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第1-4章巩固复习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．某电视综艺节目接到热线电话3000个．现要从中抽取“幸运观众”10名，张华同学打通了一次热线电话，那么他成为“幸运观众”的概率为（ ）
A． B． C． D．0
3．下列能用平方差公式计算的式子是（ ）
A． B． C． D．
4．如果一个角的补角是，那么这个角的余角度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图形中，由，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
6．观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，在中，，，垂足为点H，平分，与相交于点D，过点D作，与边相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，一束光线从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中为入射光线，为折射光线，直线为法线，点，，在同一条直线上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
10．已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 ．
11．如图，，点D、E、M在同一直线上，且，，则的长为 ．
12．已知展开的结果中不含项，则m的值为 ．
13．如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是 ．
14．粮安天下，种子为基．高发芽率的种子能够确保作物生长的初始阶段有足够的健康植株，从而提高作物的产量和质量．某学习小组做某种农作物种子发芽率的实验，整理的实验数据如表：
种子数 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
发芽数 94 186 278 464 927 1856 2787 4650
种子发芽率 0.9400 0.9300 0.9267 0.9280 0.9270 0.9280 0.9290 0.9300
由此估计这种农作物种子的发芽率为 ．（结果精确到0.01）
15．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ．
三、解答题
16．先化简，再求值：，其中，．
17．计算：
(1)；
(2)；
18．如图．且且的延长线交于．求证：．
19．已知，如图，，，请说明的理由．
理由：（已知）
______（ ）
又（已知）
（ ）
即：
（ ）
20．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率
(1)填写表格，并请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______；
(3)试估算口袋中白色的球有多少只？
21．利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题．
初步感知
如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使．
（1）填空：________．（填“”“”或“”）
（2）求证：．
（3）试说明：．
拓展应用
（4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和．
22．已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接．
(1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数．
(2)点为直线下方的动点，连接，使得平分，
①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数．
《第1-4章巩固复习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B C A D A D A B
1．B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方计算，完全平方公式和合并同类项，根据相关计算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用幸运观众的数量除以总电话个数即可得到答案．
【详解】解：由题意得，张华成为“幸运观众”的概率为，
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：．
【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、能用平方差公式计算，符合题意；
D、不能用平方差公式计算，不符合题意；
故选：C．
4．A
【分析】此题主要考查的是补角和余角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为；互为补角的两个角的和为．首先根据补角的定义求得这个角的度数，然后根据余角的定义即可求出这个角的余角．
【详解】解：根据定义一个角的补角是，
则这个角是，
这个角的余角是．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：由，能得到的是D选项，
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了整式的混合运算图形面积的关系，理解图示，掌握整式的混合运算是解题关键．根据图示，大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分的面积，由此即可求解．
【详解】解：左图中大正方形的边长为，面积为，小正方形的边长为，面积为，
右图中的面积即为左图中阴影部分的面积，即，
∴，
故选：A ．
7．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，先导角证明，再证明，可得，则D选项结论正确；根据现有条件无法证明A、B、C三个选项中的结论，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故D结论正确，符合题意；
根据现有条件无法证明A、B、C中的结论，
故选：D．
8．A
【分析】此题主要考查了对顶角的性质．先求得，再利用角的和差计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于的面积求解即可得．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴图中阴影部分的面积等于，
故选：B．
10．5
【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握相关知识并分类讨论是解题关键．首先根据非负数的性质确定，然后根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，解得，
当等腰的底边为5时，该三角形的三边长分别为5，11，11，
能构成三角形；
当等腰的底边为11时，该三角形的三边长分别为11，5，5，
∵，故不能构成三角形．
综上所述，的底边长是5．
故答案为：5．
11．12
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．利用全等三角形的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：12．
12．2
【分析】本题考查多项式与多项式相乘，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．观察题中乘式，可先将其展开；根据整式的乘法运算法则可将原式化简为；接下来根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题．
【详解】解：，
∵展开的结果中不含项，
∴，解得：，
故答案为：2．
13．/15度
【分析】本题主要考查平行线的性质．根据两直线平行内错角相等和含角的直角三角板的特点即可求解．
【详解】解：根据题意可知，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．0.93
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得答案．
【详解】解：观察表格可知，随着试验次数的增加，种子发芽率逐渐稳定在0.93附近，
∴可估计这种农作物种子的发芽率为0.93，
故答案为：0.93．
15．32
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值．
【详解】解：依题意有，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
当时，该长方形为边长是8的正方形，
边长是和的长方形的最大面积是64，
∴的最大值为．
故答案为：．
16．，．
【分析】此题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把，代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
将，代入，得；
17．(1)13
(2)
【分析】本题考查了涉及零指数幂和负整数指数幂的运算，同底数幂的乘除法，幂的、积的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别计算绝对值，零指数幂和负整数指数幂，以及有理数的乘方，再进行加减计算；
（2）分别计算同底数幂的乘法，幂的、积的乘方和同底数幂的除法，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线的性质，掌握“利用AAS证明三角形全等”是解本题的关键．如图，过点作交的延长线于，证明 再证明，可得，再证明，可得，，再利用三角形中线的性质可证结论．
【详解】证明：如图，过点作交的延长线于，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点是的中点；
，，
点是的中点，
，
．
19．；两直线平行，内错角相等；等式的性质；内错角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由两直线平行，内错角相等得到，再根据角的和差关系可证明，据此根据内错角相等，两直线平行可证明．
【详解】理由：（已知）
（两直线平行，内错角相等）
又（已知）
（等式的性质）
即：
（内错角相等，两直线平行）
20．(1)表格见解析；；
(2)，；
(3)个
【分析】（）用摸到白球的次数除以摸球总数可得对应的摸到白球的频率，据此可计算并填写表格；观察表格中的统计数据，即可得出结论；
（）根据摸到白球的频率，可以得出摸到白球的概率，进而可以求出摸到黑球的概率；
（）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少个；
本题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，解题的关键是正确理解频率和概率之间的关系．
【详解】（1）解：，
填写表格如下：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率
根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近，
故答案为：；
（2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近，
∴摸到白球的概率是，
∴摸到黑球的概率是；
故答案为：，；
（3）解：摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是，
∴口袋中有白球是只，
答：口袋中有白色球只．
21．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）与的面积之和为
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意易得，，，然后可得，于是得解；
（2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论；
（3）由（1）可知，由（2）可知，然后根据三角形之间的面积关系即可得出结论；
（4）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案．
【详解】（1）解：∵在中，为中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：由（1）可知：，
，
，
，
，
；
（3）证明：由（1）可知，由（2）可知，
，，
；
（4）解：，，，
，
在和中，
，
，
，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
，，
，
，
，
与的面积之和为．
22．(1)
(2)①，证明见解析；②或
【分析】（1）过点P作，则，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）①过点P作，过点M作，设，，可得，，然后根据角的和差关系即可求证；
②当点P在线段上时，过点P作，而，则，通过平行线的性质即可建立方程进行求解；当点P在线段延长线上时，过点P作，设，通过平行线的性质和角平分线的意义可建立方程进行求解．
【详解】（1）解：过点P作．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，证明如下：
设，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
过点P作，过点M作，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在线段上时，过点P作，而，则，
设，设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得；
当点P在线段延长线上时，
过点P作，则，设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
综上：的度数为或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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