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易错点01 数与式
易错陷阱一：实数
易错点1：绝对值、相反数、倒数
（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若，则；若，则。
（2）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数
（3）倒数：如果与互为倒数，则有，反之亦成立
易错提醒：（1）需要牢记与三者有关的概念以及相关概念之间的的包含与被包含的关系才能避免出错；
（2）几个特殊值注意：0的相反数还是0；0没有倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0.
易错点2：正反意义的量
正反意义的量包含两层含义：一是具有相反意义，二是具有数量。在表示时，我们把其中一种意义的量规定为正，把与这个量意义相反的量规定为负。正数前可以加“+”号，也可以省略不写；负数前的“-”号不能省略。
易错提醒：（1）在表示具有相反意义的量时，容易混淆正负的规定。例如，错误地将“前进”表示为负，将“后退”表示为正。（2）具有相反意义的量必须是同类的量。例如，向东走10米和下降20米就不是具有相反意义的量，因为它们的类别不同。
易错点3：科学记数法
科学记数法是一种记录或标志数的科学表示法，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，n为整数）。其中，a是实数且不为分数形式，n是整数。这种记数方法不仅可以使书写简短，同时还便于读数。例如，太阳的半径、光的速度等非常大的数，用科学记数法表示会更为简洁明了。
易错提醒：（1）确定a和n的值时出错;(2)忽略数的符号;(3)混淆科学记数法与数的实际大小;(4)还原科学记数法为原数时出错.
例1．的相反数是（　　）
A． B．2024 C． D．
例2．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为，将384000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
例3．中国古代第一部数学专著《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：现有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若把一个物体向正后方移动5米记作米，那么这个物体又移动了米表示（ ）
A．又向正后方移动5米 B．又向正前方移动米
C．又向正前方移动5米 D．不向前方移动也不向后方移动
变式1．的绝对值是（ ）
A． B． C．2024 D．
变式2．的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
变式3．5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅，已知硅原子的半径约为0.000000000117米．将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
变式4．清代震枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为 ．
变式5．当下“微信支付”已经成为人们普遍使用的一种货币流通方式．若转入200元记作元，那么转出60元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
变式6．如果零上记作，那么零下应记作 ．
易错陷阱二：代数式
易错点4：幂的运算
（1）同底数幂的乘法：当底数相同时，幂相乘时底数不变，指数相加。
（2）同底数幂的除法：当底数相同时，幂相除时底数不变，指数相减。
（3）幂的乘方：一个幂的指数再次被幂运算时，指数相乘。
（4）积的乘方：积的乘方等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
易错提醒：（1）混淆运算规则：学生可能会混淆幂运算的基本规则，如将同底数幂的加法误认为是指数相加，或将幂的乘方误认为是指数相乘；（2）符号处理不当：在处理涉及负数和负指数幂的运算时，学生容易出错；（3）底数处理不当：学生在处理不同底数的幂运算时可能出错；（4）指数处理不当：在进行幂运算时，学生可能会错误地处理指数，如在进行同底数幂的除法时，可能会错误地将指数相加而不是相减。
易错点5：零、负指数幂
（1）零指数幂：任何非零数的零次幂等于1。
（2）负指数幂：幂的指数为负数时，结果为该数的倒数的绝对值的指数幂。
易错提醒：（1）忽视指数为“1”的幂：当幂的指数为1时，通常省略不写，但学生在计算时可能会忽视这一点，导致计算错误。（2） 忽视运算顺序：学生可能会忽视幂运算的运算顺序，正确的运算顺序是先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。（3）对负指数幂和零指数幂的理解不足：学生可能对负指数幂和零指数幂的理解不足，导致在计算中出现错误。
易错点6：整式乘法与乘法公式
（1）单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
（2）单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
（3）多项式乘以多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（4）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
（5）完全平方公式：两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。
易错提醒：（1）多项式与多项式相乘时，容易漏乘某些项或误判符号造成错误。（2）对零指数幂的意义理解不透彻，考虑不周全。（3）在应用乘法公式时，容易忽略公式的适用条件。
例4．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
例5．计算：．
例6．先化简，再求值：，其中，．
变式1．下列运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．计算： ．
变式3．计算：．
变式4．计算：
变式5．先化简，再求值：，其中．
变式6．先化简，再求值：，其中，．
易错陷阱三：因式分解
易错点7：分解因式
（1）提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。公因式包括各项的整数系数的最大公约数、相同的字母以及这些字母的最低指数。
（2）公式法：利用特定的公式进行因式分解，如平方差公式和完全平方公式；
（3）分组分解法：将多项式分组，然后分别进行因式分解。这种方法适用于较复杂的多项式。
易错提醒：（1）略公因式：在因式分解前，应先检查所有项是否有公因式。有时公因式可能不明显，需要仔细寻找。忽略公因式是常见的错误之一。（2）符号错误：在提取公因式或使用公式分解时，要注意正负号的变化。特别是当原式中有减号时，容易出现符号错误。（3）错用公式：确保使用正确的因式分解公式。不要混淆完全平方公式、平方差公式等。对公式的不熟悉或错误使用会导致错误的结果。（4）分解不彻底：
有时分解一次后，还可以继续分解。需要检查是否已经分解到最简形式，避免分解不彻底。（5）混淆概念：
因式分解与整式乘法是互逆运算。混淆这两者会导致错误。因式分解的结果必须是整式的乘积形式，并且分解要彻底。
例7．因式分解： ．
变式1．分解因式： ．
变式2．因式分解： ．
易错陷阱四：分式与二次根式
易错点8：二次根式与分式有意义的条件
（1）二次根式有意义的条件是：被开方数必须是非负数。即，对于形如√a（a为被开方数）的二次根式，只有当a≥0时，该二次根式才有意义。
（2）分式有意义的条件是：分母不能为零。即，对于形如b/a（a为分母，b为分子）的分式，只有当a≠0时，该分式才有意义。
易错提醒：（1）被开方数为负数：在计算二次根式时，容易忽略被开方数必须为非负数的条件，导致计算错误。（2）分母为零：在计算分式时，容易忽略分母不能为零的条件，导致计算错误。
易错点9：分式的混合运算
（1）分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。这是进行分式化简和运算的基础。
（2）运算顺序：分式混合运算的顺序与整式运算顺序类似，先进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。有括号的先算括号里面的。同级运算，按照从左往右的顺序依次计算。
（3）约分与通分：在运算过程中，如果分子和分母有公因式，可以进行约分。对于异分母的分式进行加减运算时，需要先进行通分。
（4）分式的乘除法：分式相乘时，把分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分式相除时，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
易错提醒：（1）错用分式的基本性质：在进行分式化简时，不能随意改变分子和分母的倍数关系，必须确保分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式。（2）运算顺序出错：在进行分式混合运算时，必须严格按照运算顺序进行计算，不能为了简便而省略步骤或改变运算顺序。（3）互为相反数的代数式约分出错：在约分时，如果分子和分母互为相反数，需要注意负号的处理。特别是当互为相反数的代数式出现在奇次方时，变形时要多一个负号。（4）不该约分时约分导致出错：在求解分式有意义的条件或进行其他需要保持分式原形的运算时，不能随意约分。约分可能会导致扩大未知数的取值范围或改变分式的值。（5）忽略分母不能为0的条件：在进行分式运算时，必须时刻注意分母不能为0的条件。如果分母为0，则分式无意义。在求解分式方程或进行分式化简时，需要验证解是否满足分母不为0的条件。
例8．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例9．计算：
(1)；
(2)．
变式1．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
变式3．（1）计算：．
（2）先化简，再代入求值：，其中．
变式4．计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
1.若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
2．是的（ ）
A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．立方根
3．10月20日，2024宜都半程马拉松在宜都市体育场鸣枪开赛，来自全国各地的8000名选手齐聚宜都，激情开跑，此次“半马”以“柑橘宜品，宜都有请”为主题，充分融入柑橘元素，是湖北首个以“橘”文化为主题的马拉松赛事，赛事共设半程马拉松（21.0975公里）和迷你跑（约7公里）两个项目，各4000人，年龄最大的跑者77岁，年龄最小的跑者仅3岁．数据8000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4.若，则的值为 ．
5．分解因式： ．
6.的算术平方根是 ．
7．计算：
8．先化简，再求值：其中，．
9．计算：
(1)
(2)
10．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错点01 数与式
易错陷阱一：实数
易错点1：绝对值、相反数、倒数
（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若，则；若，则。
（2）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数
（3）倒数：如果与互为倒数，则有，反之亦成立
易错提醒：（1）需要牢记与三者有关的概念以及相关概念之间的的包含与被包含的关系才能避免出错；
（2）几个特殊值注意：0的相反数还是0；0没有倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0.
易错点2：正反意义的量
正反意义的量包含两层含义：一是具有相反意义，二是具有数量。在表示时，我们把其中一种意义的量规定为正，把与这个量意义相反的量规定为负。正数前可以加“+”号，也可以省略不写；负数前的“-”号不能省略。
易错提醒：（1）在表示具有相反意义的量时，容易混淆正负的规定。例如，错误地将“前进”表示为负，将“后退”表示为正。（2）具有相反意义的量必须是同类的量。例如，向东走10米和下降20米就不是具有相反意义的量，因为它们的类别不同。
易错点3：科学记数法
科学记数法是一种记录或标志数的科学表示法，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，n为整数）。其中，a是实数且不为分数形式，n是整数。这种记数方法不仅可以使书写简短，同时还便于读数。例如，太阳的半径、光的速度等非常大的数，用科学记数法表示会更为简洁明了。
易错提醒：（1）确定a和n的值时出错;(2)忽略数的符号;(3)混淆科学记数法与数的实际大小;(4)还原科学记数法为原数时出错.
例1．的相反数是（　　）
A． B．2024 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相反数定义．根据题意利用相反数定义即可得到本题答案．
【详解】解：∵的相反数是2024，
故选：B．
例2．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为，将384000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选：B．
例3．中国古代第一部数学专著《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：现有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若把一个物体向正后方移动5米记作米，那么这个物体又移动了米表示（ ）
A．又向正后方移动5米 B．又向正前方移动米
C．又向正前方移动5米 D．不向前方移动也不向后方移动
【答案】C
【分析】本题考查相反意义的量，根据物体向正后方移动5米记作米，则米就表示相反意义的概念，问题得以解决．
【详解】解：把一个物体向正后方移动5米记作米，那么这个物体又移动了米表示又向正前方移动5米，
故选：C．
变式1．的绝对值是（ ）
A． B． C．2024 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，．根据绝对值的意义进行解答即可．
【详解】解：，故C正确．
故选：C．
变式2．的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
根据互为倒数的两数之积为1，求解即可．
【详解】解：的倒数是，
故选D．
变式3．5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅，已知硅原子的半径约为0.000000000117米．将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为；
故选：C．
变式4．清代震枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义(将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法)是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
变式5．当下“微信支付”已经成为人们普遍使用的一种货币流通方式．若转入200元记作元，那么转出60元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【分析】本题主要考查用正负数表示相反意义的量．理解正负数表示相反意义的量是解题的关键．
如果转入200元记作元，那么转出60元记作元，即可得出答案．
【详解】解：∵转入200元记作元，
∴转出60元记作元．
故选：D．
变式6．如果零上记作，那么零下应记作 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此解答即可．
【详解】解：如果零上记作，那么零下应记作，
故答案为：．
易错陷阱二：代数式
易错点4：幂的运算
（1）同底数幂的乘法：当底数相同时，幂相乘时底数不变，指数相加。
（2）同底数幂的除法：当底数相同时，幂相除时底数不变，指数相减。
（3）幂的乘方：一个幂的指数再次被幂运算时，指数相乘。
（4）积的乘方：积的乘方等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
易错提醒：（1）混淆运算规则：学生可能会混淆幂运算的基本规则，如将同底数幂的加法误认为是指数相加，或将幂的乘方误认为是指数相乘；（2）符号处理不当：在处理涉及负数和负指数幂的运算时，学生容易出错；（3）底数处理不当：学生在处理不同底数的幂运算时可能出错；（4）指数处理不当：在进行幂运算时，学生可能会错误地处理指数，如在进行同底数幂的除法时，可能会错误地将指数相加而不是相减。
易错点5：零、负指数幂
（1）零指数幂：任何非零数的零次幂等于1。
（2）负指数幂：幂的指数为负数时，结果为该数的倒数的绝对值的指数幂。
易错提醒：（1）忽视指数为“1”的幂：当幂的指数为1时，通常省略不写，但学生在计算时可能会忽视这一点，导致计算错误。（2） 忽视运算顺序：学生可能会忽视幂运算的运算顺序，正确的运算顺序是先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。（3）对负指数幂和零指数幂的理解不足：学生可能对负指数幂和零指数幂的理解不足，导致在计算中出现错误。
易错点6：整式乘法与乘法公式
（1）单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
（2）单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
（3）多项式乘以多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（4）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
（5）完全平方公式：两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。
易错提醒：（1）多项式与多项式相乘时，容易漏乘某些项或误判符号造成错误。（2）对零指数幂的意义理解不透彻，考虑不周全。（3）在应用乘法公式时，容易忽略公式的适用条件。
例4．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方，积的乘方，掌握相关的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选：C．
例5．计算：．
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：
．
例6．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，4．
【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用多项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x、y的值代入计算即可求出值。
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
变式1．下列运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底幂相乘，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，根据这些法则一一判断即可，解决此题的关键是要熟练运用相关法则．
【详解】解：，根据同底幂相乘法则可知选项A正确，不符合题意；
,根据幂的乘方法则可知选项B正确，不符合题意；
，故选项C错误，符合题意；
，根据积的乘方法则可知选项D正确，不符合题意；
故选：C.
变式2．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据幂的乘方和同底数幂除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
变式3．计算：．
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，再进行混合运算即可．
【详解】解：
变式4．计算：
【答案】
【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值，解题的关键是熟练掌握运算法则．
【详解】解：
．
变式5．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是整式的化简求值运算，先按照完全平方公式与单项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把代入求值即可.
【详解】解：
当时，
原式=．
变式6．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，11
【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
易错陷阱三：因式分解
易错点7：分解因式
（1）提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。公因式包括各项的整数系数的最大公约数、相同的字母以及这些字母的最低指数。
（2）公式法：利用特定的公式进行因式分解，如平方差公式和完全平方公式；
（3）分组分解法：将多项式分组，然后分别进行因式分解。这种方法适用于较复杂的多项式。
易错提醒：（1）略公因式：在因式分解前，应先检查所有项是否有公因式。有时公因式可能不明显，需要仔细寻找。忽略公因式是常见的错误之一。（2）符号错误：在提取公因式或使用公式分解时，要注意正负号的变化。特别是当原式中有减号时，容易出现符号错误。（3）错用公式：确保使用正确的因式分解公式。不要混淆完全平方公式、平方差公式等。对公式的不熟悉或错误使用会导致错误的结果。（4）分解不彻底：
有时分解一次后，还可以继续分解。需要检查是否已经分解到最简形式，避免分解不彻底。（5）混淆概念：
因式分解与整式乘法是互逆运算。混淆这两者会导致错误。因式分解的结果必须是整式的乘积形式，并且分解要彻底。
例7．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
变式1．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
变式2．因式分解： ．
【答案】
【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查了完全平方公式法分解因式，选择适当方法分解因式是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
易错陷阱四：分式与二次根式
易错点8：二次根式与分式有意义的条件
（1）二次根式有意义的条件是：被开方数必须是非负数。即，对于形如√a（a为被开方数）的二次根式，只有当a≥0时，该二次根式才有意义。
（2）分式有意义的条件是：分母不能为零。即，对于形如b/a（a为分母，b为分子）的分式，只有当a≠0时，该分式才有意义。
易错提醒：（1）被开方数为负数：在计算二次根式时，容易忽略被开方数必须为非负数的条件，导致计算错误。（2）分母为零：在计算分式时，容易忽略分母不能为零的条件，导致计算错误。
易错点9：分式的混合运算
（1）分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。这是进行分式化简和运算的基础。
（2）运算顺序：分式混合运算的顺序与整式运算顺序类似，先进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。有括号的先算括号里面的。同级运算，按照从左往右的顺序依次计算。
（3）约分与通分：在运算过程中，如果分子和分母有公因式，可以进行约分。对于异分母的分式进行加减运算时，需要先进行通分。
（4）分式的乘除法：分式相乘时，把分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分式相除时，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
易错提醒：（1）错用分式的基本性质：在进行分式化简时，不能随意改变分子和分母的倍数关系，必须确保分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式。（2）运算顺序出错：在进行分式混合运算时，必须严格按照运算顺序进行计算，不能为了简便而省略步骤或改变运算顺序。（3）互为相反数的代数式约分出错：在约分时，如果分子和分母互为相反数，需要注意负号的处理。特别是当互为相反数的代数式出现在奇次方时，变形时要多一个负号。（4）不该约分时约分导致出错：在求解分式有意义的条件或进行其他需要保持分式原形的运算时，不能随意约分。约分可能会导致扩大未知数的取值范围或改变分式的值。（5）忽略分母不能为0的条件：在进行分式运算时，必须时刻注意分母不能为0的条件。如果分母为0，则分式无意义。在求解分式方程或进行分式化简时，需要验证解是否满足分母不为0的条件。
例8．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键；
根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数列式计算即可；
【详解】解：根据题意可知，，
即；
故选：B
例9．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是整式的混合运算，分式的混合运算；
（1） 根据乘法公式先计算乘法运算，再合并同类项即可；
（2）先计算括号内分式的加法运算，再计算除法运算即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
变式1．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
根据分式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，解得：．
故选：D．
变式2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意且，
解得：，
故答案为：．
变式3．（1）计算：．
（2）先化简，再代入求值：，其中．
【答案】（1）1（2），
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，实数的混合运算，分式的化简求值：
（1）将特殊角的三角函数值代入，利用零指数幂和负整数指数幂的法则，二次根式的性质，进行化简计算即可；
（2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再代值计算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
；
当时，原式．
变式4．计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】本题考查了实数的混合运算，异分母分式减法，分式的化简求值．
（1）先开方，计算零指数幂，负整数幂，绝对值，再加减加减即可；
（2）先通分，再计算减法即可；
（3）先根据分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
；
（3）解：
；
当时，原式．
1.若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：代数式有意义，
，．
解得∶且．
故选：D．
2．是的（ ）
A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．立方根
【答案】C
【分析】本题考查了倒数、绝对值、相反数和立方根，根据倒数、绝对值、相反数和立方根的定义判断即可．
【详解】解：是的相反数，
故选：C．
3．10月20日，2024宜都半程马拉松在宜都市体育场鸣枪开赛，来自全国各地的8000名选手齐聚宜都，激情开跑，此次“半马”以“柑橘宜品，宜都有请”为主题，充分融入柑橘元素，是湖北首个以“橘”文化为主题的马拉松赛事，赛事共设半程马拉松（21.0975公里）和迷你跑（约7公里）两个项目，各4000人，年龄最大的跑者77岁，年龄最小的跑者仅3岁．数据8000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
4.若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是已知式子的值，求代数式的值，解题关键是整体代入．
将代入即可得解．
【详解】解：，
．
故答案为：．
5．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，直接利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
6.9的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根的概念：对于一个非负实数 a，其算术平方根记作；根据算术平方根的运算法则填写即可．
【详解】9的算术平方根，
故答案为：．
7．计算：
【答案】6
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，实数的混合运算，先计算绝对值，零次幂，算术平方根，负整数指数幂，再合并即可．
【详解】解：原式．
8．先化简，再求值：其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的运算法则及有理数的运算法则是解题的关键．
先去括号，然后合并同类项，得出化简结果后，再将，代入化简结果求值即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
9．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，绝对值，分式的混合运算；解题的关键是熟练掌握相关的运算法则；
（1）根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值计算即可；
（2）先算加法，再算乘方即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
10．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，根式运算，三角函数以及分式的化简求值，解题的关键是掌握相关运算法则和运算顺序．
（1）分别根据零指数幂，负整数指数算法则计算各项，再进行根式化简和绝对值运算，最后合并同类项得出结果．
（2）先对分式括号内进行化简，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后代入的值计算．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
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