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第4章三角形同步练习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一、单选题
1．下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．或
3．如图，钝角中，边上的高是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，在中，，，垂足为点H，平分，与相交于点D，过点D作，与边相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，，下列条件中不能判断的是（ ）

A． B．
C． D．
6．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（ ）

A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：×
C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：×
8．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
9．已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为 ．
10．已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为
11．若一个等腰三角形的一条边的长度是另一条边长度的4倍，我们把这样的等腰三角形叫做“4倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为 .
12．如图．，相交于点，，请你补充一个条件 ，使．
13．如图①是一种生活中常使用的工具——千斤顶，图②是其示意图，该千斤顶的基本形状是一个四边形中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，从而改变千斤顶的高度，这是利用了四边形的 ．
14．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．
15．如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ．
三、解答题
16．如图，，点在上，，且．判断与的数量关系和位置关系，并证明．
17．如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．如图，已知，
(1)作出的边上的高；
(2)求的面积；
(3)已知，求中边上的高．
19．“无定河边暮角声，赫连台畔旅人情”．无定河（如图1）是黄河的一级支流，位于陕西省北部．王欣随父母旅游期间，想测量无定河某段的宽度，如图2，河中有一个标志物，王欣爸爸操控一架无人机，使其停留在点处，王欣从点出发，沿着与垂直的方向走到点处时，发现恰好在一条直线上，测得米，，沿继续向前走到点处时，发现恰好在一条直线上，测得米，，已知点在上，与互余．请你根据王欣的测量结果计算无定河此段的宽度．
20．【阅读理解】例题：若，求和的值．
解：，，即，，，∴，．
【方法运用】若，求的值．
【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长．
21．将一个等腰直角三角板的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点向l作垂线，现要探究两垂线段长度与两垂足间距离的数量关系．
已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为E．
(1)如图1，线段，，之间的数量关系是____________________；
(2)如图2，此情形下（1）的结论是否仍然成立 并说明理由；
(3)如图3，此情形下若，，求阴影部分的面积．
《第4章三角形同步练习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C D C B D C
1．C
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三根木棒钉的长的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由题意得，第三根木棒钉的长，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形的三边关系，由非负数的性质得，，进而根据三角形的三边关系得是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，
∴该等腰三角形的周长为，
故选：．
3．C
【分析】本题主要考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．
根据三角形高的定义即可解答．
【详解】解：如图，钝角中，边上的高是．
故选C．
4．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，先导角证明，再证明，可得，则D选项结论正确；根据现有条件无法证明A、B、C三个选项中的结论，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故D结论正确，符合题意；
根据现有条件无法证明A、B、C中的结论，
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：A、添加条件，结合，可以利用证明，故不符合题意；
B、添加条件，结合，可以利用证明，故不符合题意；
C、添加条件，结合，不可以利用证明，故符合题意；
D、添加条件，结合，可以利用证明，故不符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用可证明，则
【详解】解：∵，，
∴，
在与中：
，
．
∴A，B两点的距离是．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了三角形全等的判定，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定的条件．
方案一：由题意可知，是对应边，，进而求得，由判定两个小三角形全等，方案一：√；
方案二：由题意可知，，进而求得，所以其对应边应该是和，而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等，方案二：×；即可得解．
【详解】解：方案一：如图1所示，
，，，
，
是对应边，由判定两个小三角形全等，
故方案一：√；
方案二：如图2所示，
，，，
，所以其对应边应该是和，
而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等，
故方案二：×；
综上所述，方案一：√、方案二：×．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，进而可求出的大小．
【详解】解：
理由：∵，，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选C．
9．或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是，底角是即可得解．
【详解】解：当等腰的顶角是，则它的底角的度数为：，
当等腰的底角为，则它的底角度数为，
综上所述：它的底角的度数为或，
故答案为：或．
10．
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【详解】解：根据三角形的三边关系：，
解得：．
故答案为：．
11．2
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，进行分类讨论是解题的关键．
设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为，分①为腰；②为腰两种情况讨论即可．
【详解】解：设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为.
①当为腰时，
，
不能组成三角形；
②当为腰时，能够组成三角形，
，
，
∴该等腰三角形底边长为2．
故答案为：2．
12．或或
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三级形的判定方法，进行作答即可．
【详解】解：∵，相交于点，，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：或或．
13．不稳定性
【分析】本题主要考查四边形具有不稳定性，根据四边形具有不稳定性解答即可．
【详解】解：根据题意得，这是利用了四边形的不稳定性，
故答案为：不稳定性．
14．7或3
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，而，且，所以，求得；二是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，此时，所以，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设点E运动的时间为，
如图1，点E从点B出发沿射线方向运动，
∵为边上的高，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
解得；
如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
综上所述，当点E运动或时，，
故答案为：7或3．
15．1或或12
【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论．与全等时，，当P在上，Q在上时，得到；当P、Q在上时，得到；当P在上，Q在上时，然后分类求解即可．
【详解】解：∵于E，于F，，
∴，，
∴，
∴当与全等时，，
当P在上，Q在上时，
∵，，
∴，
解得：；
当P、Q在上时（P、Q重合），
∵，，
∴，
解得：；
当P在上，Q在上时，即A与Q重合时，
∴．
∴t的值为1或3.5或12；
故答案为1或3.5或12．
16．与的数量关系是，位置关系是，见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键．
根据题意，证明，即可求解．
【详解】解：与的数量关系是．位置关系是，
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
17．(1)见详解
(2)2
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定．
（1）可直接利用证明；
（2）根据三角形全等的性质可以得到，再由，利用线段之间和差关系即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
，
在和中
，
；
（2）解：，
，
，
．
18．(1)见解析
(2)5
(3)2
【分析】（1）取格点，连接，交于点D，则即为所求作的高；
（2）根据割补法求解即可；
（3）根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：即为所求作的高．
取格点，连接，交于点D，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
；
（3）解：由（2）有，
即，
解得：．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质，画三角形的高，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．
19．300米
【分析】本题考查全等三角形的应用，先得到，然后运用证明，即可得到解题即可．
【详解】解：根据题意得，米，，
，
米．
与互余，
，
．
，
，
米．
即无定河此段的宽度为300米．
20．（）；（）
【分析】（）仿照题例方法解答即可；
（）把右式移到左边，再仿照题例方法求出的值，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系解答即可求解；
本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义，看懂题意是解题的关键．
【详解】解：方法运用：∵
∴，
即，
∴，，
∴，，
∴的值为；
拓展提升：∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，，
∵是等腰三角形，
当时，
∵，
∴构成不了三角形，该种情况不符合；
当时，的周长；
∴的周长为．
21．(1)
(2)不成立，见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明得出，，再结合，即可得解；
（2）证明得出，，再结合，即可得解；
（3）由（2）结论可知，，再由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴；
（2）解：不成立；
理由：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（3）解：由（2）结论可知，，
．
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