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易错点11 最值问题与找规律问题
易错陷阱一：几何最值
易错点1:点的路径长
一、点的运动轨迹
点的运动轨迹是解题的基础，常见的轨迹有线段、折线和圆弧。需要根据题目条件，分析动点的运动规律，确定其轨迹类型。
1.线段轨迹：当动点到某条直线或线段的距离相等或不变时，其运动轨迹为线段。
2.折线轨迹：动点在运动过程中可能来回运动，形成折线轨迹。
3.圆弧轨迹：当动点在运动过程中到某一个定点的距离不变时，其运动轨迹为圆弧。此时，需要确定圆弧的圆心、半径和圆心角，以便后续计算路径长。
二、路径长的计算
1.线段路径长：直接利用线段长度公式进行计算。
2.圆弧路径长：利用弧长公式进行计算，即弧长=圆心角×π×半径/180。
3.复杂路径长：对于包含多种轨迹的复杂路径，需要分段计算后求和。
三、解题技巧
1.利用几何图形性质：如平行四边形的对边相等、三角形的中位线性质等，简化计算。
2.构造辅助线：通过构造辅助线，揭示隐藏条件，帮助确定动点轨迹。
3.利用函数关系：在某些情况下，可以通过建立线段长的函数关系，从函数的角度求解轨迹长度。
易错提醒：（1）轨迹判断错误（2）圆心角和半径确定不准确（3）忽视题目中的隐藏条件
易错点2:相切最大
一、相切的定义
相切是平面上的圆与另一个几何形状（如圆、直线、多边形等）的一种特殊位置关系。当两者只有一个公共点时，称它们相切，这个公共点称为切点。
圆与直线相切：直线与圆有且仅有一个交点，即直线是圆的切线，该交点为切点。
圆与圆相切：两个圆有且仅有一个交点，分为外切和内切两种情况。外切时，圆心距等于两圆半径之和；内切时，圆心距等于大圆半径减小圆半径。
相切的性质
切线与半径垂直：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且切点连线平分该点与圆心的连线（即连心线）。
相切与最值问题：在特定条件下，当两个图形相切时，某些量（如角、面积等）会取得最大值或最小值。这通常与图形的性质、位置关系以及给定的条件有关。
易错提醒：（1）对相切定义的理解不准确（2）忽视切线的性质（3）对最值问题的理解不深入（4）忽视图形的特殊情况
易错点3:瓜豆原理
瓜豆原理主要涉及初中数学中的动点轨迹问题，特别是动点轨迹为直线和圆的情况。其核心考点在于理解主动点、从动点、定点、旋转角和放缩比例这五个关键要素。解题时，往往会用到全等三角形和相似三角形的性质。
知识点：
瓜豆原理本质上描述了一个“跟随者”与一个“领导者”的关系。在这个模型中，“跟随者”以“领导者”为参考点，跟随其运动路径移动，且移动速度与“领导者”保持一致。通过这个原理，可以解决一系列与距离和速度相关的问题，如相遇问题、追及问题等。此外，瓜豆原理还与“四点共圆”和“三点共圆”问题密切相关，是解决这类几何问题的重要工具。
易错提醒：（1）对瓜豆原理的本质理解不够深入（2）在确定参考点时出错（3）忽视实际因素的影响（4）在建立数学模型时遇到困难（5）对计算结果的不确定性处理不当。
易错点4:面积最值
一、明确问题条件，确定需要求解的是面积的最大值还是最小值。
二、将几何图形的面积转化为数学表达式。这通常需要将几何图形的面积分解为三角形面积的和或差，并利用坐标轴上的点或平行于坐标轴的线段来简化计算。
三、利用函数知识求解面积表达式的最值。这可能涉及到二次函数、一次函数或其他类型的函数。需要根据函数的性质，如开口方向、顶点坐标等，来确定面积的最大值或最小值。
四、验证解的正确性。在求解最值问题后，需要回到原问题中验证解是否满足所有条件，并检查是否存在其他可能的解。
易错提醒：（1）忽视题目条件（2）面积表达式错误（3）函数性质理解不清（4）解验证不足。
例1．如图，在等边中，于点分别是上的动点，且，点M在的右上方，且．当P从点A运动到点B时，点M的运动路径长为 ．
【答案】
【分析】如图1中，作于于，连接．首先证明平分，推出点的在射线上运动，求出的最大值和最小值，根据点的运动路径求解即可．
【详解】解：如图1中，作于于，连接．
∵是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
∴点的在射线上运动．
如图2中，由题意，，
当时，的值最大，最大值，
当落在上时，得到的值最小，最小值，
设交于，
点的运动路径是，
∴点的运动路径的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查轨迹，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
例2．如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为 ．
【答案】
【分析】连接OP，OM，根据切线长定理可知，因为，故当OP最小（即OP垂直AC时），最大，此时最大，由此得到P点，再求出OP长，在Rt△PMO中求出PM即可解答．
【详解】解：连接OP，OM，
∵PM、PN相切于点M、N，
∴，，
∴，
又∵在矩形ABCD中，CD=AB=4，CD是⊙O直径，
∴，
∴故当OP最小（即OP垂直AC时），最大，
延长DC交直线AE于点G，
∵E是BC的中点，BC=6，
∴BE=EC=3,
∵在矩形ABCD中，，
∴，
∵在矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴EG=5，CG=3，
∴OG=OC+CG=2+4=6，
又∵OP垂直AC时，最大，
∴，
在Rt△PMO中，，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了几何的最值问题，综合性强，涉及了圆的切线性质，矩形性质、解三角形、点到直线的距离垂线段最小等知识，解题关键是切线长定理可知，然后关键在Rt△PMO中最大，此时最大，得出OP垂直AC时，最大．
例3．如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的性质以及三角形三边关系等知识，延长到，使，连接，证明，求得，由三角形三连关系可得结论．
【详解】解：延长到，使，连接，如图，
∴
又，
.∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：.
例4．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
(1)写出、、的坐标；
(2)当时，求函数值的取值范围；
(3)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为
【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）分别令，进行求解即可；
（2）根据二次函数的增减性进行求解即可；
（3）连接，分割法表示出的面积，利用二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，解得：，
∴；
（2）∵，
∴对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值为，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴当时，；
（3）连接，
∵，
∴，
设点，
∴
，
，
∵点P是第四象限内抛物线上一动点，
∴，
∴当时，S有最大值，最大值为．
变式1．如图，正方形的边长为8，P为边上的动点，连接，作交边于点．当点从B运动到C时，线段的中点M所经过的路径长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、中位线的性质定理、二次函数求最值等问题；
本题先连接，取的中点，连接，由中位线的性质得，且，所以点的运动路径是一条线段，求运动路径就是求的最大值的一半．设，，建立，的函数关系式，讨论函数的最大值．
【详解】解：连接，取的中点，连接，如图：
，
∵点和点分别是线段和线段的中点，
∴由中位线的性质得，且，
∵，
∴点运动路径是经过点且平行于的一条线段，
设，，
∵ 四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴当时，的最大值为，
∴的最大值为，
故答案为：．
变式2．如图，点B在线段上，点D，E在同侧，，，，，点P为线段上的动点，连接，作，交直线于点Q，当点P从A点运动到的中点时，线段的中点所经过的路径（线段）长为 ．
【答案】
【分析】本题考查图形的运动、相似三角形判定与性质、勾股定理等知识点．设线段的中点为点O，线段的中点为点G，过点G作于点H，连接，得到线段的中点G在线段的垂直平分线上运动，当点P与点O重合时，则此时线段的长就是线段中点G经过的路径长，再利用相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质结合勾股定理求解即可．
【详解】解：设线段的中点为点O，线段的中点为点G，过点G作于点H，连接，
，
，
垂直平分，
∴线段的中点G在线段的垂直平分线上运动，
如解图①，当点P与点A重合时，则点G与点H重合，
如解图②，当点P与点O重合时，则此时线段的长就是线段中点G经过的路径长，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故线段的中点G经过的路径长为．
故答案为：．
变式3．如图，是的直径，，与相切于点，，点在切线上，则当最大时， ．

【答案】/30度
【分析】本题主要考查了切线，圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．连接，，由圆周角定理的推论得，从而得当的度数最大时，和重合，，再由直角三角形的两锐角互余求得，从而即可得解．
【详解】解：连接，,交于点M，

∵直线与以线段为直径的圆相切于点，
∴，
∵,当点P与点M重合时，等号成立，
∴，当和重合，等号成立，
当时，
∵，
∴，
∴当的度数最大时，的度数为，
故答案为：．
变式4．如图，等边△ABC的边长为6，三角形内部有一个半径为1的，若含与△ABC边相切的情况，则点P可移动的最大范围（最大面积）是 ．
【答案】/
【分析】如图，当与△ABC的边相切时，圆心P可移动的范围为，过点作，过点作，有，进而．同理可得，，则，由此求解即可．
【详解】如图，当与△ABC的边相切时，圆心P可移动的范围为，
根据题意可知，即，，，且三边到△ABC三边的距离相等．
过点作，过点作，有，进而有．同理可得，，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确得到圆心P可移动的范围为．
变式5．如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】连接，过点作于点M，过点G作于点H，根据题意可证明，得到，根据勾股定理可求出，证明，由为的中点，，可得，可得，在与直线相距的直线上运动，为与轨迹的交点，则，当共线时，，，此时最小，再进一步求解即可．
【详解】解：连接，过点作于点M，过点G作于点H，
∴，
，，，
，，
，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴在与直线相距的直线上运动，为与轨迹的交点，则，
当共线时，，，此时最小，
此时，，
过作于，则四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，四边形为矩形，
∴，
∴，
的最小值为9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，最值问题，勾股定理，三角形的中位线的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，解题的关键是作出合适的辅助线．
变式6．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定性质，勾股定理，三角形三边关系求最值，难度较大，解题的关键在于构造相似三角形进行转化．
过点C作，使，连接，证明，推出，则，可知当点D，F，H在同一条直线时，取最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点C作，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，而
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点D，F，H在同一条直线时，取得最小值，最小值为，
在中，，，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
变式7．如图1，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点．
(1)直接写出该二次函数的表达式为 ___________；
(2)连接，求四边形面积的最大值；
(3)如图2，连结交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为：或
【分析】（1）根据二次函数与y轴的交点可得，，则，将点的坐标代入抛物线表达式，运用待定系数法即可求解；
（2）根据点的坐标可得直线的解析式，由二次函数与坐标轴的交点的计算可得点的坐标，如图所示，过点作轴的垂线，交于点，可得，由此可得四边形面积，代入计算，再根据二次函数求最值的计算方法即可求解；
（3）设点，则点，可得直线的表达式为：，根据两直线的交点的计算可得点的坐标为：，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，则点在的中垂线上；当时，即；由此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数中，令时，，
∴，
∴，
∴点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
故答案为：；
（2）解：，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的表达式为：，
在二次函数中，当时，，
解得，，
∴，则，
如图所示，过点作轴的垂线，交于点，
∵点为抛物线第二象限上一动点，
∴设点，则点，
∴，
∴四边形面积
，
∵，
故四边形面积存在最大值，
当时，四边形ABCP面积的最大值为；
（3）解：设点，则点，
设直线的解析式为：，，
∴，
解得，，
∴直线的表达式为：，
联立上式和直线的表达式得：，
解得：，则点的坐标为：，
由直线的表达式知，其和轴正半轴的夹角为，
如果，则，则，故不存在，
则，
而，
当时，
则点在的中垂线上，则，
∴，
解得：（舍去）或，
即点；
当时，即，
解得：（舍去）或，
即点，
综上，点P的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，等腰三角形的定义及性质，掌握二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
变式8．如图1，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象交于另一点，射线与y轴交于点C，，轴于点D．
(1)填空：
①k的值为__________．
②_________；直线的函数解析式为__________．
(2)如图2，M是线段上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线轴，与交于点N，连接．求面积的最大值．
【答案】(1)①；②；
(2)
【分析】本题考查了待定系数法确定反比例函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函数的最大值，锐角三角函数，坐标与图形等知识点．综合性比较强．掌握待定系数法及二次函数最大值的求法是关键．
（1）①由点在反比例函数图象上，用待定系数法确定反比例函数的解析式；
②由反比例函数解析式先求出点的坐标，过作于，可得到、间的长度关系，从而得到的度数，再根据的度数求出，从而得到的值，根据的值及线段的和差关系，求得点的坐标，从而确定一次函数的解析式；
（2）设的横坐标为，可知道、点的坐标，利用三角形的面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质，得到的最大面积．
【详解】（1）①解：∵反比例函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
②解：∵，所以反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数的图象上，
，
，
过作于，
则．
，
又，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
故答案为：；．
（2）解：设，
则，
则，
∴，
∵，，
∴当时，的面积有最大值，最大值为．
易错陷阱二：代数最值
易错点5:二次函数配方法最值
配方法是一种基于二次函数的最值问题的解决方法，它的基本思想是将一个二次函数通过配方化为顶点式，从而找到函数的最值。对于一个二次函数，可以通过以下步骤将其配方为顶点式，并找到最值：
确定二次函数的一般式：
二、求出二次函数的顶点横坐标。
三、判断二次函数的开口方向和对称轴位置：若Δ=b2-4ac>0，则抛物线开口向上，对称轴为直线x=x1或x2；若Δ=b2-4ac<0，则抛物线开口向下，对称轴不存在。
四、根据对称轴的位置，确定函数的最值。当抛物线开口向上时，函数在对称轴处取得最小值；当抛物线开口向下时，函数在对称轴处取得最大值。
五、若自变量x的取值范围有限制，则需比较端点和顶点的函数值来确定最值。
易错提醒：（1）记忆错误或计算错误导致顶点坐标求解不准确。（2）混淆左右平移和上下平移对h和k的影响，导致函数图像变换错误，进而影响最值的求解（3）在求解最值时，忽视定义域限制，未结合定义域和顶点坐标综合考虑，导致最值求解错误（4）无法准确地将一般式转化为顶点式或完全平方形式，导致配方失败，无法找到最值（5）仅凭开口方向判断单调区间和最值，未考虑对称轴位置，导致判断错误。
易错点6:二次函数的增减性最值
一、增减性
1 二次函数的增减性取决于其开口方向和对称轴位置。当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧递减，右侧递增；当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧递增，右侧递减。
二、最值
1 对于开口向上的抛物线（a>0），函数有最小值，且最小值出现在顶点处，y有最小值。
2 对于开口向下的抛物线（a<0），函数有最大值，且最大值出现在顶点处，y有最大值。
易错提醒：（1）忽视x的取值范围导致最值求解错误。在求解最值时，需结合x的取值范围和顶点坐标综合考虑。若x的取值范围有限制，则需比较端点和顶点的函数值来确定最值（2）混淆左右平移和上下平移对函数图像的影响，从而误判最值位置。向左平移h个单位，向右平移-h个单位；向上平移k个单位，向下平移-k个单位。平移会改变顶点的坐标，从而影响最值的位置。（3）仅凭开口方向判断单调区间，未考虑对称轴位置。应综合开口方向和对称轴位置来判断函数的单调区间。（4）在求解顶点坐标和最值时，计算错误导致结果不准确。应熟练掌握并正确应用顶点坐标公式和最值公式。
例5．抛物线有（ ）
A．最小值3 B．最大值3 C．最大值 D．最小值
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质；根据二次函数顶点式知，当二次项系数为负时，函数有最大值，据此即可求解．
【详解】解：对于，
二次项系数为负，从而函数有最大值3；
故选：B．
例6．已知二次函数（为常数）的图像经过点和．
(1)求二次函数的表达式．
(2)若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图像上，求的值．
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数关系式即可得到答案；
（2）根据抛物线的对称性可求出，再由点的平移得到，由点在抛物线上，将点代入表达式解方程即可得到答案；
（3）利用二次函数图象与性质，根据二次函数的最大值与最小值的和为，分情况列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：把和代入，
得，
解得，
二次函数的关系式为；
（2）解：由题意可得，
抛物线对称轴为直线，、关于抛物线的对称轴对称，
则，
再向左平移个单位长度后的点为，
点恰好落在的图象上，
，
解得，．
，
；
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为，
当时，二次函数的最小值为，最大值为7，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，二次函数的最小值为，最大值为7，
则，符合题意；
当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为，不合题意；
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象对称性、点的平移、二次函数最值及解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
变式1．已知非负数x，y，z满足，设的最大值为a，最小值为b，则的值为（ ）
A．4 B．9 C．16 D．19
【答案】B
【分析】
本题考查了二次函数的最值问题，用x表示出y、z并求出x的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于x的函数关系式．
用x表示出y、z并求出x的取值范围，再代入S整理成关于x的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出a、b的值，再相减即可得解．
【详解】
解：∵，
，
∵y，z都是非负数，
，
解不等式①得，，
解不等式得，，
，
又 ∵x是非负数，
，
，
∴对称轴为直线，
∴时，最小值，
时，最大值，
．
故选：B．
变式2．如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，第个图案由个小正方形组成……依此规律，第个图案由个小正方形组成，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据规律归纳出第个图形中小正方形的数量解题的关键．根据前面几个图形可得到第个图形中小正方形的数量为，即可求解．
【详解】解：第个图案由个小正方形组成，
第个图案由个小正方形组成，
第个图案由个小正方形组成，
第个图案由个小正方形组成，
第个图形由小正方形组成，
第个图案由个小正方形组成，
故选：C．
变式3．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
(2)点，在抛物线上，其中，．
①若的最小值是，求的值
②若对于，，都有，求t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)； 或．
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，利用配方法求顶点坐标，对称轴，最值，根据函数值的关系求参数的范围，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
（2）先确定出当时，的最小值为t，进而求出t，从而求得解析式，再根据求得，代入解析式即可求出答案；
先由求得抛物线的开口方向和对称轴，再分两种情况，根据题意，利用，，得到关于t的不等式组，解不等式组即可求出答案．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：，
抛物线的对称轴为，
，
抛物线开口向上，
，
当时，的最小值为，
的最小值是，
，
，
抛物线表达式为：，
；
抛物线抛物线的对称轴为，
关于对称轴的对称点为：，
点，在抛物线上，
其中，，对于，，都有，
当在对称轴的右侧时，则，解得，
当在对称轴的左侧时，则，解得，
即满足条件的t的取值范围为或．
变式4．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”．
(1)分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由．
(2)设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值．
(3)若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”．
①求该二次函数的表达式；
②当时，二次函数 的最小值为 ，最大值为0，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)4或
(3)①；②
【分析】（1）根据定义将代入方程，解方程判断即可；
（2）同（1）先求得“互反点”、，得到，利用，解方程即可得到答案；
（3）①把代入得，根据题意可知二次函数的图象与直线有且只有一个交点，利用，得到方程解之得到值，即可得到解析式；②将①得到的解析式化为顶点式，得到其对称轴和最小值，再求得其与轴的两个交点坐标，即可判断出的取值范围．
【详解】（1）解：函数的图象上存在“互反点”．
根据题意，得：，
解得：
函数的图象上“互反点”的坐标为
函数的图象上存在“互反点”．
根据题意，得：
解得：，
函数的图象上“互反点”的坐标为．
（2）解：在函数中，令，
解得：（负值已舍去），
，
在函数中，令，
解得：，
，
，
，
，解得：或；或无解．
的值为4或．
（3）解：①根据题意，把代入得，
．
函数图象上的“互反点”必在直线上，
二次函数的图象上有且只有一个“互反点”，
也就是二次函数的图象与直线有且只有一个交点，
即，有且仅有一个解，
联立方程组整理，得：，
由，
解得：，，
该二次函数的表达式为．
②，
其图象的对称轴为直线，最小值为，
当时，，解得：或
二次函数图象与轴交点的坐标为和，
当时，二次函数的最小值为，最大值为0．
的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点，理解新定义并熟练应用是解题的关键．
易错陷阱三：找规律问题
易错点7:点坐标规律问题
一、点的坐标与距离
点P(x,y)到x轴的距离等于|y|，到y轴的距离等于|x|。这是确定点位置的重要性质。
二、象限点与轴上点的坐标特征
1.第一象限：x>0, y>0
2.第二象限：x<0, y>0
3.第三象限：x<0, y<0
4.第四象限：x>0, y<0
轴上点：
1.x轴上：y=0
2.y轴上：x=0
三、与坐标轴平行的直线及象限角平分线上的点的坐标特征
1.平行于x轴的直线上的点纵坐标相等。
2.平行于y轴的直线上的点横坐标相等。
3.第一、三象限角角平分线上的点：x=y
4.第二、四象限角角平分线上的点：x+y=0
易错提醒：（1）忽略点坐标是有序实数对（2）混淆点的坐标与点到坐标轴的距离（3）关于坐标轴对称的点的坐标规律混淆（4）平行于坐标轴的直线的点的坐标特征理解错误
易错点8:图形规律问题
一、图形排列规律
1 数字阶梯型规律：数字按照一定的规律排列成阶梯状，需要观察阶梯上数字的差值，找出相邻数字之间的规律。
2 数字交错型规律：数字在不同的位置交错出现，需要观察数字交错的顺序，找出相邻数字之间的规律。
3 数字镜像型规律：数字沿着某个轴对称出现，需要找出对称轴，观察对称轴两侧的数字，找出相邻数字之间的规律。
4 图形旋转型规律：图形围绕某个点旋转出现，需要观察图形旋转的方向和角度，找出相邻图形之间的规律。
5 图形平移型规律：图形在平面上沿着某个方向平移出现，需要观察图形的平移方向和距离，找出相邻图形之间的规律。
6 图形变形型规律：图形在变形中出现，需要观察图形的变形规律，找出相邻图形之间的关系。
二、图形组合与周期规律
1 图形组合规律：将不同图形规律结合在一起，需拆分图形，找出各个部分的规律并进行组合。
2 图形周期规律：观察图形变化特点，找到重合点即为一个周期，利用数形结合思想求解。
三、等差规律
将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，若后一项与前一项的差均相等，即为等差规律。
易错提醒：（1）观察不细致（2）分类讨论不全（3）忽视图形数量变化的规律（4）混淆不同规律类型
例7.函数在有最大值6，则实数的值是 ．
【答案】或．
【分析】本题主要考查了二次函数求最值问题，根据题意正确分三种情况讨论是解题关键．
先求出而二次函数的对称轴，再分，，三种情况，分别根据函数最大值时列方程求出a的值即可解答．
【详解】解：∵二次函数，
∴其对称轴为，
根据题意可知，分以下三种情况：
①当时，
在内，y随x的增大而减小，
则当时，y取得最大值，最大值为，解得，符合题意；
②当时，
在内，当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小，
则当时，y取得最大值，最大值为．解得：或（不符合条件舍弃）；
③当时，
在内，y随x的增大而增大，
则当时，y取得最大值，最大值为，解得：，不符合题意；
综上，或．
例8.我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：
用含n的式子表示第n个图的钢管总数．
【分析思路】
图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．
如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第n个图形钢管总数）．
【解决问题】
(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律．
， ___________．
(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律：
___________， ___________， ___________， ___________．
(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数为___________．
【答案】(1)；
(2)，，，；
(3)．
【分析】（1）根据所给的式子的形式进行解答即可；
（2）结合图形的特点，对图形进行分割，从而可求得相应的图形中钢管的总数；
（3）根据（1）（2）进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）如图，
；；；，
故答案为：，，，；
（3）∵；
；
；
，
..．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
变式1．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律经过第次运动后，动点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标规律探究，由图可得动点运动次数为偶数次时，动点的坐标是，据此解答即可求解，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键．
【详解】解：由图可得，第次运动后的坐标是，即，
第次运动后的坐标是，即，
第次运动后的坐标是，即，
第次运动后的坐标是，即，
，
∴动点运动次数为偶数次时，动点的坐标是，即，
∴第次运动后，动点的坐标是，
故答案为：．
变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，找出点坐标的规律变化是解题的关键．
根据点的纵坐标，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解．
【详解】解：已知点的坐标是，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴点的纵坐标为，
同理，，，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
故答案为： ．
变式3．【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题．
(1)【观察发现】当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表．
C D E F
边上的点数x 4 8 8 9
多边形面积S 2 4 4
请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：______．
(2)当多边形内部有2个点时，在如图的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中．
图1 图2
边上的点数x
多边形面积S
归纳S与x之间的关系式为：______．
(3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积．
(4)【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形．
【答案】(1)4.5，
(2)图见解析，表格见解析，
(3)，
(4)，图见解析
【分析】（1）由表格的特殊情况找出规律即可得出结论；
（2）先按要求画出图形，再由特殊情况找出规律即可得出结论；
（3）由（1）（2）得出规律，再用规律求出图形A的面积即可；
（4）先根据格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，列出方程求出x与y的值，再设计符合条件且具有轴对称特点的格点多边形即可．
【详解】（1）观察表格，当时，；
当时，；
∴多边形的面积＝边上的点数的一半，即，
∴当时，，
故答案是：4.5，；
（2）
（答案不唯一）
图1 图2
边上的点数x 6 7
多边形面积S 4 4.5
观察表格，当时，；
当时，；
∴多边形的面积＝边上的点数的一半加上1，即，
故答案是：6，7，4，4.5（答案不唯一）；
（3）设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，则格点多边形的面积为，
∵A图形中，，，
∴，
即A图形中的面积为11.5；
（4）由题意，得，
解之得．
设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形如图所示，
（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查图形规律和应用，一元二次方程组的解法，解题的关键是观察图形，由特殊情况总结规律，并能灵活应用规律解决问题．
变式4．观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题．
(1)填写下表：
图形 挖去三角形的个数
图形1 1
图形2 1＋3
图形3 1＋3＋9
图形4 ___________________
(2)根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数（用含n的代数式表示）；
(3)若图中挖去三角形的个数为，求．
【答案】(1)
(2)＝
(3)
【分析】（1）由图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的（1+3）个小三角形，图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，据此可得；
（2）由（1）中规律可知＝；
（3）将wn+1＝减去wn＝即可得．
【详解】（1）解：图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的（1+3）个小三角形，
图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，
则图4挖去中间的（1+3+32+33）个小三角形，即图4挖去中间的40个小三角形，
故答案为：1+3+32+33；
（2）解：由（1）知，图n中挖去三角形的个数wn＝；
答：wn＝
（3）解：∵wn+1＝，wn＝
∴wn+1﹣wn
＝（）﹣（）
＝3n．
答：wn+1﹣wn＝3n．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是掌握对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
1．如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为，结合即可．
【详解】解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形，
，，，，，，…
∴在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为，
∵，
∴点的坐标为．
故选：A．
2．已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于t的不等式组即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，且顶点坐标为．抛物线开口向上，
∴和时的函数值相等，
∵，当时，函数取得最大值，
∴ ，
又∵当时，函数取得最小值，
∴，
∴，
解得．
故选：C．
3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标．
【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；
，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，
最左边的点坐标为，即第个点的坐标，
第2024个点的坐标为．
故答案为：．
4．如图，M是正方形边的中点，P是正方形内一点，连接，线段以B为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理以及动点问题，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当三点共线时，的值最小，可求，从而可求解．
【详解】解：如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，
的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
如图，当三点共线时，的值最小，
四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
，
由旋转得：，
，
，
的值最小为．
故答案为：．
5．如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．

【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质．结合图形，由已知先证明为正方形，设，则，求出的长，进而求出；由得到，利用二次函数的性质即可求得的面积的最小值．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形为正方形，
，
设，则，
，
，
，解得，
，
，
；
，
，
的面积的最小值是，
故答案为：，．
6．如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】
【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，由等边三角形的性质和勾股定理求出，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，得出点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动，点圆位置关系即可得解．
【详解】解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，
点是等边三角形边的中点，
，，
，
由旋转的性质可得，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动，
如图，

当点在线段上时，的值最小，最小值为，
当点在射线上时，有最大值，最大值为，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加助线是解决此题的关键．
7．如图1，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且．点P为抛物线第二象限上一动点．
(1)直接写出该二次函数的表达式为 ；
(2)连接，求四边形面积的最大值；
(3)如图2，连结交于点H，过点P作y轴的平行线交于点Q．当为等腰三角形时，求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为
(3)点P的坐标为或
【分析】对于（1），先求出点C的坐标，再根据可得点A的坐标，然后根据关系式得出答案；
对于（2），先求出直线的表达式，即可表示出，进而表示出四边形面积，再根据二次函数图像的性质配方讨论极值即可；
对于（3），由（2）点，则点，可得直线的表达式为：，再联立上式和直线的表达式得：，然后表示点H的坐标，再根据直线和x轴正半轴的夹角为开始讨论：当时，判断是否成立，接下来表示出，；当时，根据等腰三角形的性质可得，求出解；当时，可得，求出解．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
∴，
则点，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
故答案为：；
（2）解：如图2，过点P作轴，交于点Q，
由点A、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
则四边形面积，
∵，
故四边形面积存在最大值，
当时，四边形面积的最大值为；
（3）解：由（2）点，则点，
对于抛物线的表达式为：，
当时，，
∴．
将点B、P的坐标代入直线的表达式
解得，
直线的表达式为：，
联立上式和直线的表达式得：，
解得：，则点H的坐标为：，
∵，
∴，
∴直线和x轴正半轴的夹角为．
如果，由可得，则，则，故不存在.
由点Q，H的横坐标可知，
再根据P，Q的纵坐标可知；
当时，则点H在的中垂线上，则，
∴，
解得：（舍去）或，
即点；
当时，即，
解得：（舍去）或，
即点．
综上，点P的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形，求二次函数关系式，等腰三角形的性质和判定，求一次函数的关系式，求二次函数的极值，理解用坐标的差表示线段的长是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2)的最小值为
(3)点N的坐标有或
【分析】（1）先求出，，然后用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式为，过点P作y轴的平行线交于点E，证明得，设，则，表示出的长，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）设将抛物线沿射线方向平移（）个长度单位，则将抛物线沿轴向右平移（）个长度单位，向下平移个长度单位，由二次函数的图象的平移得，由经过点得 ，过点作轴交于，过点作直线交轴于，由勾股定理逆定理得是直角三角形，可得， ①当在射线的下方时，联立直线的解析式及的解析式，即可求解；②当在射线的上方时，由等腰三角形的性质得，由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，从而求出，的长，可求出直线的解析式，联立直线的解析式及及的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：令得，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，代入，得
，
解得，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
则，
∴，
，
，，
，，
，
如图过点P作y轴的平行线交于点E，
∵，
∴，
，
，
∴
设，
则，
，
∵，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为，
作点B关于对称轴的对称点，
∴，
∴当P，Q，共线时，取得最小值，
∴的最小值为；
（3）解：将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，
且，
设将抛物线沿射线方向平移（）个长度单位，
则将抛物线沿轴向右平移（）个长度单位，向下平移个长度单位，
，
新抛物线经过点B，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
，
如图，
过点作轴交于，过点作直线交轴于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
①当在射线的下方时，如图，
当轴时，
，
，
，
联立，
解得：，，
，
，
解得：，，
；
②当在射线的上方时，如图，
直线交轴于，
由①得，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
，
当时，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是此方程的根；
，
直线的解析式为，
联立，
解得：，，
；
综上所述：的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题中的线段最值及角度问题，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能找出求线段和最小值的条件，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
9． 已知点在二次函数 的图象上， 且满足．
(1)如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点P，求；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的对称性、二次函数的性质、面积问题等知识点，熟练掌握二次函数的性质和最值是解题的关键．
（1）把点代入解析式中求得a的值，得到抛物线线解析式可确定顶点坐标P，由得到点是对称点得到，结合，确定点，进而求得、、，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）根据二次函数得到顶点，可判定函数最大值为2，结合最大值与最小值的差为1，确定函数的最小值为1，根据函数的性质分类计算即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
．
∴二次函数的表达式为：．
∴该抛物线的顶点坐标为．
∵，
∴M、N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线，顶点为且，
∴，即，
∴，解得，
，，
∴，，，
．
（2）∵二次函数，顶点为，
∴函数的最大值为2，
①当时，如图，
∵最大值与最小值的差为1，
，
设，的对称点为，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
，
∴，
根据题意得，解得：，
，
∴，
，
∴，解得，
∴，解得；
②当时，如图，
∵最大值与最小值的差为1，
，
设的对称点为，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
，
∴，
根据题意得，解得：，
，
∴，
，
∴，解得，
∴，解得；
综上，a的取值范围为．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；
(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
①求的取值范围；
②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，二次函数的最大值为，最小值为
(3)①；②线段与二次函数的图象只有个交点时，的取值范围为或，有个交点时，的取值范围为
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解；
（2）将二次函数解析式化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，即当时，取最大值为，再结合，计算即可得出答案；
（3）①表示出，分和计算即可得出的取值范围；②由得出，再利用分类讨论和数形结合的思想求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，取最大值为，
∵，
∴当时，取最小值，，
∴当时，二次函数的最大值为，最小值为；
（3）解：①由题意得：，
当时，，的长度随的增大而减小，满足题意，
当时，，的长度随的增大而增大，不满足题意，
∴，
解得：；
②∵，
∴，
解得：，
如图，当时，点在最高点，与图象有1个交点，
，
如图，当时，点与点在对称轴右侧，与图象只有1个交点，
，
直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为，
∴时，与图象有个交点，
，
当时，与图象有1个交点，
，
综上所述，线段与二次函数的图象只有个交点时，的取值范围为或，有个交点时，的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，包括待定系数法二次函数的解析式、二次函数的最值问题、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错点11 最值问题与找规律问题
易错陷阱一：几何最值
易错点1:点的路径长
一、点的运动轨迹
点的运动轨迹是解题的基础，常见的轨迹有线段、折线和圆弧。需要根据题目条件，分析动点的运动规律，确定其轨迹类型。
1.线段轨迹：当动点到某条直线或线段的距离相等或不变时，其运动轨迹为线段。
2.折线轨迹：动点在运动过程中可能来回运动，形成折线轨迹。
3.圆弧轨迹：当动点在运动过程中到某一个定点的距离不变时，其运动轨迹为圆弧。此时，需要确定圆弧的圆心、半径和圆心角，以便后续计算路径长。
二、路径长的计算
1.线段路径长：直接利用线段长度公式进行计算。
2.圆弧路径长：利用弧长公式进行计算，即弧长=圆心角×π×半径/180。
3.复杂路径长：对于包含多种轨迹的复杂路径，需要分段计算后求和。
三、解题技巧
1.利用几何图形性质：如平行四边形的对边相等、三角形的中位线性质等，简化计算。
2.构造辅助线：通过构造辅助线，揭示隐藏条件，帮助确定动点轨迹。
3.利用函数关系：在某些情况下，可以通过建立线段长的函数关系，从函数的角度求解轨迹长度。
易错提醒：（1）轨迹判断错误（2）圆心角和半径确定不准确（3）忽视题目中的隐藏条件
易错点2:相切最大
一、相切的定义
相切是平面上的圆与另一个几何形状（如圆、直线、多边形等）的一种特殊位置关系。当两者只有一个公共点时，称它们相切，这个公共点称为切点。
圆与直线相切：直线与圆有且仅有一个交点，即直线是圆的切线，该交点为切点。
圆与圆相切：两个圆有且仅有一个交点，分为外切和内切两种情况。外切时，圆心距等于两圆半径之和；内切时，圆心距等于大圆半径减小圆半径。
相切的性质
切线与半径垂直：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且切点连线平分该点与圆心的连线（即连心线）。
相切与最值问题：在特定条件下，当两个图形相切时，某些量（如角、面积等）会取得最大值或最小值。这通常与图形的性质、位置关系以及给定的条件有关。
易错提醒：（1）对相切定义的理解不准确（2）忽视切线的性质（3）对最值问题的理解不深入（4）忽视图形的特殊情况
易错点3:瓜豆原理
瓜豆原理主要涉及初中数学中的动点轨迹问题，特别是动点轨迹为直线和圆的情况。其核心考点在于理解主动点、从动点、定点、旋转角和放缩比例这五个关键要素。解题时，往往会用到全等三角形和相似三角形的性质。
知识点：
瓜豆原理本质上描述了一个“跟随者”与一个“领导者”的关系。在这个模型中，“跟随者”以“领导者”为参考点，跟随其运动路径移动，且移动速度与“领导者”保持一致。通过这个原理，可以解决一系列与距离和速度相关的问题，如相遇问题、追及问题等。此外，瓜豆原理还与“四点共圆”和“三点共圆”问题密切相关，是解决这类几何问题的重要工具。
易错提醒：（1）对瓜豆原理的本质理解不够深入（2）在确定参考点时出错（3）忽视实际因素的影响（4）在建立数学模型时遇到困难（5）对计算结果的不确定性处理不当。
易错点4:面积最值
一、明确问题条件，确定需要求解的是面积的最大值还是最小值。
二、将几何图形的面积转化为数学表达式。这通常需要将几何图形的面积分解为三角形面积的和或差，并利用坐标轴上的点或平行于坐标轴的线段来简化计算。
三、利用函数知识求解面积表达式的最值。这可能涉及到二次函数、一次函数或其他类型的函数。需要根据函数的性质，如开口方向、顶点坐标等，来确定面积的最大值或最小值。
四、验证解的正确性。在求解最值问题后，需要回到原问题中验证解是否满足所有条件，并检查是否存在其他可能的解。
易错提醒：（1）忽视题目条件（2）面积表达式错误（3）函数性质理解不清（4）解验证不足。
例1．如图，在等边中，于点分别是上的动点，且，点M在的右上方，且．当P从点A运动到点B时，点M的运动路径长为 ．
例2．如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为 ．
例3．如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为 ．
例4．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
(1)写出、、的坐标；
(2)当时，求函数值的取值范围；
(3)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求的面积的最大值．
变式1．如图，正方形的边长为8，P为边上的动点，连接，作交边于点．当点从B运动到C时，线段的中点M所经过的路径长为 ．
变式2．如图，点B在线段上，点D，E在同侧，，，，，点P为线段上的动点，连接，作，交直线于点Q，当点P从A点运动到的中点时，线段的中点所经过的路径（线段）长为 ．
变式3．如图，是的直径，，与相切于点，，点在切线上，则当最大时， ．

变式4．如图，等边△ABC的边长为6，三角形内部有一个半径为1的，若含与△ABC边相切的情况，则点P可移动的最大范围（最大面积）是 ．
变式5．如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ．
变式6．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为 ．
变式7．如图1，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点．
(1)直接写出该二次函数的表达式为 ___________；
(2)连接，求四边形面积的最大值；
(3)如图2，连结交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标．
变式8．如图1，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象交于另一点，射线与y轴交于点C，，轴于点D．
(1)填空：
①k的值为__________．
②_________；直线的函数解析式为__________．
(2)如图2，M是线段上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线轴，与交于点N，连接．求面积的最大值．
易错陷阱二：代数最值
易错点5:二次函数配方法最值
配方法是一种基于二次函数的最值问题的解决方法，它的基本思想是将一个二次函数通过配方化为顶点式，从而找到函数的最值。对于一个二次函数，可以通过以下步骤将其配方为顶点式，并找到最值：
确定二次函数的一般式：
二、求出二次函数的顶点横坐标。
三、判断二次函数的开口方向和对称轴位置：若Δ=b2-4ac>0，则抛物线开口向上，对称轴为直线x=x1或x2；若Δ=b2-4ac<0，则抛物线开口向下，对称轴不存在。
四、根据对称轴的位置，确定函数的最值。当抛物线开口向上时，函数在对称轴处取得最小值；当抛物线开口向下时，函数在对称轴处取得最大值。
五、若自变量x的取值范围有限制，则需比较端点和顶点的函数值来确定最值。
易错提醒：（1）记忆错误或计算错误导致顶点坐标求解不准确。（2）混淆左右平移和上下平移对h和k的影响，导致函数图像变换错误，进而影响最值的求解（3）在求解最值时，忽视定义域限制，未结合定义域和顶点坐标综合考虑，导致最值求解错误（4）无法准确地将一般式转化为顶点式或完全平方形式，导致配方失败，无法找到最值（5）仅凭开口方向判断单调区间和最值，未考虑对称轴位置，导致判断错误。
易错点6:二次函数的增减性最值
一、增减性
1 二次函数的增减性取决于其开口方向和对称轴位置。当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴左侧递减，右侧递增；当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴左侧递增，右侧递减。
二、最值
1 对于开口向上的抛物线（a>0），函数有最小值，且最小值出现在顶点处，y有最小值。
2 对于开口向下的抛物线（a<0），函数有最大值，且最大值出现在顶点处，y有最大值。
易错提醒：（1）忽视x的取值范围导致最值求解错误。在求解最值时，需结合x的取值范围和顶点坐标综合考虑。若x的取值范围有限制，则需比较端点和顶点的函数值来确定最值（2）混淆左右平移和上下平移对函数图像的影响，从而误判最值位置。向左平移h个单位，向右平移-h个单位；向上平移k个单位，向下平移-k个单位。平移会改变顶点的坐标，从而影响最值的位置。（3）仅凭开口方向判断单调区间，未考虑对称轴位置。应综合开口方向和对称轴位置来判断函数的单调区间。（4）在求解顶点坐标和最值时，计算错误导致结果不准确。应熟练掌握并正确应用顶点坐标公式和最值公式。
例5．抛物线有（ ）
A．最小值3 B．最大值3 C．最大值 D．最小值
例6．已知二次函数（为常数）的图像经过点和．
(1)求二次函数的表达式．
(2)若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图像上，求的值．
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围．
变式1．已知非负数x，y，z满足，设的最大值为a，最小值为b，则的值为（ ）
A．4 B．9 C．16 D．19
变式2．如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，第个图案由个小正方形组成……依此规律，第个图案由个小正方形组成，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
(2)点，在抛物线上，其中，．
①若的最小值是，求的值
②若对于，，都有，求t的取值范围．
变式4．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”．
(1)分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由．
(2)设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值．
(3)若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”．
①求该二次函数的表达式；
②当时，二次函数 的最小值为 ，最大值为0，求的取值范围．
易错陷阱三：找规律问题
易错点7:点坐标规律问题
一、点的坐标与距离
点P(x,y)到x轴的距离等于|y|，到y轴的距离等于|x|。这是确定点位置的重要性质。
二、象限点与轴上点的坐标特征
1.第一象限：x>0, y>0
2.第二象限：x<0, y>0
3.第三象限：x<0, y<0
4.第四象限：x>0, y<0
轴上点：
1.x轴上：y=0
2.y轴上：x=0
三、与坐标轴平行的直线及象限角平分线上的点的坐标特征
1.平行于x轴的直线上的点纵坐标相等。
2.平行于y轴的直线上的点横坐标相等。
3.第一、三象限角角平分线上的点：x=y
4.第二、四象限角角平分线上的点：x+y=0
易错提醒：（1）忽略点坐标是有序实数对（2）混淆点的坐标与点到坐标轴的距离（3）关于坐标轴对称的点的坐标规律混淆（4）平行于坐标轴的直线的点的坐标特征理解错误
易错点8:图形规律问题
一、图形排列规律
1 数字阶梯型规律：数字按照一定的规律排列成阶梯状，需要观察阶梯上数字的差值，找出相邻数字之间的规律。
2 数字交错型规律：数字在不同的位置交错出现，需要观察数字交错的顺序，找出相邻数字之间的规律。
3 数字镜像型规律：数字沿着某个轴对称出现，需要找出对称轴，观察对称轴两侧的数字，找出相邻数字之间的规律。
4 图形旋转型规律：图形围绕某个点旋转出现，需要观察图形旋转的方向和角度，找出相邻图形之间的规律。
5 图形平移型规律：图形在平面上沿着某个方向平移出现，需要观察图形的平移方向和距离，找出相邻图形之间的规律。
6 图形变形型规律：图形在变形中出现，需要观察图形的变形规律，找出相邻图形之间的关系。
二、图形组合与周期规律
1 图形组合规律：将不同图形规律结合在一起，需拆分图形，找出各个部分的规律并进行组合。
2 图形周期规律：观察图形变化特点，找到重合点即为一个周期，利用数形结合思想求解。
三、等差规律
将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，若后一项与前一项的差均相等，即为等差规律。
易错提醒：（1）观察不细致（2）分类讨论不全（3）忽视图形数量变化的规律（4）混淆不同规律类型
例7.函数在有最大值6，则实数的值是 ．
例8.我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：
用含n的式子表示第n个图的钢管总数．
【分析思路】
图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．
如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第n个图形钢管总数）．
【解决问题】
(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律．
， ___________．
(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律：
___________， ___________， ___________， ___________．
(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数为___________．
变式1．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律经过第次运动后，动点的坐标是 ．
变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ．
变式3．【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题．
(1)【观察发现】当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表．
C D E F
边上的点数x 4 8 8 9
多边形面积S 2 4 4
请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：______．
(2)当多边形内部有2个点时，在如图的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中．
图1 图2
边上的点数x
多边形面积S
归纳S与x之间的关系式为：______．
(3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积．
(4)【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形．
变式4．观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题．
(1)填写下表：
图形 挖去三角形的个数
图形1 1
图形2 1＋3
图形3 1＋3＋9
图形4 ___________________
(2)根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数（用含n的代数式表示）；
(3)若图中挖去三角形的个数为，求．
1．如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ．
4．如图，M是正方形边的中点，P是正方形内一点，连接，线段以B为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，则的最小值为 ．
5．如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．

6．如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ．
7．如图1，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且．点P为抛物线第二象限上一动点．
(1)直接写出该二次函数的表达式为 ；
(2)连接，求四边形面积的最大值；
(3)如图2，连结交于点H，过点P作y轴的平行线交于点Q．当为等腰三角形时，求出点P的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
9． 已知点在二次函数 的图象上， 且满足．
(1)如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点P，求；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；
(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
①求的取值范围；
②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围．
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