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易错点02 方程与不等式
易错陷阱一：一元一次方程
易错点1：列方程——古代问题
列一元一次方程解应用题的一般步骤：审题、找出等量关系、设未知数、列出方程、解方程、检验。
利用等量关系列方程：根据题目中的条件，找出等量关系，并据此列出方程。
易错提醒（1）假设的主体不明确，未知量设置错误；（2）假设的主体不明确，未知量设置；（3）假设的主体不明确，未知量设置错误。
例1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳三尺二寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余3.2尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
变式1．古代数学著作《增删算法统宗》中有一个问题，其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，正好分完．”若设牧童有人，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问车有几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，则剩余1辆车无人乘坐；若每3人共乘一车，则剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？ 设共有x辆车，则可列方程为 ．
易错陷阱二：二元一次方程组
易错点2:解二元一次方程组
1.加减消元法：当方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时，可以通过相加或相减消去该未知数，得到一个一元一次方程。然后解这个一元一次方程，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另一个未知数的值。
2.代入消元法：观察方程组，若其中一个方程可以表示为一个未知数关于另一个未知数的函数，则可将该函数代入另一个方程中，得到一个一元一次方程。解这个一元一次方程，然后将求得的未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另一个未知数的值。
易错提醒：（1）、概念理解不准确；（2）、消元过程不明确；（3）、计算过程中的符号错误；（4）、求解不完整；（5）、对整体思想认识不到位。
易错点3:二元一次方程组的应用
1 列方程组解应用题的基本思想：列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。
2 列方程组解应用题中常用的基本等量关系：包括行程问题（如追击问题、相遇问题）、工程问题、商品销售利润问题、储蓄问题、浓度问题、几何问题、年龄问题等。这些问题都需要根据具体情况，找出等量关系，列出方程组。
3 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：审题、设出未知数、根据等量关系列出方程组、解方程组、检验解的正确性、写出答案。
易错提醒：（1）对二元一次方程组概念的理解不清；（2）在列方程组时未能找到正确的等量关系；（3）在解方程组时可能出现计算错误；（4）忽视对解的检验；（5）对实际问题理解不深.
例2．（1）解方程组：
（2）先化简，再求值：，其中，．
例3．2024年海南基本实现全省公办中小学教室空调配置全覆盖，为广大中小学生提供了舒适的学习环境．某学校需采购一批空调，经市场调研了解：每台甲型空调售价比每台乙型空调售价贵300元，若购买一台甲型空调和一台乙型空调需5700元，求甲、乙两种型号空调每台价格各是多少元？
变式1．解方程：
变式2．计算或解方程组：
(1)；
(2)
变式3．某校口琴社团准备购买A，B两种型号的口琴，通过市场调研发现：买2支A型口琴和1支B型口琴共需元；买1支A型口琴和2支B型口琴共需元．
(1)每支A型口琴和B型口琴各多少元？
(2)若该校口琴社团需购买A，B两种型号的口琴共支，其中A型口琴不超过支，购买口琴的总费用是否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由．
变式4．剑桥三中某班为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买支钢笔和支自动铅笔共需元，购买支钢笔和支自动铅笔共需元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元？
(2)经协商，如果该班级需要自动铅笔的支数是钢笔的支数的倍，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不大于元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
易错陷阱三：一元二次方程
易错点4:解一元二次方程
（1）直接开平方法：适用于方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数的情况。步骤包括移项、使二次项系数为1、两边直接开平方、解一元一次方程。
（2）配方法：通过配方，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。步骤包括常数项移到等号右边、方程两边都除以二次项系数、方程两边都加上一次项系数一半的平方、若等号右边为非负数则直接开平方求出方程的解。
（3）公式法：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果b2-4ac≥0，那么方程有两个实数根。步骤包括将方程化为一般形式、确定a,b,c的值、求出b2-4ac的值、代入公式求解。
（4）因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个
易错提醒：（1）用配方法时，忘记给方程另一边同时加上一次项系数一半的平方；（2）用因式分解法时，因约去含未知数的项或式子而漏解；（3）用公式法时，因确定各项系数符号错误而出错，通常是因为未先移项。
易错点5:一元二次方程的实数根
其中，b -4ac被称为根的判别式△。
根据判别式△的值，可以判断一元二次方程的实数根的情况：
当△>0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=0时，方程有两个相等的实数根；
当△<0时，方程没有实数根。
易错提醒：（1）在判断一元二次方程的实数根时，易忽略二次项系数a不能为0的条件。如果a=0，则方程退化为一元一次方程，不再适用一元二次方程的求根公式和判别式；（2）当方程有两个相等的实数根时，易漏写一个根；（3）在利用判别式△判断一元二次方程的实数根时，易忽略对△进行分类讨论。特别是当方程中的系数含有字母时，需要对字母进行分类讨论，以确定方程是否有实数根；（4）在利用韦达定理求解一元二次方程时，易忽略判别式△≥0的前提条件。如果方程没有实数根，则无法利用韦达定理求解。因此，在利用韦达定理前，需要先判断方程是否有实数根。
例4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
例5．（1）解方程：
（2）计算：
变式1．对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
变式2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是 ．
变式3．（1）解方程：．
（2）计算：．
变式4．（1）解方程：．
（2）解不等式组：．
易错陷阱四：分式方程
易错点6:分式方程的解
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程。转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
解分式方程的一般步骤：
1.方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程。当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母。
2.解这个整式方程，求出整式方程的解。
3.检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。
易错提醒：（1）去分母时，容易将不含分母的整式项漏乘最简公分母，导致得到的整式方程错误。（2）解分式方程后容易忽略根的检验。分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根，因此一定要验根。（3）在对分式方程的解进行讨论时，未考虑增根的情况。需要注意未知数的取值使原分式方程中的分式的分母为0，即产生增根
易错点7:分式方程的应用
分式方程的应用主要涉及工程问题，如工作量问题、行程问题等。列分式方程解应用题的一般步骤包括：设未知数、找等量关系、列分式方程、解分式方程、检验以及给出答案。其中，检验是分式方程必须的步骤，包括检验求出来的解是否为原方程的根以及是否符合实际意义。
易错提醒：（1）是去分母时容易漏乘整式项。在解分式方程时，需要将方程两边都乘以最简公分母，转化为整式方程。此时需要注意，不要漏乘不含分母的项。（2）是忽略根的检验。分式方程转化为整式方程后，由于去分母会使未知数的取值范围发生变化，有可能产生增根。因此在解分式方程后一定要进行验根。验根的方法是将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，此时原分式方程无解。
例6．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
例7．某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件．
(1)求甲、乙两种水果每件的进货单价；
(2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．
变式1．分式方程的解为 ．
变式2．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解分式方程：
变式3．在众多的旅游城市中，历史悠久的南昌仿佛一夜之间绽放了它的独特魅力，吸引了无数游客的目光．万寿宫景点内的某商家为了抓住这一商机，购进，两种有关南昌城市景点的纪念品进行销售．已知种纪念品购进时的单价比种纪念品购进时的单价高元，用元购进种纪念品的数量是用元购进种纪念品的数量的两倍．
(1)求，两种纪念品购进时各自的单价．
(2)该商家决定购进，两种纪念品共个，若每个种纪念品的售价为元，每个种纪念品的售价为元，销售完这个纪念品所获得的利润不低于元，则该商家最少购进种纪念品多少个？
变式4．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．
(1)求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
(2)后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．
易错陷阱五：不等式与不等式组
易错点8:不等式的基本性质
1. 如果x大于y，而z为任意实数或整式，那么x加减z大于y加减z，即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。
2.如果x大于y，z大于0，那么x乘以或除以z大于y乘以或除以z，即不等式两边同时乘或除以同一个大于0的整式，不等号方向不变。
3.如果x大于y，z小于0，那么x乘以或除以z小于y乘以或除以z，即不等式两边同时乘或除以同一个小于0的整式，不等号方向改变。
易错提醒：（1）在对不等式两边同乘以一个数时，容易忽略该数的取值范围，导致错误。特别是当该数为负数时，不等号方向应改变。（2） 在利用不等式性质求范围时，由于多次运用不等式性质，可能导致范围扩大，从而出错。（3）在处理含有参数的不等式问题时，容易忽略参数的取值范围，导致解集错误。（4）在应用基本不等式求最值时，需要把握不等式成立的三个条件：各项均为正；积或和为定值；等号能否取得。若忽略了某个条件，就会出现错误。（5）在处理一元二次不等式时，容易忽视二次项系数不为0的条件，以及两根的大小关系，这可能导致解集判断错误。
易错点9:解一元一次不等式
1.一元一次不等式定义：不等式中只含有一个未知数，且未知数的次数为1，系数不为0，两边都是整式。其一般形式为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）。
2.一元一次不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的集合。解集可以用不等式或数轴表示。在数轴上表示时，要注意边界点和方向。
3.解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
易错提醒：（1）忽视一元一次不等式定义中的条件，如未知数的系数不能为0；（2）在去分母时，没有正确地将不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，导致后续步骤出错；（3）去括号时，没有正确处理括号前的负号，导致括号内的项符号出错；（4）移项时，没有正确改变所移项的符号，或错误地改变了不等号的方向；（5）合并同类项时，没有正确地将系数相加减，导致结果出错；（6）系数化为1时，没有正确处理不等式两边同时除以负数时不等号方向的变化；（7）在数轴上表示解集时，没有正确确定边界点和方向，导致解集表示错误。
易错点10:解一元一次不等式组
1.一元一次不等式组：由两个或两个以上的一元一次不等式组成，这些不等式中的未知数必须相同。
2.不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。当几个不等式的解集没有公共部分时，不等式组无解。
3.解不等式组的一般步骤：先求出不等式组中各个不等式的解集，再把它们分别表示在数轴上，然后利用数轴确定不等式组的解集。
易错提醒：（1）误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分。实际上，公共部分是指数轴上两个解集线段重叠的部分；（2）在去分母或去括号时，容易漏乘或漏加括号内的项，导致不等式变形错误；（3）忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错。特别是当这个数是含字母的式子时，应注意讨论其符号；（4）在确定不等式组的解集时，容易忽视特殊情况。（5）在移项或合并同类项时，容易忽视符号问题，导致不等式变形错误。移项时，只会改变所移项的符号，不会影响不等号的方向。
例8．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
例9．（1）计算：；
（2）解不等式：．
例10．（1）计算：；
（2）解不等式组：
变式1．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
变式2．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
变式3．（1）计算：；
（2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
变式4．求不等式的正整数解．
变式5．解不等式组并写出它的非负整数解．
变式6．（1）计算：．
（2）求不等式组的解集．
1．疫情得到有效控制后，各大中小型企业复工复产在有序展开，经济开始复苏．阳光超市三月份的营业额为36万元，五月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩880套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前5天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．实数根的个数由的值确定 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
4．方程的解是 ．
5．如图，平遥推光漆器是山西省著名的传统手工艺品，距今已有千年历史．某商家销售一款平遥推光漆器，原价为100元，为清理库存，商家推出“折上折”活动，即连续两次打折，折扣相同，打折后的售价为81元，则商家每次打 折．
6．定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ．
7．解方程组：
8．解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
9．为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个．
(1)应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？
(2)若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？
10．某物流公司承接甲、乙两种货物运输业务．已知该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，且这两个月分别承接的甲种货物数量相同，乙种货物数量也相同．该物流公司5月份和6月份甲、乙两种货物的运费单价如下表所示：
月份运费单价（元/吨） 5月份 6月份
甲货物 50 70
乙货物 30 40
(1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲、乙两种货物各多少吨？
(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且甲货物的数量不大于乙货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
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易错陷阱一：一元一次方程
易错点1：列方程——古代问题
列一元一次方程解应用题的一般步骤：审题、找出等量关系、设未知数、列出方程、解方程、检验。
利用等量关系列方程：根据题目中的条件，找出等量关系，并据此列出方程。
易错提醒（1）假设的主体不明确，未知量设置错误；（2）假设的主体不明确，未知量设置；（3）假设的主体不明确，未知量设置错误。
例1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳三尺二寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余3.2尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
【详解】解：根据题意可得：，
故选：A．
变式1．古代数学著作《增删算法统宗》中有一个问题，其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，正好分完．”若设牧童有人，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元一次方程，设牧童有人，根据杆的数量不变列方程即可．
【详解】解：设牧童有人，由题意，得
．
故选：B．
变式2．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问车有几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，则剩余1辆车无人乘坐；若每3人共乘一车，则剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？ 设共有x辆车，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键；设共有x辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可解答．
【详解】解：设共有x辆车，根据题意得：，
故答案为：．
易错陷阱二：二元一次方程组
易错点2:解二元一次方程组
1.加减消元法：当方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时，可以通过相加或相减消去该未知数，得到一个一元一次方程。然后解这个一元一次方程，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另一个未知数的值。
2.代入消元法：观察方程组，若其中一个方程可以表示为一个未知数关于另一个未知数的函数，则可将该函数代入另一个方程中，得到一个一元一次方程。解这个一元一次方程，然后将求得的未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另一个未知数的值。
易错提醒：（1）、概念理解不准确；（2）、消元过程不明确；（3）、计算过程中的符号错误；（4）、求解不完整；（5）、对整体思想认识不到位。
易错点3:二元一次方程组的应用
1 列方程组解应用题的基本思想：列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。
2 列方程组解应用题中常用的基本等量关系：包括行程问题（如追击问题、相遇问题）、工程问题、商品销售利润问题、储蓄问题、浓度问题、几何问题、年龄问题等。这些问题都需要根据具体情况，找出等量关系，列出方程组。
3 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：审题、设出未知数、根据等量关系列出方程组、解方程组、检验解的正确性、写出答案。
易错提醒：（1）对二元一次方程组概念的理解不清；（2）在列方程组时未能找到正确的等量关系；（3）在解方程组时可能出现计算错误；（4）忽视对解的检验；（5）对实际问题理解不深.
例2．（1）解方程组：
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2），6
【分析】此题考查解二元一次方程组，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键：
（1）利用加减法解方程组；
（2）先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，再计算加减法．
【详解】解：（1），
得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）
，
∵，，
∴原式．
例3．2024年海南基本实现全省公办中小学教室空调配置全覆盖，为广大中小学生提供了舒适的学习环境．某学校需采购一批空调，经市场调研了解：每台甲型空调售价比每台乙型空调售价贵300元，若购买一台甲型空调和一台乙型空调需5700元，求甲、乙两种型号空调每台价格各是多少元？
【答案】购买一台甲型空调价格为3000元，一台乙型空调价格为2700元
【分析】该题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是列出方程组．
设购买一台甲型空调价格为元，一台乙型空调价格为元，根据“每台甲型空调售价比每台乙型空调售价贵300元，购买一台甲型空调和一台乙型空调需5700元”，列出方程组即可．
【详解】解：设购买一台甲型空调价格为元，一台乙型空调价格为元，
依题意，得，
解得：，
答：购买一台甲型空调价格为3000元，一台乙型空调价格为2700元．
变式1．解方程：
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，把把②代入①中求解，再求解即可．
【详解】解：，
把②代入①中得，
解得，
把代入②中得，
∴原方程组的解为．
变式2．计算或解方程组：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
（1）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减即可；
（2）利用代入消元法即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
由①得，
把③代入②可得，
解得，
把代入，可得，
原方程组的解为．
变式3．某校口琴社团准备购买A，B两种型号的口琴，通过市场调研发现：买2支A型口琴和1支B型口琴共需元；买1支A型口琴和2支B型口琴共需元．
(1)每支A型口琴和B型口琴各多少元？
(2)若该校口琴社团需购买A，B两种型号的口琴共支，其中A型口琴不超过支，购买口琴的总费用是否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)每支A型口琴的价格是元，每支B型口琴的价格是元；
(2)购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为元；
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及一次函数的利润问题：
（1）设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元，根据费用列方程组求解即可得到答案；
（2）设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，根据费用等于单价乘以数量列函数，结合函数的性质求解即可得到答案．
【详解】（1）
解：设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每支A型口琴的价格是元，每支B型口琴的价格是元；
（2）解：设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，则购买支B型口琴，
根据题意得：，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵，
∴当时，w取得最小值，最小值为，
答：购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为元．
变式4．剑桥三中某班为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买支钢笔和支自动铅笔共需元，购买支钢笔和支自动铅笔共需元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元？
(2)经协商，如果该班级需要自动铅笔的支数是钢笔的支数的倍，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不大于元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
【答案】(1)该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是元、元；
(2)该班级最多可购买支该品牌的钢笔．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键熟练掌握相关知识的应用．
（1）设该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是元、元，由题意列出方程组，然后解方程组可；
（2）设该班级购买支该品牌的钢笔，则购买支该品牌的自动铅笔，由题意列出不等式，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：设该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是元、元，
由题意得：，
解得，
答：该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是元、元；
（2）解：设该班级购买支该品牌的钢笔，则购买支该品牌的自动铅笔，
由题意得：，
解得：，
∴该班级最多可购买支该品牌的钢笔，
答：该班级最多可购买支该品牌的钢笔．
易错陷阱三：一元二次方程
易错点4:解一元二次方程
（1）直接开平方法：适用于方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数的情况。步骤包括移项、使二次项系数为1、两边直接开平方、解一元一次方程。
（2）配方法：通过配方，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。步骤包括常数项移到等号右边、方程两边都除以二次项系数、方程两边都加上一次项系数一半的平方、若等号右边为非负数则直接开平方求出方程的解。
（3）公式法：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果b2-4ac≥0，那么方程有两个实数根。步骤包括将方程化为一般形式、确定a,b,c的值、求出b2-4ac的值、代入公式求解。
（4）因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个
易错提醒：（1）用配方法时，忘记给方程另一边同时加上一次项系数一半的平方；（2）用因式分解法时，因约去含未知数的项或式子而漏解；（3）用公式法时，因确定各项系数符号错误而出错，通常是因为未先移项。
易错点5:一元二次方程的实数根
其中，b -4ac被称为根的判别式△。
根据判别式△的值，可以判断一元二次方程的实数根的情况：
当△>0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=0时，方程有两个相等的实数根；
当△<0时，方程没有实数根。
易错提醒：（1）在判断一元二次方程的实数根时，易忽略二次项系数a不能为0的条件。如果a=0，则方程退化为一元一次方程，不再适用一元二次方程的求根公式和判别式；（2）当方程有两个相等的实数根时，易漏写一个根；（3）在利用判别式△判断一元二次方程的实数根时，易忽略对△进行分类讨论。特别是当方程中的系数含有字母时，需要对字母进行分类讨论，以确定方程是否有实数根；（4）在利用韦达定理求解一元二次方程时，易忽略判别式△≥0的前提条件。如果方程没有实数根，则无法利用韦达定理求解。因此，在利用韦达定理前，需要先判断方程是否有实数根。
例4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根．
先将原一元二次方程变形为一般式，再计算出的值即可．
【详解】解：原方程变形为，
，，，
，
该方程有两个不相等的实数根，
故选A．
例5．（1）解方程：
（2）计算：
【答案】（1）；（2）2
【分析】题考查了公式法解一元二次方程、实数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值的性质、二次根式的性质，进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
则，
．
（2）解：原式
．
变式1．对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，，
解得：且，故C正确．
故选：C．
变式2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据题意可得，解方程即可，注意不等于0的情况是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
解得，
根据一元二次方程的定义，
且，
则整数k 的最小值为，
故答案为：．
变式3．（1）解方程：．
（2）计算：．
【答案】；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值以及零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
∴
∴或，
解得：；
（2）
变式4．（1）解方程：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1），；（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）先求出不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1），
，，，
∴，
∴，
∴，；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
易错陷阱四：分式方程
易错点6:分式方程的解
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程。转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
解分式方程的一般步骤：
1.方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程。当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母。
2.解这个整式方程，求出整式方程的解。
3.检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。
易错提醒：（1）去分母时，容易将不含分母的整式项漏乘最简公分母，导致得到的整式方程错误。（2）解分式方程后容易忽略根的检验。分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根，因此一定要验根。（3）在对分式方程的解进行讨论时，未考虑增根的情况。需要注意未知数的取值使原分式方程中的分式的分母为0，即产生增根
易错点7:分式方程的应用
分式方程的应用主要涉及工程问题，如工作量问题、行程问题等。列分式方程解应用题的一般步骤包括：设未知数、找等量关系、列分式方程、解分式方程、检验以及给出答案。其中，检验是分式方程必须的步骤，包括检验求出来的解是否为原方程的根以及是否符合实际意义。
易错提醒：（1）是去分母时容易漏乘整式项。在解分式方程时，需要将方程两边都乘以最简公分母，转化为整式方程。此时需要注意，不要漏乘不含分母的项。（2）是忽略根的检验。分式方程转化为整式方程后，由于去分母会使未知数的取值范围发生变化，有可能产生增根。因此在解分式方程后一定要进行验根。验根的方法是将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，此时原分式方程无解。
例6．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，①解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．②解分式方程一定注意要验根．观察可得方程最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【详解】解：，
两边同乘，得，
整理、解得：．
检验：将代入，
方程的解为．
故选：A．
例7．某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件．
(1)求甲、乙两种水果每件的进货单价；
(2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．
【答案】(1)乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元
(2)购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元
【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出分式方程，求出一次函数的解析式是解此题的关键．
（1）设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解；
（2）设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元；
（2）解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，
由题意可得：，
解得：，
设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，
由题意可得：，
则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时，
∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元．
变式1．分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：
移项合并同类项得：
∴，
检验：当时，，
∴分式方程的解为，
故答案为：．
变式2．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解分式方程：
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查了整式的化简求值，解分式方程，解题的关键是：
（1）先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
，
当时，
原式．
（2）解：方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的根是．
变式3．在众多的旅游城市中，历史悠久的南昌仿佛一夜之间绽放了它的独特魅力，吸引了无数游客的目光．万寿宫景点内的某商家为了抓住这一商机，购进，两种有关南昌城市景点的纪念品进行销售．已知种纪念品购进时的单价比种纪念品购进时的单价高元，用元购进种纪念品的数量是用元购进种纪念品的数量的两倍．
(1)求，两种纪念品购进时各自的单价．
(2)该商家决定购进，两种纪念品共个，若每个种纪念品的售价为元，每个种纪念品的售价为元，销售完这个纪念品所获得的利润不低于元，则该商家最少购进种纪念品多少个？
【答案】(1)种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元
(2)该商家最少购进种纪念品个
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是正确找出等量关系．
（1）设种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元，根据题意列出分式方程即可求解；
（2）设该商家最购进种纪念品个，根据利润的关系列不等式即可求解．
【详解】（1）解：设种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元；
（2）设该商家最购进种纪念品个，
根据题意得：，
解得：，
答：该商家最少购进种纪念品个．
变式4．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．
(1)求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
(2)后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．
【答案】(1)该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元
(2)降价后每份毛肚的实际售价为元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用；
（1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据两次购进的数量相等建立分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设降价元，依题意得，，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得
，
解得：，
经检验，是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元；
（2）解：设降价元，依题意得，
，
解得：或（舍去），
∴降价后每份毛肚的实际售价为（元），
答：降价后每份毛肚的实际售价为元．
易错陷阱五：不等式与不等式组
易错点8:不等式的基本性质
1. 如果x大于y，而z为任意实数或整式，那么x加减z大于y加减z，即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。
2.如果x大于y，z大于0，那么x乘以或除以z大于y乘以或除以z，即不等式两边同时乘或除以同一个大于0的整式，不等号方向不变。
3.如果x大于y，z小于0，那么x乘以或除以z小于y乘以或除以z，即不等式两边同时乘或除以同一个小于0的整式，不等号方向改变。
易错提醒：（1）在对不等式两边同乘以一个数时，容易忽略该数的取值范围，导致错误。特别是当该数为负数时，不等号方向应改变。（2） 在利用不等式性质求范围时，由于多次运用不等式性质，可能导致范围扩大，从而出错。（3）在处理含有参数的不等式问题时，容易忽略参数的取值范围，导致解集错误。（4）在应用基本不等式求最值时，需要把握不等式成立的三个条件：各项均为正；积或和为定值；等号能否取得。若忽略了某个条件，就会出现错误。（5）在处理一元二次不等式时，容易忽视二次项系数不为0的条件，以及两根的大小关系，这可能导致解集判断错误。
易错点9:解一元一次不等式
1.一元一次不等式定义：不等式中只含有一个未知数，且未知数的次数为1，系数不为0，两边都是整式。其一般形式为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）。
2.一元一次不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的集合。解集可以用不等式或数轴表示。在数轴上表示时，要注意边界点和方向。
3.解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
易错提醒：（1）忽视一元一次不等式定义中的条件，如未知数的系数不能为0；（2）在去分母时，没有正确地将不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，导致后续步骤出错；（3）去括号时，没有正确处理括号前的负号，导致括号内的项符号出错；（4）移项时，没有正确改变所移项的符号，或错误地改变了不等号的方向；（5）合并同类项时，没有正确地将系数相加减，导致结果出错；（6）系数化为1时，没有正确处理不等式两边同时除以负数时不等号方向的变化；（7）在数轴上表示解集时，没有正确确定边界点和方向，导致解集表示错误。
易错点10:解一元一次不等式组
1.一元一次不等式组：由两个或两个以上的一元一次不等式组成，这些不等式中的未知数必须相同。
2.不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。当几个不等式的解集没有公共部分时，不等式组无解。
3.解不等式组的一般步骤：先求出不等式组中各个不等式的解集，再把它们分别表示在数轴上，然后利用数轴确定不等式组的解集。
易错提醒：（1）误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分。实际上，公共部分是指数轴上两个解集线段重叠的部分；（2）在去分母或去括号时，容易漏乘或漏加括号内的项，导致不等式变形错误；（3）忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错。特别是当这个数是含字母的式子时，应注意讨论其符号；（4）在确定不等式组的解集时，容易忽视特殊情况。（5）在移项或合并同类项时，容易忽视符号问题，导致不等式变形错误。移项时，只会改变所移项的符号，不会影响不等号的方向。
例8．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，分别判断即可．
【详解】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∵，
，故B符合题意；
当时，，故C不符合题意；
∵，
∴，故D不符合题意，
故选：B．
例9．（1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）按照先算乘方、再算乘除、最后算加减的顺序进行计算．先计算出各项的值，再逐步进行加减运算，最终得出结果．
（2）首先去分母，然后去括号，接着进行移项，最后将未知数的系数化为 1，从而求出不等式的解集．
【详解】解：（1），
，
；
（2），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，包括乘方、乘法、减法等运算，解一元一次不等式的知识点，计算的关键在于遵循正确的运算顺序，准确计算各项的值；解不等式的关键是每一步变形都要依据不等式的基本性质，尤其注意去分母和系数化为 1 时，若不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号方向要改变 ．
例10．（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）0；（2）
【分析】（1）根据乘方，负整指数，绝对值以及算术平方根的运算求解即可；
（2）求得每个不等式的解集，取公共部分即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的求解，负整指数幂，乘方，绝对值以及算术平方根的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
变式1．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查利用数轴比较实数的大小，解题的关键是掌握：在数轴上，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大；正实数大于一切负实数，大于一切负实数，正实数都大于．结合不等式的性质依次对各选项进行分析即可作出判断．
【详解】解：由数轴可知：，，
∴选项A、B、C的结论错误，不符合题意，，
∴，
故选项D的结论正确，符合题意．
故选：D．
变式2．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质结合特值法逐项判断即可．
【详解】解：由得：
A．不妨设，，则，故本选项不合题意；
B．，∴，故本选项符合题意；
C．，∴ ，故本选项不合题意；
D．，∴，故本选项不合题意；
故选：B．
变式3．（1）计算：；
（2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），图见解析
【分析】本题考查实数混合运算，解不等式，在数轴上表示不等式解集．熟练掌握实数混合运算法则和解不等式的一般步骤是解题的关键．
（1）先计算开方并去绝对值符号，再计算加减即可；
（2）先按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）
；
（2），
去分母，得：，
移项，合并，得：，
在数轴上表示为：
变式4．求不等式的正整数解．
【答案】正整数解为1，2
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
该不等式的正整数解：2，1．
变式5．解不等式组并写出它的非负整数解．
【答案】，不等式组的非负整数解为0，1
【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而求出非负整数解即可．
【详解】解：
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集为
∴不等式组的非负整数解为0，1．
变式6．（1）计算：．
（2）求不等式组的解集．
【答案】（1）（2）
【分析】本题考查实数的运算和解一元一次不等式组．
（1）根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质、零指数幂的性质进行计算；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
1．疫情得到有效控制后，各大中小型企业复工复产在有序展开，经济开始复苏．阳光超市三月份的营业额为36万元，五月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设每月的平均增长率为，根据“五月份的营业额为49万元”，即可得出方程．
【详解】解：设每月的平均增长率为x，则可列方程为，
故选：D．
2．某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩880套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前5天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的实际应用问题．根据提高效率之后，按原计划的生产时间提高效率后生产时间，可得结果．
【详解】解：设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，原计划用时天，
则提高效率之后每天生产套校服，用时天，
由此可得，
故选D．
3．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．实数根的个数由的值确定 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得．
【详解】解：关于的一元二次方程根的判别式为，
则这个方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
4．方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解．
【详解】解：
或
故答案为： ．
5．如图，平遥推光漆器是山西省著名的传统手工艺品，距今已有千年历史．某商家销售一款平遥推光漆器，原价为100元，为清理库存，商家推出“折上折”活动，即连续两次打折，折扣相同，打折后的售价为81元，则商家每次打 折．
【答案】/九
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设商家每次打折，根据“折上折”可得，再解方程即可．
【详解】解：设商家每次打折，则
，
解得：（舍去），
故答案为：
6．定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ．
【答案】或19/19或
【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可．
【详解】解：当时，
，
∴，
当时，
，
解得（舍去）或．
综上所述，x的值为或19．
故答案为：或19．
7．解方程组：
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减法解方程组即可；
【详解】解：
①+②，得：，
∴，
把代入②，得，
，
；
8．解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
,
∴原不等式组的解集为：
把解集表示在数轴上，如图所示：
9．为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个．
(1)应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？
(2)若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？
【答案】(1)分配5名工人生产A盲盒，12名工人生产B盲盒．
(2)280元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）设有x名工人生A盲盒，则有名工人生产B盲盒，根据每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成，每天生产的A盲盒和B盲盒配套，列出方程，解方程即可；
（2）设每套礼盒的标价为y元，根据每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设有x名工人生A盲盒，则有名工人生产B盲盒，根据题意得：
，
解得，
因此，应分配5名工人生产A盲盒，12名工人生产B盲盒．
（2）解：设每套礼盒的标价为y元，根据题意得：
，
解得，
因此每套礼盒的标价为280元．
10．某物流公司承接甲、乙两种货物运输业务．已知该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，且这两个月分别承接的甲种货物数量相同，乙种货物数量也相同．该物流公司5月份和6月份甲、乙两种货物的运费单价如下表所示：
月份运费单价（元/吨） 5月份 6月份
甲货物 50 70
乙货物 30 40
(1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲、乙两种货物各多少吨？
(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且甲货物的数量不大于乙货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
【答案】(1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物100吨，乙种货物150吨
(2)该物流公司7月份最多将收到19800元运输费
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物吨，乙种货物吨，根据该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该物流公司在7月份运输甲种货物吨，则运输乙种货物为吨，根据甲货物的数量不大于乙货物的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设该物流公司7月份将收到元运输费，由题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物吨，乙种货物吨，
依题意得：，
解得：，
答：在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物100吨，乙种货物150吨；
（2）解：设该物流公司在7月份运输甲种货物吨，则运输乙种货物为吨，
依题意得：，
解得：，
设该物流公司7月份将收到元运输费，
依题意得：，
，
随着的增大而增大，
当，有最大值，
答：该物流公司7月份最多将收到19800元运输费．
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