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易错点06 三角形
易错陷阱一：三角形（含全等）
易错点1:三角形内、外角的定义
三角形内角的定义：三角形的内角是三角形内部的三个角，它们由三角形的三条边两两相交形成。三角形内角和定理指出，三角形的三个内角的和等于180度。
三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形共有六个外角，每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，因此相等。三角形外角和定理表明，三角形的所有外角的和为360度。此外，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于与它不相邻的任何一个内角。
易错提醒：（1）混淆三角形内角和与外角和的值；（2）忽视“不相邻”条件；（3）对内角和外角的位置关系理解不清；（4）将三角形内角和外角的性质混为一谈。
易错点2:全等三角形的性质与判定(含k型)
一、全等三角形的性质
全等三角形是指形状相同、大小相等的两个三角形，放在一起能完全重合。其性质包括：
1 对应边相等。
2 对应角相等。
3 周长、面积对应相等。
4 对应边上的高线、中线、对应角的角平分线分别相等。
二、全等三角形的判定
判定两个三角形全等，主要有以下几种方法：
1. SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。
2 .SAS（边角边）：两边及夹角分别相等的两个三角形全等。
3.ASA（角边角）：两角及夹边分别相等的两个三角形全等。
4 .AAS（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
5. HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
对于K型全等三角形，通常涉及到的是通过构造辅助线，将三角形转化为已知判定条件中的某种形式，从而证明三角形全等。
易错提醒：（1）判定条件混淆：在证明三角形全等时，容易混淆不同的判定条件，如将SAS误用为SSA；
（2）忽视对应边、对应角的准确性：在书写全等三角形时，容易将表示对应顶点的字母写错位置，导致对应边、对应角判断错误；（3） 隐含条件挖掘不足：在证明过程中，可能忽视了一些隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，这些元素往往是证明的关键；（4）构造辅助线不当：在解决K型全等三角形问题时，如果辅助线构造不当，可能导致无法将三角形转化为已知判定条件中的形式，从而无法证明三角形全等；（5）忽视图形特征：在解决K型全等三角形问题时，容易忽视图形的特殊特征，如等腰三角形、直角三角形等，这些特征往往能提供额外的证明线索。
易错点3:三角形的旋转、翻折
一、三角形的旋转
旋转的定义：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转。在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度。
旋转的性质：
1 旋转不改变图形的形状和大小。
2 对应点到旋转中心的距离相等。
3 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
4 旋转前后的图形全等。
三角形的旋转：在三角形中，可以选择一个顶点作为旋转中心，将三角形绕该点旋转一定的角度。旋转后，三角形的形状和大小不变，但位置发生了改变。
二、三角形的翻折
翻折的定义：翻折是指将一个图形沿着某一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合。翻折前后的图形是全等的。
翻折的性质：
1 翻折前后的图形全等。
2 对应边相等，对应角相等。
3 对应点连线被对称轴垂直平分。
三角形的翻折：在三角形中，可以选择一条边或中线作为对称轴，将三角形沿该轴翻折。翻折后，三角形的形状和大小不变，但位置和方向发生了改变。
易错提醒：（1）在旋转过程中，容易忽略旋转中心、旋转角度和旋转方向等要素，导致旋转后的图形与原图形不一致；（2）在翻折过程中，容易混淆对称轴和翻折方向，导致翻折后的图形与原图形不重合；（3）在解决旋转和翻折问题时，容易忽视旋转和翻折不改变图形的形状和大小这一性质，导致解题过程中出现错误；（4）在计算旋转角度时，容易混淆顺时针和逆时针的方向，导致计算结果错误；（5）在处理翻折问题时，容易忽视对应点连线被对称轴垂直平分这一性质，导致在求解边或角时出错。
例1．如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则．
【详解】解：∵在等边三角形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
例2．如图，直线与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线的关系式可求出点A、点B的坐标，即可得的长，证明得，，可得出点C的坐标．
【详解】解：如图，过点C作轴，垂足为N．
∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴，，
即，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点．
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，一次函数图象与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明是解答本题的关键．．
例3．如图，在中，，，点 D为 的中点，点E为边上一动点，将沿 翻折，得到，再将 沿 翻折，得到．当 时 ，的长为 ．
【答案】1或
【分析】分两种情况：在上方时，设，交于点F，根据折叠前后对应角相等，及平行线的性质，得出，推出，再证，用三角函数解，根据列方程，即可求解；当在下方时，设，交于点G，作于点H，依次求出和，再证，用三角函数解即可求解．
【详解】解：分两种情况：
当在上方且时，设，交于点F，如图，
由折叠知，，
，
，
，
，，
，
在中，，，
又，
，
解得：；
当在下方且时，设交于点G，作于点H，如图，
由折叠知，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
综上可知，的长为1或，
故答案为：1或．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等，注意分情况讨论是解题的关键．
变式1．如图，四边形内接于，为的直径，．点E在的延长线上，若，则的度数为 ．
【答案】/70度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理以及推论等知识，根据圆内接四边形的性质可求出，根据弧弦的关系以及圆周角定理可求出，最后根据直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
故答案为：．
变式2．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查相似三角形，圆的切线，勾股定理，三角形的外角等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，圆的切线定理，勾股定理的应用，三角形的外角和的应用，进行解答，即可．
（1）根据题意，可得，根据三角形的外角和，即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，可得，，利用勾股定理求出，可得，求出，再根据，即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
变式3．如图，已知等腰直角的顶点分别在、轴上，，点的坐标是的坐标是则直线的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质．过点作轴于点，如图，先证明△△得到，，再写出，然后利用待定系数法求直线的解析式，熟知一线三等角原理是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于点，如图，
，，
，，
为等腰直角三角形，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为．
故答案为：．
变式4．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出；
（2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
变式5．如图，在正方形中，，M为边上任意一点，连接AM，将沿AM翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则点到的距离为 ．
【答案】
【分析】由正方形的性质得，，，由翻折得，作于点，于点，由，证明，得，则，设，则，，，，最后由列方程求得符合题意的值，再代入求出的值即可．
【详解】解：∵四边形中，，点N为的中点，
∴，，，
由翻折得，
作于点，于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得（不符合题意，舍去），
∴，
∴点到的距离为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
变式6．如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ．
【答案】或
【分析】首先根据题意得到点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，当与相切时，最大，然后分点P在左侧和点P在右侧两种情况讨论，根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，
∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，
∴当与相切时，最大
如解图1，当点P在左侧时，
根据题意得，，，
∵
过点P作，交的延长线于点H，
∴
∴，
又∵
，即
，
；
如解图2，当点P在右侧时，
同理，可得，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是得到当与相切时，最大．
易错陷阱二：等腰三角形
易错点4:角平分线的性质与判定
一、角平分线的基本概念
角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角平分为两个相等的小角的射线。
二、角平分线的性质
1.角平分线将该角所在的直线分割为两条射线，这两条射线与角的两边所夹的角相等。
2.在三角形中，角的平分线将对边分割为两段，这两段与角的两边所构成的三角形面积之比为该两段长度之比。
3.角的平分线是到该角两边距离相等的所有点组成的集合。
三、角平分线的判定方法
1.根据性质一，如果一个射线将一个角平分为两个相等的小角，则这个射线就是该角的平分线。
2.根据性质二，在三角形中，如果一条线段将对边分割为两段，且这两段与角的两边所构成的三角形面积之比为该两段长度之比，则这条线段就是该角的平分线。
3.根据性质三，如果一个点到角两边的距离相等，则这个点在该角的平分线上。
易错提醒：（1）忽略角平分线性质的全面理解。角平分线不仅仅是将一个角平分为两个相等的角，还涉及到与角的两边所夹的角相等、将对边分割为两段以及与角的两边所构成的三角形面积之比等性质；（2）混淆角平分线与垂直平分线的概念。垂直平分线是平分一条线段并且垂直于这条线段的直线，与角平分线的定义和性质完全不同；（3）在判定角平分线时，只依据单一的条件。判定一个射线或线段是否为角平分线，需要综合考虑其是否满足角平分线的所有性质。
易错点5:垂直平分线的性质与判定
一、垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
二、垂直平分线的性质：
垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。这一性质常用于几何证明中确定点的轨迹或构造对称图形。
垂直平分线把一条线段分成两等份，从而把一个几何图形分成面积相等的两部分，同时也是几何图形的镜像轴。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心），该点到三个顶点的距离相等，因此外心是三角形外接圆的圆心。
三、垂直平分线的判定：
中点垂直法：若一条直线经过某线段的中点，并且与该线段垂直，则该直线为该线段的垂直平分线。
等距离法：若某一点到线段两个端点的距离相等，则该点一定位于这条线段的垂直平分线上。
易错提醒：（1）对垂直平分线定义的理解不准确，容易混淆中点连线与垂直平分线的区别；（2）在应用垂直平分线性质时，忽略了对“垂直”和“平分”两个条件的同时满足，导致错误结论；（3）在判定垂直平分线时，未能准确判断直线是否经过线段中点且与该线段垂直，或者未能准确判断点到线段两端点的距离是否相等，从而误判垂直平分线；（4）在解决三角形与垂直平分线相关的问题时，未能正确理解三角形外心的性质及其与垂直平分线的关系，导致解题错误。
例4．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长是（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用．根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案．
【详解】解：过作于，如图：
是的角平分线，，
，
，
的面积为7，
的面积为，
，
，
，
故选：D．
例5．如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，．
结论I：点E为的中点；
结论Ⅱ：四边形为菱形．
对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．I和Ⅱ都不对 B．I和Ⅱ都对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对
【答案】B
【分析】连接，，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得△为等边三角形，为等边三角形，则，，，可得，则，即点为的中点；结合菱形的判定可得四边形为菱形．
【详解】解：连接，，
由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
．
，
，
即为等边三角形，
．
由作图过程可知，，
，
，
即为等边三角形，
，
，
，
，
即点为的中点．
故结论Ⅰ正确，符合题意；
，
．
，
四边形为平行四边形．
，
四边形为菱形．
故结论Ⅱ正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查尺规基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与此同时性质，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
变式1．如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的判定与性质．根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数．
【详解】解：过点作、，如图所示：
两把一样的直尺，
，
由角平分线的判定定理可得是的角平分线，
，
，
故选：D．
变式2．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，的面积是，，， ．

【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可．
【详解】解：∵为的角平分线，，，
∴，
∴
，
∵的面积是，，，
∴，
解得．
故答案为：．
变式3．如图，中，分别以点、点为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意可得，根据可得答案．
【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，
．
，
，
．
故选：C．
变式4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点为的中点，连接．点为上一点，连接，先以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】证明得，结合点为的中点，得，由勾股定理得，所以，连接，由于，所以，即，解出的值即可解答．
【详解】解：由作图可知，，
，
又，，
，
，
点为的中点，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
如图，连接，
设，则，，
，
，
即，
解得：，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
易错陷阱三：直角三角形
易错点6:勾股定理
勾股定理是一个基本的几何定理，它表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，那么勾股定理的表达式为a +b =c 。这个定理在人类早期数学发展中占据重要地位，是数形结合的纽带之一，也是用代数思想解决几何问题的重要工具。
易错提醒：（1）直角边与斜边未明确；（2）直角三角形的存在性问题；（3）三角形形状不明；（4）思维定势导致的错误。
易错点7:含30°的直角三角形
一、角度关系
在含30°的直角三角形中，三个角分别为30°、60°和90°，满足直角三角形两锐角互余的性质。
二、边长比例
1.30°角所对的直角边等于斜边的一半。即若斜边长为c，则30°角所对的直角边长为c/2。
2.另一条直角边（即60°角所对的直角边）是30°角所对的直角边的√3倍。若30°角所对的直角边长为a，则60°角所对的直角边长为a√3。
三、三边比例
含30°的直角三角形的三边比例为1:√3:2，其中1代表30°角所对的直角边，√3代表60°角所对的直角边，2代表斜边。
四、三角函数值
在含30°的直角三角形中，30°角的正弦值为1/2，正切值为√3/3。
五、面积与外接圆、内切圆
1.面积公式为S=1/2×短边×长直角边。
2.外接圆半径等于斜边的一半。
3.内切圆半径由公式r=(a+a√3-2a)/2=(a(√3-1))/2推导得出。
易错提醒：（1）误用边长比例；（2）混淆角度与边长关系；（3）忽视直角三角形的基本性质
例6．如图，在四边形中，，，，平分，是的中点，过点作交于点，交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明是等边三角形，推出四边形是矩形，利用相似三角形的判定和性质求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
作于点，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
例7．在中，，，，点D在边上，且，线段绕点D顺时针旋转（）后，点A旋转至点E，当点E恰好落在的边上时，的长为 ．
【答案】4或
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
根据直角三角形性质和勾股定理可求得，的长，即可求，，分类讨论当点落在上；当点落在上，再根据勾股定理、等边三角形的性质、旋转的性质，可求的面积．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵点D在边上，且，
∴，
∴，
∴，由旋转得，
如图1，点E落在边上，
∵，，
∴是等边三角形，
∴；
如图2，点E落在边上，
∵，，
∴；
∵，且
∴点E不能落在边上，
综上所述，的长为4或，故答案为：4或．
变式1．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长交于点M，连接并延长交于点N，若，则正方形与正方形的面积的比值为 （用含k的式子表示）．
【答案】
【分析】证明，设，可得，证明，可得，证明，进一步可得，再进一步解答即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴．
设，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，本题的难度较大，清晰的分析问题，确定相似三角形是解本题的关键．
变式2．我国数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则 ．
【答案】/0.8
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出的长是解题的关键．根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题．
【详解】解：∵大正方形的面积是100，
∴．
∵小正方形的面积是4，
∴小正方形的边长为2，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得或（负值舍去），
∴，，
∴．
故答案为：．
变式3．如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为 ．
【答案】1或或
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解直角三角形，取中点，中点，过点D作于点G，连接，根据题意，分点在直线上，点在直线上，点在直线上，三种种情况讨论，画出示意图，利用含30度角的直角三角形的性质结合中位线的性质求解即可．
【详解】解：如图，取中点，中点，过点D作于点G，连接，
∵点是斜边的中点，
∴都是的中位线，
∴，
∵在中，是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
当点在直线上时，
则，
由旋转的性质得：，
∴；
当和点在直线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当点在直线上时，过点F作于点H，
则（平行线间距离相等），
∵，
∴；
综上，点落在中位线所在直线上，则点到的距离为1或或，
故答案为：1或或．
变式4．矩形中，平分交于点，把绕点逆时针旋转交于点，过点作于点，连接，若，，则 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质可得：，，结合角平分线的定义可推出，根据旋转和三角形的外角性质可推出，由，可得，推出，得到，结合三角形的外角性质可推出，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
易错陷阱四：相似三角形
易错点8:相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质
对应角相等：当两个三角形相似时，它们的对应角是相等的。
对应边成比例：相似三角形的对应边之间的比例是相等的，这个比例被称为相似比。
对应高线、中线、角平分线的比等于相似比：相似三角形的对应高线、中线、角平分线的长度之间的比例也等于相似比。
周长比等于相似比：相似三角形的周长之间的比例等于相似比。
面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之间的比例等于相似比的平方。
相似三角形的判定
AA判定：如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似。
SAS判定：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且这两组边所夹的角对应相等，则这两个三角形相似。
SSS判定：如果两个三角形的三组对应边分别成比例，则这两个三角形相似。
HL判定：在直角三角形中，如果一条直角边和斜边对应成比例，则这两个直角三角形相似。
三边对应平行：如果两个三角形的三边分别对应平行，则这两个三角形相似。
三角形全等：如果两个三角形全等，则它们也相似（相似比为1:1）。
易错提醒：（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不是相似比本身。这是一个常见的误区，需要特别注意。在使用相似三角形的判定定理时，要确保满足所有条件。（2）注意相似符号∽的使用，它表示两个三角形相似。（3）在书写和解题过程中，要确保正确识别和使用相似符号，以及注意对应边和对应角的顺序。（4）在处理涉及多个三角形的问题时，要仔细分析图形和条件，确保正确识别和使用相似三角形的性质和判定定理。
易错点9:相似中的新定义
一、相似对角线
四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么这条对角线就被称为这个四边形的“相似对角线”。
二、完美分割线
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么这条线段就被称为这个三角形的“完美分割线”。
三、友好四边形
若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则这个四边形就被称为“友好四边形”。
四、自相似菱形
连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么这样的菱形就被称为“自相似菱形”。
五、相似点
在四边形的某一边上任取一点（这点与该边的两个端点不重合），分别连接该点与四边形的另外两个顶点，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么该点就被称为四边形这条边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么该点就被称为四边形这条边上的“强相似点”。
易错提醒：（1）相似对角线与相似三角形的区别和联系（2）完美分割线的判定条件（3）友好四边形的判定与性质（4）自相似菱形的判定与特征（5）相似点与强相似点的区别和联系
例8．如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结．
(1)求证：．
(2)当为等腰三角形时，求的长．
(3)当当，求的值．
【答案】(1)详见解析
(2)长为6或4或
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可得证；
（2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据（1）的结论分别分析讨论即可求解；
（3）由（1）得．进而得出，是等腰直角三角形，根据，得出，，证明，求得，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵
∴
当为等腰三角形时，分三种情况：
①当时，
∴．
连接，则，根据等腰三角形三线合一得．
②当时，
∴．
∵，
∴，
∴．
③当时，
∴．
连接，∵，
∴由等腰三角形三线合一得，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上可得，当为等腰三角形时，长为6或4或．
（3）解：由（1）得．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
例9．定义：当点在射线上时，把的值叫做点在射线上的射影值；当点不在射线上时，把射线上与点最近点的射影值，叫做点在射线上的射影值．例如：如图（1），三个顶点均在格点上，是边上的高，则点和点在射线上的射影值均为．
(1)在中，下列说法：
①点在射线上的射影值小于1时，则是锐角三角形；
②点在射线上的射影值等于1时，则是直角三角形；
③点在射线上的射影值大于1时，则是钝角三角形．
其中，正确说法的序号是___________．
(2)是射线上一点，，以为圆心，为半径画圆，是上任意点．
①如图（2），点在射线上的射影值为，求证：直线是的切线．
②如图（3），已知为线段的中点，设点在射线上的射影值为，点在射线上的射影值为，直接写出与之间的函数关系式．
【答案】(1)②③
(2)①见解析；②（）
【分析】（1）根据射影值的定义一一判断即可．
（2）①根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，可得，由相似三角形的性质可得，根据切线的判定定理可得答案；②图形是上下对称的，只考虑B在直线上及上方部分的情形．分两种情况考虑：当时，设，根据，可得，根据，得，根据，得，得；当时，y不存在．
【详解】（1）解：①错误．点B在射线上的射影值小于1时，可以是钝角，故不一定是锐角三角形；
②正确．点B在射线上的射影值等于1时，，是直角三角形；
③正确．点B在射线上的射影值大于1时，是钝角，故是钝角三角形；
故答案为：②③．
（2）解：①如图1，作于点H，
∵点B在射线上的射影值为，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
②图形是上下对称的，只考虑B在直线上及上方部分的情形．
过点D作，作，

当时，如图2，
设，
∵D为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵在和中，
，
∴，
∴①，
∵，
∴②，
①②消去h，得；
如图3，当点N与点O重合时，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴；
当时，
点B与点A重合，点D与点M重合，点D在中点，
∴，
∴；
当时，不存在，
∴y不存在．
综上所述，（）．
【点睛】本题考查新定义——射影值．熟练掌握射影值的定义，相似三角形的判定和性质，圆切线判定，勾股定理，面积法求三角形高，分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题，添加辅助线，是解题的关键．
变式1．综合与实践在中，．
问题发现
（1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________．
类比探究
（2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由．
迁移应用
（3）如图3，将绕点旋转一定的角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
【答案】（1），（2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致，理由见解析（3）
【分析】（1）根据旋转性质得根据勾股定理列式解得故；运用三角形内角和性质，得出，即，即可作答．
（2）根据旋转性质得，根据两边成比例，夹角相等得，即，，得，则，即进行作答即可．
（3）如图，过点作于点，根据勾股定理得，再证明，得，因为所以，得．即可作答．
【详解】（1）∵将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，
∴
∴，
∴
∴与之间的数量关系是，
延长交于一点，
∵，，
∴，
即，
∴与的位置关系是，
故答案为：，；
（2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致，
理由如下：
如图，延长交于点，
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，
，
，
，
，
，．
（3）如图，过点作于点，
，
，
，
又
，
，
，
由（2）可知．
【点睛】本题考查了旋转性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
变式2．【阅读理解】“赵爽弦图”被誉为中国古代数学的图腾，如图①即“赵爽弦图”，该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，巧妙地证明了勾股定理．根据“赵爽弦图”的结构特点，可联想一些直角问题是否可以通过构造“弦图”结构得以解决．
【初步探究】
（1）如图②，M，N是正方形内的点，且，，连接，则的度数为 ；（M，N不重合）
【问题解决】
（2）如图③，在中，，P为边上一个动点（不与点A，C重合），连接，过点C作于点D，E是上一点，且，过点E作交于点F，试判断三条线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．

【答案】（1）或；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）当M在N的下方时，如解图①，延长交于点O，证明，得出，，，从而可得，证明，即可得出；同理，当M在N的上方时，，即可得解；
（2）过点F作于点G，则四边形是矩形，得出，．再证明，得出，即可得解；
（3）设，则，由（2）可知，，得出．证明，得出，即，解得，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：（1）当M在N的下方时，如解图①，延长交于点O，

图①
∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
同理得．
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
同理，当M在N的上方时，．
（2），理由如下：
如解图②，过点F作于点G，

∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）如解图②，

∵，
∴设，则，
由（2）可知，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴在中，，
解得（负值已舍去），
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
变式3．定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）；
②如图2，若与互为“旋转位似图形”，，，则 ；
③如图2，若与互为“旋转位似图形”，若，则 ，若连接，则 ．
(2)知识运用：
如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，求和的长．
【答案】(1)①是；②50，③10，
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握“旋转位似图形”的定义是解题的关键．
（1）①根据“旋转位似图形”的定义判断即可；
②根据“旋转位似图形”可得即，再根据三角形内角和定理求解即可；
③根据“旋转位似图形”可得，根据相似三角形的性质列比例式求解即可，进而证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
（2）先证明可得，再先后证明、，最后根据“旋转位似图形”的定义即可证明结论；
（3）如图：如图，过E作于点H，根据等腰直角三角形的性质易得，再根据“旋转位似图形”的定义可得可得，再解直角三角形可得、，然后说明，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：①∵，都是等边三角形，
∴，
∵有公共顶点A，
∴是的“旋转位似图形”．
故答案为：是．
②∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：50；
③如图：连接，
∵与互为“旋转位似图形”，
∴，，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：10，．
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成位似图形，
∴和互为“旋转位似图形”．
（3）解：如图：如图，过E作于点H，
∵为等腰直角三角形，点G为中点，
∴，
∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，．
变式4．【背景】
在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．我们可以用数学的方法定义“美感”，把“美感”量化．
【初识】
把上面的问题一般化，如图，在线段上找一点，把分为和两段，是较短的一段，则当时，雕像富有“美感”．人们把此时的比值叫做黄金比值．易知，如果较长一段与整个线段的比是黄金比，那么较短一段与较长一段的比也是黄金比．点叫线段的黄金分割点，显然，一条线段有两个黄金分割点．
（1）为简单起见，不失一般性，令，，则，请求出的值．
【拓展】
在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形．
（2）如图，矩形为黄金矩形（），点在四条边上，交于点，且四边形，都是正方形，找出图中一对面积相等的四边形，并进行证明．
【迁移】
类似的，数学上称底与腰的比等于黄金比的等腰三角形为黄金三角形．
（3）如图，在中，，．求证：是黄金三角形．
（4）如图，为的内接正二十边形的边，连接．求证：．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）见解析；（4）见解析
【分析】（1）由题意知：，代入数据得：，解出的值，即可求得的值；
（2）证明，先由矩形是黄金矩形，得到，由四边形是正方形，得，所以，，由四边形是正方形 ，得，所以，化简得，即；
（3）根据题意证明，可得，又，得，所以，即可得，即得证；
（4）先根据题意证明出是黄金三角形，得到，再由，即可证明．
【详解】（1）解：由题意知：，
，，，
，
解得：，（舍去），
；
（2），
证明：矩形是黄金矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
四边形是正方形 ，
，
，
，
即；
（3）证明：延长到点，使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
是黄金三角形；
（4）证明：连接、，交于点，
、是的内接正二十边形的边，
，
，
，
，，
，，
是黄金三角形，
即，
在中 ，
即．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点、解一元二次方程、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
1．用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为，．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
，为边的中点，
，
故选：C．
2．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
3．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正切函数等；由正方形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，由可判定，由全等三角形的性质得，由正切函数的定义，即可求解；掌握正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：四边形，和都是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
在和中
，
（），
，
，
故选：A．
4．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边上的高的长即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴在直角三角形中，，
∴．
故答案为：．
5．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ．
【答案】
【分析】根据矩形，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，在中，由勾股定理得到，由，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点是线段的中点，
如图所示，连接，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，即，
解得，，
∴，则，
∵，
∴是等腰三角形，，
在中，，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
6．如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于，求出即可得到答案．
【详解】解：作交于，
，D是中上的中点，
，
，
，
，是的中线，
，
且，
，
，
，
，
7．如图，点是的中点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题查看了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先得到，由平行得到，然后证明即可；
（2）首先由全等得到，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：
点是的中点
∵
在和中，
；
（2）

．
8．如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)点是线段上一点，满足交于点．
①求证：；
②若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得，证明，推出，即可解答；
（2）①通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，②把数值代入①中比例线段列方程即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）①证明：
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②解：由①得，
，即，
．
9．如图，内接于，，为中点，与相交于点．过作，交延长线于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)延长交延长线于．若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（）利用等弧所对的圆周角相等可得，为公共角，结论可得；
（）利用（）中的结论可得为等腰三角形，即，则；利用平行线的性质和对顶角的性质可得，结论可得；
（）连接，利用已知条件可以判定，利用同角的余角相等，可得；连接，设与交于点，由垂径定理可得，利用平行线的性质可得，在中，利用直角三角形的边角关系可求得，设圆的半径为，利用勾股定理列出方程，解方程即可求得圆的半径；在中，解直角三角形即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：连接，，设与交于点，如图，
∵为中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设圆的半径为，则．
在中，
∵，
∴．
解得：，
∴，
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，连接圆的半径，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
10．综合与实践
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
【初步探究】
（）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____．
【问题解决】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值．
【拓展应用】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积．
【答案】（），；（）；（）或
【分析】（）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解；
（）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解；
（）如图，过点作于点，由（）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点的对应点在的上方时；②当点的对应点在的下方时，
分别画出图形解答即可求解．
【详解】解：（）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：，；
（）∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）如图，过点作于点，
由（）知，，
∴，
∵，
∴，
同理（）可得，，
∴，
由折叠的性质可知四边形为正方形，
连接，则，，
分两种情况：①如图，当点的对应点在的上方时，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴；
②如图，当点的对应点在的下方时，
同理可得，
∴；
综上可得，的面积为或．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的性质，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错点06 三角形
易错陷阱一：三角形（含全等）
易错点1:三角形内、外角的定义
三角形内角的定义：三角形的内角是三角形内部的三个角，它们由三角形的三条边两两相交形成。三角形内角和定理指出，三角形的三个内角的和等于180度。
三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形共有六个外角，每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，因此相等。三角形外角和定理表明，三角形的所有外角的和为360度。此外，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于与它不相邻的任何一个内角。
易错提醒：（1）混淆三角形内角和与外角和的值；（2）忽视“不相邻”条件；（3）对内角和外角的位置关系理解不清；（4）将三角形内角和外角的性质混为一谈。
易错点2:全等三角形的性质与判定(含k型)
一、全等三角形的性质
全等三角形是指形状相同、大小相等的两个三角形，放在一起能完全重合。其性质包括：
1 对应边相等。
2 对应角相等。
3 周长、面积对应相等。
4 对应边上的高线、中线、对应角的角平分线分别相等。
二、全等三角形的判定
判定两个三角形全等，主要有以下几种方法：
1. SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。
2 .SAS（边角边）：两边及夹角分别相等的两个三角形全等。
3.ASA（角边角）：两角及夹边分别相等的两个三角形全等。
4 .AAS（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
5. HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
对于K型全等三角形，通常涉及到的是通过构造辅助线，将三角形转化为已知判定条件中的某种形式，从而证明三角形全等。
易错提醒：（1）判定条件混淆：在证明三角形全等时，容易混淆不同的判定条件，如将SAS误用为SSA；
（2）忽视对应边、对应角的准确性：在书写全等三角形时，容易将表示对应顶点的字母写错位置，导致对应边、对应角判断错误；（3） 隐含条件挖掘不足：在证明过程中，可能忽视了一些隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，这些元素往往是证明的关键；（4）构造辅助线不当：在解决K型全等三角形问题时，如果辅助线构造不当，可能导致无法将三角形转化为已知判定条件中的形式，从而无法证明三角形全等；（5）忽视图形特征：在解决K型全等三角形问题时，容易忽视图形的特殊特征，如等腰三角形、直角三角形等，这些特征往往能提供额外的证明线索。
易错点3:三角形的旋转、翻折
一、三角形的旋转
旋转的定义：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转。在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度。
旋转的性质：
1 旋转不改变图形的形状和大小。
2 对应点到旋转中心的距离相等。
3 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
4 旋转前后的图形全等。
三角形的旋转：在三角形中，可以选择一个顶点作为旋转中心，将三角形绕该点旋转一定的角度。旋转后，三角形的形状和大小不变，但位置发生了改变。
二、三角形的翻折
翻折的定义：翻折是指将一个图形沿着某一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合。翻折前后的图形是全等的。
翻折的性质：
1 翻折前后的图形全等。
2 对应边相等，对应角相等。
3 对应点连线被对称轴垂直平分。
三角形的翻折：在三角形中，可以选择一条边或中线作为对称轴，将三角形沿该轴翻折。翻折后，三角形的形状和大小不变，但位置和方向发生了改变。
易错提醒：（1）在旋转过程中，容易忽略旋转中心、旋转角度和旋转方向等要素，导致旋转后的图形与原图形不一致；（2）在翻折过程中，容易混淆对称轴和翻折方向，导致翻折后的图形与原图形不重合；（3）在解决旋转和翻折问题时，容易忽视旋转和翻折不改变图形的形状和大小这一性质，导致解题过程中出现错误；（4）在计算旋转角度时，容易混淆顺时针和逆时针的方向，导致计算结果错误；（5）在处理翻折问题时，容易忽视对应点连线被对称轴垂直平分这一性质，导致在求解边或角时出错。
例1．如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
例2．如图，直线与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例3．如图，在中，，，点 D为 的中点，点E为边上一动点，将沿 翻折，得到，再将 沿 翻折，得到．当 时 ，的长为 ．
变式1．如图，四边形内接于，为的直径，．点E在的延长线上，若，则的度数为 ．
变式2．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
变式3．如图，已知等腰直角的顶点分别在、轴上，，点的坐标是的坐标是则直线的函数关系式为 ．
变式4．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，，试判断的形状，并说明理由．
变式5．如图，在正方形中，，M为边上任意一点，连接AM，将沿AM翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则点到的距离为 ．
变式6．如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ．
易错陷阱二：等腰三角形
易错点4:角平分线的性质与判定
一、角平分线的基本概念
角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角平分为两个相等的小角的射线。
二、角平分线的性质
1.角平分线将该角所在的直线分割为两条射线，这两条射线与角的两边所夹的角相等。
2.在三角形中，角的平分线将对边分割为两段，这两段与角的两边所构成的三角形面积之比为该两段长度之比。
3.角的平分线是到该角两边距离相等的所有点组成的集合。
三、角平分线的判定方法
1.根据性质一，如果一个射线将一个角平分为两个相等的小角，则这个射线就是该角的平分线。
2.根据性质二，在三角形中，如果一条线段将对边分割为两段，且这两段与角的两边所构成的三角形面积之比为该两段长度之比，则这条线段就是该角的平分线。
3.根据性质三，如果一个点到角两边的距离相等，则这个点在该角的平分线上。
易错提醒：（1）忽略角平分线性质的全面理解。角平分线不仅仅是将一个角平分为两个相等的角，还涉及到与角的两边所夹的角相等、将对边分割为两段以及与角的两边所构成的三角形面积之比等性质；（2）混淆角平分线与垂直平分线的概念。垂直平分线是平分一条线段并且垂直于这条线段的直线，与角平分线的定义和性质完全不同；（3）在判定角平分线时，只依据单一的条件。判定一个射线或线段是否为角平分线，需要综合考虑其是否满足角平分线的所有性质。
易错点5:垂直平分线的性质与判定
一、垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
二、垂直平分线的性质：
垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。这一性质常用于几何证明中确定点的轨迹或构造对称图形。
垂直平分线把一条线段分成两等份，从而把一个几何图形分成面积相等的两部分，同时也是几何图形的镜像轴。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心），该点到三个顶点的距离相等，因此外心是三角形外接圆的圆心。
三、垂直平分线的判定：
中点垂直法：若一条直线经过某线段的中点，并且与该线段垂直，则该直线为该线段的垂直平分线。
等距离法：若某一点到线段两个端点的距离相等，则该点一定位于这条线段的垂直平分线上。
易错提醒：（1）对垂直平分线定义的理解不准确，容易混淆中点连线与垂直平分线的区别；（2）在应用垂直平分线性质时，忽略了对“垂直”和“平分”两个条件的同时满足，导致错误结论；（3）在判定垂直平分线时，未能准确判断直线是否经过线段中点且与该线段垂直，或者未能准确判断点到线段两端点的距离是否相等，从而误判垂直平分线；（4）在解决三角形与垂直平分线相关的问题时，未能正确理解三角形外心的性质及其与垂直平分线的关系，导致解题错误。
例4．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长是（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
例5．如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，．
结论I：点E为的中点；
结论Ⅱ：四边形为菱形．
对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．I和Ⅱ都不对 B．I和Ⅱ都对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对
变式1．如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，的面积是，，， ．

变式3．如图，中，分别以点、点为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点为的中点，连接．点为上一点，连接，先以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则点的坐标为 ．
易错陷阱三：直角三角形
易错点6:勾股定理
勾股定理是一个基本的几何定理，它表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，那么勾股定理的表达式为a +b =c 。这个定理在人类早期数学发展中占据重要地位，是数形结合的纽带之一，也是用代数思想解决几何问题的重要工具。
易错提醒：（1）直角边与斜边未明确；（2）直角三角形的存在性问题；（3）三角形形状不明；（4）思维定势导致的错误。
易错点7:含30°的直角三角形
一、角度关系
在含30°的直角三角形中，三个角分别为30°、60°和90°，满足直角三角形两锐角互余的性质。
二、边长比例
1.30°角所对的直角边等于斜边的一半。即若斜边长为c，则30°角所对的直角边长为c/2。
2.另一条直角边（即60°角所对的直角边）是30°角所对的直角边的√3倍。若30°角所对的直角边长为a，则60°角所对的直角边长为a√3。
三、三边比例
含30°的直角三角形的三边比例为1:√3:2，其中1代表30°角所对的直角边，√3代表60°角所对的直角边，2代表斜边。
四、三角函数值
在含30°的直角三角形中，30°角的正弦值为1/2，正切值为√3/3。
五、面积与外接圆、内切圆
1.面积公式为S=1/2×短边×长直角边。
2.外接圆半径等于斜边的一半。
3.内切圆半径由公式r=(a+a√3-2a)/2=(a(√3-1))/2推导得出。
易错提醒：（1）误用边长比例；（2）混淆角度与边长关系；（3）忽视直角三角形的基本性质
例6．如图，在四边形中，，，，平分，是的中点，过点作交于点，交于点，则的长为 ．
例7．在中，，，，点D在边上，且，线段绕点D顺时针旋转（）后，点A旋转至点E，当点E恰好落在的边上时，的长为 ．
变式1．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长交于点M，连接并延长交于点N，若，则正方形与正方形的面积的比值为 （用含k的式子表示）．
变式2．我国数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则 ．
变式3．如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为 ．
变式4．矩形中，平分交于点，把绕点逆时针旋转交于点，过点作于点，连接，若，，则 ．
易错陷阱四：相似三角形
易错点8:相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质
对应角相等：当两个三角形相似时，它们的对应角是相等的。
对应边成比例：相似三角形的对应边之间的比例是相等的，这个比例被称为相似比。
对应高线、中线、角平分线的比等于相似比：相似三角形的对应高线、中线、角平分线的长度之间的比例也等于相似比。
周长比等于相似比：相似三角形的周长之间的比例等于相似比。
面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之间的比例等于相似比的平方。
相似三角形的判定
AA判定：如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似。
SAS判定：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且这两组边所夹的角对应相等，则这两个三角形相似。
SSS判定：如果两个三角形的三组对应边分别成比例，则这两个三角形相似。
HL判定：在直角三角形中，如果一条直角边和斜边对应成比例，则这两个直角三角形相似。
三边对应平行：如果两个三角形的三边分别对应平行，则这两个三角形相似。
三角形全等：如果两个三角形全等，则它们也相似（相似比为1:1）。
易错提醒：（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不是相似比本身。这是一个常见的误区，需要特别注意。在使用相似三角形的判定定理时，要确保满足所有条件。（2）注意相似符号∽的使用，它表示两个三角形相似。（3）在书写和解题过程中，要确保正确识别和使用相似符号，以及注意对应边和对应角的顺序。（4）在处理涉及多个三角形的问题时，要仔细分析图形和条件，确保正确识别和使用相似三角形的性质和判定定理。
易错点9:相似中的新定义
一、相似对角线
四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么这条对角线就被称为这个四边形的“相似对角线”。
二、完美分割线
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么这条线段就被称为这个三角形的“完美分割线”。
三、友好四边形
若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则这个四边形就被称为“友好四边形”。
四、自相似菱形
连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么这样的菱形就被称为“自相似菱形”。
五、相似点
在四边形的某一边上任取一点（这点与该边的两个端点不重合），分别连接该点与四边形的另外两个顶点，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么该点就被称为四边形这条边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么该点就被称为四边形这条边上的“强相似点”。
易错提醒：（1）相似对角线与相似三角形的区别和联系（2）完美分割线的判定条件（3）友好四边形的判定与性质（4）自相似菱形的判定与特征（5）相似点与强相似点的区别和联系
例8．如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结．
(1)求证：．
(2)当为等腰三角形时，求的长．
(3)当当，求的值．
例9．定义：当点在射线上时，把的值叫做点在射线上的射影值；当点不在射线上时，把射线上与点最近点的射影值，叫做点在射线上的射影值．例如：如图（1），三个顶点均在格点上，是边上的高，则点和点在射线上的射影值均为．
(1)在中，下列说法：
①点在射线上的射影值小于1时，则是锐角三角形；
②点在射线上的射影值等于1时，则是直角三角形；
③点在射线上的射影值大于1时，则是钝角三角形．
其中，正确说法的序号是___________．
(2)是射线上一点，，以为圆心，为半径画圆，是上任意点．
①如图（2），点在射线上的射影值为，求证：直线是的切线．
②如图（3），已知为线段的中点，设点在射线上的射影值为，点在射线上的射影值为，直接写出与之间的函数关系式．
变式1．综合与实践在中，．
问题发现
（1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________．
类比探究
（2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由．
迁移应用
（3）如图3，将绕点旋转一定的角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
变式2．【阅读理解】“赵爽弦图”被誉为中国古代数学的图腾，如图①即“赵爽弦图”，该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，巧妙地证明了勾股定理．根据“赵爽弦图”的结构特点，可联想一些直角问题是否可以通过构造“弦图”结构得以解决．
【初步探究】
（1）如图②，M，N是正方形内的点，且，，连接，则的度数为 ；（M，N不重合）
【问题解决】
（2）如图③，在中，，P为边上一个动点（不与点A，C重合），连接，过点C作于点D，E是上一点，且，过点E作交于点F，试判断三条线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．

变式3．定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）；
②如图2，若与互为“旋转位似图形”，，，则 ；
③如图2，若与互为“旋转位似图形”，若，则 ，若连接，则 ．
(2)知识运用：
如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，求和的长．
变式4．【背景】
在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．我们可以用数学的方法定义“美感”，把“美感”量化．
【初识】
把上面的问题一般化，如图，在线段上找一点，把分为和两段，是较短的一段，则当时，雕像富有“美感”．人们把此时的比值叫做黄金比值．易知，如果较长一段与整个线段的比是黄金比，那么较短一段与较长一段的比也是黄金比．点叫线段的黄金分割点，显然，一条线段有两个黄金分割点．
（1）为简单起见，不失一般性，令，，则，请求出的值．
【拓展】
在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形．
（2）如图，矩形为黄金矩形（），点在四条边上，交于点，且四边形，都是正方形，找出图中一对面积相等的四边形，并进行证明．
【迁移】
类似的，数学上称底与腰的比等于黄金比的等腰三角形为黄金三角形．
（3）如图，在中，，．求证：是黄金三角形．
（4）如图，为的内接正二十边形的边，连接．求证：．
1．用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为，．则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为 ．
5．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ．
6．如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ．
7．如图，点是的中点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
8．如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)点是线段上一点，满足交于点．
①求证：；
②若，求的长．
9．如图，内接于，，为中点，与相交于点．过作，交延长线于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)延长交延长线于．若，，求的长．
10．综合与实践
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
【初步探究】
（）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____．
【问题解决】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值．
【拓展应用】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积．
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