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期末巩固复习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
一、单选题
1．如图，为垂直于地面放置的竹竿，米，当太阳光线与竹竿所夹锐角为时，竹竿在地面上的影子长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．在平面直角坐标系中，已知点，为抛物线上任意两点，当时，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，垂足为D，的平分线交于点E，若，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
4．如图，是的直径，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的弦，是内位于两旁的一点．以点为圆心，长为半径作弧，交于点和；分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作直线交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
9．计算： .
10．若抛物线的图象与轴有交点，则的值可能是 .
11．如图，点，点分别是半圆上的三等分点．若半圆的半径的长为4，则阴影部分的面积是 ．
12．如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为 ．
13．抛物线过点，与轴交于，两点（点在的左侧），若为轴上的一点，在在平面内且满足，则的最小值为 ．
14．如图，内接于，是的直径，点D为圆上的一点，且，连接交于点E，过点D作交延长线于点F，连接．若，，则 ； ．
15．如图，在四边形中，，连接，，，点是边上的点，连接，，且，以下列结论：①；②；③；④，正确的有 ．
16．如图，是等边三角形，经过点A的与边相切于点H，与，相交于点D，E．若，的半径是，则图中阴影区域的面积为 ．
三、解答题
17．计算：
18．如图，在中，以为直径的过的中点，交于点，过点作于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
19．已知二次函数．
(1)将此函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值；
(2)设点在该二次函数的图象上，且，求实数m的取值范围；
(3)已知点，线段与此函数图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
20．某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．
(1)如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离．（结果精确到0.01）
(2)在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，）
21．在正方形中，点在边上运动（不与端点重合），作射线，将射线绕点顺时针旋转，交射线于点．
(1)如图1，与线段始终相等的线段是________；
(2)如图2，连接交于点，过点作于，连接，试探究点在运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，当时，求的值．
22．U型池是一种专为滑板运动设计的U型滑道，连续的U型池滑道挑战不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换，脱离滑道起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
(1)某次挑战时，滑手小文从滑道①转换到滑道②，测得他的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 4 6 7
竖直高度y/m 3.0 4.8 5.4 4.8 4.1
根据上述数据，直接写出小文竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
(2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则滑手成功完成转换．已知滑道②与滑道①同等高度，距离7.8m，那么在（1）的情况下，请通过计算说明小文能否转换成功？
23．已知为的直径，点、为上异于、的两点，点在外，已知，垂足为，过点做，垂足为，交于点，连接．
(1)如图，求证：；
(2)如图，若，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)如图，连接，分别交，于点，，若，，求线段的长．
24．在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，顶点为的抛物线经过点，，且与轴交于点，（点在点的左侧）
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线对称轴上存在一点，当的周长最小时，直接写出点坐标；
(3)当时，，求的值；
(4)平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围．
《期末巩固复习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B C C C B B
1．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：解：由题意得：，
在中，，米，
∴，
∴（米），
即竹竿在地面上的影子长为米．
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由，得抛物线开口向上，分情况讨论：当时；当时；当时；即可解答．
【详解】解：因为，所以抛物线开口向上，
因为，所以位于的左侧，且，
当时满足，
所以，当时，，不满足题意；
当时，满足题意，此时；
当时，要满足条件，则点比点低，此时：
；
故选：A．
3．B
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，得到是解答的关键．先根据三角形的内角和定理和角平分线的定义得到，进而利用等角对等边得到，利用锐角三角函数求解即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，，
∴，
∴，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了圆周角定理，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的倍，可知，根据的度数可求的度数．
【详解】解：是中所对的圆周角，是中所对的圆心角，
．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了圆周角，点到圆上的距离，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据题意判断出点的运动轨迹是解题关键．根据直径所对的圆周角是直角，得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点，由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为,由勾股定理可得，再证明,得到，求出的长即可．
【详解】解：，
，
点在以为直径的圆上运动，
如图，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点，
由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为,
在中，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
,
,
，
，
即当取得最小值时，则的长为，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设，花圃面积为，则，
根据题意，，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为32，
故这个花圃的最大面积是，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了作图-基本作图，垂直的定义．直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
设相交于点，由作图过程可知，得到，由得到，继而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，设相交于点，
由作图过程可知，
，
，
，
，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了抛物线的性质，圆与直线，中位线的判定和性质，掌握中位线的判定和性质，圆与直线的关系是关键．
根据题意得到，如图所示，连接，，当的值最大时，的值最大，即当三点共线，点在之间时，的值最大，由勾股定理得到，则，由此即可求解．
【详解】解：抛物线与轴交于两点，
∴令，则，
解得，，
∴，
如图所示，连接，
∵点是中点，点是中点，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，即当三点共线，点在之间时，的值最大，
∵，，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴，
故选：B ．
9．
【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值，由负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行化简，即可求出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
10．（答案不唯一）
【分析】本题考查方程与二次函数的关系，根的判别式，数形结合思想是解这类题的关键．
根据抛物线与x轴有交点，的方程就有两个的实数根，根的判别式．据此列不等式即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴有交点，
∴方程有两个的实数根，
∴，
解得：．
∴的值可能是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
11．/
【分析】本题考查了扇形的面积，解题的关键是理解阴影部分的面积等于扇形的面积．
连接，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，列式计算就可．
【详解】解：连接．
∵点为半圆的三等分点，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
∵和等底等高，
，
∴阴影部分的面积，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键，根据，求出的长，勾股定理求出的长，再根据等角的余弦相等，求出的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
13．/
【分析】本题主要考查二次函数的性质、度的圆周角所对的弦是直径、勾股定理，解题的关键是熟悉圆周角定理．根据抛物线解析式，求得点，根据题意可知点在以为直径的圆周上，设线段的中点为，则，半径，作点关于轴的对称点，过点作轴，则点，，，有，当点、、、三点共线时取的最小值，利用勾股定理求得，则．
【详解】解：抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），
∴，
解得，
则点，
∵点满足，
∴点在以为直径的圆周上，
设线段的中点为M，
∴，半径，
如图，作点关于轴的对称点，过点作轴，
则点，，，
∴，
当点、、、共线时取的最小值，
∵，
∴，
则，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质与判定、圆周角定理，结合图形构造直角三角形是解题的关键．作于点，连接，作于点，由是的直径，得出，在中利用正切的定义求出的长，再通过解和得到、的长，求出的长，利用正切的定义得到，设，则，，通过证明得到，解出的值，再证明得到，求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：作于点，连接，作于点，
，，
，，
是的直径，
，
，
在中，，
，
，，
，，
，
，
，即
，
，
设，则，，
，，
，
，即，
解得：，
，，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
综上所述，，．
故答案为：；．
15．①②③
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形．先证明，①说法正确；利用两对角相等，证明，结合等腰三角形的性质可证明②说法正确；再利用两边成比例且夹角相等证明，可推出③说法正确；证明，，推出和不相似，故④说法错误．
【详解】解：∵，，
∴是等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，故①说法正确；
∴，
∴，即，故②说法正确；
∵，
∴，即，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，故③说法正确；
∵，，
∴和不相似，故④说法错误；
综上，①②③说法正确；
故答案为：①②③．
16．
【分析】如图，连接，，，结合题意可得，，，，，，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接，，，
∵经过点A的与边相切于点H，是等边三角形，
∴，，，，，，
∵，
∴，
∵的半径是，为直径，
∴，，，，
∴，
∴，，，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，三角函数的应用，求解扇形的面积，作出合适的辅助线是解本题的关键．
17．1
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算乘法和绝对值，最后计算减法即可得到答案．
【详解】解：原式
．
18．(1)详见解析
(2)4
【分析】（1）连接，由O、D是中点，得，结合，得，即可证明；
（2）连接，交于点，则易得四边形是矩形，则有；再由平行线分线段成比例定理证明点G是中点，得；设，则，可表示出半径及直径，再由余弦函数关系得到关于x的方程，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
以为直径的过的中点，
是的中位线，
，
，
于点，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，交于点，
是的直径，
，
，
由（1）知，
，
四边形是矩形，
，
由（1）知，，
则，
即，
∴点G是的中点，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
，解得，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，直径对的圆周角是直角，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，余弦函数等知识，熟练掌握并运用这些知识灵活解决问题是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线和的交点问题以及不等式解法，二次函数的平移问题以及二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）先求出顶点坐标，再根据平移的性质结合平移后图象的顶点落在x轴上，得到，解绝对值方程即可；
（2）根据抛物线的对称性，分，，两种情况，结合抛物线的增减性即可解答；
（3）由题可知二次函数对称轴为直线，得到P和Q到对称轴距离相等，即二次函数与线段只有一个交点的情况仅存在于顶点在线段上，求出直线表达式为，由（1）知抛物线的顶点为，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：．
∴顶点为，
∵此函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，
∴，
①当时，则，
解得；
②当时，则，无解；
故；
（2）解：由题可知对称轴为直线，
①当时，
当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
∵，
∴点M更加靠近对称轴，
∴；
②当时，很明显，
此时点M离对称轴更远，
∴，与题意矛盾，故舍去；
综上，；
（3）解：由题可知二次函数对称轴为直线，
∴P和Q到对称轴距离相等，
即二次函数与线段只有一个交点的情况仅存在于顶点在线段上，
设表达式为，将点代入得，
，解得；
∴，
由（1）知抛物线的顶点为，
∴，
解得．
20．(1)
(2)不能通过，见解析
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
（1）过点A作，垂足为F，过点O作，垂足为G，易得四边形为矩形，得到，解，求出的长，利用求出的长即可；
（2）当，且时，设交于点P，解直角三角形求出的长，进而求出的长，即可得出结论．
【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，过点O作，垂足为G．
∴，
∵，
∴四边形为矩形．
∴，
由题意，得，，．
在中，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴此时点A到地面的距离约为．
（2）一辆宽为、高为的货车不能顺利通过入口．
理由：如图，当，且时，设交于点P，
由题意，得，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∵入口宽度为，
∴．
∵，
∴一辆宽为、高为的货车不能顺利通过入口．
21．(1)与线段始终相等的线段是
(2)的值为，是定值，理由见解析
(3)
【分析】此题考查了，解题的关键是．
（1）由正方形的性质得到，，然后证明出，即可得到；
（2）根据题意证明出点，，，四点共圆，得到，进而求解即可；
（3）设，则，勾股定理得出，表示出，然后证明出，得到，进而求解即可．
【详解】（1）与线段始终相等的线段是，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）的大小是定值，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴点，，，四点共圆，圆心为的中点，
∴，
即：的值为，是定值；
（3）∵在中，，
∴设，则，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
即：的值为．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
22．(1)5.4m，
(2)小文能成功转换
【分析】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意直接写出小文竖直高度的最大值，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）当时，，解方程比较后即可得到答案．
【详解】（1）解：小文竖直高度的最大值为：5.4m，
由表格知抛物线的顶点坐标
则：，
又因为抛物线过点
则
解得：
所以函数关系为：
（2）当时，
解得，（舍去）
因为
所以小文能成功转换．
23．(1)见解析
(2)是的切线，理由见解析
(3)
【分析】（1）连接，由为的直径，且得，所以，且，由得，所以，即可得证；
（2）连接，由题意得，所以可变形为，再结合，得，所以，由得，即可求解；
（3）连接，，，设，则，，由，，再结合，求得，所以，，，，，又，且，所以，，由勾股定理得，，，求出，由得，即，解出，证明得，代入数据求出，最后根据，即可得解．
【详解】（1）证明：连接，
为的直径，且，
，
，且，
又，
，
，
；
（2）解：是的切线，理由如下：
连接，
点在圆上，
是的半径，
，
，
，即，且，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（3）解：如图，连接，，，
设，则，，
，，
，
，
又，
，
，
，，
，，，
又，且，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
由（1）可知，
，
，
，
，
，即，
，
，
，，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，等弧对等角，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
24．(1)
(2)点坐标为
(3)或
(4)或
【分析】（）根据矩形的性质求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）连接，可得点关于对称轴对称，即得，进而得到的周长，可知当三点共线时，的值最小，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入求出即可得到点坐标；
（）根据二次函数的性质，分与两种情况，根据二次函数的分别讨论，即可求解；
（）根据题意，找出顶点平移的临界点，然后进行分类讨论，分别求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵矩形的顶点，的坐标分别为，，
∴，
把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：连接，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴点关于对称轴对称，
∴，
∴的周长，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，此时的周长最小，
把代入得，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴此时点坐标为；
（3）解：∵，
∴抛物线的顶点的坐标为，对称轴为直线，开口向下，
当，即时，随的增大而增大，
∵当时，，
∴时，，
即，
解得，（不合，舍去）；
当时，随的增大而减小，
∴当时，，
即，
解得，（不合，舍去）；
综上，或；
（4）解：设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴可设平移中的抛物线的解析式为，
当时，抛物线即，此时抛物线与线段有两个交点；
当时，
①当拋物线经过点时，有，
解得(不合，舍去)，；
②当抛物线经过点时，有，
解得(不合，舍去)，；
综上可得，；
②当且抛物线与直线有公共点时，
则即有实数根，
∴，
解得，
∴；
综上，当或时，在平移的过程中，抛物线与线段有公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的几何应用，轴对称的性质，一元二次方程根的判别式等，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想进行分析．
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