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易错点09 圆
易错陷阱一：圆的认识
易错点1:圆内接四边形
一、知识点
1.定义：四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫圆内接四边形，这个圆叫这个四边形的外接圆。
2.判定定理：
（1）如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）。
（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
3.性质定理：
（1）圆内接四边形的对角互补，即∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°。
（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即∠CBE=∠ADC。
（3）同弧所对的圆周角相等，例如∠ABD=∠ACD。
（4）圆内接四边形对应三角形相似，例如△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）。
易错提醒：（1）在应用判定定理时，需要注意对角互补或外角等于内对角这两个条件必须同时满足，才能判定四边形为圆内接四边形。（2）在计算圆内接四边形的角度时，要准确运用对角互补和外角等于内对角的性质，避免出现计算错误。（3）在解决与圆内接四边形相关的问题时，要注意观察图形的特殊性质，如对称性、共线性等，以便简化计算过程。
易错点2:半圆(直径)所对的圆周角是直角
圆周角定理的一个推论是，半圆（或直径）所对的圆周角是直角。这意味着，如果一个角的顶点位于圆上，且这个角所对的弧是一个半圆（或直径），那么这个角就是一个直角。
易错提醒：（1）对定理的理解不够深入（2）忽视条件限制（3）不会正确添加辅助线。
易错点3:圆周角定理
圆周角定理指的是一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。其推论包括：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
易错提醒：（1）混淆圆心角与圆周角的关系，未能准确理解一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半这一关系。（2）在应用圆周角定理时，未能准确判断同弧或等弧所对的圆周角，导致错误。（3）对于直径所对的圆周角是直角这一推论，有时未能灵活运用，导致在解题时遗漏重要条件。
例1．如图，为的直径，点在圆上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．如图，是圆的直径，点分别在直径所对的两个半圆上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
例3．已知：如图，在中，是弦，点A是的中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，是的内接三角形，是它的一个外角，若，则的度数为 ．
变式2．如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切．
(1)求证：；
(2)若D是的中点，，求的长．
变式3．如图，内接于，是的直径，D是上一点，若C是的中点，连接，，则 ．
变式4．（1） 如图1，在中，于点 ，，，求 外接圆半径的最小值，学习小组经过研究，给出模型分析：
如图2，作的外接圆，连接，，，作于E，设半径为可得出，由，可得，因此 进而得出 进一步得出结果： 外接圆半径的最小值为 ；
（2）如图3，在四边形中，，，，，求四边形的面积；
（3）如图4，四边形是某小区内的一块空地，经测量，，现规划修两条小道、(、分别在边、上)，将该四边形空地划分为三个不同的活动区域，其中四边形作为健身活动区域，按照设计方案：既要使两条小道、的夹角为 ，同时也要使健身活动区域四边形面积最大，请问此方案是否可行？若可行，求出此时这两条小道的总长(即的值)；若不可行，请说明理由．
变式5．如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，已知，则的大小是 ．
变式6．如图，是的直径，是的切线，连接交于点，点是下方上一点，连接、、，．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为点，连接并延长交于点，若，求的长．
易错陷阱二：与圆有关的位置关系
易错点4:切线的性质定理
切线的性质定理：如果一条直线与圆只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
易错提醒：（1）在判断一条直线是否为圆的切线时，必须确认这条直线与圆只有一个交点，并且这条直线垂直于过该交点的半径。学生容易忽略“垂直”这一关键条件，如果直线不与过切点的半径垂直，则不能判定该直线为切线。(2)另外，在应用切线长定理时，需要注意是从圆外一点引出的两条切线，它们的切线长才相等，且圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。如果引出的切线起点在圆上或圆内，则切线长定理不成立。
易错点5:切线的判定定理
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
要证明一条直线是圆的切线，可以通过以下两种方法：
方法一：如果直线经过圆上某一点，连接圆心和该点（即得到辅助线半径），证明所作半径垂直于这条直线。
方法二：如果直线与圆的公共点没有确定，过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径。
易错提醒：（1）在判断切线时，容易忽略切线与半径垂直这一关键条件。切线必须与半径垂直，否则就不能判定为切线。（2）另外，需要明确的是，直线与圆只有一个交点时，直线为圆的切线，这种判断是正确的。但对于其它曲线的切线判定，不能用圆的切线定义进行判定，因为曲线的切线判定有其自身的规律和方法，不能简单地将圆的切线定义推广到其它曲线。
例4．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形的对角线的中点为圆心，为半径作，切于点，并交于点，若，则该圆的半径为（ ）．
A． B． C． D．
例5．如图，在中，，，，D为斜边上一点，，以为直径作，过点O作，垂足为E，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)求的值．
变式1．如图，在中，，是上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切，切点为，与相交于点．若，，则的长为 ．
变式2．如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
变式3．如图，内接于，为的直径，，，延长至E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
变式4．【发现问题】
蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．

【提出问题】
在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 …
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 …
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．

为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
(3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具 （）
易错陷阱三：圆中的计算问题
易错点6:圆锥侧面积
圆锥的侧面积是指圆锥侧面展开图的面积。圆锥侧面展开后是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积可以通过以下公式计算：
圆锥侧面积 = π × 底面半径 × 母线长
易错提醒：（1）混淆圆锥的侧面积与全面积（2）未能正确理解和应用圆锥侧面展开图（3）对圆锥的母线概念理解不清。
易错点7:圆锥底面半径、弧、圆心角
一、圆锥底面半径
圆锥的底面半径是指圆锥底面圆的半径，用 r 表示。它是圆锥的重要参数之一，决定了圆锥底面的大小。圆锥的底面积 A 可以通过公式 A=πr 计算。
二、弧
在圆锥底面上，弧是圆上的一段曲线。弧长 L 可以通过公式 L=nπr/180 计算，其中 n 是圆心角的度数，r 是底面半径。
三、圆心角
圆心角是指以圆锥底面圆心为顶点的角。圆锥侧面展开后形成的扇形，其圆心角与圆锥底面的圆心角相等。
易错提醒：（1）混淆底面半径与母线（2）忽视弧长公式的适用条件（3）错误理解圆锥体积与底面半径的关系（4）未掌握圆锥侧面展开后的扇形特征
例6．如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为（　　）
A． B． C． D．
例7．如图，与正六边形的边，分别相切于点，．已知正六边形的边长为，则劣弧的长为 ．
变式1．圆锥的底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图扇形的面积为 ．
变式3．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，其中点O，A，B均在格点上，将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
变式4．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度．
易错陷阱四：正多边形和圆
易错点8:正多边形与圆
一、正多边形相关概念
1.正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心。
2.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
3.正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角，计算公式为360 /n（n为正多边形的边数）。
4.正多边形的边心距：正多边形的边到中心的距离。
二、正多边形与圆的关系
1.圆内接正多边形：把一个圆的圆周分成n等份，顺次连接各分点所得图形，即为圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。
2.正多边形的外接圆：正多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个圆就是正多边形的外接圆。
3.正多边形的内切圆：与正多边形的各边都相切的圆是正多边形的内切圆。
三、正多边形的计算
1.正多边形的内角计算公式：(n-2)·180 /n。
2.正多边形的周长计算公式：C=n·a（a为正多边形的边长）。
3.正多边形的面积计算公式：S= nar= C·r（r为正多边形的边心距）。
易错提醒：（1）对正多边形与圆的关系理解不透彻（2）正多边形的计算容易出错（3）忽视题目的特殊条件
例8．将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接，则 （ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，正八边形内接于，对角线为的直径，连接，则的度数为 ．
变式2．如图，以等腰三角形的一腰为直径作，分别交另一腰和底于点M，N，连接并延长交的切线于点P，连接．
(1)求证：．
(2)延长交于点D，求证：．
1．如图，是的内接三角形，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知一个扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积等于 ．（结果保留）
5．如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是 ．
6．如图在矩形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，边于点，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，再以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为 ．
7．【初步感知】
如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．
8．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为M，的半径为10，求的长．
9．在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________．
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．
已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
10．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”．
(1)如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”．
(2)中，，点是边上的“中项点”，求线段的长．
(3)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”．
①求证：；
②若，的半径为，且，求的值．
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易错陷阱一：圆的认识
易错点1:圆内接四边形
一、知识点
1.定义：四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫圆内接四边形，这个圆叫这个四边形的外接圆。
2.判定定理：
（1）如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）。
（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
3.性质定理：
（1）圆内接四边形的对角互补，即∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°。
（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即∠CBE=∠ADC。
（3）同弧所对的圆周角相等，例如∠ABD=∠ACD。
（4）圆内接四边形对应三角形相似，例如△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）。
易错提醒：（1）在应用判定定理时，需要注意对角互补或外角等于内对角这两个条件必须同时满足，才能判定四边形为圆内接四边形。（2）在计算圆内接四边形的角度时，要准确运用对角互补和外角等于内对角的性质，避免出现计算错误。（3）在解决与圆内接四边形相关的问题时，要注意观察图形的特殊性质，如对称性、共线性等，以便简化计算过程。
易错点2:半圆(直径)所对的圆周角是直角
圆周角定理的一个推论是，半圆（或直径）所对的圆周角是直角。这意味着，如果一个角的顶点位于圆上，且这个角所对的弧是一个半圆（或直径），那么这个角就是一个直角。
易错提醒：（1）对定理的理解不够深入（2）忽视条件限制（3）不会正确添加辅助线。
易错点3:圆周角定理
圆周角定理指的是一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。其推论包括：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
易错提醒：（1）混淆圆心角与圆周角的关系，未能准确理解一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半这一关系。（2）在应用圆周角定理时，未能准确判断同弧或等弧所对的圆周角，导致错误。（3）对于直径所对的圆周角是直角这一推论，有时未能灵活运用，导致在解题时遗漏重要条件。
例1．如图，为的直径，点在圆上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角等于，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键．
由是直径，，可得，根据四边形是圆的内接四边形，所以，即可求解．
【详解】解：为的直径，
，
，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
故选：C．
例2．如图，是圆的直径，点分别在直径所对的两个半圆上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，同弧所对圆周角相等．
先根据直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，据此根据同弧所对圆周角相等即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
∵是圆的直径，
，
，
，
，
，
故选：B．
例3．已知：如图，在中，是弦，点A是的中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
【详解】解：连接．
点A是的中点
．
．
故选∶B．
变式1．如图，是的内接三角形，是它的一个外角，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形的对角互补是关键．如图所示，在上取点E，连接，，根据三角形外角的性质求出，然后根据圆的内接四边形的对角互补求出，再根据圆周角定理进而求解即可．
【详解】解：如图所示，在优弧上取点E，连接，，
∵是它的一个外角，，
∴ ，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，即，
∴．
故答案为：．
变式2．如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切．
(1)求证：；
(2)若D是的中点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，可得，由切线的性质可得，从而得到，再根据直角三角形的两锐角互余可得，最后根据等角的余角相等即可证明，进而证得；
（2）连接，由直径所对的圆周角为直角可得，再结合，可证明，根据中点的性质可得的长度，再由勾股定理求得的长度，最后根据相似的性质可求得的长度．
【详解】（1）证明：如图：
连接，则，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接：
可得，
∵为直径，且，
∴，
∵D为中点，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，切线的性质，直角三角形的两锐角互余，等角的余角相等，圆的直径所对的圆周角为直角，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点并正确作出辅助线是解题的关键．
变式3．如图，内接于，是的直径，D是上一点，若C是的中点，连接，，则 ．
【答案】/10度
【分析】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，直角三角形两锐角互余等知识．
如图所示，连接，首先由直径得到，然后求出，根据圆周角定理得到，进而求出，然后求出，最后利用圆周角定理求解即可．
【详解】如图所示，连接
∵是的直径，
∴
∵
∴
∴
∵C是的中点
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
变式4．（1） 如图1，在中，于点 ，，，求 外接圆半径的最小值，学习小组经过研究，给出模型分析：
如图2，作的外接圆，连接，，，作于E，设半径为可得出，由，可得，因此 进而得出 进一步得出结果： 外接圆半径的最小值为 ；
（2）如图3，在四边形中，，，，，求四边形的面积；
（3）如图4，四边形是某小区内的一块空地，经测量，，现规划修两条小道、(、分别在边、上)，将该四边形空地划分为三个不同的活动区域，其中四边形作为健身活动区域，按照设计方案：既要使两条小道、的夹角为 ，同时也要使健身活动区域四边形面积最大，请问此方案是否可行？若可行，求出此时这两条小道的总长(即的值)；若不可行，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）可行，．
【分析】这三个问题分别从不同角度考察了几何原理的应用，包括圆的性质、四边形面积的计算方法以及如何通过特定条件优化设计方案．．
（1）．外接圆半径最小值：通过几何关系和不等式分析，设 的外接圆半径， 作的外接圆，连接，，，作于E，由垂线段最短可得，而由可得，从而得出，继而求出最小值．
（2）．四边形面积：关键在于识别出四边形对角互补的特性，以及如何利用给定的角度．将绕点旋转，得，过点作，垂足为，得四边形，利用中，即可求解．
（3）．小区空地规划方案可行性：对于优化健身活动区域的面积，关键是理解如何通过设置CE = CF并保持来最大化该区域的面积．利用旋转，将绕点旋转，得，可得，由此得出当面积最小时，最大，由（1）可知，设外接圆半径为，当圆心在上时，外接圆半径最小， 所对弦最小，的面积最小．由此求出即可解题．
【详解】解：（1）如图，作的外接圆，连接，，，作于E，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即外接圆半径的最小值为4；
（2）∵，，
∴，
如图3，将绕点旋转，得，过点作，垂足为，
∴，，，
∴，，
∴、、在同一直线上， 是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴四边形；
（3）∵，
∴，
如图4，将绕点旋转，得，
∴，，， ，
∴、、在同一直线上， ，
∴，
∴当面积最小时，最大，
∵，
∴，
由（1）可知，设外接圆半径为，当圆心在上时，半径最小，所对弦最小，的面积最小．
此时 ，解得，
由垂径定理可知，此时垂直平分，，，
∴在中，，
，
变式5．如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，已知，则的大小是 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角的性质，切线的性质，多边形内角和；
连接，根据圆周角的性质可得，进而求出，最后根据多边形内角和即可求解．
【详解】连接，如图，
∵
∴
∴
∵是的切线，
∴
∴
故答案为：．
变式6．如图，是的直径，是的切线，连接交于点，点是下方上一点，连接、、，．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为点，连接并延长交于点，若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)6
【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，证明，，结合，即可得，再根据等角对等边即可证明．
（2）如图，连接，证明，得出，根据三线合一得出，，证明，得出，再根据三角形中位线定理即可得出．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴．
【点睛】该题主要考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线．
易错陷阱二：与圆有关的位置关系
易错点4:切线的性质定理
切线的性质定理：如果一条直线与圆只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
易错提醒：（1）在判断一条直线是否为圆的切线时，必须确认这条直线与圆只有一个交点，并且这条直线垂直于过该交点的半径。学生容易忽略“垂直”这一关键条件，如果直线不与过切点的半径垂直，则不能判定该直线为切线。(2)另外，在应用切线长定理时，需要注意是从圆外一点引出的两条切线，它们的切线长才相等，且圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。如果引出的切线起点在圆上或圆内，则切线长定理不成立。
易错点5:切线的判定定理
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
要证明一条直线是圆的切线，可以通过以下两种方法：
方法一：如果直线经过圆上某一点，连接圆心和该点（即得到辅助线半径），证明所作半径垂直于这条直线。
方法二：如果直线与圆的公共点没有确定，过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径。
易错提醒：（1）在判断切线时，容易忽略切线与半径垂直这一关键条件。切线必须与半径垂直，否则就不能判定为切线。（2）另外，需要明确的是，直线与圆只有一个交点时，直线为圆的切线，这种判断是正确的。但对于其它曲线的切线判定，不能用圆的切线定义进行判定，因为曲线的切线判定有其自身的规律和方法，不能简单地将圆的切线定义推广到其它曲线。
例4．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形的对角线的中点为圆心，为半径作，切于点，并交于点，若，则该圆的半径为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的切线的性质可得，设该圆的半径为，可求，过作于，过作于，则四边形是矩形，可求，计算求解的长，进而可得，，通过解直角三角形即可求解．
【详解】解：是的切线，
，
设该圆的半径为，
，
，
，，
，
，
过作于，过作于，如图所示：
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，，
，
解得，
该圆的半径为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质，正多边形和圆等知识的综合运用，根据题意构造直角三角形运用三角函数求解是解决问题的关键．
例5．如图，在中，，，，D为斜边上一点，，以为直径作，过点O作，垂足为E，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理得，则，而，则，求出，即可证明；
（2），然后证明，那么由，得到，则，继而由勾股定理得，则．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为半径，
∵，
∴是的切线；
（2）解：如图：
由上可得：，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等知识点，进行角度转化是解题的关键．
变式1．如图，在中，，是上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切，切点为，与相交于点．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的计算，平行线分线段成比例，切线的性质，勾股定理，作于点M，连接，由切线得到，利用勾股定理求出半径，再依次求出，，，的长，最后根据，得到，代入求值即可．
【详解】解：如图，作于点M，连接，
设圆的半径为r，则，
∵，，，
∴，
∴，
∵长为半径的圆与相切，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵长为半径的圆与相切，切点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
变式2．如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；
根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；
设为x，则为，根据勾股定理可得方程，求得的长，再根据三角形中位线定理可得答案．
此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键．
【详解】（1）解：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：∵点C是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：如图：连接线，交于H，
∵，，
于点H，
设为x，则为，根据勾股定理，
，
解得：，
，
是中位线，
变式3．如图，内接于，为的直径，，，延长至E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】此题主要切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质，锐角三角函数进行计算是解决问题的关键．
（1）连接，则，进而得证明和全等得，根据，得，再根据得，即，据此可得出结论；
（2）根据得，则，根据得，则，设，，证明得，即，由，得，由，得，则，据此可得的长．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
为的直径，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
为的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，，
，
在中，，
设，，
，，
，
，
即，
由，得：，
由，得：，
，
．
变式4．【发现问题】
蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．

【提出问题】
在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 …
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 …
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．

为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
(3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具 （）
【答案】(1)
(2)8个
(3)469个
【分析】本题主要考查求二次函数式，二次函数的应用以及正多边形和圆：
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）将代入求解即可；
（3）设正六边形其它顶点分别为，连接，，求出，，设第一层有x个正六边形模具，求出拼接图案的最大宽度为，最大高度为，分拼接图案的高与长方形桌子的长平行和拼接图案的高与长方形桌子的宽平行两种情况求出x的值，代入函数关系式求出y的值即可求解
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将点代入关系式，得：
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由（2）知，，
将代入，得，
解得，，（不合题意，舍去）
所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具；
（3）解：如图，设正六边形其它顶点分别为，连接，，

由正六边形及其外接圆的性质得，为的直径，，线段的长即为边，间的距离，
∴，
∴
∵的长为，
∵的周长为，
∴的直径，即，
∴，
设第一层有x个正六边形模具，
∴第x层的正六边形模具个数最多，有个，拼接成的图案共有层，其中有x层的高度按的直径计算，层的高度按正六边形的边长计算，
所以，拼接图案的最大宽度为，最大高度为，
①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有，
解得，，
∵x为整数，
∴x最大取12；
②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有，
解得，，
∵x为整数，
∴x最大取13；
将代入，得，；
将代入得，，
∵，
∴最多可以放下469个正六边形模具
易错陷阱三：圆中的计算问题
易错点6:圆锥侧面积
圆锥的侧面积是指圆锥侧面展开图的面积。圆锥侧面展开后是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积可以通过以下公式计算：
圆锥侧面积 = π × 底面半径 × 母线长
易错提醒：（1）混淆圆锥的侧面积与全面积（2）未能正确理解和应用圆锥侧面展开图（3）对圆锥的母线概念理解不清。
易错点7:圆锥底面半径、弧、圆心角
一、圆锥底面半径
圆锥的底面半径是指圆锥底面圆的半径，用 r 表示。它是圆锥的重要参数之一，决定了圆锥底面的大小。圆锥的底面积 A 可以通过公式 A=πr 计算。
二、弧
在圆锥底面上，弧是圆上的一段曲线。弧长 L 可以通过公式 L=nπr/180 计算，其中 n 是圆心角的度数，r 是底面半径。
三、圆心角
圆心角是指以圆锥底面圆心为顶点的角。圆锥侧面展开后形成的扇形，其圆心角与圆锥底面的圆心角相等。
易错提醒：（1）混淆底面半径与母线（2）忽视弧长公式的适用条件（3）错误理解圆锥体积与底面半径的关系（4）未掌握圆锥侧面展开后的扇形特征
例6．如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，进而得出圆锥的侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：∵为底面直径，，
∴圆锥的底面周长，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，
由题意得：，
解得：，
故选：C．
例7．如图，与正六边形的边，分别相切于点，．已知正六边形的边长为，则劣弧的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．连接，，，取的中点，连接，，根据正六边形的性质可推出，，得到为等边三角形，结合切线的性质可推出，，最后利用三角函数求得，即可通过弧长公式求得答案．
【详解】解：连接，，，取的中点，连接，，
六边形是正六边形，边长为，
点是正六边形的中心，
，，
为等边三角形，
，，
正六边形的边，分别相切于点，，
，
，
，，
，
，，
则劣弧的长为．
故答案为：．
变式1．圆锥的底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：依题意，圆锥的底面圆的半径为，高为，
∴这个圆锥的母线长，
则这个圆锥的侧面积．
故选：B．
变式2．圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥侧面积计算，根据圆锥侧面展开面积公式进行计算即可，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面展开面积公式，其中表示圆锥的底面半径，表示母线长．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为，
∴它的侧面展开图扇形的面积为，
故答案为：．
变式3．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，其中点O，A，B均在格点上，将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是明确圆锥的底面圆的周长即为扇形的弧长．根据扇形的弧长公式求得弧长，再根据圆锥的底面圆的周长即为扇形的弧长进行求解．
【详解】解：，
设圆锥的底面半径为r，
根据题意，得，
解得，
故答案为：．
变式4．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度．
【答案】120
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角是，
由题意得：，
解得：．
故答案为：．
易错陷阱四：正多边形和圆
易错点8:正多边形与圆
一、正多边形相关概念
1.正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心。
2.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
3.正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角，计算公式为360 /n（n为正多边形的边数）。
4.正多边形的边心距：正多边形的边到中心的距离。
二、正多边形与圆的关系
1.圆内接正多边形：把一个圆的圆周分成n等份，顺次连接各分点所得图形，即为圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。
2.正多边形的外接圆：正多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个圆就是正多边形的外接圆。
3.正多边形的内切圆：与正多边形的各边都相切的圆是正多边形的内切圆。
三、正多边形的计算
1.正多边形的内角计算公式：(n-2)·180 /n。
2.正多边形的周长计算公式：C=n·a（a为正多边形的边长）。
3.正多边形的面积计算公式：S= nar= C·r（r为正多边形的边心距）。
易错提醒：（1）对正多边形与圆的关系理解不透彻（2）正多边形的计算容易出错（3）忽视题目的特殊条件
例8．将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作右下角正六边形的外接圆，连接，，，设和相交于点G，先证明A、E、C三点共线，然后证明，再根据垂径定理和圆周角定理，逐步求出和的长，最后根据正切函数的定义，即可得到答案．
【详解】解：作右下角正六边形的外接圆，连接，，，设和相交于点G，
根据正六边形的性质，可得，，
，
，
A、E、C三点共线，
∵，
，
，
，
是的直径，
，，
是等边三角形，
，
设，
则，
是的直径，，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，圆周角定理，三角函数的定义等知识，熟练掌握有关正多边形的解题方法是解题的关键．
变式1．如图，正八边形内接于，对角线为的直径，连接，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形和圆，根据正八边形的性质求出其中心角的度数，再根据圆周角定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，
正八边形内接于，
，
对角线为的直径，
，
故答案为：．
变式2．如图，以等腰三角形的一腰为直径作，分别交另一腰和底于点M，N，连接并延长交的切线于点P，连接．
(1)求证：．
(2)延长交于点D，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，先由圆周角定理得，结合得，因为半径相等，所以，利用三角形的中位线定理即可解决问题；
（2）连接，先得，因为，结合角的等量代换得，证明，即，结合是的切线，则，证明是的切线，然后结合证明，通过角的等量代换得，因为，证明，即可作答．
【详解】（1）证明：连接．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
是的中位线，
∴，
即；
（2）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
1．如图，是的内接三角形，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据圆周角定理求解，再结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
2．如图，是的直径，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆周角定理．根据邻补角的定义求出的度数，根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转的实际应用，解直角三角形，不规则图形的面积，根据得出是解题的关键．
连接，过点O作交的延长线于点E，通过解直角三角形求出大圆O的半径，证明，得出，进而可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于点E，
由旋转知，经过点O，且，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选A．
4．已知一个扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积等于 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．
根据扇形面积的计算公式（为扇形圆心角的度数）计算即可．
【详解】解：一个扇形的半径为，圆心角为，
∴，
故答案为： ．
5．如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角的性质和同圆中弦和弧的关系，先根据，得出，再得出，求出圆心角的度数，再利用三角形内角和求解即可．
【详解】解：连接,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
6．如图在矩形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，边于点，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，再以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为 ．
【答案】
【分析】由作图可知，为的平分线，结合矩形的性质可得，则，再利用勾股定理求出的长，利用弧长公式求出的长，可知的长即为该圆锥底面的周长，根据圆的周长公式可得答案．
【详解】解：由作图可知，为的平分线，
四边形为矩形，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
设该圆锥的底面半径为，
则，
解得：，
该圆锥底面半径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义，矩形的性质，勾股定理，圆锥的弧长公式等知识，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．【初步感知】
如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．
【答案】初步感知：45；深入探究：证明见解析；启发应用：
【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得；
深入探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证；
启发应用：延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得．
【详解】解：初步感知：∵点，，均在上，，
∴，
故答案为：45．
深入探究：延长至点，使，连接，
∵是等边三角形，
∴，
由圆周角定理得：，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴．
启发应用：如图，延长至点，使，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
8．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为M，的半径为10，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）运用圆周角定理得，根据三角形的内角和得出，因为是的半径，且，故直线是的切线；
（2）结合垂径定理得，运用30度所对的直角边是斜边的一半，即，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）解：如图，∵是的直径，且于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
9．在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________．
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．
已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)．取得最小值
【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；
（3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积．
正方形草坪的面积．
故喷洒覆盖率．
（2）解：对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为．
因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接，
要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．
∴都经过正方形的中心点，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴当时，取得最小值，此时
解得：．
【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案．
10．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”．
(1)如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”．
(2)中，，点是边上的“中项点”，求线段的长．
(3)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”．
①求证：；
②若，的半径为，且，求的值．
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)①证明见解析；②
【分析】（）如图，取格点，连接交于，点即为所求；
（）过作于，由可得，，设，则，，可得，即得，得到，，，设，则，，由可得，进而即可求解；
（）①证明可得，再根据点是中边上的“中项点”得，即得，得到，由垂径定理的推论即可求证；②连接，由可得，即得为的直径，设，则，，得，即得，得到，进而根据可得，最后代入代数式计算即可求解．
【详解】（1）解：取格点，连接交于，如图：
则点即为边上的一个“中项点” ，理由如下：
由图可知，，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
即，
∴为边上的一个“中项点”；
（2）解：过作于，如图：
∵，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
设，则，，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)，
∴，
∴线段的长为；
（3）①证明：由圆周角定理得，，，
∴，
∴，
∴，
∵点是中边上的“中项点”，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，如图：
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴为的直径，
∵，设，则，，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理的推论，正切的定义，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
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