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易错点10 尺规作图
易错陷阱一：实数
易错点1:角平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图步骤如下：
一、以角的顶点为圆心，以适当长度为半径画弧，与角的两边分别产生一个交点。
二、分别以这两个交点为圆心，以一定长度（需保证两条弧有交点）为半径画弧，产生一个交点。
三、连接角的顶点和两弧的交点并延长，所得射线即为所求角平分线。
易错提醒：（1）角平分线是一条射线，作图时最后一步应连接角的顶点和两弧交点并延长，不能仅连接两点作为线段。（2）画弧时，需明确交代圆心、半径以及交点，作图表述需规范。（3）尺规作图实质上是运用“SSS”构造全等三角形，证明时需根据作图过程严谨推导，避免循环论证的逻辑性错误。
易错点2:垂直平分线(垂线)的尺规作图
垂直平分线定义：一条经过某线段中点，且垂直于该线段的直线。
作图步骤：
一、确定线段的中点。使用尺规作图法，可以通过以下步骤找到线段的中点：
1、将直尺的一边与线段重合。
2、使用圆规，以线段的两个端点为圆心，以相同长度为半径画弧。两弧的交点即为线段的中点。
二、过中点作线段的垂线。使用直尺，通过中点作一条垂直于线段的直线，即为线段的垂直平分线。
易错提醒：（1）混淆垂线与垂线段（2）忽略标记直角符号（3）未找准格点（4）忽视垂直平分线的性质。
易错点3:等角的尺规作图
等角的尺规作图核心原理是利用圆规和直尺构造全等三角形，通过保持对应边长度相等实现角度复制。具体步骤如下：
一、用直尺画一条射线，作为新角的一边，记为射线OA'，端点O为新角的顶点。
二、在原角上画弧：以原角顶点O为圆心，任意长度为半径（如取r）画弧，交原角两边于A和B两点。
三、在新射线上画等长弧：保持圆规半径不变，以O'为圆心，在射线OA'上画弧，交射线于点A''。
四、量取原角交点间距：用圆规量取原角上B点到A点的距离AB。
五、在新弧上标记相同弦长：以A''为圆心，保持半径AB不变画弧，交前一步的弧于点B''。
六、用直尺连接点O'和B''，得到射线O'B''。此时∠A'O'B''即为与原角相等的角。
易错提醒：（1）对工具的理解不准确（2）作图步骤混乱（3）对几何概念理解不足（4）作图精度不够
易错点4:圆的切线中的尺规作图
方法一：
1 连接OP（O为圆心，P为圆外一点），并作出线段OP的垂直平分线，使其与OP相交于点M。
2 以M为圆心，OM为半径，画出一个圆（或一段圆弧），使其与已知的圆O相交于点C。
3 连接PC，线段PC即为所求作的切线。这一作法的理论基础是：OP作为新圆的直径，其所对的圆周角∠OCP等于90°，因此线段PC必定是圆O的切线。
方法二：
1 连接线段PO并延长它与圆O的交点至A、B两点。
2 以P为圆心，OP为半径，作出一段弧。
3 以O为圆心，AB为半径，再作出一段弧。这两段弧在某一点D处相交（确保OD的长度等于AB）。
4 连接线段OD并与圆O相交于点C。
5 连接线段PC，所得的线段PC即为所求作的切线。由于PO与PD的长度相等，可以推断出△OPD是一个等腰三角形。而根据给定条件，OD的长度等于AB，也即等于2OC，这意味着C是OD的中点。利用等腰三角形的性质，可以得出PC与CO垂直，从而证明线段PC是圆O的切线。
方法三：
1 连接线段OP并与圆O交于点B。
2 过点B作OP的垂线，与以O为圆心、OP为半径所画的弧相交于点D。
3 连接线段OD并与圆O相交于点C。
4 连接线段PC，所得的线段PC即为所求作的切线。通过构造与△POC全等的△DOB（由于OB=OC，且两三角形共享公共角，同时OP=OD），可以证明线段PC是圆O的切线。
易错提醒：（1）在作图过程中，容易忽略对几何图形特定性质的准确理解和应用，如等腰三角形的性质和圆周角定理等。这可能导致无法正确推导出垂直关系，从而无法作出切线（2）在选择作图方法时，需要根据具体情况进行判断和选择。如果选择的方法不适合当前情况，可能会导致作图失败或结果不准确（3）在作图过程中，需要注意精度和准确性。尺规作图要求精确的操作和测量，任何微小的误差都可能导致最终结果的不准确。因此，在作图时需要仔细、耐心，并尽可能使用精确的测量工具。
易错点5:(特殊)平行四边形的尺规作图
特殊平行四边形的尺规作图主要包括正方形、矩形、菱形、菱形对角线垂直的平行四边形等。其作图原理基于平行四边形的性质以及特殊平行四边形的独特属性。例如，正方形和矩形是四边等长的平行四边形，而菱形则是对角线互相垂直且平分的平行四边形。在作图时，我们需要利用尺规作图法，通过画出符合这些特殊性质的图形边和角，来完成特殊平行四边形的构造。
具体作图步骤可能包括：
一、画出平行四边形的基本边和角。
二、利用尺规确定特殊平行四边形的独特属性，如边长相等、对角线垂直或平分等。
三、连接各点，形成完整的特殊平行四边形。
易错提醒：（1）忽视平行四边形的性质。在作图时，必须始终牢记平行四边形的对边平行且相等这一基本性质，否则可能会画出错误的图形（2）混淆特殊平行四边形的属性。正方形、矩形、菱形等各有其独特的属性，如正方形四边等长且四个角都是直角，而菱形则是对角线互相垂直且平分。在作图时，必须明确目标图形的属性，并据此进行作图（3）尺规作图不精确。尺规作图需要极高的精确度，稍有不慎就可能导致图形失真。因此，在作图时，必须仔细测量和标记，确保每一步都准确无误（4）忽视图形的对称性。特殊平行四边形往往具有对称性，如正方形和矩形关于其中心对称，菱形关于其两条对角线对称。在作图时，可以利用这些对称性来检查图形的正确性。
例1．如图，是的高，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径画弧交于点；作射线交于点．若，，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的作法及性质，证明是解题的关键．
先证是等腰直角三角形，推出，，作于点F，由角平分线的性质定理得，推出，进而得出，依次求出，即可．
【详解】解：，，
是等腰直角三角形，
是的高，
，，
如图，作于点F，
由作图知，平分，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
故选C．
例2．如图，在中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（　　）
A．5 B． C．6 D．8
【答案】B
【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以， 所以， 从而得到， 然后根据含度角的直角三角形三边的关系求的长，进而求出的长．
【详解】连接， 如图
∵，
∴，
由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
例3．如图，在中，，点D在边上，且．

(1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作的平行线，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握作图方法是关键．
（1）利用同位角相等，两直线平行，在点D处作一个角等于即可；
（2）由（1）知，证明，得到，根据，即可求解．
【详解】（1）解：作图如图所示．

（2）解：如图，∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
例4．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，点A为直线外一点，求作，使经过点A且与直线相切于点．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作线段垂直平分线的作法、正确理解题意是解题的关键．根据题意画图即可．
【详解】解：①作的垂直平分线．
②过点作直线的垂线交的垂直平分线于点．
③以点为圆心，长为半径作，
即为所求．
例5．如图，在四边形中，点E是边上的点，请用尺规作图法作一个等腰，点P在四边形内部，且点P到边、的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】此题考查了尺规作等腰三角形，角平分线，解题的关键是掌握以上作图方法．
以点B为圆心，为半径画弧交于点F，然后作出的平分线交于点P，连接，，即为所求．
【详解】如图所示，
根据题意得，，且点P到，的距离相等
∴等腰即为所求．
变式1．如图，在中，，，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交和于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G，若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、尺规作图—作角平分线，过点G作于点H，由题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：过点G作于点H，
由题意可知平分，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
变式2．如图，已知平行四边形．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)E为上一点，设（1）中的平分线交于点F，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
【分析】（1）按照作角平分线的步骤即可作图；
（2）先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可证明为菱形．
【详解】（1）解：如图：即为所作：
（2）解：四边形是菱形，理由如下，
证明：如图，∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
变式3．如图，以的顶点A为圆心，以任意长度为半径画弧，分别与交于点E，F．再分别以点E，F为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，作射线，在射线上取一点C，分别以点A，C为圆心，以大于的长度为半径画弧，分别相交于G，Q两点作直线，与分别交于点B、D，H．连接，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据尺规作图可得平分，垂直平分，即可求出，再证明，即可得到，即可求出．
【详解】由题意可得平分，垂直平分，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
变式4．如图1，在正方形中，，P是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转，得到．
(1)已知旋转角为，点P与D点重合（如图2）．
①证明：；
②证明：是等腰三角形；
(2)已知旋转角为．
①请用没有刻度的直尺和圆规，在图3上的边上作出一点，使、、三点在一直线上；（不写作法，保留作图痕迹）
②当是直角三角形时，求的长．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)①图见解析；②或
【分析】（1）①先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，，从而可得，，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
②连接，先根据旋转的性质证出是等边三角形，再证出，然后根据全等三角形的性质可得，，从而可得，由此即可得证；
（2）①连接，以点为圆心、长为半径画弧，交于点，再过点作的垂线，分别交于点，由此即可得；
②过点作于点，先根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质、角的和差求出，然后分两种情况：和，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：①∵四边形是正方形，且点与点重合，
∴，
由旋转的性质得：，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴．
②如图，连接，
∵四边形是正方形，且点与点重合，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）①已证：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：①如图，点即为所求．
②∵四边形是正方形，，
∴，，
∵旋转角为，
∴点一定在上，
由旋转的性质得：，，，
如图，过点作于点，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
则分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，是直角三角形，
过点作，交于点，
∴，，
∴是等腰直角三角形，且，
设，则，
∴，
在中，，即，
整理得：，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴此时；
（Ⅱ）如图，当时，是直角三角形，
过点作，交于点，
同理可得：，，
设，则，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴此时；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、一元二次方程的应用、作垂线、勾股定理等知识，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造等腰直角三角形是解题关键．
变式5．如图，请用尺规作图法在的边的延长线上取一点M，使得．（不写作图过程，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】本题主要考查角度作图，涉及作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法作即可．
【详解】解：如图，
变式6．已知：中，为边上的一点．
(1)如图①，过点作交边于点，若，，，求的长；
(2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图③，点在边上，连接、，若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)相切；理由见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键．
（1）由题意易得，则有，根据相似三角形的性质与判定可进行求解；
（2）作交于点，作，射线交于点，则点即为所求；
（3）作交的延长线于点，连接，证明四边形是等腰梯形，推出，由，推出，推出，然后问题可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：①作交于点，
②作，射线交于点，则点即为所求；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴;
（3）解：直线与相切，理由如下：
作交的延长线于点，连接，如图，
，
四边形是等腰梯形．
．
的面积等于，
，
，
是的半径，
直线与相切．
变式7．如图，为经过圆心的一条线段，且与交于点．
(1)过在的上方作的切线，切点为，过作，垂足为，与交于点． 请尺规作图，不用写作图的详细步骤．
(2)求证：平分；
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，交于点，作射线，由直径所对的圆周角是直角可得，即为的切线，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出；
（）证明可得，又由，得到，进而得到，即可求证；
（）连接，证明，得到，由根据，得到，求出即可求解；
本题考查了过圆外一点作圆的切线，过直线外一点作已知直线的垂线，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，正确画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：如图，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分
（3）解：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径为．
变式8．如图，已知矩形中．
(1)请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分，（不写画法，保留画图痕迹）；
(2)在（1）的条件下若，，求出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质，要使EC平分，则点C到BE的距离与点C到CD的距离相等，故以点C为圆心，CD长为半径画圆，再过点B作圆C的切线，于AD的交点即为所求．
（2）利用角平分线和矩形的性质，将的值转化为的值，再利用勾股定理求出BE的长，进而求出ED的长度，最后求解．
【详解】（1）解：以点C为圆心，CD长为半径画圆，作BC的垂直平分线，以BC的垂直平分线与BC的交点为圆心，BC长为直径画圆，与圆C相交，连接点B与交点并延长交AD于点E，交点E即为所求．
（2）解： EC平分
矩形ABCD
，
在中由勾股定理得
在中得
．
【点睛】此题考查了尺规作图法作圆、中垂线，并考查角平分线和矩形的性质，三角函数的求解，解题的关键是根据角平分线性质正确作出图形．
变式9．如图，在中，．
(1)按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接．
(2)若，，求出（1）中所作的四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）①以A为圆心，以长为半径画弧，交于点，则；
②根据角的平分线的基本作图，解答即可；
③用直尺连接．
（2）先证明四边形是菱形，再过D作交于G，结合已知，利用菱形的面积公式计算即可．
本题考查了常见的基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握基本作图，菱形的判定是解题的关键．
【详解】（1）解：所求图形，如图所示．
（2）解：∵根据作图，平分，则，
又，,
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
过D作交于G，
又，，
∴，
，
∴菱形的面积为．
变式10．如图，在菱形中，，．
(1)实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长．
【答案】(1)图见解析
(2)图与证明见解析，周长为
【分析】（1）根据垂线作法直接作垂线即可；
（2）截取线段，连接，根据菱形的性质结合可证得四边形是平行四边形，再结合（1）作法可得，从而证得平行四边形是矩形，再根据锐角三角函数和菱形的性质即可求得矩形的长与宽，从而求得四边形的周长．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求作的高．
（2）证明：如图所示，截取线段，连接．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
由（1）作法知：，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
∵四边形是菱形，，
∴．
在中，
∵，，
∴，
，
∴，
∴矩形的周长为：．
【点睛】本题考查了作垂线，作线段等于已知线段，矩形的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
易错陷阱二：代数式
易错点6:(特殊)平行四边形的无刻度尺作图
特殊平行四边形的无刻度尺作图主要依赖于几何图形的性质和构造技巧。以下是一些关键知识点：
1.利用平行四边形的判定定理：如两组对边分别平行且相等，则四边形是平行四边形。在无刻度尺作图时，可以通过构造平行线和等长线段来证明四边形满足平行四边形的条件。
2.利用平行四边形的性质：如对角线互相平分。在无刻度尺作图时，可以通过找到对角线的中点，然后连接这两个中点来证明四边形是平行四边形。
3.构造特殊平行四边形：如菱形、矩形、正方形等。这些特殊平行四边形具有额外的性质，如菱形的四条边相等，矩形的对角线相等且互相平分，正方形的四条边相等且四个角都是直角。在无刻度尺作图时，可以利用这些性质来构造和证明特殊平行四边形。
4.利用平移、旋转和对称等变换：这些变换可以帮助我们找到和构造满足条件的点、线和图形。在无刻度尺作图时，可以通过平移、旋转或对称来找到所需的点或线段。
易错提醒：（1）误将梯形当作平行四边形（2）忽视平行四边形的对角线性质（3）.不熟悉特殊平行四边形的性质（4）作图技巧掌握不熟练
易错点7:相似与三角函数的无刻度尺作图
一、相似三角形在无刻度尺作图中的应用
利用相似三角形的性质，可以通过无刻度尺作图来解决一些几何问题。例如，可以通过构造相似三角形来找到线段的比例中项，或者通过相似三角形的对应边成比例来求解未知线段的长度。
二、三角函数在无刻度尺作图中的应用
三角函数如正弦、余弦、正切等，在无刻度尺作图中也有重要应用。通过构造直角三角形，并利用三角函数的定义和性质，可以求解一些与角度和边长相关的问题。例如，可以利用正弦定理或余弦定理来求解三角形的边长，或者利用正切的性质来找到直线的斜率。
三、结合相似与三角函数进行复杂作图
在一些复杂的几何问题中，需要同时利用相似和三角函数来进行作图。例如，可以通过构造相似三角形和直角三角形来求解一些与角度、边长和面积相关的问题。
易错提醒：（1）对相似三角形性质的理解不够深入（2）对三角函数定义和性质的理解不够准确（3）作图过程中的细节处理不当。
易错点8:正多边形与圆中的无刻度尺作图
一、正多边形作图
1.利用圆的性质确定正多边形的顶点：正多边形的所有顶点都位于一个圆上，这个圆被称为正多边形的外接圆。通过确定外接圆的圆心和半径，可以使用无刻度尺作图来找到正多边形的所有顶点。
2.利用对称性和全等关系：正多边形具有高度的对称性。通过利用这些对称性和全等关系，可以使用无刻度尺作图来构造正多边形的边和中线。
二、圆中的作图
1.确定圆心：在无刻度尺作图中，确定圆的圆心是关键。可以利用垂径定理、圆周角定理等圆的性质来找到圆心。
2.构造切线：作圆的切线时，需要利用切线与半径垂直的性质。通过构造与半径垂直的线段，可以找到切点。
3.等分圆弧和弦：利用圆的对称性和全等关系，可以将圆弧和弦等分为若干等份。
易错提醒：（1）对圆的性质理解不透彻（2）对称性和全等关系应用不当（3）作图步骤混乱
易错点9:新定义背景下的无刻度尺作图
在无刻度尺作图的新定义背景下，主要考察的是对几何图形性质的深入理解以及作图技巧的灵活应用。这包括但不限于：
一、基本作图技巧
1.通过连接、延长线段或构造特定图形（如等腰三角形、平行四边形等）来解决问题。
2.利用网格线间的平行或垂直关系，以及图形的对称性进行作图。
二、特殊角度与线段的构造
1.掌握画特殊角（如90度、60度、45度、30度角）的方法，以及角平分线、三等分角的构造技巧。
2.通过构造线段的垂直平分线来找到等长的线段，或利用平行线分线段成比例来找点。
三、与圆相关的作图问题
1.理解圆内弦、圆心角、圆周角、弧之间的关联，利用圆的轴对称性和旋转对称性进行作图。
2.掌握找圆心、作切线、找垂线、找弦等与圆相关的作图技巧。
易错提醒：（1）对几何图形性质理解不透彻（2）作图技巧掌握不熟练（3）忽视题目中的隐藏条件
例6．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的4个顶点都在格点上，E是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先画交于点G，交边于点F，再在上画点H，使得平分；
(2)在图2中，先画的高，再分别在边和上画点M、N，使得，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取边与网格线的交点，连接，即，取格点，连接、，易证，进而证明，则，即与的交点即为点；
（2）取格点、，连接交于点，则点是中点，连接交于点，由网格可知，进而得到，由因为，则点是高线的交点，连接并延长交于点，线段即为的高；由的面积公式，可得，取格点、、、，连接交于，连接交于点，连接即可．（由相似三角形可知，，，则，可得，且，进而得出）
【详解】（1）解：如图1，即为所求作；
（2）解：如图2，即为所求作；
【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，网格与勾股定理，特殊四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
例7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
(1)在图1中，以为边，画出，使与全等，为格点，请在图1中画出满足条件的所有；
(2)在图2中，以点为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点、为格点；
(3)在图3中，在边上找一个点，且满足．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了作图相似变换，熟练掌握全等图形、位似图形、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质即可作出；
（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出；
（3）取格点，，连接，交于点，则点即为所求作的点．由图可得，
从而得出．
【详解】（1）如图，和和即为所作，
；
（2）如图，即为所作，
；
（3）如图所示，取格点，，连接，交于点，则点即为所求作的点．
例8．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.
【分析】(1)作直径AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求；
(2)①连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点F，则F即为所求；
②如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BM⊥AC，连接CN，则可得直线CN⊥AB，两线交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求.
【详解】(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；

(2)①如图所示，点F即为所求；

②如图所示，AH即为所求.

【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键.
例9．大家都知道黄金比的美，但是漫画家创造一个可爱的漫画形象时，通常会去选择运用白银比而非黄金比．因为白银比例创造出来的形象要比用形黄金比例创造出的形象更憨态可掬，温和可人．
通过上网查阅资料，小希同学发现白银比的定义：如图1，点C把线段分成两部分，如果，那么点C为线段的“白银分割点”，如图2，矩形中，，那么矩形叫做“白银矩形”．
应用：
（1）如图3，矩形ABCD是一张A4纸，，将矩形边翻折，使得点A的对应点落在上，将矩形边翻折，使得点D的对应点落在上，折痕交于点O，再将对折，发现与恰好重合，求证：矩形是“白银矩形”．
（2）如图4，在（1）的条件下，矩形中，E为上一点，将矩形沿折叠，使得点C落在边上的点F处，延长交的延长线于点G，说明点E为线段的“白银分割点”．
（3）已知线段（如图5），作线段的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要做法）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）由翻折知，，即，从而；由对折知，，即，由此即可证明结论成立；
（2）由（1）知，，则得是等腰直角三角形，进而易得为等腰直角三角形，；由折叠性质得，则有，从而结论得证；
（3）过B作，在上取，连接，作的平分线交于K，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，
由翻折知，，
，，
；
由对折知，，
即，
，
即矩形是“白银矩形”；
（2）解：四边形为矩形，
，
由（1）知，；
由折叠得：，，
，
由勾股定理得：，
是等腰直角三角形，
；
，
；
，
，
，
即为等腰直角三角形，
；
，
，
即；
（3）过B作，在上取，连接，作的平分线交于K，则K点是线段的一个“白银分割点”．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，尺规作图：作垂线及角平分线，理解题中新定义是关键．
变式1．如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作的中点．
(2)在图2中作点，使得
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据得到，作直线，交于点，则点P即为所求．
（2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即为所求．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
故作直线，交于点，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即P为的中点，
则点P即为所求．
（2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，
则点N即为所求．
变式2．如图，在菱形中是的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图，
(1)在图1中，过点作的平行线，与交于点．
(2)在图2中，作线段的垂直平分线，垂足为点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查无刻度直尺作图，掌握菱形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
（1）连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作；
（2）连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作．
【详解】（1）解：连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作；
（2）解：连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作．
变式3．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线．
【问题探究】
（1）如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形是以为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出1个即可）；
【问题解决】
（2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，求证：是四边形的“相似对角线”；
【拓展应用】
（3）如图3，已知是四边形 “相似对角线”， ，连接，若的面积为，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题是属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，正确判定相似三角形是解答本题的关键．
（1）根据“相似对角线”的定义，利用方格纸的特点可找到D点的位置；
（2）根据，平分，可得，由三角形内角和定理得到，又由得到，则
，即可证明；
（3）先判断出，得出，再求出，进一步即可求得的值．
【详解】解：（1）如图1所示， 即为所求；

由题意可得，
∵四边形是以为“相似对角线”的四边形，
①当时，，
∴，
∴，
∴，
①当时，，
∴，
∴，
∴；
（2），平分，
，
，
，
，
，
∴是四边形的“相似对角线”；
（3）如图3，

∵是四边形的“相似对角线”，
∴与相似．
∵，
，，
∴，
，
过点E作于点Q，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴．
变式4．【阅读思考】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第页的数学活动，其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图）；
第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段．
（1）请根据上述过程完成下列问题：
①连接，如图，请判断的形状，并说明理由；
②请直接写出： ______．
【实践操作】（2）如图3，四边形为正方形：请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①请在边上找一点，使，
②过点作，交于点，连接．

【拓展应用】在（2）的条件下，若正方形的边长为，请结合上面的尺规作图，求的面积．
【答案】阅读思考：①为等边三角形，理由见解析；②；实践操作：①见解析；②见解析；拓展应用：
【分析】阅读思考：①由折叠的性质可得：垂直平分，垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，即可得解；②由等边三角形的性质结合折叠的性质即可得出答案；
实践操作：①先作的垂直平分线交于，交于，再以为圆心，为半径画弧交于，连接，再作的垂直平分线即可；②以为圆心，任意长度为半径画弧交于、，分别以、为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线，交于，连接即可；
拓展应用：解直角三角形求出、的长，再根据面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：阅读思考：①为等边三角形，理由如下：
由折叠的性质可得：垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴为等边三角形；
②∵为等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴；
实践操作：①点即为所求，
②如图，点即为所求，
拓展应用：∵正方形的边长为，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、作图—复杂作图、解直角三角形、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
变式5．沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．
活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法．
①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、．
(1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________
（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形．
活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法．
①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形．
(2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形．
（参考数据：，，，，．）
【答案】(1)，
(2)，证明五边形是正五边形见详解
【分析】（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，据此即可获得答案；
（2）首先结合题意并根据勾股定理解得，进而可得，易得，再在中，由勾股定理解得，即可确定的值；连接，，，，，结合为直径易得，利用三角函数可得，由圆周角定理可得，进而可得，然后利用全等三角形的性质可证明，，即可证明结论．
【详解】（1）解：根据正多边形的定义，我们只需要证明，，就可证明六边形是正六边形．
故答案为：，；
（2）解：根据题意，可得，，
∵点为半径的中点，
∴，
∴在中，，
∵以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点，
∴，
∴，
∴在中，，
∵以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点，
∴；
如下图，连接，，，，，
∵为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴五边形是正五边形．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、多边形的定义和性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．
变式6．仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法)
(1)如图①，画出的一个内接矩形.
(2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形.
【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解.
【分析】（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形；
【详解】（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形．
解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求；
（2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．
【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
变式7．定义：自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端点，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图①，是点P对线段的视角．
问题：如图②，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段的视角最大．
小明的分析思路如下：过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，则点P对线段的视角最大，即最大．
小明的证明过程：为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接，如图②，设直线交圆O于点H，连接，
则．（依据1）
∵．（依据2）
∴
∴
所以，点P对线段的视角最大．
(1)请写出小明证明过程中的依据1和依据2；
依据1：________________________________________
依据2：________________________________________
(2)应用：在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如图③，A、B是足球门的两端，线段是球门的宽，是球场边线，是直角，．
①若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在上求作点P，使点P对的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）．
②若，，直接写出①中所作的点P对的最大视角的度数（参考数据：．）
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据圆周角定理，三角形外角的性质，即可求解；
（2）①作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求；②过A、B两点，作使其与直线相切，切点为P，设交于点M，设，则，可得四边形是矩形，从而得到，，在中，根据勾股定理，可得，从而得到，进而得到，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】（1）解：在直线l上另外任取一点Q，连接，如图②，设直线交圆O于点H，连接，
则．（同弧所对的圆周角相等）
∵．（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．）
∴
∴，
所以，点P对线段的视角最大．
（2）解：①如图，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求．
②过A、B两点，作使其与直线相切，切点为P，设交于点M，设，则，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴最大视角是．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了解直角三角形、直线和圆相切等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序求解，一般比较容易解答．
变式8．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
(1)如图1，损矩形ABCD，，则该损矩形的直径是线段______．
(2)在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请用尺规作出这个圆，并说明你的理由．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图2，△ABC中，，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD．
①当BD平分时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．
②在①的条件下，若，，请求BD的长．
【答案】(1)AC；
(2)见解析；
(3)①正方形，理由见解析；②．
【分析】（1）根据损矩形的直径的定义即可求解；
（2）尺规作图线段AC的垂直平分线，得到线段AC的中点P，则点P为线段AC的中点．
根据直角三角形性质证明，即可证明点A、B、C、D在以P为圆心，为半径的同一个圆上；
（3）①先证明四边形ABCD为损矩形，根据（2）的结论，证明，进而证明，即可证明菱形ACEF为正方形；
②如图2，延长BA，过点D作于点M，于点N，证明，得到，设，得到，求出，得到，根据，即可求出．
【详解】（1）解：该损矩形的直径是线段AC，
故答案为：AC；
（2）解：如图1，点P即为求作的点；
作线段AC的垂直平分线，与线段AC交于点P，则点P为线段AC的中点．
证明：由作图得点P为AC中点，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，为半径的同一个圆上；
（3）解：①四边形ACEF为正方形．
证明：∵四边形ACEF为菱形，
∴，，，
∵，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上，
∵BD平分，
∴，
∴，
∴，
∴菱形ACEF为正方形；
②如图2，延长BA，过点D作于点M，于点N，
∵由①BD平分，
∴，
∴，
在Rt△ADM和Rt△CDN中
∵
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题为新定义问题，考查了直角三角形的性质，尺规作图-作线段的垂直平分线，菱形的性质，正方形的判定，圆的性质等知识，综合性强，理解新定义，灵活应用相关知识是解题的关键．注意此题的每一小问都为后续解题提供了解题的条件，要善于运用各小问之间的关键解决问题．
1．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，则点到的距离为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
根据题意可得，由作图可得平分，由此可得，由此即可求解．
【详解】解：在中，，过点作于点，如图，
∵，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∴点到的距离为4，
故选：B．
2．如图，以的顶点B为圆心，长为半径画弧，再分别以C，D为圆心、的长为半径画弧，两弧交于点E，若，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质，基本尺规作图——作已知直线的垂线，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键．
设，则，得出，，根据得出，列出方程，求出的值，即可求解．
【详解】解：由作图可知，
设，则，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：B．
3．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，点T在射线上，过点T作，，垂足分别为M，N，点G，H分别在，边上，．若，则的值为（ ）
A．12 B．8 C． D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可．
【详解】解：根据题意，可知平分，
∵，，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
4．如图，在中，，以A为圆心、一定长度为半径画圆弧，交，于点D，E，分别以点D，E为圆心、大于长度为半径画圆弧，两条圆弧相交于点F，连接交于点M，，，则为 ．

【答案】18
【分析】利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到M点到的距离为4，然后根据三角形面积公式计算的面积．
【详解】解：由题可知，平分，如图，
过M作于点N，
根据角平分线性质得，
故．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
5．如图，中，在和上分别截取，使，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于P，连接并延长交于D，若，线段上取一点E使得，连接，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，平分，继而证明得到，，对运用面积法求解即可．
【详解】解：由题意得，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
6．如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ．
【答案】16
【分析】通过题干的尺规作图得出是的角平分线，直线是的垂直平分线，再通过证明，则，所以四边形是菱形，结合三角形外角性质，则，即可作答．
【详解】解：∵，，，
∴，
如图：
∵用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，
∴是的角平分线，
∴，
∵以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，
∴直线是的垂直平分线，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即
∴四边形是菱形，
则中，，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
即菱形的周长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质以及垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
7．如图，在中，，以为直径的交边于点D，连接过点C作．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查了作圆的切线，切线的性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是掌握基本作图，能熟练运用三角形全等的判定定理．
（1）过B作的垂线即为过点的的切线；
（2）由， ，可得，而点D在以为直径的圆上，为的切线，可得，即可证明，从而．
【详解】（1）解：过B作，交于F，直线即为所求直线，如图：
（2）证明：，
，
，
，
，
∵点在以为直径的圆上，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
8．在学习了内切圆相关知识后，小麦同学进行了更深入的研究，他发现三角形的内切圆半径与这个三角形周长，面积之间有一定的数量关系，他的思路是利用面积法探索这三者之间的联系，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空．
(1)如图，中，平分交于点，用尺规作图作的角平分线分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的基础上，过分别作于点，于点，于点，连接，根据题意完善图形，求证：．
平分，，，
（填写依据：①_______），
又平分，，，
，
∴②________，
∵，，
．
对此，请你根据上述数量关系解决问题：当，，时，则内切圆半径为③_______．
【答案】(1)见解析；
(2)①角平分线上的点到角两边距离相等；②；③．
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理、三角形内切圆的定义等知识点，掌握角平分线的性质成为解题的关键．
（1）根据角平分线的尺规作图的作法即可解答；
（2）根据角平分线的性质定理、三角形的面积公式、周长公式即可完成证明；如图：，，，过A作，垂足为D，设，，则，运用勾股定理可求得，易求的的面积，然后代入证明的结论即可解答．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
（2）解：平分，，，
（填写依据：角平分线上的点到角两边距离相等），
又平分，，，
，
∴，
∵
，，
．
如图：，，，过A作，垂足为D，
设，，则，
∵，
∴，解得：，即，
∴，
设内切圆半径为，
∵，
∴，即内切圆半径为．
故答案为：角平分线上的点到角两边距离相等；；．
9．在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)；
(3)在（2）的前提下，在图（2）中继续用无刻度的直尺和圆规在边上方作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据垂直的定义得到，求得，得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质作图即可；
（3）根据相似三角形的性质作图即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点是点的“关联点”．
（2）解：如图，即为所求，
作法提示：①作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
简证：点在以为直径的圆上运动，
，
，
由（1）可得，此时点为点的“关联点”．
（3）解：如图，
作法提示：①作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．
简证：在以为直径的圆上运动，
，
根据第一问很容易得出，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质、尺规作图等内容，解题关键是熟练掌握相关知识和正确理解题意．
10．【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．

【答案】【概念认识】；【数学理解】见解析；【问题解决】或
【分析】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可；
（2）作，分别交于点D、C，即可得到垂等四边形；
（3）连接，由（2）可得等腰，从而求出，作，根据条件证明，利用相似三角形的性质可求设，作，证明即可求出．
【详解】（1）解：由垂等四边形的定义得，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：作，分别交于点D、C，即可得到垂等四边形， 如图，

以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点A、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，
以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点B、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点C，
连接，四边形即为所求的垂等四边形；
（3）解：连接，由（2）可得等腰，

∴，
作，
∴，，
∵四边形是垂等四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：或3，
∴或3，
∵，
∴或，
作，
∵
∴，
∴，
∴ 或，
∴或；
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质、三角函数的应用和四边形综合知识的计算，正确作出辅助线是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错点10 尺规作图
易错陷阱一：实数
易错点1:角平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图步骤如下：
一、以角的顶点为圆心，以适当长度为半径画弧，与角的两边分别产生一个交点。
二、分别以这两个交点为圆心，以一定长度（需保证两条弧有交点）为半径画弧，产生一个交点。
三、连接角的顶点和两弧的交点并延长，所得射线即为所求角平分线。
易错提醒：（1）角平分线是一条射线，作图时最后一步应连接角的顶点和两弧交点并延长，不能仅连接两点作为线段。（2）画弧时，需明确交代圆心、半径以及交点，作图表述需规范。（3）尺规作图实质上是运用“SSS”构造全等三角形，证明时需根据作图过程严谨推导，避免循环论证的逻辑性错误。
易错点2:垂直平分线(垂线)的尺规作图
垂直平分线定义：一条经过某线段中点，且垂直于该线段的直线。
作图步骤：
一、确定线段的中点。使用尺规作图法，可以通过以下步骤找到线段的中点：
1、将直尺的一边与线段重合。
2、使用圆规，以线段的两个端点为圆心，以相同长度为半径画弧。两弧的交点即为线段的中点。
二、过中点作线段的垂线。使用直尺，通过中点作一条垂直于线段的直线，即为线段的垂直平分线。
易错提醒：（1）混淆垂线与垂线段（2）忽略标记直角符号（3）未找准格点（4）忽视垂直平分线的性质。
易错点3:等角的尺规作图
等角的尺规作图核心原理是利用圆规和直尺构造全等三角形，通过保持对应边长度相等实现角度复制。具体步骤如下：
一、用直尺画一条射线，作为新角的一边，记为射线OA'，端点O为新角的顶点。
二、在原角上画弧：以原角顶点O为圆心，任意长度为半径（如取r）画弧，交原角两边于A和B两点。
三、在新射线上画等长弧：保持圆规半径不变，以O'为圆心，在射线OA'上画弧，交射线于点A''。
四、量取原角交点间距：用圆规量取原角上B点到A点的距离AB。
五、在新弧上标记相同弦长：以A''为圆心，保持半径AB不变画弧，交前一步的弧于点B''。
六、用直尺连接点O'和B''，得到射线O'B''。此时∠A'O'B''即为与原角相等的角。
易错提醒：（1）对工具的理解不准确（2）作图步骤混乱（3）对几何概念理解不足（4）作图精度不够
易错点4:圆的切线中的尺规作图
方法一：
1 连接OP（O为圆心，P为圆外一点），并作出线段OP的垂直平分线，使其与OP相交于点M。
2 以M为圆心，OM为半径，画出一个圆（或一段圆弧），使其与已知的圆O相交于点C。
3 连接PC，线段PC即为所求作的切线。这一作法的理论基础是：OP作为新圆的直径，其所对的圆周角∠OCP等于90°，因此线段PC必定是圆O的切线。
方法二：
1 连接线段PO并延长它与圆O的交点至A、B两点。
2 以P为圆心，OP为半径，作出一段弧。
3 以O为圆心，AB为半径，再作出一段弧。这两段弧在某一点D处相交（确保OD的长度等于AB）。
4 连接线段OD并与圆O相交于点C。
5 连接线段PC，所得的线段PC即为所求作的切线。由于PO与PD的长度相等，可以推断出△OPD是一个等腰三角形。而根据给定条件，OD的长度等于AB，也即等于2OC，这意味着C是OD的中点。利用等腰三角形的性质，可以得出PC与CO垂直，从而证明线段PC是圆O的切线。
方法三：
1 连接线段OP并与圆O交于点B。
2 过点B作OP的垂线，与以O为圆心、OP为半径所画的弧相交于点D。
3 连接线段OD并与圆O相交于点C。
4 连接线段PC，所得的线段PC即为所求作的切线。通过构造与△POC全等的△DOB（由于OB=OC，且两三角形共享公共角，同时OP=OD），可以证明线段PC是圆O的切线。
易错提醒：（1）在作图过程中，容易忽略对几何图形特定性质的准确理解和应用，如等腰三角形的性质和圆周角定理等。这可能导致无法正确推导出垂直关系，从而无法作出切线（2）在选择作图方法时，需要根据具体情况进行判断和选择。如果选择的方法不适合当前情况，可能会导致作图失败或结果不准确（3）在作图过程中，需要注意精度和准确性。尺规作图要求精确的操作和测量，任何微小的误差都可能导致最终结果的不准确。因此，在作图时需要仔细、耐心，并尽可能使用精确的测量工具。
易错点5:(特殊)平行四边形的尺规作图
特殊平行四边形的尺规作图主要包括正方形、矩形、菱形、菱形对角线垂直的平行四边形等。其作图原理基于平行四边形的性质以及特殊平行四边形的独特属性。例如，正方形和矩形是四边等长的平行四边形，而菱形则是对角线互相垂直且平分的平行四边形。在作图时，我们需要利用尺规作图法，通过画出符合这些特殊性质的图形边和角，来完成特殊平行四边形的构造。
具体作图步骤可能包括：
一、画出平行四边形的基本边和角。
二、利用尺规确定特殊平行四边形的独特属性，如边长相等、对角线垂直或平分等。
三、连接各点，形成完整的特殊平行四边形。
易错提醒：（1）忽视平行四边形的性质。在作图时，必须始终牢记平行四边形的对边平行且相等这一基本性质，否则可能会画出错误的图形（2）混淆特殊平行四边形的属性。正方形、矩形、菱形等各有其独特的属性，如正方形四边等长且四个角都是直角，而菱形则是对角线互相垂直且平分。在作图时，必须明确目标图形的属性，并据此进行作图（3）尺规作图不精确。尺规作图需要极高的精确度，稍有不慎就可能导致图形失真。因此，在作图时，必须仔细测量和标记，确保每一步都准确无误（4）忽视图形的对称性。特殊平行四边形往往具有对称性，如正方形和矩形关于其中心对称，菱形关于其两条对角线对称。在作图时，可以利用这些对称性来检查图形的正确性。
例1．如图，是的高，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径画弧交于点；作射线交于点．若，，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
例2．如图，在中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（　　）
A．5 B． C．6 D．8
例3．如图，在中，，点D在边上，且．

(1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作的平行线，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)求线段的长．
例4．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，点A为直线外一点，求作，使经过点A且与直线相切于点．
例5．如图，在四边形中，点E是边上的点，请用尺规作图法作一个等腰，点P在四边形内部，且点P到边、的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
变式1．如图，在中，，，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交和于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G，若，则的面积为 ．
变式2．如图，已知平行四边形．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)E为上一点，设（1）中的平分线交于点F，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由．
变式3．如图，以的顶点A为圆心，以任意长度为半径画弧，分别与交于点E，F．再分别以点E，F为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，作射线，在射线上取一点C，分别以点A，C为圆心，以大于的长度为半径画弧，分别相交于G，Q两点作直线，与分别交于点B、D，H．连接，若，，则 ．
变式4．如图1，在正方形中，，P是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转，得到．
(1)已知旋转角为，点P与D点重合（如图2）．
①证明：；
②证明：是等腰三角形；
(2)已知旋转角为．
①请用没有刻度的直尺和圆规，在图3上的边上作出一点，使、、三点在一直线上；（不写作法，保留作图痕迹）
②当是直角三角形时，求的长．
变式5．如图，请用尺规作图法在的边的延长线上取一点M，使得．（不写作图过程，保留作图痕迹）
变式6．已知：中，为边上的一点．
(1)如图①，过点作交边于点，若，，，求的长；
(2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图③，点在边上，连接、，若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
变式7．如图，为经过圆心的一条线段，且与交于点．
(1)过在的上方作的切线，切点为，过作，垂足为，与交于点． 请尺规作图，不用写作图的详细步骤．
(2)求证：平分；
(3)若，，求的半径．
变式8．如图，已知矩形中．
(1)请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分，（不写画法，保留画图痕迹）；
(2)在（1）的条件下若，，求出的值．
变式9．如图，在中，．
(1)按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接．
(2)若，，求出（1）中所作的四边形的面积．
变式10．如图，在菱形中，，．
(1)实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长．
易错陷阱二：代数式
易错点6:(特殊)平行四边形的无刻度尺作图
特殊平行四边形的无刻度尺作图主要依赖于几何图形的性质和构造技巧。以下是一些关键知识点：
1.利用平行四边形的判定定理：如两组对边分别平行且相等，则四边形是平行四边形。在无刻度尺作图时，可以通过构造平行线和等长线段来证明四边形满足平行四边形的条件。
2.利用平行四边形的性质：如对角线互相平分。在无刻度尺作图时，可以通过找到对角线的中点，然后连接这两个中点来证明四边形是平行四边形。
3.构造特殊平行四边形：如菱形、矩形、正方形等。这些特殊平行四边形具有额外的性质，如菱形的四条边相等，矩形的对角线相等且互相平分，正方形的四条边相等且四个角都是直角。在无刻度尺作图时，可以利用这些性质来构造和证明特殊平行四边形。
4.利用平移、旋转和对称等变换：这些变换可以帮助我们找到和构造满足条件的点、线和图形。在无刻度尺作图时，可以通过平移、旋转或对称来找到所需的点或线段。
易错提醒：（1）误将梯形当作平行四边形（2）忽视平行四边形的对角线性质（3）.不熟悉特殊平行四边形的性质（4）作图技巧掌握不熟练
易错点7:相似与三角函数的无刻度尺作图
一、相似三角形在无刻度尺作图中的应用
利用相似三角形的性质，可以通过无刻度尺作图来解决一些几何问题。例如，可以通过构造相似三角形来找到线段的比例中项，或者通过相似三角形的对应边成比例来求解未知线段的长度。
二、三角函数在无刻度尺作图中的应用
三角函数如正弦、余弦、正切等，在无刻度尺作图中也有重要应用。通过构造直角三角形，并利用三角函数的定义和性质，可以求解一些与角度和边长相关的问题。例如，可以利用正弦定理或余弦定理来求解三角形的边长，或者利用正切的性质来找到直线的斜率。
三、结合相似与三角函数进行复杂作图
在一些复杂的几何问题中，需要同时利用相似和三角函数来进行作图。例如，可以通过构造相似三角形和直角三角形来求解一些与角度、边长和面积相关的问题。
易错提醒：（1）对相似三角形性质的理解不够深入（2）对三角函数定义和性质的理解不够准确（3）作图过程中的细节处理不当。
易错点8:正多边形与圆中的无刻度尺作图
一、正多边形作图
1.利用圆的性质确定正多边形的顶点：正多边形的所有顶点都位于一个圆上，这个圆被称为正多边形的外接圆。通过确定外接圆的圆心和半径，可以使用无刻度尺作图来找到正多边形的所有顶点。
2.利用对称性和全等关系：正多边形具有高度的对称性。通过利用这些对称性和全等关系，可以使用无刻度尺作图来构造正多边形的边和中线。
二、圆中的作图
1.确定圆心：在无刻度尺作图中，确定圆的圆心是关键。可以利用垂径定理、圆周角定理等圆的性质来找到圆心。
2.构造切线：作圆的切线时，需要利用切线与半径垂直的性质。通过构造与半径垂直的线段，可以找到切点。
3.等分圆弧和弦：利用圆的对称性和全等关系，可以将圆弧和弦等分为若干等份。
易错提醒：（1）对圆的性质理解不透彻（2）对称性和全等关系应用不当（3）作图步骤混乱
易错点9:新定义背景下的无刻度尺作图
在无刻度尺作图的新定义背景下，主要考察的是对几何图形性质的深入理解以及作图技巧的灵活应用。这包括但不限于：
一、基本作图技巧
1.通过连接、延长线段或构造特定图形（如等腰三角形、平行四边形等）来解决问题。
2.利用网格线间的平行或垂直关系，以及图形的对称性进行作图。
二、特殊角度与线段的构造
1.掌握画特殊角（如90度、60度、45度、30度角）的方法，以及角平分线、三等分角的构造技巧。
2.通过构造线段的垂直平分线来找到等长的线段，或利用平行线分线段成比例来找点。
三、与圆相关的作图问题
1.理解圆内弦、圆心角、圆周角、弧之间的关联，利用圆的轴对称性和旋转对称性进行作图。
2.掌握找圆心、作切线、找垂线、找弦等与圆相关的作图技巧。
易错提醒：（1）对几何图形性质理解不透彻（2）作图技巧掌握不熟练（3）忽视题目中的隐藏条件
例6．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的4个顶点都在格点上，E是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先画交于点G，交边于点F，再在上画点H，使得平分；
(2)在图2中，先画的高，再分别在边和上画点M、N，使得，且．
例7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
(1)在图1中，以为边，画出，使与全等，为格点，请在图1中画出满足条件的所有；
(2)在图2中，以点为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点、为格点；
(3)在图3中，在边上找一个点，且满足．
例8．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH

例9．大家都知道黄金比的美，但是漫画家创造一个可爱的漫画形象时，通常会去选择运用白银比而非黄金比．因为白银比例创造出来的形象要比用形黄金比例创造出的形象更憨态可掬，温和可人．
通过上网查阅资料，小希同学发现白银比的定义：如图1，点C把线段分成两部分，如果，那么点C为线段的“白银分割点”，如图2，矩形中，，那么矩形叫做“白银矩形”．
应用：
（1）如图3，矩形ABCD是一张A4纸，，将矩形边翻折，使得点A的对应点落在上，将矩形边翻折，使得点D的对应点落在上，折痕交于点O，再将对折，发现与恰好重合，求证：矩形是“白银矩形”．
（2）如图4，在（1）的条件下，矩形中，E为上一点，将矩形沿折叠，使得点C落在边上的点F处，延长交的延长线于点G，说明点E为线段的“白银分割点”．
（3）已知线段（如图5），作线段的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要做法）
变式1．如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作的中点．
(2)在图2中作点，使得
变式2．如图，在菱形中是的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图，
(1)在图1中，过点作的平行线，与交于点．
(2)在图2中，作线段的垂直平分线，垂足为点．
变式3．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线．
【问题探究】
（1）如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形是以为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出1个即可）；
【问题解决】
（2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，求证：是四边形的“相似对角线”；
【拓展应用】
（3）如图3，已知是四边形 “相似对角线”， ，连接，若的面积为，求的长．
变式4．【阅读思考】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第页的数学活动，其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图）；
第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段．
（1）请根据上述过程完成下列问题：
①连接，如图，请判断的形状，并说明理由；
②请直接写出： ______．
【实践操作】（2）如图3，四边形为正方形：请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①请在边上找一点，使，
②过点作，交于点，连接．

【拓展应用】在（2）的条件下，若正方形的边长为，请结合上面的尺规作图，求的面积．
变式5．沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．
活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法．
①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、．
(1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________
（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形．
活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法．
①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形．
(2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形．
（参考数据：，，，，．）
变式6．仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法)
(1)如图①，画出的一个内接矩形.
(2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形.
变式7．定义：自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端点，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图①，是点P对线段的视角．
问题：如图②，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段的视角最大．
小明的分析思路如下：过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，则点P对线段的视角最大，即最大．
小明的证明过程：为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接，如图②，设直线交圆O于点H，连接，
则．（依据1）
∵．（依据2）
∴
∴
所以，点P对线段的视角最大．
(1)请写出小明证明过程中的依据1和依据2；
依据1：________________________________________
依据2：________________________________________
(2)应用：在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如图③，A、B是足球门的两端，线段是球门的宽，是球场边线，是直角，．
①若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在上求作点P，使点P对的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）．
②若，，直接写出①中所作的点P对的最大视角的度数（参考数据：．）
变式8．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
(1)如图1，损矩形ABCD，，则该损矩形的直径是线段______．
(2)在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请用尺规作出这个圆，并说明你的理由．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图2，△ABC中，，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD．
①当BD平分时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．
②在①的条件下，若，，请求BD的长．
1．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，则点到的距离为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
2．如图，以的顶点B为圆心，长为半径画弧，再分别以C，D为圆心、的长为半径画弧，两弧交于点E，若，，（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，点T在射线上，过点T作，，垂足分别为M，N，点G，H分别在，边上，．若，则的值为（ ）
A．12 B．8 C． D．10
4．如图，在中，，以A为圆心、一定长度为半径画圆弧，交，于点D，E，分别以点D，E为圆心、大于长度为半径画圆弧，两条圆弧相交于点F，连接交于点M，，，则为 ．

5．如图，中，在和上分别截取，使，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于P，连接并延长交于D，若，线段上取一点E使得，连接，则的长是 ．
6．如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ．
7．如图，在中，，以为直径的交边于点D，连接过点C作．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
8．在学习了内切圆相关知识后，小麦同学进行了更深入的研究，他发现三角形的内切圆半径与这个三角形周长，面积之间有一定的数量关系，他的思路是利用面积法探索这三者之间的联系，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空．
(1)如图，中，平分交于点，用尺规作图作的角平分线分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的基础上，过分别作于点，于点，于点，连接，根据题意完善图形，求证：．
平分，，，
（填写依据：①_______），
又平分，，，
，
∴②________，
∵，，
．
对此，请你根据上述数量关系解决问题：当，，时，则内切圆半径为③_______．
9．在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)；
(3)在（2）的前提下，在图（2）中继续用无刻度的直尺和圆规在边上方作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)．
10．【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．

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