直线，且经过点和，则B点坐标为，
则抛物线
将代入上式中，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设点M的坐标为，直线的解析式为
∵代入上式得：
再将点代入上式得：
∴直线的解析式为
∵
∴直线的解析式为
∵
∴直线的解析式为
令
解得：，
∴
∵是以为底的等腰三角形，
∴
则
解得
∴P的坐标为或；
（3）设点，
∵
∴
∴
∴使得中有一个角是的2倍
则为直角三角形
当时，如图，过点Q作轴于点D，
∵
∴
∴
∵，，，，
∴，
∴，即，
∴，则，
∴；
当时，如图，过点Q作轴于点F，
同理：
∵，，
∴，
∴，则，
∴；
当时，该情况不存在
∴Q点的坐标为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及等腰三角形的判定、二次函数的最值，解直角三角形等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强．
变式12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴和轴分别交于点和点，点是此抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点在轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出的取值范围．
(3)过点作轴，点的横坐标为，点与点不重合．
①当线段的长度随的增大而减小，求的取值范围．
②在的下方作等腰直角三角形，且，当时，直接写出等腰直角三角形与抛物线的交点个数及的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②时，有一个交点；时，有两个交点；时，有三个交点
【分析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；
求出时或，由图可得的取值范围是；
求出当，即时，与重合；即可得当，即时，，随的增大而减小，符合题意；而当，即时，，随的增大而增大，不符合题意；从而可得答案；
由知，当时，，重合，分种情况：当时，当时，当时，分别画出图形可得答案．
【详解】（1）解：把和代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令得：，
解得或，
由图可得，点在轴上方的抛物线上时，的取值范围是；
（3）解：轴，点横坐标为，点的横坐标为，
当，即时，与重合；
当，即时，，
此时随的增大而减小，符合题意；
当，即时，，
此时随的增大而增大，不符合题意；
综上所述，当线段的长度随的增大而减小，的取值范围是；
由知，当时，，重合，
当时，在的左侧，如图：
此时等腰直角三角形与抛物线的交点只有个；
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，在的右侧，如图：
由图可知，此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个；
当时，如图：
此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个；
综上所述，当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个；当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个；当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，二次函数图象与x轴交点，二次函数与二次不等式的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用．
易错陷阱二：二次函数与实际应用
易错点7:图形运动问题
一、二次函数与图形运动的基本概念
在二次函数的应用中，图形运动问题是一个重要的考察点。这类问题通常涉及到动点在二次函数图像上的运动，以及由此产生的各种几何关系和函数关系。解决这类问题的关键在于理解二次函数的图像和性质，以及动点运动对函数关系的影响。
二、建立函数关系式
在图形运动问题中，首先需要根据题意建立动点的运动轨迹与二次函数之间的关系式。这通常涉及到根据动点的运动速度和方向，以及二次函数的图像和性质，来确定动点的坐标与时间之间的关系。
三、求解自变量取值范围
在确定了函数关系式后，需要求解自变量的取值范围。这通常涉及到根据题意和动点的运动轨迹，来确定动点可能到达的位置和时间范围。
四、应用几何知识和代数方法求解问题
在图形运动问题中，经常需要应用几何知识和代数方法来求解问题。例如，可能需要计算动点与其他点的距离、角度或面积等几何量，或者需要解方程、不等式等代数问题。
易错提醒：（1）忽视动点的运动轨迹和速度方向；（2）自变量取值范围判断错误；（3）几何知识和代数方法应用不当
易错点8:销售问题
销售问题中，二次函数的应用主要体现在求解最大利润上。通常，销售单价和销售量之间存在一次函数关系，而利润则是销售单价、销售量和成本之间的函数。解决这类问题，一般需要先根据题意建立销售量与销售单价之间的一次函数关系，再利用总利润等于单件利润乘以销售数量的公式，建立利润与销售单价之间的二次函数关系。最后，通过求解这个二次函数的最大值，得到最大利润及对应的销售单价。
具体步骤如下：
1.设定变量：设定销售单价为x，销售量为y，利润为w。
2.建立关系式：根据题意，销售量y通常是销售单价x的一次函数，如y=ax+b。然后，根据总利润=单件利润×销售数量的公式，建立利润w与销售单价x的二次函数关系，如w=(x-成本价)×y。
3.求解最大值：将二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质，当a<0时，函数在对称轴左侧是增函数，在对称轴右侧是减函数，因此最大值出现在对称轴上，即x=-b/2a处。但需要注意，x的取值范围可能受到限制，如物价部门的定价限制，或市场需求导致的销售量限制，因此最大值可能出现在对称轴上，也可能出现在取值范围的端点上。
易错提醒：（1）忽视自变量取值范围：在求解最大利润时，容易忽视销售单价的取值范围，导致求出的最大值不符合实际情况；（2）错误建立关系式：在建立销售量与销售单价的关系式，或利润与销售单价的关系式时，容易忽视题目中的关键信息，导致关系式建立错误；（3）计算错误：在求解二次函数的最大值时，容易在计算过程中出现错误，如求对称轴时计算错误，或代入求解时计算错误。
易错点9:新定义问题
新定义问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。在二次函数的新定义问题中，通常会结合二次函数的图像与性质，考察学生对新定义的理解以及灵活运用二次函数知识的能力。解决这类问题，需要掌握二次函数的基本性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等，并能够根据新定义进行正确的运算和推理。
易错提醒：（1）对新定义理解不透；（2）忽略二次函数的基本性质；（3）未能准确建立数学模型；（4）未考虑自变量的取值范围。
例7．如图，在中，，．动点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作于点．以为边向右作正方形，正方形与重叠部分图形的面积为．设动点的运动时间为．
(1)当点在上时，的长为______（用含的代数式表示）；
(2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当所在的直线将的面积分为的两部分时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)当或时，所在的直线将的面积分为的两部分．
【分析】（）根据线段和差即可求解；
（）分当点落在上时，，，则当时，运动到点，则当时，当点在上时，即时三种情况分析即可；
（）设所在直线交折线于点，分当在上时，当在上时两种情况分析即可．
【详解】（1）由题意知：速度为，则，
∴，
故答案为：；
（2）当点落在上时，如图，
由题知，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，解得： ，
∴当时，，
，，则当时，运动到点，则当时，如图所示，
设交于，交于，
由知：，
∵，
∴，
∴，
同理可得：和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当时，，
当点在上时，即时，如图，
此时与重合，
同理可得：是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
综上可知：；
（3）设所在直线交折线于点，
当在上时，如图，
∴，
∴，
∴点为中点，
∴，
∴，
过作于点，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（）得：，，
∴，即，
∴，整理得：，
解得：，经检验，是原分式方程的解，
当在上时，如图，同理为中点，
∴当时，将的面积分为的两部分，
综上可知：当或时，所在的直线将的面积分为的两部分．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，函数关系式，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
例8．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【答案】(1)
(2)元，元
(3)元
【分析】（1）根据题意即可列出y与x的函数关系式；
（2）根据“每月利润每件利润月销售量”即可列出关于的函数关系式，先将二次函数化成顶点式，根据二次函数的图象与系数的关系可知抛物线开口向下，然后求二次函数的最值即可得出答案；
（3）根据题意和（2）中的函数关系式，可得，解方程即可求出相应的销售单价．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
整理，得：；
（2）解：由题意得：
，
，
抛物线开口向下，
有最大值，
当时，，
答：当销售单价为元时，每月获得的利润最大，最大利润是元；
（3）解：由题意得：
，
解得：，，
为了让消费者得到最大的实惠，故，
答：当销售单价定为元时，能让消费者得到最大的实惠．
【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（销售问题），一元二次方程的应用（营销问题），一次函数的实际应用，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出函数关系式和方程是解题的关键．
例9．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点（）是函数图象的“1阶方点”．
(1)在①；②；③三点中，是正比例函数图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
(2)若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点，则点称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当时，q的最小值为t，求t的值．
【答案】(1)②③
(2)3或
(3)或
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）由题意知，点在直线上，由的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”时，有两个相等实数根，则，即，当时，q的最小值为t，若，则q的最小值为，即，计算求出满足要求的解即可；当时，若，则q取最小值，即，计算求出满足要求的解即可；当时，若，则q取最小值，即，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：由题意知，到x轴距离为2，不符合题意，
到两坐标轴的距离都等于0，符合题意，
到x轴距离为1，到y轴距离为，符合题意，
故答案为：②③．
（2）解：∵，
∴函数经过定点，
如图1，以O为中心，作边长为4的正方形，

由题意知，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，，
∵一次函数y=ax-3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
∴当直线经过点时，，
解得，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
如图2，

当直线经过点时，，
解得，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或．
（3）解：由题意知，点在直线上，
∵的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”时，
∴有两个相等实数根，
∴，即，
∵当时，q的最小值为t，
若，则q的最小值为，即，
解得，不符合题意．
当时，若，则q取最小值，即，
解得或（舍），
当时，若，则q取最小值，即，
解得或（舍），
综上所述，t的值为或．
【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，一次函数解析式，二次函数的综合应用，一元二次方程根的判别式．熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
变式1．中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个．
(1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
(2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元
(2)当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，
（1）设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，根据“用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个”列出分式方程求解即可；
（2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可；
解题的关键：（1）正确理解题意，列出方程；（2）正确列出函数关系式．
【详解】（1）解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
∴（元），
答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元；
（2）设售价定为元，利润为元，
依题意，得：，
∵
∴二次函数的图像开口向下，函数有最大值，
∴当时，有最大值，最大值为元，
答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元．
变式2．某文具店以每个30元的价格购进一批书包，如果以每个40元出售，那么一个月内能售出300个，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，设书包的销售单价提高元，销售量为个．
(1)求销售量与提高的单价之间的函数关系．
(2)文具店希望一个月内销售该种书包能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问书包的销售单价应提高多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，该文具店一个月内销售这种书包获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售单价应提高2元
(3)当销售单价定为50元时，利润最大，最大利润是4000元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）根据销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，列出函数关系式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可；
（3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可。
【详解】（1）解：由题意，得：；
（2）由题意，得：，
解得：，
∵尽可能减少库存，
∴；
答：销售单价应提高2元；
（3）设总利润为，则：，
∴当时，有最大值，为；
此时销售单价为：元；
答：当销售单价定为50元时，利润最大，最大利润是4000元．
变式3．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】
例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点．
（1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值；
（2）求二次函数图象的完美点；
【定义应用】
（3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式；
【定义应用】
（4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值．
【答案】（1）；
（2），，，；
（3）；
（4）或或．
【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解；
（2）联立方程组或即可求解；
（3）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可；
（4）根据题意，分类讨论：
第一种情况，设这个完美点是二次函数与的交点；
第二种情况，设这个完美点是二次函数与直线的交点；联立方程组即可求解．
【详解】（1）解点是一次函数第四象限图象的完美点，
，
解得：，
点的坐标为，
代入，
可得，；
（2）解：完美点是函数图象上到两坐标轴的距离相等的点，
即完美点在直线或直线上，
或
解得：，或，，
二次函数图象的完美点分别是：，，，；
（3）解：二次函数的图象上有且只有一个完美点，
在直线上，
有且只有一个完美点，
，
把点代入，
得，
解得：，，
；
（4）或或；
解二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，
即完美点在直线或直线上，
或
当时，
即，
整理得，有实数根，
，
，
，
，
当时，，
将代入，
解得，，
当时，，
将代入，
解得，（舍去），，
，
或；
当时，
即，
整理得，有实数根，
，
，
，
，
当时，，
将代入，
解得，，
当时，，
将代入，
解得，（舍去），，
，
，
综上所述，或或；
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，二元一次方程组的计算，理解题目中完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键．
变式4．定义：如果实数，满足，，且，为常数，那么称点为“改革创新点”，例如点是“改革创新点”．
(1)，，三个点中，点 是“改革创新点”；
(2)设函数，的图象的“改革创新点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；
(3)若点是“改革创新点”，用含的表达式表示，并求二次函数的函数值的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）依据题意，根据“改革创新点”的意义，分别进行判断可以得解；
（2）依据题意，由，，且，从而可得，从而可得“改革创新点”在直线上．故、分别为与函数及的交点，可得、的坐标，再过点作直线于，故，从而，故，则，进而计算可以得解；
（3）依据题意可得，从而，可得，故，又，从而，从而，又，从而，最后可得，结合二次函数的性质即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，对于，
∵，，，
∴不是“改革创新点”；
对于，
∵，，，
∴不是“改革创新点”；
对于，
∵，，，
∴是“改革创新点”，
故答案为：；
（2）若点为“改革创新点”，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴“改革创新点”在直线上，
∴、分别为与函数及的交点，
联列方程组，
解得：或
∵，
∴，
又联列方程组，
解得：，
∴，
过点作直线于，
∴（∵，∴）
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或b＝﹣8（负值不符合题意，舍去），
此时，
∴点在y轴上．
∴C与O重合，M在y轴上．
∴；
（3）∵点是“改革创新点”，
由（2）知：，即，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，，．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，二次函数的应用，“改革创新点”的意义，反比例函数与一次函数的交点，一次函数与一次函数的交点，通过对完全平方公式变形求值，三角形的面积等知识点．正确理解“改革创新点”的意义是解题的关键．
变式5．如图，在同一平面上，两块全等直角三角板和拼在一起，使斜边完全重合，且顶点B，D分别在的两旁，，，，点M，N分别从A点，C点同时分别以每秒，的速度出发向点D，点B运动，设点的运动时间为秒，当其中一个动点到达终点时，另一个点也停止运动．
(1)当t为何值时？
(2)取中点，连接，，设的面积为，试求出y与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得的面积与面积的一半？
(4)是否存在某一时刻t，使得分线段为？
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
(4)存在，
【分析】（1）根据题意得，，则，当时，过点作，则四边形是平行四边形，可知，，再解直角三角形即可求解；
（2）作交的延长线于，连接，解直角三角形求得，，再根据即可求解；
（3）当时，列出方程即可求解；
（4）过点作，交于，作，交于，解直角三角形表示出、，再证，利用相似三角形的判定及性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，，则，
由题意可得：，，则，
当时，过点作，则四边形是平行四边形，
∴，，
则，即：，
解得：，
即：当时，；
（2）作交的延长线于，连接，
∵，，，，
∴，，则，
∵点为的中点，
∴，
由（1）可知，，，则，，，
∴，，
∴
，
即：；
（3）存在，理由如下：
由题意得，
当时，即：，
解得：或，
即：当或时，使得的面积与面积的一半；
（4），
∵，
∴，，
过点作，交于，作，交于，
∴，
又∵，则
∴，则，
∴，，则，
∵，
∴，
∴，即：，解得：，
即：当时，使得分线段为．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形、三角形面积的计算、二次函数知识，需要通过作辅助线运用三角函数和二次函数才能得出结果．
变式6．如图，在中，．点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，作点P关于直线的对称点Q，连接，以为邻边作，设点P的运动时间为t（秒）．

(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)当点M落在边上时，求t的值；
(3)设与重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
(4)连接，当直线与的一条边平行时，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）设交于点，由垂直平分，得，，再解直角三角形即可；
（2）由平行四边形的性质得，由，得，则，所以；
（3）分两种情形：当时，重叠部分是五边形，当时，重叠部分是四边形．分别求解即可；
（4）分两种情况讨论，一是，二是，分别进行求解即可；
【详解】（1）解：设交于点，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，，
，，，，
，
，
，
，
线段的长为．
（2）如图1，点在上，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
解得，
，
解得．
（3）当 时，如图，重叠部分是五边形，过点作，

由（1）（2）可知：，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
；
当 时，如图，重叠部分是四边形．

由（1）知：，
∵，
∴，
；
综上所述：；
（4）如图2，，则，，
，
，
，
解得；
如图3，，则，
，，
，
，
，
，
解得，
综上所述，或．
【点睛】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、解直角三角形、二次函数与动点图形的应用，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
易错陷阱三：二次函数与几何结合
易错点10:二次函数与特殊三角形
1.利用二次函数的性质求解特殊三角形问题：如利用抛物线的对称性求解等腰三角形的顶点或底边长度等。
2.利用特殊三角形的性质求解二次函数问题：如利用等腰三角形的性质求解抛物线上的动点坐标，使得以该动点为顶点的三角形为等腰三角形。
易错提醒：（1）忽略二次函数的性质；（2）混淆特殊三角形的判定条件；（3）计算错误四、忽略题目中的隐含条件
易错点11:二次函数与特殊四边形
一、二次函数与平行四边形的结合
在二次函数的背景下，探讨平行四边形的存在性。这通常涉及到根据平行四边形的性质（如两组对边分别平行或相等）来设立方程，然后结合二次函数的解析式进行求解。例如，若已知抛物线上的三个点，需要找到第四个点使得这四个点构成的四边形为平行四边形，可以通过设立关于该点坐标的方程，并利用二次函数的性质进行求解。
二、二次函数与特殊平行四边形的结合
特殊平行四边形包括菱形、矩形和正方形。在二次函数的背景下，这些特殊四边形的判定通常依赖于它们的独特性质。例如，菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等，正方形的对角线既相等又互相垂直。结合这些性质和二次函数的解析式，可以设立方程来求解特殊平行四边形的存在性。
易错提醒：（1）对平行四边形性质的理解不全面；（2）对二次函数性质的应用不熟练；（3）分类讨论不全面。
易错点12:二次函数与面积、周长
一、二次函数的基本形式
在解决二次函数与面积、周长相关的问题时，首先需要熟悉二次函数的基本形式，包括一般式y=ax +bx+c，顶点式y=a(x-h) +k，以及交点式y=a(x-x )(x-x )。
二、利用二次函数求面积
在处理二次函数与面积的问题时，常常需要利用二次函数的图像和性质。例如，可以通过确定抛物线与坐标轴的交点，以及抛物线的顶点，来构建相关的几何图形，进而利用几何图形的面积公式求解。此外，割补法（如铅垂法）也是求解二次函数与面积问题的一种常用方法。
三、利用二次函数求周长
在求解二次函数与周长相关的问题时，通常需要将问题转化为求线段长度的问题。这可以通过利用平面直角坐标系中点的坐标的几何意义，以及二次函数的图像和性质来实现。
易错提醒：（1）忽略a≠0的条件；（2）混淆二次函数的开口方向和大小；（3）忽略顶点在求解面积和周长中的作用；（4）在求解面积和周长时忽略隐含条件。
易错点13:二次函数与等长、等角
二次函数本身并不直接涉及几何中的等长或等角概念。然而，在解决某些涉及几何背景的问题时（可能需要结合二次函数的性质和几何知识进行分析。
易错提醒：（1）忽略a≠0的条件；（2）对二次函数性质理解不透；（3）在求函数值取值范围或最值时忽略顶点；（4）平移规律理解不透或应用不当；（5）与x轴交点问题处理不当；（6）混淆不同二次函数表达式的应用场景。
易错点14:二次函数与定值、不变
二次函数中的定值问题
在二次函数中，定值问题通常涉及到函数值在特定条件下的不变性。例如，在抛物线的对称轴上，任意两点关于对称轴对称，其函数值相等，即为一个定值。
易错提醒：（1）忽略二次项系数a不为0的条件；（2）混淆顶点坐标的符号；（3）忽视数形结合思想的应用；（4）对定值问题的理解不透彻。
例10．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点，点是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在下方运动时，求面积的最大值；
(3)若点为直线上一点，作点关于轴的对称点连接当是直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)面积的最大值为
(3)当是直角三角形时，或
【分析】（1）先求出，两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式；
（2）过点P作轴交BC于点G，设，则)，表示长，进而表示面积求最大值；
（3）先求得，根据勾股定理分别表示出，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）对于直线，令则，
，
令则，
，
，
将点，坐标代入抛物线，得
，
，
抛物线的解析式为：；
（2）解：过点P作轴交于点G，
设，则)，
，
，
当时，的值最大，最大值为；
（3）解：对应，
当时，，解得：
∴，
∵是关于轴的对称点
∴，
如图所示，
设，
∵，，
∴，，
当时，
∴
解得：（舍去）或，则
当时，
∴
解得：，则
综上所述，当是直角三角形时，或．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理；三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想考虑问题．
例11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点
①连接，，当取最小值时，求b的值；
②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①联立两方程得到，然后设，，得到，然后求得点D的横坐标，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长，然后求出直线，即可求b值；
②分为点P在抛物线上和点Q在抛物线上两种情况，利用全等三角形，结合一次函数的解析式即可解题．
【详解】（1）∵，
∴，，.
设抛物线的表达式为.将代入，得.
∴抛物线的函数表达式为，即.
（2）①联立.整理，得.
设，.
由根与系数的关系，得.
∵点D是的中点，
∴点D的横坐标为.将代入，得.
∴点D在直线上运动，且.……
如图1，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长.
设直线的函数表达式为，
将，代入，得.解得.
∴直线的函数表达式为，
令，得.
∴.
将点代入，得.
②（ⅰ）当点P在抛物线上时，如图2，过点M作直线l平行于x轴，过点P，N分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H.
设点M，N，P的横坐标分别为m，n，p.
由①知，，
∴.
∴.
同理可得，即.
∴.
∵是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，.
∵直线MN的函数表达式为，
∴.
∴，即.
∴.
∴.
∴.
（ⅱ）当点Q在抛物线上时，如图3，过点N作直线l平行于y轴，过点Q，M分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H.
设点M，N，Q的横坐标分别为m，n，q.
由①知，，，
∴，.
∴，.
由（ⅰ）得，
∴，.
∵直线MN的函数表达式为，∴.∴，即.∴.
∴，.
∴.
综上所述，正方形有三个顶点在抛物线上时，正方形的面积为或.
【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键．
例12．抛物线过点，点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标；
(3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)或．
(3)有，P点的坐标为
【分析】（1）根据抛物线经过点，点，用待定系数法即可求解；
（2）分点M在第一象限和第四象限两种情况根据45度角的特征列方程求解即可．
（3）根据垂直及对顶角相等易证证明，可得的周长：的周长，求出直线的解析式，设，，的周长为z，表示出的长，利用的周长：的周长列出关于z的函数解析式，再运用二次函数最值求解即可．
【详解】（1）由题意得：，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴点．
（2）①当点在第一象限时，
设），
过点作轴，
∵，，
∴，
解方程得：或，
不合题意，舍去．
故 ，
∴；
当点在第四象限时，同理可得：
解方程得：或，
不合题意，舍去．
故，
∴
综上或．
（3）的周长有最大值．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴的周长：的周长，
∵，
∴，
∴的周长，
∵直线过和，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，的周长为z，
，
∴，
∴，
∵，
∴z有最大值，此时，
当时，，
故P点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，勾股定理，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
例13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，抛物线与轴交于点，交轴于、两点（在的左边），为抛物线第一象限上一动点．
(1)直接写出，两点坐标；
(2)连接，过作轴交于，当时，求点的横坐标；
(3)连接，平移至，使，对应，使，分别与，对应，且，均落在抛物线上，连接，判断并证明直线是否经过一个定点．
【答案】(1)，；
(2)点的横坐标是或；
(3)直线经过一个定点，理由见解析
【分析】（1）令可得点和两点的坐标；
（2）当时，，可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，设点的横坐标为，则点的坐标为，根据两点的距离公式和可得结论；
（3）设点的坐标为，点的坐标为，表示点的坐标并代入抛物线的解析式中，计算的解析式可得结论．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，，
，；
（2）解：如图：
当时，，
，
设直线的解析式为：，
，
∴，
解得：，
的解析式为：，
设点的横坐标为，则点的坐标为，
轴，
∴，
，
∴，
∴，
解得：（舍），，，
点的横坐标是或；
（3）解：直线经过一个定点，理由如下：
设点的坐标为，点的坐标为，
由平移得：，，
，
∴，
即点的坐标为，
点在抛物线上，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
，
得：，
，
∵，
∴，
把代入得：，
∴，
直线的解析式为：，
直线经过一个定点．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和平移的性质．
例14．如图1，抛物线与x轴交点为A，B（A在B左侧），与y轴交点为C，已知．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，D为抛物线顶点，E为射线上的动点，过点E作，交直线于点F，若面积为2，求点E坐标；
(3)如图3，点P是第一象限内抛物线上一动点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点Q，过点A作平行于y轴的直线l，点P，Q到直线l的垂线段分别为，，当点P在抛物线上运动时，的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)不变，1
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）由，可得，对称轴为直线，则，待定系数法求直线解析式为，同理可求，直线解析式为，如图1，连接，设，则直线解析式为，联立，，可求，则，计算求出满足要求的解，进而可得点坐标；
（3）如图2，过点C作轴交直线于点J， 则，由，可得，证明，则，设，，直线的解析式为；同理可求，直线的解析式为；时，可求，同理，，则，由，可得，则，然后作答即可．
【详解】（1）解：将点代入得，，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴，对称轴为直线，
∴，
设直线解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线解析式为，
同理可求，直线解析式为，
如图1，连接，
设，
∵，
∴直线解析式为，
联立，，
解得，，
∴，
∴，
当时，解得，；
当时，解得，或（舍去），
综上所述，或；
（3）解：如图2，过点C作轴交直线于点J，
当时，，
∴，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，，
又∵，
∴，
∴，
设，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
同理可求，直线的解析式为；
∵，
∴，
解得，
同理，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的值不变，值为1．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，二次函数与面积综合，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，二次函数与面积综合，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
变式1．抛物线经过两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)求证：为定值；
(3)在第四象限内是否存在一点，使得以为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）设点，，如图，过点作轴于点，则，则，，计算出的值即可求证；
（）①当是平行四边形的边时，确定以为顶点的平行四边形面积，当最大时，平行四边形的面积最大，计算可得的最大值为；②当是平行四边形的对角线时，证明该种情况，不符合题设要求，进而得到点的坐标，再利用中点坐标公式计算即可求出点坐标．
本题考查了二次函数的几何运用，三角函数，平行四边形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，点，，
将点的坐标代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
设直线解析式为，将点，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）证明：设点，，如图，过点作轴于点，
则，则，，，
∴，为定值；
（3）解：存在，理由如下：
①当是平行四边形的边时，
如下图，设直线交轴于点，交于点，
由直线的解析式知，，，
过点作于点，则，
则，
∴以为顶点的平行四边形面积，
∵为常数，
∴当最大时，平行四边形的面积最大，
设点，则点，
∴，
即的最大值为，此时点；
②当是平行四边形的对角线时，如下图，
同理可得，以为顶点的平行四边形面积，
此时，
∵当时，的值随最大而增大，而，
∴当时，最大值为，
故该种情况，不符合题设要求；
综上，点，即四边形为平行四边形时，面积最大，
设点，
由中点坐标公式得，，
解得，
∴点．
变式2．如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，作直线，点为抛物线的顶点
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点为直线下方抛物线上的动点，过点作于点，交直线于点，作于点求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点的对应点，新抛物线与轴交于点为新抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中确定点，使得以点为顶点的四边形是菱形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)的最大值为，时点的坐标为；
(3)或或或，见解析
【分析】（1）将，，代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，证明得出，设出P点的坐标，利用二次函数的性质求最值即可；
（3）先根据平移规律求出平移后的抛物线的解析式，以及点，的坐标，然后设出点的坐标，根据菱形的性质求出的坐标，即可得点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，，
∴
∴
∴抛物线的解析式为；
（2），
令，则，
令，则，
解得：
∴，
又
∴，
设，则，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴当取得最大值时，取得最大值，
设直线的解析式为：，
把，代入，得：
，
解得，，
∴直线的解析式为：；
设，则，
，
∴当时，的最大值为2，
的最大值为，此时点的坐标为；
（3）∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度，，，
∴抛物线向上平移单位，向右平移2单位，
∴新抛物线的解析式为，顶点为
当时，，则点的坐标为，
设，
，，，
①当时，，
解得，或（与点重合，故舍去）
此时，、为对角线，
，
∴，
解得：，
；
②当时，，
解得，，
此时，、为对角线，
，
∴，
解得：，
，
③当时，，
解得，或
此时，、为对角线，
或，
∴或
解得：，
或，
当、为对角线时，
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角形，平移的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．
变式3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点E为线段上一点，过点E作轴，交x轴于点M，连接，交轴于点，当平分时，求直线的解析式；
(3)如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D，E．若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，设出直线的解析式，求出点坐标，联立两个解析式求出点的横坐标，根据角平分线结合平行线的性质，推出，列出方程进行求解，即可；
（3）根据同高三角形的面积比等于底边比，推出，进而推出过点作轴，过点作轴，作，证明，推出同法（2）设出直线解析式，联立解析式求出两点的横坐标，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设所求抛物线解析式为，当时，，即：
∴，
解得，
故所求抛物线解析式为．
（2）∵，
当时，有，
解得，
，
由（1）可知：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得
直线的解析式为，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
联立得，，
平分，
，
又轴，
，
∴，
过点作轴，则：，
∵，
，
，
解得，
直线的解析式为．
（3），，，为同高三角形，
，
∴，
过点作轴，过点作轴，作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同（2）设直线的解析式，
由得，，
由得，，
，即，
，解得或（舍），
，
当时，，
．
变式4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点是抛物线上对称轴左侧的动点，点的横坐标为，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，点在轴上，连接且，求线段的长；
(3)连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，在点运动过程中，当与的面积之和为，且点与点分别位于轴两侧时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标为，由旋转可得，，过点作轴于点，设交轴于点，证明，得到，，进而求出，在中，根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质即可求解；
（3）由题意得：，求出抛物线的对称轴为直线，由点与点关于直线对称，得到，分两种情况讨论：当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于；当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于；根据全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点和点，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为；
（2）当时，即点的横坐标为，
当时，，
，
将线段绕点顺时针旋转得线段，
则，，
如图，过点作轴于点，设交轴于点，
则，
轴，
，
，，
，
，
，，
，
在中，，
，轴轴，即，且和均为锐角，
，
，
，
；
（3）由题意得：，
，
抛物线的对称轴为直线，
点与点关于直线对称，
，
当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，如图2，
则，，，
由旋转得：，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
解得：；
当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，如图3，
则，，，
由旋转得：，，，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
解得：；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题是二次函数的综合，涉及二次函数的图像与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线．
变式5．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值；
(3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值；
（3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），
，，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
直线的解析式为，
如图，过点作轴于点，交直线于点，
点的横坐标为，
，
，
，
，
当时，的最大值为；
（3）解：存在，
当点在点左侧时，是钝角，
当点在点，点之间时，点与点关于直线对称，
点的坐标为，
当点在点右侧时，
如图，过点作直线，
令，则，
解得或，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
点在点右侧，
点的横坐标大于，
舍去，
，
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键．
变式6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，交轴于点．直线经过于点、交轴于点，．
(1)求拋物线的解析式；
(2)点在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，的面积等于，求点的坐标；
(3)在（）的条件下，连接，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交线段于点，过点作的垂线交于点，交线段于点，连接，，当时，求点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线解析式得出，，即可求出，把、坐标代入，解方程组求出、的值即可得答案；
（2）设，与轴相交于点，利用待定系数法用表示出直线的解析式，即可表示出点坐标，表示出，根据的面积等于，利用三角形面积公式列方程求解即可得答案；
（3）过点作轴于，过点作轴于，于，根据两点间距离公式可得出是等腰直角三角形，，设，则，根据直角三角形两锐角互余的性质及外角性质可得，，利用平行线的性质及正切的定义得出，，设，，则，，可得，，，根据，得出，根据，得出，即可求出、的值，得出点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，联立直线与抛物线解析式即可得答案．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴，
∴拋物线的解析式为．
（2）解：设，与轴相交于点，
把代入得，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴
，
∵的面积等于，
∴，
整理得，，
解得，，
∵点在第二象限，
∴，
∴不合，舍去，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点作轴于，过点作轴于，于，
由（2）可知，，
∴轴，，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
设，，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式得，
解得：，或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质，解一元二次方程、锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
变式7．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当轴时，求的面积；
(3)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值；
当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)的面积为；
(3)的取值范围为，这个定值为；的取值范围为或．
【分析】（）利用待定系数法可得该抛物线的解析式；
（）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论；
（）根据图象可得当抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为时，点的位置，从而确定的取值范围；
分三种情况讨论满足时，的取值范围；
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）把点、代入抛物线得：
，
解得：
∴该抛物线的解析式为；
（2）由（）得：，
∴点为，
当轴时，点与点关于对称轴对称，
∴点，
∴，点到的距离为，
∴，
∴的面积为；
（3）设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示，
∴点与点关于直线对称，
∴点为，
当点在点和点之间时，点与点之间 （包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值，
∴此时的取值范围为；
过点作轴交抛物线于点，此时点与点关于对称轴对称，
∴，如图所示：
当点在点和点之间时，即时，，，
∵，
∴，
解得：（不合题意），
当点在点和点之间时，即时，，，
∴，符合题意，
∴，
当点在点下方时，即时，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：或或，
∵，
∴，
综上所述，的取值范围为或．
变式8．如图1，已知二次函数 (a、b、c为常数，且a≠0)的图象，与x轴交于，，两点，与y轴交于点，已知点 P为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为m．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，过点作轴于点，交于点，直线交轴于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求的最大值；
(3)如图2，若直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点，直线，分别交直线于点、．在点运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)的最大值为；
(3)为定值，定值为8．
【分析】（1）由题意设，把点代入得到；
（2）根据题意得到，利用待定系数法求得直线和的解析式；得到，求得，推出，得到四边形是矩形，根据矩形的面积公式得到关于的函数关系式，然后根据二次函数的性质得到结论；
（3）求得抛物线的对称轴为，待定系数法得到直线的解析式为，求得，，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象与x轴交于，，
∴设，
把点代入得，，
，
二次函数的表达式为，
即；
（2）解：点为该抛物线在第一象限内的一点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的函数表达式为；
，，
直线的解析式为；
轴于点，交于点，
，
在中，当时，，
，
，
轴，
∴，
四边形是矩形，
；
即关于的函数关系式为；
，
的最大值为；
（3）解：为定值，
抛物线的对称轴为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，，
，
故为定值，定值为8．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式是解题的关键．
变式9．年，第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行（简称“珠海航展”），某网络经销商购进了一批以这次博览会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式．
(2)设每月获得的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)销售单价定为元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大，最大利润为元
【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式．
（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润单件利润销量列出函数解析式，由二次函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：，
将，代入得：
，
解得，
每月的销售量件与销售单价元之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得：
，
，
当时，有最大值，最大值为．
答：销售单价定为元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大，最大利润为元．
变式10．若直线与函数的图象存在至少一个交点，则称该函数是直线的“关联函数”，它们的交点叫做“关联点”．已知点的坐标为．
(1)若直线为：，它的“关联函数”的图象也是一条直线：，求“关联点”点的坐标；
(2)若直线，它的“关联函数”为：，且“关联点”只有一个恰好是点，求和的值；
(3)若抛物线，满足：对于抛物线上的任意两点，，当时，始终成立．且抛物线是直线的“关联函数”，“关联点”也是点和另一点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求的值．
【答案】(1)；
(2)，或，；
(3)．
【分析】（）联立，然后解出方程的解即可；
（）联立联立，得，然后分当时和当时两种情况，求出的值即可；
（）由时，始终成立，则抛物线的对称轴为直线，即，由关联点的坐标为，则抛物线解析式为，直线解析式为，联立，求出点的坐标为，设圆的半径为，又圆恰好与轴相切，则，然后求出的值即可．
【详解】（1）解：联立，
解得:，
∴；
（2）∵直线的“关联函数”为且“关联点”只有一个恰好是点，
∴，
∴，，
联立，
得，
当时，
∴，
当时，
∴，
∴；
∴，
综上可知：，或，；
（3）解：∵当时，始终成立，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵关联点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，
整理得，
∵，
∴解得：，，
∴点的坐标为，
设圆的半径为，
∵以为直径的圆，点的坐标为，
∴，圆心坐标为，
∵圆恰好与轴相切，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义下的二次函数的综合运用，理解新定义，切线的性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
1．小轩在画二次函数的图象时列表如下：
… 0 2 4 …
… 12 0 5 …
则下列关于这个函数的结论错误的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．在函数图象上有两点，，则
C．该函数图象经过点
D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是根据表格信息求出二次函数解析式，再根据二次函数解析式判定即可．
【详解】解：把、、代入得，
，解得，
抛物线解析式为，
∵，
∴该函数图象开口向上，A正确，不符合题意；
抛物线经过、，抛物线的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当这两点，在对称轴左侧时，，在对称轴右侧时，，
B不正确，符合题意；
把代入，左右两个相等，C正确，不符合题意；
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而增大，
D正确，不符合题意；
故选：D．
2．把抛物线的图象向右平移3个单位所得的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数图象的平移．根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答即可．
【详解】解：把抛物线的图象向右平移3个单位所得的解析式为，
故选：C．
3．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为
C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，进而得到当时，y随x增大而减小，由此即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，最小值为，
∴A选项错误，符合题意；
当时，，则图象与y轴的交点坐标为，故B选项正确；
∴当时，y随x增大而减小，故C选项正确；
∵对称轴为轴，故D选项正确．
故选：A．
4．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：
①；②；③；
④若，为方程的两个根，则；
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由图象函数与轴有两个交点，即；由图象得，，由对称轴得，，，则；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是；结合，为方程的两个根，且抛物线的对称轴为，得出，即．本题考查二次函数图象性质，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．
【详解】解：由图象函数与轴有两个交点，
即；
故①错误的；
由图象函数的开口向下，得，与y轴交于正半轴，，
对称轴，，
则，
∴，
故②正确；
抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时，
∴，得，
故③正确；
由，，知，
∵，为方程的两个根，且抛物线的对称轴为，
∴得出，
即．
故④正确；
故选：C
5．如图，抛物线的顶点为对称轴为直线．点的坐标为，是抛物线上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点落在直线上时，点的坐标为 ．

【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，解一元二次方程，先求出抛物线解析式为，设，过点作于点，过点作交的延长线于点，证明，然后根据性质和解一元二次方程即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解析 ∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∵是抛物线上一点，
∴设，
如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，解得，，
∴点的里沶为或，
故答案：或．
6．将抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减．
先根据二次函数图象的平移规律求出平移后的抛物线解析式，然后由的图象与性质即可得出其顶点坐标．
【详解】解：将抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的解析式为：
，
其顶点坐标为，
故答案为：．
7．抛物线的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 ．
【详解】解：由抛物线可知，
∴当时，有最大值，
故答案为：．
8．如图，已知矩形，，，点为边上一点，连接，以为一边在与点的同侧作正方形，连接．当点在边上运动时，的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点作于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，利用矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，，设，则，，利用勾股定理，配方法以及非负数的意义解答即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵四边形为正方易错点04 二次函数
易错陷阱一：二次函数的图象与性质
易错点1:二次函数图象与各项系数关系
1.系数a：决定抛物线的开口方向及大小。当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。绝对值lal越大，抛物线越窄；绝对值lal越小，抛物线越宽。
2.系数b：与a共同决定抛物线对称轴的位置。当b等于0时，对称轴为y轴；当b不等于0时，若b与a同号，对称轴在y轴左侧；若b与a异号，对称轴在y轴右侧。对称轴的x坐标为-b/2a。
3.系数c：决定抛物线与y轴交点的位置。当c等于0时，抛物线过原点；当c大于0时，抛物线与y轴交于正半轴；当c小于0时，抛物线与y轴交于负半轴。
4.判别式b2-4ac：决定抛物线与x轴交点的个数。当b2-4ac等于0时，与x轴有唯一交点；当b2-4ac大于0时，与x轴有两个交点；当b2-4ac小于0时，与x轴没有交点。
易错提醒：（1）忽略a不等于0的条件：在二次函数中，二次项系数a不能为0，这是定义二次函数的基础；
（2）对a的多个意义理解不清：a不仅决定抛物线的开口方向，还与b共同决定对称轴的位置，以及影响抛物线的宽窄；（3）平移规律理解不透：平移抛物线时，形状和开口方向不变，只是位置改变。平移后的抛物线可以通过原抛物线的系数经过数学变换得到；（4）求函数值取值范围时忽略顶点：顶点坐标是二次函数的一个重要性质，它决定了函数的最大值或最小值，也是求解函数值取值范围的关键；（5）与x轴交点问题需分类讨论：根据判别式b2-4ac的值，抛物线与x轴的交点个数可能不同，需要分类讨论。
易错点2:二次函数与x、y轴交点
一、与y轴的交点
二次函数一般式为y=ax +bx+c，与y轴的交点即为x=0时的y值，因此交点坐标为(0,c)。
二、与x轴的交点
二次函数与x轴的交点即为一元二次方程ax +bx+c=0的根。根据判别式Δ=b -4ac的值，可以确定交点个数：
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个交点。
Δ=0时，方程有两个相等的实数根，即抛物线与x轴有一个交点，或称为相切。
Δ<0时，方程无实数根，即抛物线与x轴无交点，或称为相离。
三、求交点的方法
令y=0，解方程ax +bx+c=0，得到x的值，即为与x轴的交点横坐标。
将x=0代入函数式，得到y的值，即为与y轴的交点纵坐标。
易错提醒：（1）忽略a、b、c的取值对交点的影响；（2）未正确理解判别式的意义；（3）在求解交点时忽略分类讨论；（4）对平移规律理解不透或应用错误.
易错点3:二次函数的平移
二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规律。
1.上加下减常数项：当常数项c大于0时，图像向上平移c个单位；当c小于0时，图像向下平移c个单位。
2.左加右减自变量：图像向左或向右平移时，调整的是自变量x。向左平移时，将原式中的每个x替换为(x+a)，向右平移时，将每个x替换为(x-a)。
3.顶点式y=a(x-h) +k可以直接看出平移轨迹，(h,k)对应原顶点(h0,k0)的平移量h=h0±a（x轴平移），k=k0±b（y轴平移）。
易错提醒：（1）对平移规律理解不透：未能准确掌握“左加右减，上加下减”的规律，导致在平移图像时出错；（2）平移规律的灵活应用：在解决实际问题时，不能灵活运用平移规律，导致解题错误；（3）自变量在一定取值范围下的最值问题：在平移后，未能根据新的函数表达式正确求出自变量在一定取值范围下的最值；（4）二次函数性质理解不透：对二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等性质理解不透彻，导致在平移过程中出错。
易错点4:y=ax +bx+c的图象与性质
1 二次函数定义：形如y=ax +bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数。其中a、b、c是常数，x是变量。
2 二次函数图象：二次函数的图象是抛物线，它根据a、b、c的取值有不同的形态。
3 开口方向与顶点坐标：抛物线的开口方向由a决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。顶点坐标为(-b/2a, c-b /4a)，这也是抛物线的最值点。
4 对称轴：抛物线的对称轴为直线x=-b/2a。
5 增减性：根据x的取值范围，可判断y的增减性。例如，当a>0时，若x≤-b/2a，则y随x增大而减小；若x≥-b/2a，则y随x增大而增大。反之，当a<0时，增减性相反。
6 与坐标轴的交点：抛物线与x轴的交点即为一元二次方程ax +bx+c=0的根；抛物线与y轴的交点为(0,c)。
7 二次函数的表达式转化：二次函数一般式y=ax +bx+c可以转化为顶点式y=a(x-h) +k和交点式，便于分析和解决问题。
易错提醒：（1）混淆开口方向与a的符号关系：需明确a>0时开口向上，a<0时开口向下；（2）顶点坐标计算错误：顶点坐标的计算公式为(-b/2a, c-b /4a)，需准确代入a、b、c的值进行计算。（3）忽视抛物线的对称性：在分析和解决问题时，需充分利用抛物线的对称性。（4）平移变换中的错误：在进行平移变换时，需正确转化函数表达式，遵循“左加右减（x），上加下减（整体）”的原则。（5）误解抛物线与坐标轴交点的意义：抛物线与x轴的交点表示函数值为零的点，与y轴的交点表示x=0时的函数值。
易错点5:二次函数的最值
1 二次函数的标准形式：y=ax2+bx+c（a≠0）。
2 二次函数图像的开口方向：当a>0时，图像开口向上，有最低点，即最小值；当a<0时，图像开口向下，有最高点，即最大值。
3 二次函数图像的对称轴：直线x=-b/2a，或若函数为顶点式y=a(x+m)2+k，则对称轴为直线x=-m。
4 二次函数的顶点坐标：(-b/2a，c-b2/4a)，或若函数为顶点式y=a(x+m)2+k，则顶点坐标为(-m，k)。
5 二次函数的最值：对于开口向上的抛物线，顶点处取得最小值；对于开口向下的抛物线，顶点处取得最大值。若二次函数的定义域有限制，则需比较端点和顶点的函数值来确定最值。
易错提醒：（1）忽视二次函数的定义域限制导致最值求解错误。在求解最值时，需结合定义域和顶点坐标综合考虑；（2）混淆左右平移和上下平移对h和k的影响。例如，将y=x2的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的函数是y=(x+2)2+3；（3）误解横纵坐标伸缩的比例关系。若原函数为y=ax2，则当系数变为ka时（k为正数），图像在纵轴上拉伸k倍；若自变量变为mx（m为非零常数），则图像在横轴上压缩或拉伸至原来的1/|m|倍；（4）仅凭开口方向判断单调区间，未考虑对称轴位置。需根据开口方向和对称轴位置综合判断。当a>0时，在对称轴左侧递减，右侧递增；当a<0时，在对称轴左侧递增，右侧递减；（5）无法准确地将一般式转化为顶点式或完全平方形式。应多进行配方法的练习，熟悉转化过程。
易错点6:待定系数法求二次函数的解析式
待定系数法是求解二次函数解析式的重要方法之一。其基本原理是将二次函数通过配方等方式转化为已知形式，并设定待定系数，然后利用已知条件列出方程求解这些待定系数。二次函数解析式常见的形式包括一般式y=ax +bx+c（a≠0）、顶点式y=a(x-h) +k（a≠0）和交点式y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），其中x1,x2分别为两个交点的横坐标。根据题目给出的条件，可以选择合适的形式设立方程，如已知任意三点坐标可用一般式，已知顶点和一个点可用顶点式，已知两个交点和另一个点可用交点式。
待定系数法的应用步骤一般包括：
一、将二次函数转化为已知形式，并写出转化后的方程。
二、根据题目条件，选择合适的待定系数。
三、代入已知条件，列出方程并求解待定系数。
四、得出二次函数的解析式。
易错提醒：（1）在选择待定系数法时，首先要考虑题目是否适合使用该方法；（2）在设立方程时，要确保方程的数量与待定系数的数量相匹配。如果方程数量不足，则无法唯一确定待定系数的值；如果方程数量过多，则需要检查方程之间是否存在矛盾；（3）在求解待定系数时，要注意计算过程的准确性。错误的计算步骤或结果可能导致得出的二次函数解析式不正确；（4）在解题过程中，要关注待定系数的实际意义；（5）对于含有参数的二次函数解析式，要认真分析参数的作用，并根据参数的特点选择合适的方法进行求解；（6）在综合题中，对于探究性问题的答案要考虑全面。
例1．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x 轴的一个交点的坐标为．有下列结论：①；②；③；④ 关于x 的一元二次方程无实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
例2．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
… …
… …
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3．将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例4．已知二次函数的与的部分对应值如表：
x 0 2
y 5 0
下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线；当时，；抛物线与轴的两个交点间的距离是；若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
例5．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（ ）
A． B．1 C． 1 D．
例6.如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为P，求的面积；
(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个．
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是抛物线上两点，且，，则． 其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式3．抛物线与轴的交点是 ．
变式4．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
(1)如图1，若A点横坐标为1，点在抛物线M上，求t的值；
(2)如图2，若，直线，求b变化时点A到直线l的距离最小值；
(3)若，当时，求a的取值范围．
变式5．已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ．
变式6．如图1，抛物线经过点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于另一个点，点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，．当的面积最大时，求的坐标以及的面积的最大值；
(3)如图3，将点D向左平移1个单位长度得到点N.将抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点N，射线与新抛物线交于点R，连接，在新抛物线的对称轴上是否存在点H，使？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
变式7．已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么 ．（填“”、“”或“”）
变式8．在平面直角坐标系中，已知二次函数(b，c是常数)．
(1)当时，
①该函数图象的顶点坐标是；
②若，则y的取值范围是
(2)当该函数的图象经过点时，设该二次函数图象的顶点坐标是，求n关于m的函数表达式
(3)若当时，y的最大值为3；当时，y的最大值为4．求二次函数的表达式．
变式9．设 ，且，则的最小值是 ．
变式10．如图，一条抛物线和直线l交于点O、B，其中O是平面直角坐标系的原点，B点坐标是，在抛物线上．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)在直线l下方的抛物线上有一点P，当的面积取得最大值时，求此时P点的坐标．
变式11．已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
变式12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴和轴分别交于点和点，点是此抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点在轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出的取值范围．
(3)过点作轴，点的横坐标为，点与点不重合．
①当线段的长度随的增大而减小，求的取值范围．
②在的下方作等腰直角三角形，且，当时，直接写出等腰直角三角形与抛物线的交点个数及的取值范围．
易错陷阱二：二次函数与实际应用
易错点7:图形运动问题
一、二次函数与图形运动的基本概念
在二次函数的应用中，图形运动问题是一个重要的考察点。这类问题通常涉及到动点在二次函数图像上的运动，以及由此产生的各种几何关系和函数关系。解决这类问题的关键在于理解二次函数的图像和性质，以及动点运动对函数关系的影响。
二、建立函数关系式
在图形运动问题中，首先需要根据题意建立动点的运动轨迹与二次函数之间的关系式。这通常涉及到根据动点的运动速度和方向，以及二次函数的图像和性质，来确定动点的坐标与时间之间的关系。
三、求解自变量取值范围
在确定了函数关系式后，需要求解自变量的取值范围。这通常涉及到根据题意和动点的运动轨迹，来确定动点可能到达的位置和时间范围。
四、应用几何知识和代数方法求解问题
在图形运动问题中，经常需要应用几何知识和代数方法来求解问题。例如，可能需要计算动点与其他点的距离、角度或面积等几何量，或者需要解方程、不等式等代数问题。
易错提醒：（1）忽视动点的运动轨迹和速度方向；（2）自变量取值范围判断错误；（3）几何知识和代数方法应用不当
易错点8:销售问题
销售问题中，二次函数的应用主要体现在求解最大利润上。通常，销售单价和销售量之间存在一次函数关系，而利润则是销售单价、销售量和成本之间的函数。解决这类问题，一般需要先根据题意建立销售量与销售单价之间的一次函数关系，再利用总利润等于单件利润乘以销售数量的公式，建立利润与销售单价之间的二次函数关系。最后，通过求解这个二次函数的最大值，得到最大利润及对应的销售单价。
具体步骤如下：
1.设定变量：设定销售单价为x，销售量为y，利润为w。
2.建立关系式：根据题意，销售量y通常是销售单价x的一次函数，如y=ax+b。然后，根据总利润=单件利润×销售数量的公式，建立利润w与销售单价x的二次函数关系，如w=(x-成本价)×y。
3.求解最大值：将二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质，当a<0时，函数在对称轴左侧是增函数，在对称轴右侧是减函数，因此最大值出现在对称轴上，即x=-b/2a处。但需要注意，x的取值范围可能受到限制，如物价部门的定价限制，或市场需求导致的销售量限制，因此最大值可能出现在对称轴上，也可能出现在取值范围的端点上。
易错提醒：（1）忽视自变量取值范围：在求解最大利润时，容易忽视销售单价的取值范围，导致求出的最大值不符合实际情况；（2）错误建立关系式：在建立销售量与销售单价的关系式，或利润与销售单价的关系式时，容易忽视题目中的关键信息，导致关系式建立错误；（3）计算错误：在求解二次函数的最大值时，容易在计算过程中出现错误，如求对称轴时计算错误，或代入求解时计算错误。
易错点9:新定义问题
新定义问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。在二次函数的新定义问题中，通常会结合二次函数的图像与性质，考察学生对新定义的理解以及灵活运用二次函数知识的能力。解决这类问题，需要掌握二次函数的基本性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等，并能够根据新定义进行正确的运算和推理。
易错提醒：（1）对新定义理解不透；（2）忽略二次函数的基本性质；（3）未能准确建立数学模型；（4）未考虑自变量的取值范围。
例7．如图，在中，，．动点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作于点．以为边向右作正方形，正方形与重叠部分图形的面积为．设动点的运动时间为．
(1)当点在上时，的长为______（用含的代数式表示）；
(2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当所在的直线将的面积分为的两部分时，直接写出的取值范围．
例8．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
例9．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点（）是函数图象的“1阶方点”．
(1)在①；②；③三点中，是正比例函数图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
(2)若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点，则点称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当时，q的最小值为t，求t的值．
变式1．中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个．
(1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
(2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
变式2．某文具店以每个30元的价格购进一批书包，如果以每个40元出售，那么一个月内能售出300个，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，设书包的销售单价提高元，销售量为个．
(1)求销售量与提高的单价之间的函数关系．
(2)文具店希望一个月内销售该种书包能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问书包的销售单价应提高多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，该文具店一个月内销售这种书包获得的利润最大？最大利润是多少元？
变式3．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】
例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点．
（1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值；
（2）求二次函数图象的完美点；
【定义应用】
（3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式；
【定义应用】
（4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值．
变式4．定义：如果实数，满足，，且，为常数，那么称点为“改革创新点”，例如点是“改革创新点”．
(1)，，三个点中，点 是“改革创新点”；
(2)设函数，的图象的“改革创新点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；
(3)若点是“改革创新点”，用含的表达式表示，并求二次函数的函数值的取值范围．
变式5．如图，在同一平面上，两块全等直角三角板和拼在一起，使斜边完全重合，且顶点B，D分别在的两旁，，，，点M，N分别从A点，C点同时分别以每秒，的速度出发向点D，点B运动，设点的运动时间为秒，当其中一个动点到达终点时，另一个点也停止运动．
(1)当t为何值时？
(2)取中点，连接，，设的面积为，试求出y与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得的面积与面积的一半？
(4)是否存在某一时刻t，使得分线段为？
变式6．如图，在中，．点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，作点P关于直线的对称点Q，连接，以为邻边作，设点P的运动时间为t（秒）．

(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)当点M落在边上时，求t的值；
(3)设与重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
(4)连接，当直线与的一条边平行时，直接写出t的值．
易错陷阱三：二次函数与几何结合
易错点10:二次函数与特殊三角形
1.利用二次函数的性质求解特殊三角形问题：如利用抛物线的对称性求解等腰三角形的顶点或底边长度等。
2.利用特殊三角形的性质求解二次函数问题：如利用等腰三角形的性质求解抛物线上的动点坐标，使得以该动点为顶点的三角形为等腰三角形。
易错提醒：（1）忽略二次函数的性质；（2）混淆特殊三角形的判定条件；（3）计算错误四、忽略题目中的隐含条件
易错点11:二次函数与特殊四边形
一、二次函数与平行四边形的结合
在二次函数的背景下，探讨平行四边形的存在性。这通常涉及到根据平行四边形的性质（如两组对边分别平行或相等）来设立方程，然后结合二次函数的解析式进行求解。例如，若已知抛物线上的三个点，需要找到第四个点使得这四个点构成的四边形为平行四边形，可以通过设立关于该点坐标的方程，并利用二次函数的性质进行求解。
二、二次函数与特殊平行四边形的结合
特殊平行四边形包括菱形、矩形和正方形。在二次函数的背景下，这些特殊四边形的判定通常依赖于它们的独特性质。例如，菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等，正方形的对角线既相等又互相垂直。结合这些性质和二次函数的解析式，可以设立方程来求解特殊平行四边形的存在性。
易错提醒：（1）对平行四边形性质的理解不全面；（2）对二次函数性质的应用不熟练；（3）分类讨论不全面。
易错点12:二次函数与面积、周长
一、二次函数的基本形式
在解决二次函数与面积、周长相关的问题时，首先需要熟悉二次函数的基本形式，包括一般式y=ax +bx+c，顶点式y=a(x-h) +k，以及交点式y=a(x-x )(x-x )。
二、利用二次函数求面积
在处理二次函数与面积的问题时，常常需要利用二次函数的图像和性质。例如，可以通过确定抛物线与坐标轴的交点，以及抛物线的顶点，来构建相关的几何图形，进而利用几何图形的面积公式求解。此外，割补法（如铅垂法）也是求解二次函数与面积问题的一种常用方法。
三、利用二次函数求周长
在求解二次函数与周长相关的问题时，通常需要将问题转化为求线段长度的问题。这可以通过利用平面直角坐标系中点的坐标的几何意义，以及二次函数的图像和性质来实现。
易错提醒：（1）忽略a≠0的条件；（2）混淆二次函数的开口方向和大小；（3）忽略顶点在求解面积和周长中的作用；（4）在求解面积和周长时忽略隐含条件。
易错点13:二次函数与等长、等角
二次函数本身并不直接涉及几何中的等长或等角概念。然而，在解决某些涉及几何背景的问题时（可能需要结合二次函数的性质和几何知识进行分析。
易错提醒：（1）忽略a≠0的条件；（2）对二次函数性质理解不透；（3）在求函数值取值范围或最值时忽略顶点；（4）平移规律理解不透或应用不当；（5）与x轴交点问题处理不当；（6）混淆不同二次函数表达式的应用场景。
易错点14:二次函数与定值、不变
二次函数中的定值问题
在二次函数中，定值问题通常涉及到函数值在特定条件下的不变性。例如，在抛物线的对称轴上，任意两点关于对称轴对称，其函数值相等，即为一个定值。
易错提醒：（1）忽略二次项系数a不为0的条件；（2）混淆顶点坐标的符号；（3）忽视数形结合思想的应用；（4）对定值问题的理解不透彻。
例10．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点，点是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在下方运动时，求面积的最大值；
(3)若点为直线上一点，作点关于轴的对称点连接当是直角三角形时，直接写出点的坐标．
例11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点
①连接，，当取最小值时，求b的值；
②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积．
例12．抛物线过点，点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标；
(3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．
例13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，抛物线与轴交于点，交轴于、两点（在的左边），为抛物线第一象限上一动点．
(1)直接写出，两点坐标；
(2)连接，过作轴交于，当时，求点的横坐标；
(3)连接，平移至，使，对应，使，分别与，对应，且，均落在抛物线上，连接，判断并证明直线是否经过一个定点．
例14．如图1，抛物线与x轴交点为A，B（A在B左侧），与y轴交点为C，已知．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，D为抛物线顶点，E为射线上的动点，过点E作，交直线于点F，若面积为2，求点E坐标；
(3)如图3，点P是第一象限内抛物线上一动点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点Q，过点A作平行于y轴的直线l，点P，Q到直线l的垂线段分别为，，当点P在抛物线上运动时，的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，说明理由．
变式1．抛物线经过两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)求证：为定值；
(3)在第四象限内是否存在一点，使得以为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
变式2．如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，作直线，点为抛物线的顶点
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点为直线下方抛物线上的动点，过点作于点，交直线于点，作于点求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点的对应点，新抛物线与轴交于点为新抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中确定点，使得以点为顶点的四边形是菱形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
变式3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点E为线段上一点，过点E作轴，交x轴于点M，连接，交轴于点，当平分时，求直线的解析式；
(3)如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D，E．若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标．
变式4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点是抛物线上对称轴左侧的动点，点的横坐标为，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，点在轴上，连接且，求线段的长；
(3)连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，在点运动过程中，当与的面积之和为，且点与点分别位于轴两侧时，请直接写出的值．
变式5．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值；
(3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，交轴于点．直线经过于点、交轴于点，．
(1)求拋物线的解析式；
(2)点在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，的面积等于，求点的坐标；
(3)在（）的条件下，连接，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交线段于点，过点作的垂线交于点，交线段于点，连接，，当时，求点坐标．
变式7．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当轴时，求的面积；
(3)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值；
当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围．
变式8．如图1，已知二次函数 (a、b、c为常数，且a≠0)的图象，与x轴交于，，两点，与y轴交于点，已知点 P为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为m．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，过点作轴于点，交于点，直线交轴于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求的最大值；
(3)如图2，若直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点，直线，分别交直线于点、．在点运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
变式9．年，第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行（简称“珠海航展”），某网络经销商购进了一批以这次博览会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式．
(2)设每月获得的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？并求出最大利润．
变式10．若直线与函数的图象存在至少一个交点，则称该函数是直线的“关联函数”，它们的交点叫做“关联点”．已知点的坐标为．
(1)若直线为：，它的“关联函数”的图象也是一条直线：，求“关联点”点的坐标；
(2)若直线，它的“关联函数”为：，且“关联点”只有一个恰好是点，求和的值；
(3)若抛物线，满足：对于抛物线上的任意两点，，当时，始终成立．且抛物线是直线的“关联函数”，“关联点”也是点和另一点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求的值．
1．小轩在画二次函数的图象时列表如下：
… 0 2 4 …
… 12 0 5 …
则下列关于这个函数的结论错误的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．在函数图象上有两点，，则
C．该函数图象经过点
D．当时，随的增大而增大
2．把抛物线的图象向右平移3个单位所得的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为
C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴
4．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：
①；②；③；
④若，为方程的两个根，则；
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，抛物线的顶点为对称轴为直线．点的坐标为，是抛物线上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点落在直线上时，点的坐标为 ．

6．将抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的顶点坐标为 ．
7．抛物线的最大值为 ．
8．如图，已知矩形，，，点为边上一点，连接，以为一边在与点的同侧作正方形，连接．当点在边上运动时，的最小值是 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，顶点在轴上，且轴．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动．设运动的时间为秒．
(1)点的坐标为______；
(2)若，求关于的函数关系式并直接写出的取值范围；
(3)连接交于点，连接，在、的运动过程中，的面积是否发生变化？若不变化，请直接写出的面积；若变化，请直接写出面积变化的范围．
10．抛物线：中（是常数，且），函数值与自变量x之间的部分对应关系如下表：
x … 0 1 2 …
y … m n …
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；
(2)求抛物线的解析式及m，n的值；
(3)现将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线：，试求的解析式；
(4)在（3）的条件下，将抛物线向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B．
①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不少于6个单位长度？
②在最初的状态下，若向下平移个单位时，对应的线段长为n，请直接写出m与n的等量关系．
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