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易错点08 锐角三角函数
易错陷阱一：特殊角的三角函数
易错点1:网格与图形中的三角函数
1.构造直角三角形：在网格中连接适当的点，构造出含有目标角的直角三角形，然后利用三角函数定义求解。
2.平移法：通过平移线段，使得目标角与已知角相等或存在简单的数量关系，从而利用已知的三角函数值求解。
3.面积法：利用三角形面积公式，结合网格中正方形的边长，求出三角形的高，进而求解三角函数值。
4.勾股定理法：在直角三角形中，利用勾股定理求出未知边长，再结合三角函数定义求解。
易错提醒：（1）混淆概念（2）度量制度不一致（3）忽视角的范围（4）构造直角三角形不准确（5）平移法应用不当（6）面积法和勾股定理法应用错误。
易错点2:特殊角的三角函数计算
1.30°：sin30°=0.5，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3
2.45°：sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=1
3.60°：sin60°=√3/2，cos60°=0.5，tan60°=√3
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。通过这些定义，我们可以根据已知的角度和边长，计算出未知的边长或角度。
易错提醒：（1）忽视直角三角形的条件（2）混淆互余角的三角函数关系（3）特殊角的三角函数值记忆不准确。
例1．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接、，则的值为 ．
例2．（1）计算：；
（2）化简：．
变式1．如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ．
变式2．如图2是东东用图1中的七巧板拼成的数字5，A，B，C均是七巧板中直角三角形和正方形的顶点，连结与的夹角为，则的值是 ．
变式3．（1）计算：
（2）化简：，
变式4．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
易错陷阱二：三角函数的应用
易错点3:坡度、坡比问题
一、坡度与坡比
坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，用i表示，常写成i=1:m的形式。坡角是坡面与水平面的夹角α，坡度i与坡角α之间的关系为i=h/l=tanα。
二、应用
坡度坡角问题在解直角三角形中有广泛应用。在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。
易错提醒：（1）概念混淆（2）计算错误（3）实际应用问题。
易错点4:仰角、俯角问题
一、仰角与俯角的定义
仰角是视线与水平线的上方夹角，而俯角是视线与水平线的下方夹角。这两个概念在解决与高度和距离相关的问题时至关重要。
二、应用锐角三角函数解决问题
在直角三角形中，利用正弦、余弦和正切函数，可以根据已知条件（如角度和一边的长度）求解其他边或角的长度。
1、已知仰角和水平距离求高度：使用正弦函数。
2、已知俯角和高度求水平距离：使用余弦函数。
3、在复杂问题中，可能需要通过构造辅助线来形成直角三角形，再利用三角函数求解。
三、实际问题的应用
仰角和俯角问题在航海、航空、建筑等领域有广泛应用，如测量建筑物高度、飞机高度、计算水平距离等。
易错提醒：（1）混淆仰角和俯角（2）忽视单位换算（3）盲目套用公式（4）俯角仰角判断错误。
易错点5:方位角问题
知识点：
方位角是表示从参考点（通常是北方）到目标点之间的角度，范围从0°到360°。在解决实际问题时，特别是涉及空间方向的问题时，经常会用到方位角和锐角三角函数。计算方位角主要涉及正弦、余弦和正切函数。
易错提醒：（1）忽视角度范围（2）混淆坐标与方位角的关系（3）忽视特殊角的三角函数值（4）误用三角函数公式。
易错点6:解非直角三角形问题
锐角三角函数是初中数学中的关键内容，主要涉及正弦、余弦和正切三个函数。在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具。但在解非直角三角形问题时，通常需要借助辅助线或已知条件构造直角三角形，或通过等角代换在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角，然后再根据锐角三角函数的定义进行求解。
易错提醒：（1）忽视锐角三角函数的的范围（2）混淆边角关系（3）忽视特殊角的三角函数值（4）忽视正弦、余弦的取值范围（5）没有分类讨论
例3．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
例4．如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（　　）
A． B． C． D．
例5．【实践情景】如图，太原市在本市两景点之间开设了两条徒步路线，线路1为路线，路线为之间的线段；线路2为越野线路，路线为之间的折线段．
【数据收集】
数据①：点在点的北偏东方向上；
数据②：线路2的行走方式为从起点出发，先向北偏东的方向越野行走一段路程到达中转点，再从中转点向正东方向行走2000米即可到达终点．
【数据应用】
利用以上数据，求的长．（结果保留整数，参考数据：）
例6．为了吸引更多的游客前来旅游，某景区采取了一系列的景区提升改造策略，景区的观光扶梯改造为改造项目之一．如图，为原扶梯的截面图，其中，．为了增强游客的体验感，拟在扶梯顶部建一个长米的观景平台，即米；为了改善扶梯的安全性能，拟将扶梯与地面的夹角改造为，即．图中，且，，三点共线，．通过计算发现调整后米，求扶梯的高．（结果精确到米，，，，）

变式1．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）
变式2．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，．）
变式3．我市的北武当庙距今900多年的历史，史有“西夏名兰，山林古刹”的美誉．多宝塔是其标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离该塔塔底点22米的处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，则可估算出多宝塔的高度为 米（结果保留整数，参考数据：，，）
变式4．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组进行了如下实地测量．如图，三片风叶，，两两所成的角为．小组成员在离塔底O水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角，是风叶的视角．已知三片风叶的长度均为40米．
(1)当点D在上时，求点C到地面的距离；(结果精确到1米)
(2)在风叶旋转的过程中，求视角的最大值．(参考数据∶ ， ， )
变式5．如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东．（参考数据：，）
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？
变式6．物流中心与三个菜鸟驿站、、的平面示意图如下图．在的正南方，在的东南方向上且在的北偏东方向上，在的正东方且，已知．（参考数据：，，，）．
(1)求驿站、之间的距离；
(2)派送员小外计划从出发沿着的路线派送快递到三个驿站，上午完成快递派送．但导航显示路段拥堵严重，于是他改变路线（出发），沿着的路线派送快递到三个驿站．若路段行驶的平均速度为，其余路段的平均行驶速度为且小外在每个驿站均停留存放快递．请通过计算说明他能否在之前完成派送．
变式7．某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为．
（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
变式8．小新的数学研学日记
课题：测量旗杆的高度 地点：操场 时间：2025月1月13日 昨天，晴．高老师要带我们去操场测量旗杆的高度，我们小组设计方案：小卓拿着标杆垂直于地面放置，我和小越用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为______． 今天，阴．设计方案：如图2所示，高老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.3米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台时剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？
请你回答小新的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据：，，；，，）
易错陷阱三：三角函数综合
易错点7:三角函数与三角形综合
一、锐角三角函数的基本定义
1.正弦函数（sin）：在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，即sin(θ) = 对边/斜边。
2.余弦函数（cos）：在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比值，即cos(θ) = 邻边/斜边。
3.正切函数（tan）：在直角三角形中，锐角的正切值等于对边与邻边的比值，即tan(θ) = 对边/邻边。
二、互余角的三角函数关系
正弦和余弦：sin(90° - θ) = cos(θ)，cos(90° - θ) = sin(θ)。
正切和余切：tan(90° - θ) = 1/tan(θ)。
三、特殊角的三角函数值
如30°、45°、60°等特殊角度的三角函数值需要熟记，它们在解题中经常用到。
四、锐角三角函数的应用
锐角三角函数在解直角三角形、测量高度和距离等实际问题中有着广泛的应用。
易错提醒：（1）忽视直角三角形条件（2）混淆三角函数关系（3）混淆特殊角的三角函数值。
易错点8:三角函数与四边形综合
一、四边形的基本性质
四边形包括平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等，它们各自具有独特的性质。例如，平行四边形的对边平行且相等，矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都相等，正方形的四条边相等且四个角都是直角，梯形的上下底平行等。
二、锐角三角函数与四边形的综合应用
在解决四边形问题时，如果四边形中存在直角三角形或者可以通过构造直角三角形来求解，那么就可以利用锐角三角函数来求解。例如，在平行四边形中，如果知道一个锐角和一条边，就可以利用三角函数求出另一条边的长度。在梯形中，如果知道梯形的上下底和高，以及一个锐角，也可以利用三角函数求出梯形的另一条腰的长度。
易错提醒：（1）忽视直角三角形的条件（2）混淆特殊角的三角函数值（3）忽视四边形的性质
易错点9:三角函数与圆综合
锐角三角函数与圆的综合
1.利用圆的性质构造直角三角形，进而求解锐角三角函数值。
2.根据锐角三角函数值，结合圆的性质求解相关问题，如圆的半径、弦长等。
易错提醒：（1）忽视直角三角形条件（2）混淆特殊角的三角函数值（3）忽视圆的性质。
例7．在等腰中，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为 ．
例8．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点均在坐标轴上，且，．若反比例函数经过边的中点，则 ．
例9．如图，在中，，经过，两点，与斜边 交于点 ，连接 并延长交于点，交于点，连接，过点的切线与交于点，且．
(1)求证： ；
(2)若 求的长．
变式1．如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ．
变式2．在中， ．将绕点C旋转，点A对应点为点，点落在中边上中线的延长线上．则的值为 ．
变式3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，， 且点在反比例函数上，点在反比例函数上，则的值为 ．
变式4．如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿BE折叠得到，点F刚好落在边AD上，H、G分别是边上一点，已知，，，，连接HE、HG，则 ．
变式5．如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)连接、、，若，，求的半径．
变式6．如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
1．在正方形网格中，的位置如图所示，点、、均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米．
A． B． C． D．
3．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ．
5．如图，将三角板的直角顶点放置在直线上的点处，使斜边．则的余弦值为 ．
6．如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是 ．
7．（1）计算：
（2）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
8．图是水池边的一块警示牌的侧面示意图，矩形铁架垂直固定在水平地面上，铁架上面是一个边缘为圆弧形的塑料面板． 已知，，优 弧所在圆的圆心的距离为， 小龙在水池对面的点E处用测角仪测得塑料面板点 F 处的仰角为 （注：此时视线与圆弧形塑料面板相切，且与矩形在同一平面内，点E，A，B 在同一水平线上）．
(1)求优弧所在圆的半径．
(2)求的长度（结果保留根号） ．
9．如图，内接于，是的直径的延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线
(2)若的半径为，，求的长和的值；
(3)过圆心作的平行线交的延长线于点．若，，求的半径．
10．中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市的地标建筑之一．中原福塔分为塔座、塔身、塔楼、桅 杆四个部分，福塔顶部桅杆天线高． 某校“综合与实践”小组的同学把“测量中原福塔的高度”作为 一项课题活动，他们制定了两种测量方案，并完成实地测量，如下表所示
课题 测量中原福塔的高度
方案 方案一 方案二
测量示意图
方案说明（点A，B，C，D，E，F，G在同一 竖直平面内） 在C处测得桅杆顶部A的仰角为，测得桅 杆底部D的仰角为． 距地面高度为（）的无人机在F处测得点A的仰角，中原福塔底部边缘G处的俯角．
计算中原福塔的高度 …… ……
(1)数学老师说方案一的结果与中原福塔的实际高度误差较小，方案二的结果误差较大．方案二的结果与实际中原福塔的高度相比是偏 （填“大”或“小”），请说明方案二产生较大误差的原因．
(2)请根据方案一中的测量数据，求出中原福塔的高度（结果精确到．参考数据：，）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错点08 锐角三角函数
易错陷阱一：特殊角的三角函数
易错点1:网格与图形中的三角函数
1.构造直角三角形：在网格中连接适当的点，构造出含有目标角的直角三角形，然后利用三角函数定义求解。
2.平移法：通过平移线段，使得目标角与已知角相等或存在简单的数量关系，从而利用已知的三角函数值求解。
3.面积法：利用三角形面积公式，结合网格中正方形的边长，求出三角形的高，进而求解三角函数值。
4.勾股定理法：在直角三角形中，利用勾股定理求出未知边长，再结合三角函数定义求解。
易错提醒：（1）混淆概念（2）度量制度不一致（3）忽视角的范围（4）构造直角三角形不准确（5）平移法应用不当（6）面积法和勾股定理法应用错误。
易错点2:特殊角的三角函数计算
1.30°：sin30°=0.5，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3
2.45°：sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=1
3.60°：sin60°=√3/2，cos60°=0.5，tan60°=√3
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。通过这些定义，我们可以根据已知的角度和边长，计算出未知的边长或角度。
易错提醒：（1）忽视直角三角形的条件（2）混淆互余角的三角函数关系（3）特殊角的三角函数值记忆不准确。
例1．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接、，则的值为 ．
【答案】/
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用；求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．先利用格点和勾股定理计算、、，再判断的形状，最后求出．
【详解】解：连接、，
则，
，
，
，
是直角三角形．
，
故答案为：．
例2．（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】此题主要考查了分式的混合运算以及实数运算，正确进行分式通分运算是解题关键．
（1）直接利用零指数幂的性质，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则运算求出即可；
（2）首先将括号里面通分进而去括号，利用分式的乘除运算法则化简求出即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
变式1．如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形函数、勾股定理．首先根据网格求出三角形的三边，在三角形中过点作，利用三角形的面积公式求出的长度，再根据正弦的定义求出结果．
【详解】解：如下图所示，过点作，
在中，，，
，
当以为的底边时，对应的高为，
，
，
解得：，
．
故答案为： ．
变式2．如图2是东东用图1中的七巧板拼成的数字5，A，B，C均是七巧板中直角三角形和正方形的顶点，连结与的夹角为，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质及勾股定理对图中数据进行标记，过点B作的平行线，延长与之交于交于点M，N，可得，则，故，由题意得，，则，由题意得，，，则，故，，由得，则．
【详解】解：如图1，在正方形中，，
设，
则在中，由勾股定理得，
则由题意可将图中线段作出标记数据，
如图2，过点B作的平行线，延长与之交于交于点M，N，
由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
变式3．（1）计算：
（2）化简：，
【答案】（1） （2）
【分析】本题考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及绝对值的意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式以及平方差公式计算，去括号合并同类项即可得到结果．
【详解】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
．
变式4．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）1；（2），．
【分析】本题考查实数的混合运算和分式的化简求值，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则和正确化简各数是本题的关键．
（1）先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，计算二次根式的乘法，再合并即可；
（2）把分式的除法化为乘法，再约分得到化简的结果，再把代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
当时，原式
易错陷阱二：三角函数的应用
易错点3:坡度、坡比问题
一、坡度与坡比
坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，用i表示，常写成i=1:m的形式。坡角是坡面与水平面的夹角α，坡度i与坡角α之间的关系为i=h/l=tanα。
二、应用
坡度坡角问题在解直角三角形中有广泛应用。在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。
易错提醒：（1）概念混淆（2）计算错误（3）实际应用问题。
易错点4:仰角、俯角问题
一、仰角与俯角的定义
仰角是视线与水平线的上方夹角，而俯角是视线与水平线的下方夹角。这两个概念在解决与高度和距离相关的问题时至关重要。
二、应用锐角三角函数解决问题
在直角三角形中，利用正弦、余弦和正切函数，可以根据已知条件（如角度和一边的长度）求解其他边或角的长度。
1、已知仰角和水平距离求高度：使用正弦函数。
2、已知俯角和高度求水平距离：使用余弦函数。
3、在复杂问题中，可能需要通过构造辅助线来形成直角三角形，再利用三角函数求解。
三、实际问题的应用
仰角和俯角问题在航海、航空、建筑等领域有广泛应用，如测量建筑物高度、飞机高度、计算水平距离等。
易错提醒：（1）混淆仰角和俯角（2）忽视单位换算（3）盲目套用公式（4）俯角仰角判断错误。
易错点5:方位角问题
知识点：
方位角是表示从参考点（通常是北方）到目标点之间的角度，范围从0°到360°。在解决实际问题时，特别是涉及空间方向的问题时，经常会用到方位角和锐角三角函数。计算方位角主要涉及正弦、余弦和正切函数。
易错提醒：（1）忽视角度范围（2）混淆坐标与方位角的关系（3）忽视特殊角的三角函数值（4）误用三角函数公式。
易错点6:解非直角三角形问题
锐角三角函数是初中数学中的关键内容，主要涉及正弦、余弦和正切三个函数。在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具。但在解非直角三角形问题时，通常需要借助辅助线或已知条件构造直角三角形，或通过等角代换在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角，然后再根据锐角三角函数的定义进行求解。
易错提醒：（1）忽视锐角三角函数的的范围（2）混淆边角关系（3）忽视特殊角的三角函数值（4）忽视正弦、余弦的取值范围（5）没有分类讨论
例3．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据平行的性质得到，根据三角形内角和定理求出，根据平行的性质即可得到答案．
【详解】解：支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，
，
重力的方向竖直向下，
，
，
摩擦力的方向与斜面平行，
，
，
故选B．
例4．如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得四边形是矩形，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差，即可解答．
【详解】解，如图：
由题意得：四边形是矩形
∴
在中，，
，
在中，，
，
．
故选：D．
例5．【实践情景】如图，太原市在本市两景点之间开设了两条徒步路线，线路1为路线，路线为之间的线段；线路2为越野线路，路线为之间的折线段．
【数据收集】
数据①：点在点的北偏东方向上；
数据②：线路2的行走方式为从起点出发，先向北偏东的方向越野行走一段路程到达中转点，再从中转点向正东方向行走2000米即可到达终点．
【数据应用】
利用以上数据，求的长．（结果保留整数，参考数据：）
【答案】的长米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，结合题意可得：，，，，证明，，再分别求解，，即可得到答案.
【详解】解：如图，过作于，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴（米）；
答：的长米．
例6．为了吸引更多的游客前来旅游，某景区采取了一系列的景区提升改造策略，景区的观光扶梯改造为改造项目之一．如图，为原扶梯的截面图，其中，．为了增强游客的体验感，拟在扶梯顶部建一个长米的观景平台，即米；为了改善扶梯的安全性能，拟将扶梯与地面的夹角改造为，即．图中，且，，三点共线，．通过计算发现调整后米，求扶梯的高．（结果精确到米，，，，）

【答案】米
【分析】过点作于点，根据，及即可判断四边形是平行四边形，进一步四边形是矩形，即可得到，，通过设，在中根据三角函数即可得到，进一步得到，在中根据三角函数即可得到，再根据，建立关于的方程，解方程即可求出答案．
【详解】解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，
在，，
∴，
∴，
在，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴扶梯的高约为米．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键添加适当的辅助线，构造直角三角形．
变式1．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据米，得出的值，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴（米），
∴（米）．
故答案为：．
变式2．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，．）
【答案】古树的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．延长交的延长线于点F，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，求出，即可求解．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，则，
山坡上坡度，
，
，
设，则，
在中，
，
，
解得：，
，，
，
在中，，
答：古树的高度约为．
变式3．我市的北武当庙距今900多年的历史，史有“西夏名兰，山林古刹”的美誉．多宝塔是其标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离该塔塔底点22米的处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，则可估算出多宝塔的高度为 米（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】20
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握正切函数的定义是解决问题的关键．由题意判断出米，，那么，利用的正切值列出方程，可得的长．
【详解】解：由题意得：米，，
，
，
，
解得：（米），
故答案为：20．
变式4．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组进行了如下实地测量．如图，三片风叶，，两两所成的角为．小组成员在离塔底O水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角，是风叶的视角．已知三片风叶的长度均为40米．
(1)当点D在上时，求点C到地面的距离；(结果精确到1米)
(2)在风叶旋转的过程中，求视角的最大值．(参考数据∶ ， ， )
【答案】(1)84米
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
(1) 在中，利用三角函数求出．如图(1)，过点C作于点F，过点A作于点G，则四边形是矩形，根据矩形的性质及线段的和差即可求出点C到地面的距离．
(2) 作于，在中，根据，是定值，随着的增大而增大，可知当两点重合，与相切于点B时，，最大，此时最大，，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
．
如图(1)，过点C作于点F，过点A作于点G，
，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
故点C到地面的距离约为84米．
（2）解：作于，
在中，，
是定值，
随着的增大而增大，当两点重合，与相切于点B时，，最大，此时最大，此时，
如图(2)．
在中，．
，
，
故视角的最大值为．
变式5．如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东．（参考数据：，）
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？
【答案】(1)283米
(2)经过点B到达点D较近
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
（1）过作的垂线，垂足为，可得四边形是矩形，从而得到米，再证得为等腰直角三角形，即可求解；
（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．
【详解】（1）解：过作于，如图：
由已知可得四边形是矩形，
米，
∵点在点的北偏东，即，
∴是等腰直角三角形，
米，
答：步道DE的长度约为283米．
（2）解：由（1）知是等腰直角三角形，米，
米，
∵点在点的北偏东，即，
∴，
∵米，
∴米，米，
∵米，
∴经过点到达点路程为米，
米，
米，
米，
∴经过点到达点路程为米，
，
∴经过点到达点较近．
变式6．物流中心与三个菜鸟驿站、、的平面示意图如下图．在的正南方，在的东南方向上且在的北偏东方向上，在的正东方且，已知．（参考数据：，，，）．
(1)求驿站、之间的距离；
(2)派送员小外计划从出发沿着的路线派送快递到三个驿站，上午完成快递派送．但导航显示路段拥堵严重，于是他改变路线（出发），沿着的路线派送快递到三个驿站．若路段行驶的平均速度为，其余路段的平均行驶速度为且小外在每个驿站均停留存放快递．请通过计算说明他能否在之前完成派送．
【答案】(1)驿站、之间的距离约为；
(2)他能在之前完成派送，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；
（1）过点作于点，设，则，根据，，得出，，进而建立方程，解方程得出，在中，根据即可求解；
（2）过点作于点，求得，进而可得所需时间，分别求得所需时间，加上每个驿站均停留的时间，与分钟比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
设，则
∵在的东南方向上，在的正东方且，
∴，，
∴，
∴
解得：
在中，
答：驿站、之间的距离约为；
（2）解：如图所示，过点作于点，
∴四边形是矩形，
又∵
∴四边形是正方形，
∴
∵
∴，
∴，
∵路段行驶的平均速度为，
∴所需时间为小时，
其余路段的平均行驶速度为
∴所需时间为小时
所以总共用时为：小时
分钟分钟
∴他能在之前完成派送．
变式7．某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为．
（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）点距离地面113厘米；（2）长为58厘米
【分析】（1）过点作交于，利用60°三角函数可求FC，根据线段和差求即可；
（2）过点作垂直于地面于点，过点作交于点，过点作交于点，可证四边形ABGN为矩形，利用三角函数先求，利用MG与CN的重叠部分求，然后求出CM，利用三角函数即可求出CD．
【详解】解：（1）过点作交于，
∵，
∴，
，
，
∴，
答：点距离地面113厘米；
（2）过点作垂直于地面于点，
过点作交于点，
过点作交于点，
∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN为矩形，
∴AB=GN=84(cm)，
∵，将支杆绕点顺时针旋转，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴，
，
，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
答：长为58厘米．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义，矩形判定与性质是解题关键．
变式8．小新的数学研学日记
课题：测量旗杆的高度 地点：操场 时间：2025月1月13日 昨天，晴．高老师要带我们去操场测量旗杆的高度，我们小组设计方案：小卓拿着标杆垂直于地面放置，我和小越用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为______． 今天，阴．设计方案：如图2所示，高老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.3米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台时剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？
请你回答小新的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据：，，；，，）
【答案】①；②能求出旗杆高度，为米
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解决本题的关键是要熟练掌握解直角三角形的方法．
①首先证明出，得到，然后代入即可求出；
②如图所示，过点H，作于N，设米，解直角三角形得到的长，进而求解即可．
【详解】解：①由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②能求出旗杆高度，理由如下：
如图所示，过点H，作于N，则由题意得,
设米，
米，
在中，，
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
答：能求出旗杆高度，为米．
易错陷阱三：三角函数综合
易错点7:三角函数与三角形综合
一、锐角三角函数的基本定义
1.正弦函数（sin）：在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，即sin(θ) = 对边/斜边。
2.余弦函数（cos）：在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比值，即cos(θ) = 邻边/斜边。
3.正切函数（tan）：在直角三角形中，锐角的正切值等于对边与邻边的比值，即tan(θ) = 对边/邻边。
二、互余角的三角函数关系
正弦和余弦：sin(90° - θ) = cos(θ)，cos(90° - θ) = sin(θ)。
正切和余切：tan(90° - θ) = 1/tan(θ)。
三、特殊角的三角函数值
如30°、45°、60°等特殊角度的三角函数值需要熟记，它们在解题中经常用到。
四、锐角三角函数的应用
锐角三角函数在解直角三角形、测量高度和距离等实际问题中有着广泛的应用。
易错提醒：（1）忽视直角三角形条件（2）混淆三角函数关系（3）混淆特殊角的三角函数值。
易错点8:三角函数与四边形综合
一、四边形的基本性质
四边形包括平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等，它们各自具有独特的性质。例如，平行四边形的对边平行且相等，矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都相等，正方形的四条边相等且四个角都是直角，梯形的上下底平行等。
二、锐角三角函数与四边形的综合应用
在解决四边形问题时，如果四边形中存在直角三角形或者可以通过构造直角三角形来求解，那么就可以利用锐角三角函数来求解。例如，在平行四边形中，如果知道一个锐角和一条边，就可以利用三角函数求出另一条边的长度。在梯形中，如果知道梯形的上下底和高，以及一个锐角，也可以利用三角函数求出梯形的另一条腰的长度。
易错提醒：（1）忽视直角三角形的条件（2）混淆特殊角的三角函数值（3）忽视四边形的性质
易错点9:三角函数与圆综合
锐角三角函数与圆的综合
1.利用圆的性质构造直角三角形，进而求解锐角三角函数值。
2.根据锐角三角函数值，结合圆的性质求解相关问题，如圆的半径、弦长等。
易错提醒：（1）忽视直角三角形条件（2）混淆特殊角的三角函数值（3）忽视圆的性质。
例7．在等腰中，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交BC的延长线于点F，由正切函数得，设，，利用勾股定理分别求出，，，则，再求出，则，，，进而得， ，根据得，设，，则，，由正切函数，，即可求解．
【详解】解：过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交的延长线于点F，如图所示：
，
在中，，
∴设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
设，，
，
，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
∴，
解得：，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理，掌握似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，能构建相似三角形，并能熟练利用正切函数和勾股定理进行求解是解题的关键．
例8．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点均在坐标轴上，且，．若反比例函数经过边的中点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的边角关系、勾股定理以及菱形的性质，掌握菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．根据直角三角形的边角关系以及勾股定理可求出点、点的坐标，再根据线段中点坐标的计算公式求出点坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值．
【详解】解：在中，，，
设，则，由勾股定理得，
，
即，
解得（取正值），
，
四边形是菱形，且顶点都在坐标轴上，
，，，
点是的中点，，，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
例9．如图，在中，，经过，两点，与斜边 交于点 ，连接 并延长交于点，交于点，连接，过点的切线与交于点，且．
(1)求证： ；
(2)若 求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的性质，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质．
（1）连接，根据是的切线可得进而可得，再由同弧所对圆周角等于圆心角度数的一半可得，进而可得是等腰直角三角形，即得．
（2）由直径所对圆周角等于，可得，进而可得，从而证明，得出，再结合已知， ，可得，，， 进而求得，，由勾股定理求出，进而求出，，进而求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的半径，是的切线；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
变式1．如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，作出辅助线及准确找到各线段之间的关系是解决本题的关键．
先求出，由等腰直角三角形的性质可得，由锐角三角函数可求的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，
∵将沿着折痕翻折，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
变式2．在中， ．将绕点C旋转，点A对应点为点，点落在中边上中线的延长线上．则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由，设，由勾股定理求出的长，再证明，得到，最后算出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：作，垂足为，如图：
∵，设，
∵，
∴由勾股定理，得，
∵D为中点，
∴，
∵，
∴由勾股定理，得，
在与中，
∵，，
∴，
∴，
∴， ，
由旋转得，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
故答案为：．
变式3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，， 且点在反比例函数上，点在反比例函数上，则的值为 ．
【答案】16
【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，由，设，由点在反比例函数上，得，根据勾股定理得到，由此得到，，，根据菱形的性质可证，得到，，则，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
设，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴，，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法，勾股定理，反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键．
变式4．如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿BE折叠得到，点F刚好落在边AD上，H、G分别是边上一点，已知，，，，连接HE、HG，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，余弦函数．利用折叠的性质结合勾股定理求得，利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，且，再利用余弦函数的定义即可求解．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
连接，作于点，
∴四边形是矩形，由折叠的性质得，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
故答案为：．
变式5．如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)连接、、，若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等量代换求得，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）利用圆周角定理得到，则，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质得到的长，设的半径为r，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，，如图，
∵点C是半圆的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
即，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
设的半径为r，则，
∵，
∴，
解得：．
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，弦切角定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
变式6．如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据平行线的性质得，，再结合等边对等角得，再证明，则，即可作答．
（2）先设，则结合勾股定理表示，运用，分别得出在，则，得，通过证明，即，得，即可作答．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是切线．
（2）解：∵，
∴设，则，
∴在中，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
解得，
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，解直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
1．在正方形网格中，的位置如图所示，点、、均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解．过点作垂直的延长线于点，得出为等腰直角三角形，再根据角的余弦值即可得出答案．
【详解】解：如图所示，过点作垂直的延长线于点，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
故选：B．
2．图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点E作于点I，利用三角函数得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质可得，最后勾股定理求得，即可．
【详解】解：过点E作于点I，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵长为米，米，，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
故选：A．
【点睛】本题考查了正切函数的应用，平行线的性质，等腰三角形的三线合一性质，余角的性质，熟练掌握正切函数，等腰三角形的性质是解题的关键．
3．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义，三角函数，过点作轴于，过点作轴于，易得，即得，又根据反比例函数比例系数的几何意义可得，，进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，最后由正切函数的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ．
【答案】30
【分析】本题考查了坡度的计算，特殊角的三角函数值的计算，理解坡度的含义，掌握特殊角的三角函数的计算是解题的关键．
根据坡度坡面的垂直高度和水平宽度的比值，即坡角的正切值，其中是斜坡与水平面之间的夹角，由此即可求解．
【详解】解：设坡角为，
∴，
∴,
故答案为： ．
5．如图，将三角板的直角顶点放置在直线上的点处，使斜边．则的余弦值为 ．
【答案】
【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，根据平行线的性质及特殊角的三角函数值解答，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：．
6．如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查矩形的性质，翻转变化的性质，勾股定理；
连接交于点F，设，则，求出，结合点C与点A关于直线对称，得到，垂直平分，求出，即可求出．
【详解】解：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点分别落在点处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，
，
∵，
∴，
，
∴
∴
故答案为：2．
7．（1）计算：
（2）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1），（2），数轴见详解
【分析】（1）先根据负整数指数幂，三角函数值，二次根式的性质进行运算，再计算加减法；
（2）先解不等式的解集，再将不等式组的解集在数轴上表示出来．
【详解】（1）
；
（2）
，
在数轴上表示：
【点睛】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集等知识，熟练掌握实数运算的法则以及解一元一次不等式是解答本题的关键．
8．图是水池边的一块警示牌的侧面示意图，矩形铁架垂直固定在水平地面上，铁架上面是一个边缘为圆弧形的塑料面板． 已知，，优 弧所在圆的圆心的距离为， 小龙在水池对面的点E处用测角仪测得塑料面板点 F 处的仰角为 （注：此时视线与圆弧形塑料面板相切，且与矩形在同一平面内，点E，A，B 在同一水平线上）．
(1)求优弧所在圆的半径．
(2)求的长度（结果保留根号） ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设优弧所在圆的圆心为O，过点O作的垂线，分别交，于点G，H，连接，由垂径定理可知，，再由勾股定理解即可；
（2）连接，延长，交于点K，由切线的定义得，由含30度角的直角三角形的性质求出，用三角函数解求出，根据即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，设优弧所在圆的圆心为O，
过点O作的垂线，分别交，于点G，H，连接，
则，，
，
由垂径定理可知，平分，
，
在中，由勾股定理得：，
优弧所在圆的半径为．
（2）解：如图，连接，延长，交于点K，
是的切线，
，
，，
，
，
，
在 中，，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解直角三角形，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是根据题干描述抽象出数学模型，通过作辅助线解决问题．
9．如图，内接于，是的直径的延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线
(2)若的半径为，，求的长和的值；
(3)过圆心作的平行线交的延长线于点．若，，求的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)1，；
(3)3．
【分析】本题考查了切线的判定、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角函数等，解题的关键是证明相似三角形．
（1）由等腰三角形的性质得到，再证明，即可得到结论；
（2）证明，得到，求出即可得到答案；
（3）根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，得到，求出即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，，
，
；
，，
，
，
在中，，
；
（3）解：∵，
，
，，
，
设，则，
，
是直角三角形，
在中，，
，
解得，，
，即的半径为．
10．中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市的地标建筑之一．中原福塔分为塔座、塔身、塔楼、桅 杆四个部分，福塔顶部桅杆天线高． 某校“综合与实践”小组的同学把“测量中原福塔的高度”作为 一项课题活动，他们制定了两种测量方案，并完成实地测量，如下表所示
课题 测量中原福塔的高度
方案 方案一 方案二
测量示意图
方案说明（点A，B，C，D，E，F，G在同一 竖直平面内） 在C处测得桅杆顶部A的仰角为，测得桅 杆底部D的仰角为． 距地面高度为（）的无人机在F处测得点A的仰角，中原福塔底部边缘G处的俯角．
计算中原福塔的高度 …… ……
(1)数学老师说方案一的结果与中原福塔的实际高度误差较小，方案二的结果误差较大．方案二的结果与实际中原福塔的高度相比是偏 （填“大”或“小”），请说明方案二产生较大误差的原因．
(2)请根据方案一中的测量数据，求出中原福塔的高度（结果精确到．参考数据：，）
【答案】(1)小，见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，方案二在解答时，的被忽略了，将的长作为点F到的距离进行计算，导致误差较大，与实际相比，偏小了．
（2）设，，解直角三角形即可．
本题考查了解直角三角形-仰角，俯角的计算，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，方案二在解答时，的长度被忽略了，将的长即作为点F到的距离即进行计算，导致误差较大，
∵
∴与实际相比，偏小了．
故答案为：小．
（2）解：设，，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
解得，
∴．
答：中原福塔的高度大约是387米．
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