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第1-4章巩固复习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．下列四组线段a，b，c，能组成直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
3．已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知长方形的长为5，宽为4，若将其沿着射线方向平移到长方形处，则长方形的周长是长方形周长的，则长方形平移的距离是（ ）
A．5 B．4 C．6 D．3
5．如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若于D，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
7．关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A． B． C． D．
8．某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，甲、乙、丙三位同学解决该问题的作图如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．只有甲的正确 B．只有乙的正确
C．只有丙的正确 D．只有乙、丙的正确
二、填空题
9．因式分解： ．
10．若，，，则的值为 ．
11．在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ．
12．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t秒，若为等腰三角形， ．
13．如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
14．如图，长方形被分成8个大小相同的直角三角形．通过一次 变换（填“平移”“轴对称”或“旋转”）可以得到；若是通过两次轴对称变换得到的，则这两次变换的对称轴分别是 ， ．
15．如图，在中，，点D在线段上，瓦，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，，垂足为点F，则的长为 ．
16．如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为 ．
三、解答题
17．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)利用因式分解进行简便计算：；
18．解下列一元一次不等式（组）：
(1)；
(2)．
19．已知a，b，c分别为的三边长，若b，c满足，且a为方程的解，请判断的形状，并说明理由．
20．如图，将绕点B按顺时针方向旋转后得到．
(1)找出旋转中心．
(2)指出对应顶点和对应线段．
(3)指出旋转角．
(4)连接，，则和分别是什么三角形？为什么？
21．如图，已知等边的边长是6，动点M、N分别沿，从A、C两点同时匀速运动，M、N的运动速度分别是，当点N到达B点时，M、N两点均停止运动．设点M的运动时间为t（s）．
(1)当时，求的长度．
(2)当t为何值时，是直角三角形？
22．阅读材料：
因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式．
上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
23．为了抓住峨眉山文化艺术节的商机，某商店决定购进两种艺术纪念品．若购进种纪念品3件，种纪念品1件，需要350元；购进种纪念品6件，种纪念品3件，需要750元．
(1)求购进、两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共120件，考虑到市场需求和资金周转，用于购买这120件纪念品的资金不超过9500元，那么该商店最多购进种纪念品多少件？
24．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由．
25．如图与为等边三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点．
(1)如图，点与点重合时，点，分别在线段上，请直接写出和的数量关系；
(2)如图，当点在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)点在线段上，若，当时，请直接写出的长．
《第1-4章巩固复习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D C B D C
1．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握利用勾股定理的逆定理判断直角三角形的方法．
利用勾股定理的逆定理判断选项的正确性．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，可以构成直角三角形，符合题意；
C、，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，
∴，，
∴的周长为：，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据点在坐标系中位置得关于a的不等式组，解不等式组求得a的范围，即可判断．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
在数轴上表示为：
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了平移的性质，设长方形平移距离根据矩形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：设长方形平移距离则由平移可得，
∵长方形的长为5，宽为4，
∴长方形的周长，
∵长方形的周长是长方形周长的，
∴，
∴，
∴长方形平移距离为3．
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质．将绕点顺时针旋转后得到，可求得的度数，又由，即可求得的度数，继而求得答案．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
6．B
【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法．将因式分解结果化为多项式形式，然后根据系数相等求出m和n．
【详解】解：∵关于x的二次三项式分解因式的结果为，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出符合题意的的整数解是解此题的关键．
先求出方程组的解，根据方程组的解为整数得出，，，，，，根据不等式组有且仅有个整数解得出关于的不等式组的解集，从而求出符合题意的的整数解，求其和即可．
【详解】解：，
得：
解得，
把代入得：，
解得：，
∵关于，的二元一次方程组的解为整数，
，，，，，，
解关于的不等式组，得；
∵关于的不等式组有且仅有个整数解，
；
解得：，
整数为，，，，其和为；
故选：D
8．C
【分析】本题主要考查了角平分线的判定，尺规作图——作已知角的平分线，根据题意得到点M在的角平分线上是解题的关键．根据题意可得点M在的角平分线上，即可求解．
【详解】解：∵休息点M到和两边的距离相等，
∴点M在的角平分线上，只有丙的作图正确．
故选：C．
9．
【分析】本题考查因式分解 运用公式法，用平方差公式因式分解即可．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查因式分解的应用、求代数式值等知识点，掌握因式分解的步骤以及公式的运用是解题的关键．先局部提公式、再运用公式法因式分解以及加括号，然后将已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴
．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值．
【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是．
∵，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
12．或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的逆定理．熟练掌握等腰三角形的性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
等腰三角形两腰相等，所以需要分三种情况讨论：，，．同时，因为已知三角形三边长度，可先判断的形状，为后续计算提供便利．
【详解】解：在中，，，，
，
是直角三角形，．
情况一：当时，
，
在中，，，
，
当点在线段上时，（不合题意，舍去），
当点在的延长线上时，，
此时秒；
情况二：当时，
，此时秒；
情况三：当时，
设，则，
在中，
，
即：，
解得：，
，此时秒．
故答案为：或或．
13．
【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵为直线上一动点，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
14． 旋转 （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】本题考查几何变换，涉及三种几何变换：“平移”“轴对称”或“旋转”，根据题意，数形结合即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：如图，长方形被分成8个大小相同的直角三角形．通过一次旋转变换（填“平移”“轴对称”或“旋转”）可以得到；若是通过两次轴对称变换得到的，则这两次变换的对称轴分别是，或，，
故答案为：旋转，，或，．
15．3
【分析】本题主要考查等腰直角三角形，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．根据勾股定理先求出边长，再求出长，过点D作，可证，即，在等腰直角中可求，即可直接求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴．
过点D作于点M，
则，
由旋转的性质得，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：3．
16．
【分析】本题考查了根据一次函数的交点确定不等式的解集，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由图象即可解答．
【详解】解：由题图可知，当时，一次函数在一次函数的上方，交点处，
故的解集为，
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是关键；
（1）直接提取公因式即可；
（2）先化为，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先化为，再提取公因式结合平方差公式分解因式即可；
（4）先化为，再结合完全平方公式计算即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
18．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查解一元一次不等式（组），掌握不等式的性质是关键．
（1）根据去括号，移项，合并同类项，不等式的性质求解即可；
（2）根据不等式的性质解一元一次方程①，②，得到解集，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求解即可．
【详解】（1）解：，
去括号的，，
移项得，，
合并同类项得，．
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式的解集是．
19．是等腰三角形，理由见解析
【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a，b，c的值是解题关键．利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而解方程得出a的值，进而判断出其形状．
【详解】解：是等腰三角形，理由如下：
因为，
所以．
所以，
又因为，
所以．
所以是等腰三角形．
20．(1)点B
(2)对应顶点：点A点，点B与点B，点C与点；对应边：与，与，与
(3)或
(4)等边三角形，理由见解析
【分析】此题考查了旋转的性质与等边三角形的判定．
（1）由将绕点B按顺时针方向旋转后得，可得旋转中心是点B；
（2）结合图形，根据旋转的性质即可得对应顶点与对应边；
（3）由旋转的性质可得：旋转角：或；
（4）由旋转的性质：，，，可得和是等边三角形．
【详解】（1）解：∵将绕点B按顺时针方向旋转后得，
∴旋转中心是点B；
（2）解：对应顶点：A与，B与B，C与；
对应边：与，与，与；
（3）解：旋转角：或；
（4）解：和是等边三角形．理由如下：
如图，
∵由旋转的性质：，，，
∴和是等边三角形．
21．(1)
(2)当s或s时，是直角三角形
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定，
（1）先求出，再说明为等边三角形，可得答案；
（2）设t秒后，是直角三角形，表示，，可得．分两种情况：若时，根据，列出方程，求出解；同理可得若时，根据，可得方程，求出解即可．
【详解】（1）解：如图，当时，由题可得：，
∵是等边三角形，边长为，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
（2）解：设t秒后，是直角三角形，
则，，
∴．
若时，如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
即N到达B点时；
同理可得若时，如图，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
综上可得：当s或s时，是直角三角形．
22．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
（）将“”看成整体，令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解；
（）令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解．
【详解】（1）解：令，
∴原式
；
（2）解：令，
∴
．
23．(1)A、B两种纪念品的价格分别为100元和50元
(2)该商店最多购进A种纪念品70件
【分析】（1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据购进A种纪念品3件，B种纪念品1个，需要350元；购进A种纪念品6件，B种纪念品3件，需要750元，列出方程组，再进行求解即可；
（2）设商店最多可购进A纪念品t件，则购进B纪念品件，根据购买这120件纪念品的资金不超过9500元列出不等式组，再进行求解即可．
【详解】（1）解：设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，则
，
解得：，
答：A、B两种纪念品的价格分别为100元和50元．
（2）解：设购买A种纪念品t件，则购买B种纪念品件，则
，
解得，
答：该商店最多购进A种纪念品70件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
24．(1)见解析
(2)60度
(3)，见解析
【分析】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）根据全等三角形的性质得到，计算即可；
（3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵为等边三角形，
∴，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）解：．
理由如下：∵和均为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
25．(1)
(2)，理由见解析
(3)或或
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，易得，由“”可证，即可得证；
（2）过点作交于点，可证是等边三角形，可得，，由“”可证，可得，即可得；
（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解：与为等边三角形，
，，
将射线绕点逆时针旋转，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作交于点，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
（3）解：作于点，
，，
，
如图中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时，
，
，
，
过点作，交于，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
如图中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时，
同法可证：，
，
；
如图中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时，
同法可证：，
，，
，
；
如图中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时，
同法可证：，
，
，
；
综上所述，满足条件的的值为或或．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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