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易错点03 函数及其应用（一次函数、反比例函数）
易错陷阱一：平面直角坐标系
易错点1：平面直角坐标系中的点的坐标与象限
平面直角坐标系由两条互相垂直且原点重合的数轴组成，分别称为横轴（x轴）和纵轴（y轴）。平面上的任意一点，都可以用一对有序实数来表示其位置，这对有序实数即为该点的坐标。根据点在x轴和y轴的位置，平面被分为四个象限：第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。各象限内点的坐标特征如下：
第一象限：x、y同号，均为正。
第二象限：x、y异号，x为负，y为正。
第三象限：x、y同号，均为负。
第四象限：x、y异号，x为正，y为负。
坐标轴上的点也有特定的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，即形式为(x,0)；y轴上的点横坐标为0，即形式为(0,y)。坐标原点位于两坐标轴的交点，坐标为(0,0)。
易错提醒：（1）混淆坐标与点的位置：学生可能会将点的坐标与其在平面直角坐标系中的位置混淆；（2）误判象限：对于给定坐标的点，学生可能会错误地判断其所在的象限。这通常是由于对坐标正负号的理解不够深入所致；（3）忽略坐标轴上的点：在处理与坐标轴相关的问题时，学生可能会忽略坐标轴上的点，特别是原点(0,0)，它同时位于x轴和y轴上；（4）对称点的坐标计算错误：关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标计算可能会出错。
例1．如图，在平面直角坐标系中，下列点被五角星覆盖的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了点在第四象限时点的坐标特征，比较简单．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在第四象限点的坐标特点可直接解答．
【详解】解：∵五角星覆盖的位置是在第四象限，
∴覆盖的点的横坐标大于0，纵坐标也小于0，
∴结合选项这个点是．
故选：D．
变式1．如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、菱形的性质，由勾股定理可得，结合菱形的性质可得，，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴点C的坐标为，
故选：C．
变式2．如图，中，，，若点P的坐标为，点N的坐标为，则点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过点作于点，过点作于点，证明，得到，，即可推出结果．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵点P的坐标为，点N的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
易错陷阱二：函数基础知识
易错点2：从函数图象获取信息
从函数图象中获取信息，首先要明确x轴、y轴所表示的实际意义，知道图象上关键点（起点、交点等）的实际意义及图象的变化趋势所表示的实际意义。
易错提醒：（1）对图象分析不够，忽视分类讨论。这可能导致在解读函数图象时，未能全面考虑所有可能的情况，从而得出错误的结论；（2）不能从函数图象中获取正确的信息。这可能是由于对函数图象的理解不准确，或者对图象上关键点的实际意义不清楚所导致的；（3）误用函数性质。在应用函数的性质时，如果忽略性质的前提条件，就可能造成误用。这同样会影响到从函数图象中获取信息的准确性。
例2．排水量一般指的是物体漂浮在水中时排开的水的质量，设物体在水中的体积为v，水的密度为ρ，则该物体的排水量，如图，分别将甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M随时间t变化的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象．根据题意可以分别得到甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M随时间t变化的图象，从而解答本题．
【详解】解：根据题意甲、乙两个铁块，在没有浸入装满水的烧杯时，都是0，即在原点，故排除选项A和B，
因为甲的体积>乙的体积，且同样的速度匀速浸入装满水的烧杯，
所以甲的排水量>乙的排水量，
故选：C．
变式1．如图1，某容器由A，B两个长方体组成，其底面积分别为，，容器B的容积是整个容器容积的（容器各面的厚度忽略不计），现以速度均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度与注水时间的函数图象．下列判断中正确的是（ ）
A．注满整个容器至少需要 B．容器B的容积为
C．容器B的高度是容器A的高度的3倍 D．注水速度v为
【答案】D
【分析】根据函数的图象得到注满整个容器至少需要，容器A的高为，时注满容器A；再根据容积公式来解答．
本题考查了函数的图象，解题的关键是从图象中获得信息，再计算出容器的容积来进行分析解答．
【详解】解：根据函数图象得到注满整个容器至少需要，故A不符合题意；
根据函数图象得到容器A的高度是，所以容器A的容积是，容器B的容积是容器A的容积：，所以容器B的容积是，故B选项不符合题意；
，，故C不符合题意；
，故D符合题意，
故选：D
变式2．某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，根据题意、明确两个变量之间的关系是解题的关键．
根据题意结合函数图像的实际意义逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，函数s表示车与大巴离仓库的路程，所用时间为t，
A、该图象反映随着行驶时间增大，距离仓库越来越远，不符合题意；
B、军车到达仓库后停留了一段时间，函数图象没有显示出来，不符合题意；
C、图象准确反映了题意，符合题意；
D、图象函数一直下降，不符合题意．
故选：C．
易错陷阱三：一次函数
易错点3：:一次函数应用的表达式
一次函数的应用非常广泛，它可以用来描述两个变量之间的线性关系，如物理学中的速度、时间和距离的关系，经济学中的成本和产量的关系等。通过一次函数，我们可以预测一个变量变化时另一个变量的值，
易错提醒：（1）对函数概念理解不清，混淆一次函数与正比例函数的概念。需要明确一次函数和正比例函数的关系，正比例函数是一次函数的特例；（2）在确定字母的取值范围时，忽略正比例函数是一次函数的特例，或者忽视自变量的实际应用，导致取值范围设置错误；
易错点4：一次函数解析式
一次函数解析式通常表示为 y=kx+b（其中 k≠0，b 为常数）。在这个公式中，y 是因变量，x 是自变量；利用已知条件（如函数图像上的点或与其他直线的交点）可以确定 k 和 b 的值，从而得到一次函数的解析式。
易错提醒：（1）对函数概念理解不清：未能准确理解一次函数的定义和性质，导致在解题时出现混淆。（2）待定系数法求函数解析式时出错：在利用已知条件确定 k 和 b 的值时，可能出现代入错误或计算错误。
（3）忽视自变量的取值范围：在求解一次函数问题时，未能准确确定自变量的取值范围，导致解出的答案不符合实际情况。
易错点5：一次函数中的行程问题
行程问题在一次函数中主要表现为路程、速度和时间的关系。这包括相遇问题、追及问题、火车过桥问题、环形跑道问题等。
易错提醒：（1）对速度、时间和路程的关系理解不透彻，导致在建立函数关系式时出现错误；（2）在利用一次函数图像解题时，容易混淆图像的横纵坐标含义，导致解题方向错误；（3）在相遇和追及问题中，容易忽视两车的起始位置和行驶方向，导致计算错误；（4）在处理含有多个变量或参数的问题时，容易混淆各个变量之间的关系，导致解题困难。
易错点6：一次函数的性质
1.定义与形式：一次函数通常表示为y=kx+b，当b=0时，函数简化为y=kx，称为正比例函数。
2.图像特征：一次函数的图像是一条直线。
3.增减性：k决定了函数增长或减少的速率。当k>0时，函数单调递增，图像从左下方向右上方倾斜；当k<0时，函数单调递减，图像从左上方向右下方倾斜。
4.与坐标轴的交点：一次函数与y轴的交点坐标为(0,b)，与x轴的交点坐标为(-b/k,0)。正比例函数的图像总是过原点。
5.所在象限：根据k和b的不同取值，一次函数的图像可以出现在不同的象限。例如，当k>0且b>0时，图像主要经过第一、三象限和y轴正半轴；当k<0且b<0时，图像主要经过第二、四象限和y轴负半轴。
易错提醒：（1）对函数概念理解不清，容易混淆一次函数与正比例函数的概念；（2）在求自变量的取值范围时，容易忽视自变量的实际应用和函数的取值范围；（3）忽视一次函数y=kx+b的条件k≠0而致错，或者在确定字母的取值范围时，忽略正比例函数是一次函数的特例；（4）不能正确利用k、b对直线y=kx+b的位置或一次函数y=kx+b的增减性的影响来解题；（5）对图像分析不够，忽视分类讨论，不能从函数图象中获取正确的信息；（6）在用待定系数法求函数表达式时，容易弄错x、y的取值，或者只考虑了k>0的情况而忽略了k<0的情况；（7）审题不严，错设解析式，导致出错；（8）不能正确利用一次函数图象解方程（组）、不等式（组）。
易错点7：一次函数的平移、旋转、翻折
一、一次函数的平移
一次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的规律。
1.垂直平移：通过调整函数表达式中的常数项实现。若原函数y=kx+b向上平移m个单位，则新函数为y=kx+b+m；若向下平移m个单位，则新函数为y=kx+b-m。
2.水平平移：通过改变自变量x的值实现，但需注意，在函数表达式中，这通常表现为对x进行替换。若原函数y=f(x)向右平移n个单位，则新函数表达式可看作y=f(x-n)；若向左平移n个单位，则为y=f(x+n)。需注意，这里的“左加右减”作用于x变量内部，且运算符号与移动方向相反。
二、一次函数的旋转
在平面内，图形绕一个定点旋转一定角度得到另一个图形，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。对于一次函数（直线）的旋转，主要研究一些特殊角度，如180度和90度。
1.绕直线上一点旋转180度，新直线与原直线重合。
2.绕直线外一点旋转180度，新直线与原直线平行。此时，新直线的斜率与原直线相同，只需再找一点即可求出新直线的解析式。
3.绕一点旋转90度，新直线与原直线垂直。互相垂直的直线，斜率乘积为-1。根据这一性质，可以直接设出新直线的斜率，然后找一个点代入求解。
三、一次函数的翻折
一次函数的翻折通常涉及直线关于某条直线（如x轴、y轴或任意给定直线）的对称变换。这通常需要根据对称性质，先确定翻折后直线上的一些关键点，然后通过这些点求出翻折后的直线方程。
易错提醒：（1）在平移过程中，容易混淆水平平移和垂直平移的方向，导致运算符号出错；（2）在旋转过程中，容易忽视旋转中心和旋转角，导致求出的新直线解析式错误；（3）在翻折过程中，容易忽视对称性质，导致无法正确确定翻折后的关键点和直线方程；（4）在应用一次函数的平移、旋转、翻折知识点时，容易忽视题目的实际背景和条件，导致解题错误。
例3．某校学生进行1000m跑步测试，小亮测试时间与跑步速度的函数关系式为： ．
【答案】
【分析】根据测试时间路程跑步速度进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用函数关系式表示变量之间的关系，熟知测试时间路程跑步速度是解题的关键．
例4．已知一次函数的图象经过点，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
由“一次函数的图象经过点”可得，解方程即可求出的值，进而可得y与x的关系式．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
，
解得：，
与的关系式为，
故选：．
例5．已知甲货车从A地以的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．则下列说法错误的是（ ）
A．乙货车的速度为
B．乙到终点时，
C．点E的坐标为
D．两车之间距离为时，或
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的关系式，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．A选项设乙货车的速度为，根据两车在D点相遇时所行路程之和A、B两地之间的距离，列关于v的方程并求解即可；项根据时间=路程速度求出乙到终点时所用时间，C项由路程速度时间求出甲货车在这段时间内行驶的路程，即乙到终点时，甲乙两车之间的距离即可；D项利用待定系数法分别求出线段、对应的函数关系式，分别令，列关于t的方程并求解即可．
【详解】解：设乙货车的速度为，则，
解得，
乙货车的速度为，
正确，不符合题意；
乙到终点时所用时间为，
正确，不符合题意；
根据②，当乙到达终点时，甲距离A地，
当乙到终点时，甲乙相距，
点E的坐标为，
不正确，符合题意；
设线段对应的函数关系式为、为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得，
线段对应的函数关系式为，
当时，得，
解得；
设线段对应的函数关系式为、为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得，
线段DE对应的函数关系式为，
当时，得，
解得，
当或时，两车之间距离为，
正确，不符合题意．
故选：
例6．对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴的交点坐标为
C．y随x的增大而增大
D．图象与坐标轴围成三角形的面积为8
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，与坐标轴交点的问题等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴交点以及三角形面积公式进行分析判断．
【详解】解：A、∵，∴函数图象经过第一、三、四象限，说法正确，不符合题意；
B、当，则图象与y轴的交点坐标为，说法正确，不符合题意；
C、，则y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；
D、当，则，则，因此图象与轴交于，而由上知图象与y轴的交点坐标为，故面积为，故说法错误，符合题意，
故选：D．
例7．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化平移，得出点纵坐标为是解题的关键．先求出直线与轴交点的坐标为，再由在线段的垂直平分线上，得出点纵坐标为，将代入，求得，即可得到的坐标．
【详解】解：直线与轴交于点，
时，得，
．
以为边在轴右侧作等边三角形，
在线段的垂直平分线上，
点纵坐标为．
将代入，得，
解得．
∴的坐标是．
故答案为：．
变式1．古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和．则动力F随动力臂L的变化的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量代入得出函数关系式．
【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，
∴动力F随动力臂L的变化的函数关系式为：，
则，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了列函数关系式，正确读懂题意得出关系式是解题的关键．
变式2．亮亮在帮妈妈收拾碗筷的时候，发现同款盘子摞在一起的高度与盘子的数量（只）之间的几组对应值如下表，则与之间的关系式为
盘子数量（只） 1 2 3 5
盘子高度 3 4.5 6 9
【答案】
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，根据表格数据分析得出每增加1只盘子，增加盘子高度为，结合1只盘子数量时盘子的高度，写出与之间的关系式即可．
【详解】解：由表格数据得：每增加1只盘子，增加盘子高度，
，
∴与之间的关系式为，
故答案为：．
变式3．若一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，先把和两点代入，求出，再令，则，解得，即可作答．
【详解】解：∵一次函数的图象经过和两点，
∴把和两点代入，
得，
解得，
∴，
故，
解得，
故答案为：1．
变式4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)结合图象，当时，的取值范围是_______；
(3)连接 ，求的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，准确利用待定系数法求出两个函数解析式是解题的关键．
（1）把点代入，可求出反比例函数的解析式，从而得到点，再将把点，点代入，可得到一次函数的解析式，即可求解；
（2）观察图象可得：当 或 时，，即可求解；
（3）连接，设直线与x轴交于点D，y轴交于点C，可得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，反比例函数的表达式为．
∵一次函数的图象经过点，，可得，
解得：，
∴一次函数的表达式为．
（2）解：观察图象可知，不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方部分的自变量的取值范围，
∴该不等式的解集为或．
（3）解：如图，连接，设直线与x轴交于点D，y轴交于点C，
当 时， ，
当 时， ，
∴点 ，
∴，
∵，，
∴．
变式5．现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均速度大于乙的平均速度
B．乙出发后用了8分钟追上甲
C．当乙追上甲时，乙距离小区米
D．当乙到达小区时，甲距离小区米
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以逐一判断，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想．
【详解】解：由题图可知，甲先出发2分钟，骑行了600米，8分钟时乙追上甲，
∴乙的平均速度大于甲的平均速度，故A选项不符合题意；
乙出发后用了（分钟）追上甲，故B选项不符合题意；
（米/分钟），
，
解得：（米/分钟），
当乙追上甲时，骑行了（米），
∴此时乙距离小区（米），故C选项不符合题意；
乙骑行米所用时间为（分钟），
则当乙到达小区时，甲骑行了（米），
∴当乙到小区时，甲与小区的距离为（米），故D选项符合题意；
故选：D．
变式6．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行．已知两车相遇时轿车比货车多行驶了，设行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，下列说法不正确的是（ ）

A．甲、乙两地的距离为
B．轿车的速度为
C．货车的速度为
D．点的实际意义是轿车出发后到达乙地，此时两车间的距离为
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．当时，设，利用待定系数法求出，再求出当时，，由此即可判断选项A正确；设相遇时轿车行驶的距离为，则相遇时货车行驶的距离为，根据相遇时，轿车与货车行驶的距离之和等于建立方程，解方程可得的值，再根据速度等于路程除以时间即可判断选项B正确，选项C错误；先求出轿车从甲地到达乙地所需时间为，再求出当轿车到达乙地时，货车行驶的距离，由此即可判断选项D正确．
【详解】解：当时，设，
将点和代入得：，解得，
则，
当时，，
∴甲、乙两地的距离为，则选项A正确；
∵两车相遇时轿车比货车多行驶了，
∴设相遇时轿车行驶的距离为，则相遇时货车行驶的距离为，
∴，
解得，
∴，
∴轿车的速度为，则选项B正确；
货车的速度为，则选项C错误；
∴轿车从甲地到达乙地所需时间为，
∴当轿车到达乙地时，货车行驶的距离为，
∴点的实际意义是轿车出发后到达乙地，此时两车间的距离为，选项D正确；
故选：C．
变式7．已知点在直线上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查比较一次函数值的大小，根据一次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴随着的增大而减小，
∵点在直线上，且，
∴；
故选A．
变式8．已知一次函数的图象经过，，则 (填“”“”或“”)．
【答案】>
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小解答即可．
【详解】解：，
随的增大而减小，
又一次函数的图象经过，两点，且，
．
故答案为：．
变式9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识
利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果．
【详解】解：把代入得，把代入得：，
解得：，
∴、，
∴，，
∵，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴点，
设点，则，
由折叠得：，
在中，
，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
变式10．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，则旋转后的直线函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的性质等知识，先求出A、B的坐标，然后根据旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质求出A、B的对应点，的坐标，最后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，设直线绕点顺时针旋转后，A、B的对应点为，，连接，，，，
当时，，解得，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∵旋转，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，O，A三点在同一条直线上，
∵，，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
则，
解得，
∴，
即旋转后的直线函数表达式为，
故答案为：．
易错陷阱四：反比例函数
易错点8：反比例函数的表达式
反比例函数的一般表达式为y=k/x（k为常数，k≠0）。其中，x是自变量，y是因变量，k是反比例函数的比例系数。反比例函数的表达式有三种基本形式：y=k/x，y=kx-1（注意，这种形式在k≠0且x≠0时才等价于y=k/x），xy=k（其中k为常数，k≠0）。
确定反比例函数表达式的方法是待定系数法。由于反比例函数中只有一个待定系数k，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其表达式。
易错提醒：（1）识别反比例函数时，需要注意形如y=1/x+1，（x+1）y=3，y=（x+1）-1等的函数并不是y关于x的反比例函数。反比例函数的表达式y=k/x中，k的值始终等于x与y的乘积，且k≠0；（2）在利用待定系数法求反比例函数表达式时，需要确保所选取的点确实在反比例函数的图象上。同时，在列出方程求解k值时，要注意运算的准确性；（3）反比例函数的图象是双曲线，分别位于第一、三象限或第二、四象限。双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。在描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每个象限内”。因为当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大。这一点容易混淆，需要注意；（4）反比例函数系数k的几何意义是：过双曲线y=k/x（k≠0）上任意一点作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。这一点在解题时经常用到，但容易忽略绝对值符号，导致错误；（5）在解决反比例函数与几何图形相结合的问题时，需要注意数形结合的思想。通过画图和分析图形的性质，可以更好地理解和解决这类问题。同时，要注意计算准确性和逻辑严谨性，避免因为计算错误或逻辑漏洞导致解题失败。
易错点9：反比例的性质
函数形式：反比例函数的一般形式为y=k/x（k≠0）。
图象特征：反比例函数的图象是双曲线。当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。
与坐标轴的关系：反比例函数的图象与坐标轴没有交点，只是无限靠近两坐标轴。
比例系数k的几何意义：在反比例函数y=k/x的图象中任取一点，过这一点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。同时，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|/2，且保持不变。
易错提醒：（1）忽视反比例函数的取值范围：反比例函数的自变量x不能为0，因为当x=0时，函数值y无意义。在解题过程中，要特别注意这一点，避免因为忽视定义域而出错；（2）误解反比例函数的增减性：反比例函数的增减性是在每一象限内讨论的。当k>0时，在第一、第三象限内y随x的增大而减小；当k<0时，在第二、第四象限内y随x的增大而增大。如果在不同象限内比较y值的大小，就可能会出错；（3）忽视比例系数k的几何意义：在解题过程中，如果能够充分利用比例系数k的几何意义，往往可以简化解题过程。但是，如果忽视这一点，就可能会增加解题的复杂性，甚至导致出错；（4）混淆反比例函数与其他函数：在解题过程中，要注意区分反比例函数与其他函数（如一次函数、二次函数等）的区别和联系，避免混淆。
易错点10：反比例函数中的几何
一、反比例函数的定义与图像
反比例函数的一般形式为y=k/x（k为常数，k≠0）。其图像是双曲线，具体特征包括：
双曲线是关于原点对称的中心对称图形，也是关于直线y=x和y=-x对称的轴对称图形。
双曲线由两个断开的分支组成，分别称为左支和右支。它们延伸部分逐渐靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
二、比例系数k的几何意义
在反比例函数y=k/x的图像中，比例系数k具有特定的几何意义。对于图像上的任意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。这一性质是求解与反比例函数相关的几何问题的基础。
三、反比例函数与几何图形的结合
反比例函数经常与几何图形相结合，如三角形、矩形等。通过利用反比例函数的性质和图像特征，可以求解与这些几何图形相关的面积、周长等问题。
易错提醒：（1）比例系数k的几何意义理解不清；（2）反比例函数图像与坐标轴的关系理解错误；（3）反比例函数与几何图形结合问题的求解方法不当。
易错点11：一次函数与反比例函数结合
1 求函数解析式：掌握待定系数法，能够根据已知条件求出一次函数和反比例函数的解析式。
2 求交点坐标：理解并应用联立方程（或方程组）的方法，求解一次函数与反比例函数的交点坐标。
3 求面积：学会使用切割法，将一个三角形分拆成两个或多个三角形，从而求解一次函数与反比例函数交点坐标及原点构成的三角形面积。
4 数形结合思想：通过画图和分析图像，理解函数之间的关系和性质，提高解题能力。
易错提醒：（1）忽视隐含条件：在一次函数和反比例函数的定义中，k≠0是一个隐含条件。在解题过程中，如果忽视这个条件，可能会导致错误的结果；（2）忽视分类讨论：当题目中的条件不明确时，需要进行分类讨论。例如，当函数图像与坐标轴有一个交点时，需要分别考虑该函数是一次函数和二次函数的情况。如果忽视分类讨论，可能会产生漏解；（3）忽视自变量的取值范围：在实际问题中，自变量的取值范围是有限的。如果忽视这个范围，可能会导致错误的函数关系式或图像；（4）对反比例函数图像象限分布的误解：反比例函数的图像分布在哪些象限取决于k的正负性。如果对这个性质理解不清，可能会导致对函数图像的错误判断。
例8．如图，的顶点在轴上，，点、在第一象限，轴，点在的下方，，若反比例函数的图象经过点，则的值可能是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查确定反比例函数的解析式，先根据题意确定点的坐标，再代入解析式计算即可．解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式．
【详解】解：∵，轴，
∴轴，即轴，
∵，且点、在第一象限，点在的下方，
当时，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴此时，即，
∴的值可能是．
故答案为：（答案不唯一）．
例9．关于反比例函数图象，下列说法正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．它的图象经过原点
C．它的图象在第一、三象限 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
反比例函数，，图象分布于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此解答即可．
【详解】解：当时，，即点不在它的图象上，故A错误；
反比例函数不经过原点，故B错误；
反比例函数，，图象在于二、四象限，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确．
故选：D．
例10．如图，的直角顶点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，延长交轴于点，连接，当且的面积为4时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，设，可得点的坐标，再求出直线的解析式，再求出点的坐标，根据的面积为4，列方程，即可解答，表示出直线的解析式是解题的关键．
【详解】解：设，
为直角三角形，且，轴，
，，
设直线的解析式为，
把，代入解析式可得，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得，
，
的面积为4，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
故答案为：．
例11．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点．
(1)填空：______，______；
(2)求一次函数的解析式和的面积；
(3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______．
【答案】(1)
(2)4
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，明确函数图象上的点满足函数关系式是本题关键．
（1）将点坐标，点坐标代入解析式可求的值；
（2）用待定系数法可求一次函数解析式，根据可求的面积．
（ 3 ）由图象直接可得．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
，
，
故答案为：．
（2）解：一次函数解析式，且过，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为，
∵一次函数图象与轴交点为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，即，
∴一次函数图象在反比例函数图象下方，
或，
故答案为：或．
变式1．在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即（为常数．），若某乐器的弦长为米，振动频率为赫兹，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可．
【详解】解：把，代入，得，
解得：，
故答案为：．
变式2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．设函数解析式为I（），把代入函数解析式求得值即可．
【详解】解：设函数解析式为I（），
把代入函数解析式得，
，
．
故答案为：．
变式3．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数性质，根据可知增减性：在每一象限内，y随x的增大而增大，根据横坐标的大小关系可作判断．可以利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值然后进行比较．
【详解】解：由题意知，点，，在反比例函数的图象上，
，
，
函数图象在第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
，
点A、点B在第二象限，且，
，
点C在第四象限，
，
，
故选：C．
变式4．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解．
【详解】解：由反比例函数可知该函数在第一、第三象限，则有在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图象上，，
∴．
故答案为：．
变式5．如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点和的中点．若，则的值是 ．
【答案】16
【分析】题目主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，根据反比例函数的图象经过点和的中点，且，设，则，再把代入反比例函数解析式中进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴设，
则，
故，
∵点是的中点，
∴，
把代入中得：，
解得，
故答案为：16．
变式6．如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、平行四边形的面积．连接，过点和点分别作轴的垂线段和，证明，则面积面积； 易知面积，面积，由此可得 面积面积面积面积，解即可，注意．
【详解】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，
∴，
又∵，
∴，
∴面积面积，
∵点在双曲线上，
∴面积，
∵点在双曲线上，且，
∴面积，
∵四边形是平行四边形，，
∴面积面积面积面积，
解得(正数舍去)，
故答案为：．
变式7．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时，x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点Q，若面积为，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由题意即求的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围；
（3）由题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，得，
点B坐标为，
一次函数解析式，经过，，
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：∵，
，即反比例函数值小于一次函数值，
由图象可得；
（3）解：由题意，设且，
，
，
，
解得，，
或．
变式8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交于点M、N，反比例函数的图像经过点M、N．
(1)求反比例函数的表达式及点M，N的坐标；
(2)观察图像，当时，写出关于x的不等式的解集；
(3)若点P在第一象限内的反比例函数图像上，且的面积是四边形面积的倍，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识；
（1）根据点的坐标，矩形的性质可求点的纵坐标，点的横坐标，把点的纵坐标，点的横坐标代入直线解析式可求点的横坐标，点的纵坐标，把点的坐标代入反比例函数解析式即可求出，即可求解；
（2）结合函数图象求解即可；
（3）根据割补法求出四边形面积，然后根据“的面积是四边形面积的倍”可求点的纵坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵，四边形是矩形，
，
将代入得：，
解得：，
，
将代入得：，
．
把的坐标代入得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式是．
（2）解：根据图象可得，当时，的解集为或．
（3）解：由题意可得：，
∵的面积是四边形面积的倍，
，
即，解得：，
．
1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第几象限内（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键；四个象限内点的坐标的符号特征分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵点的坐标为，
而，，
∴点所在的象限是第一象限．
故选：A．
2．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设B点坐标为，根据等腰直角三角形的性质得，，，，则变形为，利用平方差公式得到，所以，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出答案．
【详解】解：设B点坐标为，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵反比例函数在第一象限的图象经过点，
∴，
∴．
故选：D．
3．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转后得到，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，先求出A、B两点的坐标，再根据图形旋转的性质画出，进而可得出结论．一次函数的性质，坐标与图形变化-旋转，熟知以上知识是解题的关键．
【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，
当时，；
当时，，
，，
绕点B逆时针旋转后得到，
，，，
，即，
故选：A
4．已知点，都在一次函数的图象上，则 ．（填“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数值的比较大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的性质，可知当时，y随x增大而减小，由此即可得答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，
∵点，都在一次函数的图象上，
，
∴，
故答案为：．
5．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点B和边的中点C，如果的面积为9，那么k的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合问题，
先作，设点，结合的面积可表示，进而得出点的坐标，再根据两个点都在反比例函数的图象上得出等式，求出，即可得出答案．
【详解】解：过点B作于点D，如图所示，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴设点．
∵的面积为9，
∴，
即，
∴点，．
∵点C是的中点，
∴点C的横坐标为，
∴．
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
6．如图，在平面直角坐标系中菱形的顶点A、B在反比例函数的图象上，点A、B横坐标分别为1、4，对角线轴．若菱形的面积为10，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质．
连接交于，如图，利用菱形的性质得，设，则，根据菱形的面积公式得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：如图，连接交于，
∵四边形为菱形，
∴，
∵轴，
设，
，
∵菱形的面积为 10 ，
∴，
即，解得：．
故答案为：．
7．某种储蓄罐的质量为50克，投入若干枚某种一元硬币以后，储蓄罐和硬币的总质量（单位：克）与硬币数量（单位：枚）的关系如下表：
硬币数量 1 2 3 4 5
储蓄罐和硬币总质量 56 62 68 74 80
(1)求与之间的函数关系式（为正整数）；
(2)当投入的硬币数量为6枚时，储蓄罐和硬币的总质量为 克；当储蓄罐和硬币总质量为110克时，投入的硬币为 枚．
【答案】(1)
(2)；
【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答本题的关键．
（1）由题意得与之间是一次函数关系，故设，代入两对数值求解即可；
（2）由题意根据，当投入的硬币数量为6枚时，即当时代入关系式即可；当储蓄罐和硬币总质量为110克时，即当时代入关系式即可．
【详解】（1）解：由题意，每增加1枚硬币，总质量增加6克，则y与x满足一次函数关系，
设，
把，代入得，，
解得，
，
与之间的函数关系式：；
（2）解：当投入的硬币数量为6枚时，即当时，；
当储蓄罐和硬币总质量为110克时，即当时，由，解得．
故答案为：；．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，．
(1)求直线的表达式；
(2)设直线与轴交于点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得点的纵坐标为．结合反比例函数的性质求出，再运用待定系数法求出直线的表达式，即可作答．
（2）依题意，先得，再结合，轴，得，则．
把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：轴于点，，
点的纵坐标为．
将代入，得，
，
设直线的表达式为．
将，代入，
得，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：令，得．
．
，轴，
．
．
．
9．如图，反比例函数 的图象与经过原点的直线交于，B 两点．
(1)填空： ， ，点B 的坐标为____ ．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)以为边在上方作等边三角形，求点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将代入反比例函数解析式即可得出，再根据一次函数经过原点即可得出，最后根据反比例函数与正比例函数的性质即可得出的坐标；
（2）根据函数图象即可得解；
（3）连接，作轴于，轴于，则，证明，得出，求出，，即可得解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∵直线经过原点，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：由图象可得：不等式的解集为或；
（3）解：如图，连接，作轴于，轴于，
，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴点的坐标为．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集；
(3)连接、，求的面积．
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)或
(3)
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）由（）得到点坐标，再根据图象解答即可；
（）设直线与的交点为，可得，再根据计算即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何图形，正确求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴一次函数的表达式为，，
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
由函数图象可知，当或时，，
∴不等式的解集为或；
（3）解：设直线与轴的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)易错点03 函数及其应用（一次函数、反比例函数）
易错陷阱一：平面直角坐标系
易错点1：平面直角坐标系中的点的坐标与象限
平面直角坐标系由两条互相垂直且原点重合的数轴组成，分别称为横轴（x轴）和纵轴（y轴）。平面上的任意一点，都可以用一对有序实数来表示其位置，这对有序实数即为该点的坐标。根据点在x轴和y轴的位置，平面被分为四个象限：第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。各象限内点的坐标特征如下：
第一象限：x、y同号，均为正。
第二象限：x、y异号，x为负，y为正。
第三象限：x、y同号，均为负。
第四象限：x、y异号，x为正，y为负。
坐标轴上的点也有特定的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，即形式为(x,0)；y轴上的点横坐标为0，即形式为(0,y)。坐标原点位于两坐标轴的交点，坐标为(0,0)。
易错提醒：（1）混淆坐标与点的位置：学生可能会将点的坐标与其在平面直角坐标系中的位置混淆；（2）误判象限：对于给定坐标的点，学生可能会错误地判断其所在的象限。这通常是由于对坐标正负号的理解不够深入所致；（3）忽略坐标轴上的点：在处理与坐标轴相关的问题时，学生可能会忽略坐标轴上的点，特别是原点(0,0)，它同时位于x轴和y轴上；（4）对称点的坐标计算错误：关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标计算可能会出错。
例1．如图，在平面直角坐标系中，下列点被五角星覆盖的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图，中，，，若点P的坐标为，点N的坐标为，则点M的坐标为 ．
易错陷阱二：函数基础知识
易错点2：从函数图象获取信息
从函数图象中获取信息，首先要明确x轴、y轴所表示的实际意义，知道图象上关键点（起点、交点等）的实际意义及图象的变化趋势所表示的实际意义。
易错提醒：（1）对图象分析不够，忽视分类讨论。这可能导致在解读函数图象时，未能全面考虑所有可能的情况，从而得出错误的结论；（2）不能从函数图象中获取正确的信息。这可能是由于对函数图象的理解不准确，或者对图象上关键点的实际意义不清楚所导致的；（3）误用函数性质。在应用函数的性质时，如果忽略性质的前提条件，就可能造成误用。这同样会影响到从函数图象中获取信息的准确性。
例2．排水量一般指的是物体漂浮在水中时排开的水的质量，设物体在水中的体积为v，水的密度为ρ，则该物体的排水量，如图，分别将甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M随时间t变化的图象是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图1，某容器由A，B两个长方体组成，其底面积分别为，，容器B的容积是整个容器容积的（容器各面的厚度忽略不计），现以速度均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度与注水时间的函数图象．下列判断中正确的是（ ）
A．注满整个容器至少需要 B．容器B的容积为
C．容器B的高度是容器A的高度的3倍 D．注水速度v为
变式2．某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（ ）
A． B． C． D．
易错陷阱三：一次函数
易错点3：:一次函数应用的表达式
一次函数的应用非常广泛，它可以用来描述两个变量之间的线性关系，如物理学中的速度、时间和距离的关系，经济学中的成本和产量的关系等。通过一次函数，我们可以预测一个变量变化时另一个变量的值，
易错提醒：（1）对函数概念理解不清，混淆一次函数与正比例函数的概念。需要明确一次函数和正比例函数的关系，正比例函数是一次函数的特例；（2）在确定字母的取值范围时，忽略正比例函数是一次函数的特例，或者忽视自变量的实际应用，导致取值范围设置错误；
易错点4：一次函数解析式
一次函数解析式通常表示为 y=kx+b（其中 k≠0，b 为常数）。在这个公式中，y 是因变量，x 是自变量；利用已知条件（如函数图像上的点或与其他直线的交点）可以确定 k 和 b 的值，从而得到一次函数的解析式。
易错提醒：（1）对函数概念理解不清：未能准确理解一次函数的定义和性质，导致在解题时出现混淆。（2）待定系数法求函数解析式时出错：在利用已知条件确定 k 和 b 的值时，可能出现代入错误或计算错误。
（3）忽视自变量的取值范围：在求解一次函数问题时，未能准确确定自变量的取值范围，导致解出的答案不符合实际情况。
易错点5：一次函数中的行程问题
行程问题在一次函数中主要表现为路程、速度和时间的关系。这包括相遇问题、追及问题、火车过桥问题、环形跑道问题等。
易错提醒：（1）对速度、时间和路程的关系理解不透彻，导致在建立函数关系式时出现错误；（2）在利用一次函数图像解题时，容易混淆图像的横纵坐标含义，导致解题方向错误；（3）在相遇和追及问题中，容易忽视两车的起始位置和行驶方向，导致计算错误；（4）在处理含有多个变量或参数的问题时，容易混淆各个变量之间的关系，导致解题困难。
易错点6：一次函数的性质
1.定义与形式：一次函数通常表示为y=kx+b，当b=0时，函数简化为y=kx，称为正比例函数。
2.图像特征：一次函数的图像是一条直线。
3.增减性：k决定了函数增长或减少的速率。当k>0时，函数单调递增，图像从左下方向右上方倾斜；当k<0时，函数单调递减，图像从左上方向右下方倾斜。
4.与坐标轴的交点：一次函数与y轴的交点坐标为(0,b)，与x轴的交点坐标为(-b/k,0)。正比例函数的图像总是过原点。
5.所在象限：根据k和b的不同取值，一次函数的图像可以出现在不同的象限。例如，当k>0且b>0时，图像主要经过第一、三象限和y轴正半轴；当k<0且b<0时，图像主要经过第二、四象限和y轴负半轴。
易错提醒：（1）对函数概念理解不清，容易混淆一次函数与正比例函数的概念；（2）在求自变量的取值范围时，容易忽视自变量的实际应用和函数的取值范围；（3）忽视一次函数y=kx+b的条件k≠0而致错，或者在确定字母的取值范围时，忽略正比例函数是一次函数的特例；（4）不能正确利用k、b对直线y=kx+b的位置或一次函数y=kx+b的增减性的影响来解题；（5）对图像分析不够，忽视分类讨论，不能从函数图象中获取正确的信息；（6）在用待定系数法求函数表达式时，容易弄错x、y的取值，或者只考虑了k>0的情况而忽略了k<0的情况；（7）审题不严，错设解析式，导致出错；（8）不能正确利用一次函数图象解方程（组）、不等式（组）。
易错点7：一次函数的平移、旋转、翻折
一、一次函数的平移
一次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的规律。
1.垂直平移：通过调整函数表达式中的常数项实现。若原函数y=kx+b向上平移m个单位，则新函数为y=kx+b+m；若向下平移m个单位，则新函数为y=kx+b-m。
2.水平平移：通过改变自变量x的值实现，但需注意，在函数表达式中，这通常表现为对x进行替换。若原函数y=f(x)向右平移n个单位，则新函数表达式可看作y=f(x-n)；若向左平移n个单位，则为y=f(x+n)。需注意，这里的“左加右减”作用于x变量内部，且运算符号与移动方向相反。
二、一次函数的旋转
在平面内，图形绕一个定点旋转一定角度得到另一个图形，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。对于一次函数（直线）的旋转，主要研究一些特殊角度，如180度和90度。
1.绕直线上一点旋转180度，新直线与原直线重合。
2.绕直线外一点旋转180度，新直线与原直线平行。此时，新直线的斜率与原直线相同，只需再找一点即可求出新直线的解析式。
3.绕一点旋转90度，新直线与原直线垂直。互相垂直的直线，斜率乘积为-1。根据这一性质，可以直接设出新直线的斜率，然后找一个点代入求解。
三、一次函数的翻折
一次函数的翻折通常涉及直线关于某条直线（如x轴、y轴或任意给定直线）的对称变换。这通常需要根据对称性质，先确定翻折后直线上的一些关键点，然后通过这些点求出翻折后的直线方程。
易错提醒：（1）在平移过程中，容易混淆水平平移和垂直平移的方向，导致运算符号出错；（2）在旋转过程中，容易忽视旋转中心和旋转角，导致求出的新直线解析式错误；（3）在翻折过程中，容易忽视对称性质，导致无法正确确定翻折后的关键点和直线方程；（4）在应用一次函数的平移、旋转、翻折知识点时，容易忽视题目的实际背景和条件，导致解题错误。
例3．某校学生进行1000m跑步测试，小亮测试时间与跑步速度的函数关系式为： ．
例4．已知一次函数的图象经过点，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
例5．已知甲货车从A地以的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．则下列说法错误的是（ ）
A．乙货车的速度为
B．乙到终点时，
C．点E的坐标为
D．两车之间距离为时，或
例6．对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴的交点坐标为
C．y随x的增大而增大
D．图象与坐标轴围成三角形的面积为8
例7．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ．
变式1．古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和．则动力F随动力臂L的变化的函数关系式为 ．
变式2．亮亮在帮妈妈收拾碗筷的时候，发现同款盘子摞在一起的高度与盘子的数量（只）之间的几组对应值如下表，则与之间的关系式为
盘子数量（只） 1 2 3 5
盘子高度 3 4.5 6 9
变式3．若一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ．
变式4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)结合图象，当时，的取值范围是_______；
(3)连接 ，求的面积．
变式5．现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均速度大于乙的平均速度
B．乙出发后用了8分钟追上甲
C．当乙追上甲时，乙距离小区米
D．当乙到达小区时，甲距离小区米
变式6．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行．已知两车相遇时轿车比货车多行驶了，设行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，下列说法不正确的是（ ）

A．甲、乙两地的距离为
B．轿车的速度为
C．货车的速度为
D．点的实际意义是轿车出发后到达乙地，此时两车间的距离为
变式7．已知点在直线上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
变式8．已知一次函数的图象经过，，则 (填“”“”或“”)．
变式9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为 ．
变式10．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，则旋转后的直线函数表达式为 ．
易错陷阱四：反比例函数
易错点8：反比例函数的表达式
反比例函数的一般表达式为y=k/x（k为常数，k≠0）。其中，x是自变量，y是因变量，k是反比例函数的比例系数。反比例函数的表达式有三种基本形式：y=k/x，y=kx-1（注意，这种形式在k≠0且x≠0时才等价于y=k/x），xy=k（其中k为常数，k≠0）。
确定反比例函数表达式的方法是待定系数法。由于反比例函数中只有一个待定系数k，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其表达式。
易错提醒：（1）识别反比例函数时，需要注意形如y=1/x+1，（x+1）y=3，y=（x+1）-1等的函数并不是y关于x的反比例函数。反比例函数的表达式y=k/x中，k的值始终等于x与y的乘积，且k≠0；（2）在利用待定系数法求反比例函数表达式时，需要确保所选取的点确实在反比例函数的图象上。同时，在列出方程求解k值时，要注意运算的准确性；（3）反比例函数的图象是双曲线，分别位于第一、三象限或第二、四象限。双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。在描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每个象限内”。因为当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大。这一点容易混淆，需要注意；（4）反比例函数系数k的几何意义是：过双曲线y=k/x（k≠0）上任意一点作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。这一点在解题时经常用到，但容易忽略绝对值符号，导致错误；（5）在解决反比例函数与几何图形相结合的问题时，需要注意数形结合的思想。通过画图和分析图形的性质，可以更好地理解和解决这类问题。同时，要注意计算准确性和逻辑严谨性，避免因为计算错误或逻辑漏洞导致解题失败。
易错点9：反比例的性质
函数形式：反比例函数的一般形式为y=k/x（k≠0）。
图象特征：反比例函数的图象是双曲线。当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。
与坐标轴的关系：反比例函数的图象与坐标轴没有交点，只是无限靠近两坐标轴。
比例系数k的几何意义：在反比例函数y=k/x的图象中任取一点，过这一点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。同时，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|/2，且保持不变。
易错提醒：（1）忽视反比例函数的取值范围：反比例函数的自变量x不能为0，因为当x=0时，函数值y无意义。在解题过程中，要特别注意这一点，避免因为忽视定义域而出错；（2）误解反比例函数的增减性：反比例函数的增减性是在每一象限内讨论的。当k>0时，在第一、第三象限内y随x的增大而减小；当k<0时，在第二、第四象限内y随x的增大而增大。如果在不同象限内比较y值的大小，就可能会出错；（3）忽视比例系数k的几何意义：在解题过程中，如果能够充分利用比例系数k的几何意义，往往可以简化解题过程。但是，如果忽视这一点，就可能会增加解题的复杂性，甚至导致出错；（4）混淆反比例函数与其他函数：在解题过程中，要注意区分反比例函数与其他函数（如一次函数、二次函数等）的区别和联系，避免混淆。
易错点10：反比例函数中的几何
一、反比例函数的定义与图像
反比例函数的一般形式为y=k/x（k为常数，k≠0）。其图像是双曲线，具体特征包括：
双曲线是关于原点对称的中心对称图形，也是关于直线y=x和y=-x对称的轴对称图形。
双曲线由两个断开的分支组成，分别称为左支和右支。它们延伸部分逐渐靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
二、比例系数k的几何意义
在反比例函数y=k/x的图像中，比例系数k具有特定的几何意义。对于图像上的任意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。这一性质是求解与反比例函数相关的几何问题的基础。
三、反比例函数与几何图形的结合
反比例函数经常与几何图形相结合，如三角形、矩形等。通过利用反比例函数的性质和图像特征，可以求解与这些几何图形相关的面积、周长等问题。
易错提醒：（1）比例系数k的几何意义理解不清；（2）反比例函数图像与坐标轴的关系理解错误；（3）反比例函数与几何图形结合问题的求解方法不当。
易错点11：一次函数与反比例函数结合
1 求函数解析式：掌握待定系数法，能够根据已知条件求出一次函数和反比例函数的解析式。
2 求交点坐标：理解并应用联立方程（或方程组）的方法，求解一次函数与反比例函数的交点坐标。
3 求面积：学会使用切割法，将一个三角形分拆成两个或多个三角形，从而求解一次函数与反比例函数交点坐标及原点构成的三角形面积。
4 数形结合思想：通过画图和分析图像，理解函数之间的关系和性质，提高解题能力。
易错提醒：（1）忽视隐含条件：在一次函数和反比例函数的定义中，k≠0是一个隐含条件。在解题过程中，如果忽视这个条件，可能会导致错误的结果；（2）忽视分类讨论：当题目中的条件不明确时，需要进行分类讨论。例如，当函数图像与坐标轴有一个交点时，需要分别考虑该函数是一次函数和二次函数的情况。如果忽视分类讨论，可能会产生漏解；（3）忽视自变量的取值范围：在实际问题中，自变量的取值范围是有限的。如果忽视这个范围，可能会导致错误的函数关系式或图像；（4）对反比例函数图像象限分布的误解：反比例函数的图像分布在哪些象限取决于k的正负性。如果对这个性质理解不清，可能会导致对函数图像的错误判断。
例8．如图，的顶点在轴上，，点、在第一象限，轴，点在的下方，，若反比例函数的图象经过点，则的值可能是 ．（写出一个即可）
例9．关于反比例函数图象，下列说法正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．它的图象经过原点
C．它的图象在第一、三象限 D．当时，y随x的增大而增大
例10．如图，的直角顶点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，延长交轴于点，连接，当且的面积为4时，点的坐标为 ．
例11．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点．
(1)填空：______，______；
(2)求一次函数的解析式和的面积；
(3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______．
变式1．在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即（为常数．），若某乐器的弦长为米，振动频率为赫兹，则的值为 ．
变式2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为 ．
变式3．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
变式4．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
变式5．如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点和的中点．若，则的值是 ．
变式6．如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为 ．
变式7．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时，x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点Q，若面积为，求点P的坐标．
变式8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交于点M、N，反比例函数的图像经过点M、N．
(1)求反比例函数的表达式及点M，N的坐标；
(2)观察图像，当时，写出关于x的不等式的解集；
(3)若点P在第一象限内的反比例函数图像上，且的面积是四边形面积的倍，求点P的坐标．
1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第几象限内（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转后得到，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
4．已知点，都在一次函数的图象上，则 ．（填“”或“”）
5．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点B和边的中点C，如果的面积为9，那么k的值是 ．
6．如图，在平面直角坐标系中菱形的顶点A、B在反比例函数的图象上，点A、B横坐标分别为1、4，对角线轴．若菱形的面积为10，则k的值为 ．
7．某种储蓄罐的质量为50克，投入若干枚某种一元硬币以后，储蓄罐和硬币的总质量（单位：克）与硬币数量（单位：枚）的关系如下表：
硬币数量 1 2 3 4 5
储蓄罐和硬币总质量 56 62 68 74 80
(1)求与之间的函数关系式（为正整数）；
(2)当投入的硬币数量为6枚时，储蓄罐和硬币的总质量为 克；当储蓄罐和硬币总质量为110克时，投入的硬币为 枚．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，．
(1)求直线的表达式；
(2)设直线与轴交于点，求的面积．
9．如图，反比例函数 的图象与经过原点的直线交于，B 两点．
(1)填空： ， ，点B 的坐标为____ ．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)以为边在上方作等边三角形，求点的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集；
(3)连接、，求的面积．
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