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期末巩固复习卷-2024-2025学年数学九年级下册青岛版
一、单选题
1．如图是由5个相同正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
2．在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
4．下列对二次函数的图象与性质的描述中，不正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象恒过点
C．对称轴是直线 D．越大，图象的开口越小
5．如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（ ）
A． B． C． D．2
6．已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．若抛物线（，是常数，）经过点，当时，对应的函数值．有下列结论：①抛物线的对称轴：直线；②若点、在这个抛物线上，则；③；④．正确结论的个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于两点，若，则以下四个结论：①；②；③；④．正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
9．若关于的一元二次方程的两根分别是，，则抛物线的对称轴是 ．
10．合肥的旅游景点丰富多样，涵盖了历史文化、自然风光和现代娱乐等多个方面，其中“三河古镇”“包公园”“安徽博物院新馆”及“合肥融创乐园”等都是合肥的旅游胜地．若从上述四个景点中随机选两个景点旅游，则恰好选中“三河古镇”和“包公园”的概率是 ．
11．如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体侧面展开图的圆心角的度数为 ．
12．如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为
13．在电压不变时，通过导体的电流（单位：A）与这段导体的电阻（单位：）是反比例函数关系，其函数图象如图所示，当一段导体的电阻时，通过该导体的电流的值为 A．
14．如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则 ．
15．如图，等边的边长为，是边上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接．
（1） ．
（2）的最大值为 ．
16．“双减”政策明确要求初中生每天的书面作业平均完成时间不能超过90分钟．为检查政策的落实情况，某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成如下不完整的统计图表．
每天的书面作业平均完成时间频数分布表
组别 平均完成时间（单位：分钟） 人数（频数）
A 8
B 17
C
D 5
对于下列说法∶①调查的样本容量为50；②频数分布表中m的值为20；③若该校有1000名学生，则每天的书面作业平均完成时间超过90分钟的约有100人；④在扇形统计图中，B组所对的扇形圆心角的度数是．正确的序号是 ．
三、解答题
17．一个反比例函数的图象经过点．
(1)求该反比例函数的解析式．
(2)当时，求的值．
18．陕西历史博物馆是中国第一座大型现代化国家级博物馆，被誉为“古都明珠，华夏宝库”．九年级（2）班班主任带领全班同学参观完陕西历史博物馆后，将该博物馆中的5个单元分别制作成了如图所示的5张卡片（卡片除正面内容不同外其他均相同），班主任将5张卡片背面朝上洗匀后，班长先从这5张卡片中随机抽取一张，不放回，学习委员再从剩下的4张卡片中随机抽取一张，他们分别以自己所抽取的卡片为准，写一篇对应单元的观后感．
(1)班长抽取的卡片为“A．《盛唐气象》”的概率为________；
(2)请用列表法或画树状图法求班长和学习委员都没有抽到“D．《东方帝国》”的概率．
19．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于两点，且线段．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)动点在轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求点的坐标．
20．广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？
21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若点的横坐标为，用含的代数式表示；
(3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点和点，与反比例函数的图象交于点，为线段的中点．
(1)求的值；
(2)直接写出的解集．
(3)点为线段上的一个动点，过点作轴，交该反比例函数图象于点，连结，．若的面积为，求点的坐标．
23．综合与实践
问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形．
(1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长_____；（填“相等”或“不相等”）若，则_____．
(2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形．请用含，的式子表示；
(3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽，，，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由．
《期末巩固复习卷-2024-2025学年数学九年级下册青岛版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A C B B C C
1．C
【分析】本题考查简单组合体的三视图．根据简单组合体的三视图的画法画出它的主视图即可．
【详解】
解：这个组合体的主视图是：．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意可得：，
∴
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，概率公式的应用，准确计算是解题的关键．
利用黄球的实际个数除以其概率得到总数，总数减去黄球个数即为红球个数．
【详解】解：根据题意得两种球的总数为（个），
则红球的个数为（个），
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，综合运用二次函数图象性质是解题的关键．
根据二次函数图象性质，依次分析开口方向，对称轴，及函数与y轴的交点即可．
【详解】解：，
二次函数的图象开口向上，
故选项A正确，不符合题意；
令，则，
抛物线交轴于点，
图象恒过点，
故选项B正确，不符合题意；
抛物线的对称轴是直线，
故选项C错误，符合题意；
越大，图象的开口越小，
故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】过点作于点，利用菱形性质，坐标与图形，勾股定理求出点坐标，再根据点为中点，求出点坐标，最后利用待定系数法求出值，即可解题．
【详解】解：过点作于点，
点，点，
，，，
，
四边形为菱形，
，
，
，
，
解得，
，
与交于点，
点为中点，
，
反比例函数的图象经过点，
．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形性质，坐标与图形，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
6．B
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据题意可知，，，据此判断函数的图象大致位置即可．
【详解】解：根据图示可知，，，，
∴，对称轴，，
∴函数的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴相交，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．
由题意得到，得到；由当时，对应的函数值得到，得到，故④正确；抛物线的对称轴为直，令，解得，故①错误；点、在这个抛物线上，得到
，得出 ，故②错误；令，则，得到，故③正确，即可得到答案．
【详解】解：抛物线经过点，
，
，
当时，对应的函数值，
，
，
，
，
，
故④正确；
，
抛物线的对称轴为直线，
令，解得，
，
抛物线的对称轴不是直线；
故①错误；
点、在这个抛物线上，
，
，
，
，
，
，即
故②错误；
令，则，
，
故③正确；
综上所述，正确的结论有个，
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据抛物线的对称性解答③；根据对称轴是求出，再代入判断④；根据时，，可知，即可判断②；根据抛物线的开口方向，与 y 轴的交点，及对称轴判断的大小，判断①，进而得出答案．
【详解】解：∵对称轴为直线，
∴，③正确；
，
，
，
，
，④正确；
由题意可知时，，
，
，故②错误；
∵抛物线开口向上，与轴的交点在轴下方，
，
，
，
，故①错误；
故选：C．
9．直线
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是根据一元二次方程的解求出抛物线与轴的两个交点的横坐标，根据抛物线与轴的交点横坐标与一元二次方程的根之间的关系即可求出二次函数的对称轴．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴二次函数与轴的两个交点的横坐标为分别为 1 和5．
∴抛物线的对称轴为直线．
故答案为：直线．
10．
【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握用列表法或树状图法求概率．
运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：分别记“三河古镇”“包公园”“安徽博物院新馆”“合肥融创乐园”为、、、，画树状图如下：
一共有种等可能的情况，其中恰好选中“三河古镇”和“包公园”的情况有种，
恰好选中“三河古镇”和“包公园”的概率是．
故答案为：．
11．/288度
【分析】本题考查了几何体的三视图，圆锥的侧面展开图的圆心角等知识；由三视图确定出几何体的形状是圆锥，由三视图确定圆锥的底面直径及圆锥母线长，由扇形弧长公式即可求解．
【详解】解：由三视图知，该几何体是圆锥，且底面圆的直径是16，母线长为10；
设圆锥侧面展开图的圆心角为，则有，
解得：；
即该几何体侧面展开图的圆心角的度数为；
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图象的性质，几何图形中线段的关系，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识的综合是解题的关键．
如图所示构造辅助线，可得四边形，是矩形，可证，，是等腰直角三角形，设，可得，，在等腰直角三角形中，根据其性质可得，，结合反比例函数图象的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴，过点作轴，过点作轴于点，作轴于点，

∴四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，
已知直线，
令时，，则，
∴，
令时，，
∴，则，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，都是等腰直角三角形，
∵点在反比例函数的图象上，
∴设，
∴，，
∴在，中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量值求函数值等．根据题意设反比例函数解析式为，将点代入其中得到，再将代入求出得反比例解析式即可求出本题答案．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
将点代入中，得到，
∴，
∴电阻时，通过该导体的电流的值为：，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求角的正切值，相似三角形的性质与判定．过A、B作轴，轴，根据条件得到：，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：如图所示，过A、B作轴，轴，垂足分别为C、D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
15． / /
【分析】（1）结合等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形的相关计算推得即可得解；
（2）过点作，交的延长线于点，推得，令，则，推得，，，则，结合二次函数的最值计算方法即可得的最大值．
【详解】解：（1）等边中，，
和中，，
同理可得，
．
（2）如图，过点作，交的延长线于点，
，
，
令，则，
由（1）得，，
在中，，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：；．
【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形的相关计算、二次函数的最值，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算．
16．①②③
【分析】根据扇形统计图中D组的占比和频数分布表中D组的频数即可求得样本容量，进而判断①，进而判断②，根据1000乘以D组的占比即可判断③，根据B组的频数除以总数再乘以360度即可判断④即可求解．
【详解】解：调查的样本容量是为50，故①正确；
频数分布表中的值为20，故②正确；
若该校有1000名学生，作业完成的时间超过90分钟的约100人，故③正确；
在扇形统计图中组所对的圆心角是，故④不正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了频数分布表，扇形统计图，求样本的容量，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式及通过解析式求函数值，解题的关键是掌握待定系数法．
（1）将代入利用待定系数法求解即可；
（2）将代入求解即可．
【详解】（1）解：将代入得
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，代入得
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中班长抽取的卡片为“A．《盛唐气象》”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及班长和学习委员都没有抽到“D．《东方帝国》”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中班长抽取的卡片为“A．《盛唐气象》”的结果有1种，
∴班长抽取的卡片为“A．《盛唐气象》”的概率为．
故答案为：．
（2）解：根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中班长和学习委员都没有抽到“D．《东方帝国》”的结果有12种，
∴P（班长和学习委员都没有抽到“D．《东方帝国》”）
19．(1)
(2)点P的坐标为或或或
(3)
【分析】（1）首先得点，，那么把，坐标代入即可求得函数解析式；
（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点的坐标．是直角三角形，应分点为直角顶点，点是直角顶点，点是直角顶点三种情况探讨；
（3）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点，连接交对称轴的一点就是．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点坐标．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，
当时，，
，
∵，
，
过和，
则，
解得：
抛物线的解析式为：
（2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为，
即点的坐标，
又点在直线上，
解得（舍去），，
的坐标为．
（Ⅰ）当为直角顶点时，
过作交轴于点，设，
∵直线与x轴交于点D，
令，则
∴点坐标为，
∵，
∴
∵
∴，
∴，即，
，
．
（Ⅱ）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，过作轴于，
同理可证，
∴，
∵点坐标为，的坐标为
∴
即，
，
，
，
∴点坐标为．
（Ⅲ）当为直角顶点时，设，
由，得，
∴，
由得，
解得，，
此时的点的坐标为或，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或；
（3）抛物线的对称轴为，
、关于对称，
，
要使最大，即是使最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大．
∵，，
设直线的解析式为
∴，解得
∴直线的解析式为
由，得，
．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，根据一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点得出是解题关键．
20．(1)
(2)销售单价应为160元
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键．
（1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可．
（2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可．
【详解】（1）解：设函数式为，
∵当销售定价为120元时，每日可销售20件，
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：．
（2）解：设单价是x元，
∵，
∴，解得：，
检验：当时，利润为元，符合题意．
答：销售单价应为160元．
21．(1)
(2)
(3)当PQ取最大值时，点P的坐标为，的最大值为
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，等腰直角三角形三边关系等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）用待定系数法可得该抛物线的表达式为；
（2）求出直线的表达式为，进而表示出的坐标，即可求解；
（3）由点，，可得，根据的长，根据二次函数性质即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入，得：
解得：
抛物线的表达式为；
（2）设直线的表达式为，
把，代入，得：
解得
直线的表达式为．
点的横坐标为，
，
（3）如图
点，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，则时有最大值
此时
当取最大值时，点的坐标为，的最大值为．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程，求出C的坐标是解题的关键．
（1）先分别求出点的坐标为，点的坐标为，利用为线段的中点，得出，将代入即可求解；
（2）由图可知的解集即为反比例函数的图象在直线上方及相交时对应的自变量的取值范围，即可求解；
（3）设点的坐标为，则可得点的坐标为，利用三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：令，得，
解得：，
∴点的坐标为，
令，则，
∴点的坐标为，
∵为线段的中点，
∴，，
即，，
解得：，，
∴，
将代入，
得；
（2）解：由题意得反比例函数的解析式为，
由图可知的解集即为反比例函数的图象在直线上方及相交时对应的自变量的取值范围，
∴的解集为；
（3）解：由（2）知反比例函数的解析式为，
∵轴，
设点的坐标为，
则，代入直线，
得：，
∴点的坐标为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
经检验，或是方程的解，但不符合题意，舍去，
∴，，
∴点的坐标为．
23．(1)相等；
(2)
(3)够长，见详解
【分析】本题考查了圆锥和圆锥侧面展开图的关系，圆锥侧面展开图圆心角的度数，解直角三角形以及勾股定理等知识点，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出和之间的关系，进而即可求解；
（2）根据，即可求解；
（3）过点作于点，构造和，解两个直角三角形，求出和11比较大小即可．
【详解】（1）解：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长相等，
解得，
故答案为：相等，9；
（2）解：底面周长，扇形的弧长，
，
；
（3）解：够长，如图所示，过点作于点，
，，
，
圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，
，
，是中点，
，
在中，，，

在中，


的彩带够长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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