资源简介

2.6.1 一元一次不等式组的应用
【题型1 工程问题】
1.在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元．
(1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？
(2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2 100万，该区财政投入额资金不超过7 700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围．
2.为实现“乡村振兴”的战略目标，幸福乡实施了“村村亮化”工程． 计划投入40万元分三批次购买甲、乙两种型号的路灯（每种型号的路灯单价不变）安装在村公路两旁．第一批次购买甲型路灯300盏、乙型路灯400盏，共花资金150000元； 第二批次购买甲型路灯400盏，乙型路灯300盏，共花资金144000元．
(1)求甲、乙两种型号路灯的单价分别是多少元；
(2)由于工程的需要，第三批次购买的甲型路灯不能少于350盏，那么第三批次最多能购进乙型路灯多少盏？
3.为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%．
（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？
（2）今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元；实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水，请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案．
（3）经测算：每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1．5万元．在（2）中的方案中，哪种购买方案使得设备的各种维护费和电费总费用最低？
4.年月日上午，伴随着盾构机隆隆轰鸣声，南宁市轨道交通号线“五象火车站一清平坡站”区间盾构顺利始发，标志着号线续建工程正式进入区间据进施工阶段，待此次工程建设完工后，将实现号线全线贯通运营，目前，地铁号线续建工程正在有序进行施工，工地现有大量的泥土需要运输，某车队有载重量为吨、吨的卡车共辆，全部车辆满载运输一次可以运输吨泥土．
(1)求该车队有载重量吨、吨的卡车各多少辆？
(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输泥土不低于吨，为了完成任务，该车队准备再购进这两种卡车共辆，则最多购进载重量为吨的卡车多少辆？
【题型2 销售利润问题】
1.某电器商场销售每台的进价分别为2599元、7300元的A，B两种型号的空调，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量/台 销售收入/元
A种型号 B种型号
第一周 4 3 36296
第二周 5 5 55495
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A，B两种型号的空调的销售单价．
(2)若该电器商场准备用不多于151182元的金额再采购这两种型号的空调共30台，则B种型号的空调最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，该电器商场销售完这30台空调能否实现利润超过16000元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
2.小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签、特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人．已知每个特色文化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并且，当卖出特色文化书签个和特色中性笔支时，获得总利润元．
(1)求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元？
(2)校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为，并且投入的总成本不超过元，获得的总利润不少于元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案？
(3)义卖刚开始的半个小时，学生会的同学们发现他们已经获得了元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a个满足，则a的值可能为多少？说明理由．
3.为响应阳光体育运动的号召，学校决定从体育用品商店购买一批篮球和足球，按标价若购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元．
(1)求篮球、足球每个分别是多少元？
(2)由于购买数量较多，商店决定给予一定的优惠，篮球每个优惠，足球每个优惠，若学校决定买两种球共40个，在购买资金不超过4500元时，则购买蓝球至多是多少个？
4.用1块A型钢板可恰好制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可恰好制成1块C型钢板和3块D型钢板．
(1)若需14块C型钢板和12块D型钢板，则恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？
(2)现准备购买A、B型钢板共50块，并全部加工成C、D型钢板，要求C型钢板不超过86块，D型钢板不超过90块，求A、B型钢板的购买方案共有多少种？
(3)在（2）的条件下，若出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元，则全部售出C、D型钢板可获得的最大利润为_______元．
【题型3 运输问题】
1.中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
2.在今年的新冠疫情期间，政府紧急组织一批物资送往武汉．现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱．
(1)求食品和矿泉水各有多少箱？
(2)现计划租用A、B两种货车共10辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知A种货车最多可装食品40箱和矿泉水10箱，B种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通过计算帮助政府设计几种运输方案？
(3)在（2）条件下，A种货车每辆需付运费600元，B种货车每辆需付运费450元，政府应该选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？
3.为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套
(1)求书籍和实验器材各有多少套？
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来
4.为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱：辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱．
(1)求辆重型卡车和辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？
(2)计划用两种类型的货车总共辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为元，每趟每辆轻型货车的费用为元．如果要求至少使用台重型货车，并且总费用不超过元，请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？
【题型4 水费电费问题】
1.为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过15立方米时，按基本价格x元/立方米进行收费；超过15立方米时，加价收费，超过的部分按y元/立方米收费.该市某户居民今年3、4、5月份的用水量和水费如下表所示：
月份 用水量(立方米) 水费(元)
3 16 50
4 20 70
5 m 不低于36元且不超过95元
（1）求x、y的值；
（2）求该居民5月份用水量m的范围.
2.为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数．
下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单．
户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元）
刘×× 1205 4 220 112
刘×× 1205 5 265 139
(1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度
(2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？
3.为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）.
阶梯 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度）
一档 0＜x≤180 a
二档 180＜x≤280 b
三档 x＞280 0.82
（1）已知小华家四月份用电200度，缴纳电费105元；五月份用电230度，缴纳电费122.1元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值；
（2）六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过208元，那么小华家六月份最多可用电多少度？
4.甲市居民生活用水收费按阶梯式水价计量：20立方米及以下，按基本水价计收，20﹣30立方米（包括30立方米）的部分，按基本水价的1.5倍计收，30立方米以上的部分，按基本水价的2倍计收．从2018年7月1日起，该市居民生活用水基本水价将进行调整，收费方式仍按原来阶梯式水价计量．小明读到有关新闻后立刻对他家两个月的水费进行计算，得到下表：
请根据以上信息，回答以下问题：
月份 用水量（立方米） 按调整前水价计费（元） 若按调整后水价计费（元0
2 16 45.6 52.8
3 22 65.55 75.9
（1）求本次基本水价调整提幅的百分率？（保留3个有效数字）
（2）小明家07年7月的水费是128.25元，该月用水量若按调整后水价计费需缴多少元？
（3）小明又上网查了有关资料发现：甲市取水点分散，引水管线合计350千米，而同类城市乙市只有一座水库供水，引水管线合计70千米．若两市每年每千米引水管线的运行成本都为150万元，乙市的现行基本水价为2.35元，甲市共有200万户家庭，乙市共有180万户家庭．若甲乙两市都按平均每户每月用水量为11.21立方米计算，请你确定出甲市的基本水价至少调整为多少时甲市自来水公司的年收入（全市居民总水费﹣引水管线运行成本）不低于乙市？（保留3个有效数字）
【题型5 行程问题】
1.甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍．
(1)求甲、乙两人行驶的速度；
(2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围；
(3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由．
2.2个小组计划在10天内生产1000个零件，并且每天的生产量相同，且生产的零件数为整数，按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产2个零件，就能提前完成任务，求每个小组原来平均每天生产多少个零件．
3.星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？
4.有a名居民在排队等候检查．检查开始后，仍有居民继续前来排队检查，设居民按m人/分钟的速度增加，每个窗口的检查速度为n人/分钟．若开放一个检查窗口，则需要25分钟将排队等候检查的居民全部检查完毕；若同时开放两个检查窗口，则需要10分钟将排队等候检查的居民全部检查完毕．
(1)若，求m和n的值；
(2)根据（1）的结果猜想m与n的数量关系，并说明理由；
(3)如果要在5分钟内将排队等候检查的居民全部检查完毕，以便后来的居民能随到随检，则至少要同时开放几个检查窗口？
【题型6 得分问题】
1.学校工会举行了一场趣味排球比赛，比赛为单循环制，即所有参赛选手彼此只比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得2分、负者扣1分，平局各得1分．赛后统计结果，发现所有参赛者的得分总和为32分，且平局数至少有5局，那么本次趣味排球赛共有参赛选手 人．
2.小亮和小颖共下了8盘围棋（没有平局），两人商定的规则为：小亮胜一盘记1分，小颖胜一盘记2分．下完第7盘后，小亮得分高于小颖；下完第8盘后，小颖得分高于小亮，小亮最终胜（ ）
A．2盘 B．3盘 C．4盘 D．5盘
3.一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况．
参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分
甲 17 3 79
乙 11 9 37
(1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？
(2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分．
(3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？
4.“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加．
(1)比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？
(2)比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？
【题型7 古文问题】
1.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
2.我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？”
(1)请你求出上述问题的解；
(2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求至少要为多少尺？
4.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？根据以上译文，回答以下问题：
(1)笼中鸡、兔各有多少只？
(2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过32只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？
【题型8 数字问题】
1.若一个自然数，其十位数字比个位数字大3，百位数字比十位数字大3，千位数字比百位数字大3，… ，这样的数，我们称为“大3数”． 例如：52，9630．写出一个两位数，要求既是奇数又是“大3数” ．将一个两位的“大3数”，再加上这个“大3数”各位数字之和的2倍，所得的结果能被4整除，求满足条件的两位“大3数”的和 ．
2.有一个两位数，其十位数字比个位数字大2，且这个两位数在50和70之间，则这个两位数是 ．
3.）2024年央视春晚上的扑克牌魔术不仅是一场视觉盛宴，还是数学文化的传播．受此启发，小丽设计了一个魔术：从代表数字1到9的扑克牌中，依次抽出两张牌，记下牌面上的数字．将第一个数乘7后加6，然后乘3，再加上第二个数，最后减去8，得到计算结果．根据计算结果，可以知道抽出两张牌的牌面数字．
(1)如果小明依次抽出两张牌的牌面数字是2和5，则计算结果是______；
(2)如果小明得到的计算结果是143，求小明抽出两张牌的牌面数字；
(3)如果小明得到的计算结果是106，小图思考片刻后，认为小明算错了．你赞成小图的观点吗？请说明理由．
4.一个正数N的各位数字不全相等，且都不为为0，现要将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数与最小数的差记为N的“差数”，此最大数与最小数的和记为N的“和数”，例如，245的“差数”为542-245=297，“和数”为：542+245=787，
一个四位数M，其中千位数字和百位数字为a，十位数字为1，个位数字为b（且a≥1，b≥1）若它的“和数”是6666，求M的“差数”．
【题型9 几何问题】
1.【项目式学习】
项目主题：数学智慧拼图
项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．
任务一：观察建模
如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ；
任务二：推理分析
第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；
任务三：设计方案
第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．
2.已知用于国际比赛的足球场的长在之间，宽在之间．一个长方形足球场的长为，宽为，如果它的周长大于，而面积小于，求的取值范围，并判断这个足球场是否可以用于国际比赛．
3.如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿运动，最终到达点D，若点Q运动时间为秒．
（1）当时， 平方厘米；当时， 平方厘米；
（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求的取值范围；
（3）若的面积为平方厘米，直接写出值．
4.如图所示的矩形包书纸中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．
（1）设课本的长为a cm，宽为b cm，厚为c cm，如果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去3cm，用含a，b，c的代数式，分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽；
（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典，你能用一张长为43cm，宽为26cm的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗．请说明理由．
【题型10 方案问题】
1.某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．若要做两种纸盒共100个．设做竖式纸盒个，完成下列问题：
(1)则需要做横式纸盒________个；（用含的式子表示）
(2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？
2.学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
3.大连某中学为参加2024年哈尔滨冰雪节的同学购买了若干暖手宝和暖脚宝，网店组合报价为：购买3组暖脚宝和2组暖手宝共需340元；购买2组暖脚宝和1组暖手宝共需210元．
(1)你能否算出每组暖手宝和暖脚宝的价格各是多少元？
(2)经老师和需求使用的同学沟通后计划最多拿出3200元购买暖手宝和暖脚宝共50组，由于需要暖手宝的同学不足30组，请你规划一下有哪几种购买方案？
4.为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示．
请解答下列问题：
日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元）
1月 成人头盔 60 7400
儿童头盔 55
2月 成人头盔 48 7520
儿童头盔 64
3月 成人头盔 7200
儿童头盔
(1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？
(2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？
(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润．
参考答案
【题型1 工程问题】
1.（1）解：设建成一套A种户型住房所需的资金是a万元，一套B种户型住房所需的资金是b万元，
根据题意得：，
解得：，
答：建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元；
（2）解：①设A种户型可以建x套，则B种户型可以建套，
根据题意得：，
解得：，
答：A种户型至少可以建100套，最多可以建300套．
2.（1）解：设甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元，依题意得：
，
解得：，
答：甲型路灯的单价是元，乙型路灯的单价是元；
（2）解：第三批次的资金为：
（元），
设第三批次最多能购进乙型路灯盏，则
，
解得：，
答：第三批次最多能购进乙型路灯盏．
3.解：（1）设每台甲型设备的价格为x万元，则每台乙型设备的价格为75%x万元，
依题意，得：3x+2×75%x=54，
解得：x=12，
∴75%x=9．
答：每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为9万元．
（2）设购买m台甲型设备，则购买（8-m）台乙型设备，
依题意，得：，
解得：≤m≤4．
∵m为整数，
∴m=1，2，3，4．
∴共有4种购买方案．方案1：购买1台甲型设备、7台乙型设备；方案2：购买2台甲型设备、6台乙型设备；方案3：购买3台甲型设备、5台乙型设备；方案4：购买4台甲型设备、4台乙型设备．
（3）∵1＜1．5，
∴购买甲型设备越多，各种维护费和电费总费用越低，
∴购买4台甲型设备、4台乙型设备时，各种维护费和电费总费用最低，最低费用为1×4+1．5×4=10（万元）．
4.（1）解：设该车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，
根据题意得：，
解得：．
答：该车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆；
（2）解：设再次购进载重量为吨的卡车辆，则再次购进载重量为吨的卡车辆，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多购进载重量为吨的卡车辆．
【题型2 销售利润问题】
1.（1）设A、B两种型号的空调的销售单价分别为x元、y元．
根据题意有：，
解得：，
答：A、B两种型号的空调的销售单价分别为2999元和8100元；
（2）设购买A种型号的空调a台，则购买B种型号的空调台，
根据题意有：，
解得：，
∵a为整数，
∴a的最小值为14，
∴的最大值为16
∴B种型号的空调最多能采购16台；
（3）根据题意有，
解得：．
∵，且为整数，
∴，16，17，18，19，
∴能实现利润超过16000元的目标，且方案如下：
方案一：购买A种型号的空调15台，购买B种型号的空调15台；
方案二：购买A种型号的空调16台，购买B种型号的空调14台；
方案三：购买A种型号的空调17台，购买B种型号的空调13台；
方案四：购买A种型号的空调18台，购买B种型号的空调12台．
2.（1）解：设特色中性笔售价为x元，则特色文化书签的售价为元，由题意可得，
，
解得：，，
答：每个特色文化书签的售价是元，每支特色中性笔的售价是元；
（2）解：设特色中性笔的数量为b支，则特色书签的数量为个，由题意可得，
，
解得：，
∴方案为：
① 购买特色中性笔支，特色书签个；
② 购买特色中性笔支，特色书签个；
③ 购买特色中性笔支，特色书签个；
④ 购买特色中性笔支，特色书签个；
⑤ 购买特色中性笔支，特色书签个；
（3）解：或或，理由如下，
由题意可得，
特色书签的数量为： = =100- a
∵，且是整数，
∴是3的倍数，
∴或或．
3.（1）解：设篮球、足球每个分别是x元，y元，
由题意得，，
解得，
∴篮球、足球每个分别是150元，100元；
（2）解：设购买篮球m个，则购买足球个，
由题意得，，
解得，
∴m的最大值为30，
∴购买篮球至多是30个．
4.（1）解：设恰好用A型钢板x块，B型钢板y块，
则：，
解得：，
答：恰好用A型钢板6快，B型钢板2块；
（2）解：设购买A型钢板a块，购买B型钢板块，
则：，
解得：，
∴a的整数解有：30，31，32，33，34，35，36共7个，
∴共有7种购买方案；
（3）解：当时，利润为：（元），
当时，利润为：（元），
当时，利润为：（元），
当时，利润为：（元），
当时，利润为：（元），
当时，利润为：（元），
当时，利润为：（元），
∵，
∴全部售出C、D型钢板可获得的最大利润为18800元，
故答案为：18800．
【题型3 运输问题】
1.（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，则
，
解得．
即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；
（2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车（）辆，由题意可得，
解得：
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆；
第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆；
第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆．
元；
元；
元；
∵
∴大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元．
2.（1）设食品有x箱，矿泉水有y箱，
依题意，得：，
解得：．
答：食品有260箱，矿泉水有150箱．
（2）解：设租用A种货车m辆，则租用B种货车辆，
依题意，得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为3，4，5，
∴共有3种运输方案，方案1：租用A种货车3辆，B种货车7辆；方案2：租用A种货车4辆，B种货车6辆；方案3：租用A种货车5辆，B种货车5辆．
（3）解：根据题意，得 选择方案1所需运费为（元），
选择方案2所需运费为（元），
选择方案3所需运费为元）．
∵，
∴政府应该选择方案1，才能使运费最少．
3.（1）解：设书籍和实验器材各有x套，y套，
由题意得，，
解得，
答：书籍和实验器材各有240套，120套；
（2）解：设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车辆，
由题意得，，
解得，
∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
4.（1）
设辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料，
根据题意得：，
解得： ，
答：辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料；
（2）设使用台重型货车，则使用台轻型货车，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴可以为，，，
∴共有种配送方案，
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
选择方案所需费用为（元）；
选择方案所需费用为（元）；
选择方案所需费用为（元）；
∵，
∴使用辆重型货车，台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是元．
【题型4 水费电费问题】
1.解：（1）设基本水费价格为：x元/立方米，超过的部分的水费价格为：y元/立方米，
根据题意得，
，
解这个方程组得，
答：该市居民用水的基本价格为3元/立方米，超过15立方米部分的价格为5元/立方米.
（2）根据题意得，
解之得，
∴该居民5月份用水量m的范围是
2.（1）解：设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度，
依题意得：，
解得：．
答：该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元度，第二阶梯电费单价为0.6元度．
（2）解：设刘先生6月份用电量为度，
依题意得：，
解得：．
答：他家最大用电量为300度．
3.（1）由题意得：，解得：，
答：a的值是0.52，b的值是0.57；
（2）因为当小华家用电量x=280时，
180×0.52+（280﹣180）×0.57=150.6＜208，
所以小华家用电量超过280度.
设小华家六月份用电量为m度，根据题意得：
0.52×180+（280﹣180）×0.57+（m﹣280）×0.82≤208，
解得：m≤350 答：小华家六月份最多可用电350度.
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用.根据四月份和五月份交的电费各列一个方程，组成方程组求解；先根据用电量280度，求出小华家的用电量缴费的档次，然后列不等式求解.
4.解：（1）调整前基本水价为：45.6÷16＝2.85（元）；
调整后基本水价为：52.8÷16＝3.3（元）；
∴本次水价调整提幅为：×100%≈15.8%；
（2）∵2.85×20+2.85×1.5×10＝99.75＜128.25，
∴用水量超过30m3，
设小明家09年7月的用水量为x立方米．
2.85×20+2.85×10×1.5+（x﹣30）×2.85×2＝128.25，
解得：x＝35，
∴新付费为：3.3×20+3.3×10×1.5+（35﹣30）×3.3×2＝148.5（元）；
（3）设基本水价为y元/立方米，则
11.21×12×y×200﹣350×150≥11.21×12×2.35×180﹣70×150，
解得y≥3.68，
答：甲市的基本水价至少调整为3.68元/立方米时，甲市自来水公司的年收入不低于乙市．
【题型5 行程问题】
1.（1）解：由题意，知甲从A地到B地用了2小时，行程是40千米，
∴甲行驶的速度是（千米/时）．
∵乙的速度是甲的3倍，
∴乙行驶的速度是（千米/时）．
答：甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时．
（2）由题意，得，
解之，得．
答：所求的取值范围是．
（3）∵，
∴由（2）可知，当时，在甲从B地到C地的行驶过程中，乙与甲第一次相遇．
若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，
则，即，此不等式组无解．
若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，
则有，
解之，得．
答：当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是．
2.解：设每个小组原来平均每天生产x个零件，
根据题意，得，
解得．
∵x是整数，
∴．
答：每个小组原来平均每天生产49个零件．
3.解：设小明爸爸的速度为，依题意有：
，
解得．
故小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明．
4.（1）解：若，
由题意得：
解得：；
（2）解：，理由如下：
由题意得：
由得：；
（3）解：设开放x个窗口，
由题意得：，
由（2）可得，
∴，
∵，
∴解得：
∴至少要同时开放4个检查窗口．
【题型6 得分问题】
1.7或8
【分析】由比赛的规则可知每场比赛会有两种结果，一种结果一胜一负，一种结果两个平局，设所有参赛者共胜了x局，平局y局，则共负了x局，共赛了场，根据所有参赛者的得分总和为32分，即可得出x+y=32，进而可得出=32-，结合x为非负整数且y≥5，y为偶数，即可得出16≤≤29，设本次趣味排球赛共有参赛选手m人，则共赛了m（m-1）场，进而可得出32≤m（m-1）≤58，结合m为正整数即可得出m的值．
【详解】解：设所有参赛者共胜了x局，平局y局，则共负了x局，共赛了场，
依题意，得：2x+y-x=32，
∴x+y=32，
∴=32-．
又∵y≥5且y为偶数，x为非负整数，
∴16≤≤29．
设本次趣味排球赛共有参赛选手m人，则共赛了m（m-1）场，
∴16≤m（m-1）≤29，
∴32≤m（m-1）≤58．
又∵m为正整数，
∴m可以为7或8．
故答案为：7或8．
2.D
【分析】本题考查的是一元一次不等式的运用，
设小亮赢了x盘，然后列出一元一次不等式组，化简后得出x的取值范围，找出取值范围中的整数即可得出本题的答案．
【详解】解：设小亮最终胜了x盘．
根据题意得，
解得．
∵x为正整数
∴
答：小亮最终胜5盘．
故选：D．
3.（1）解：由题意，得：，
解得：，
故对1题得5分，答错或不答1题扣2分，
，
答：小亮的得分是72分；
（2）设参赛学生要答对道题，由题意，得：
，
解得：，
∴参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分；
（3）设小王答对了道题，由题意，得：
，
解得：，
∵为整数，
∴，
答：小王答对了17道题．
4.（1）解：设该班级胜了x场，负了y场．
根据题意，得解得．
答：该班级胜了6场，负了8场．
（2）解：设该班级在这场比赛中全部选对的有道，则选对但选不全的有道．
根据题意可列出不等式组解得：．
根据题意知全部选对的题越多，得分越多．
当时，多选题得分最多，为（分）．
答：该班级在这场比赛中多选题最多能得44分．
【题型7 古文问题】
1.（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
依题意得：，
解得：．
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
（2）解：设购买头牛，则购买只羊，
依题意得：，
解得：．
为整数，
∴，8，9，10
有4种方案：①购买7头牛，购买13只羊；②购买8头牛，购买12只羊；③购买9头牛，购买11只羊；④购买10头牛，购买10只羊．
2.C
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一方面学生了解了古代的数学知识，另一方面也考察了学生的思维能力．根据题意，类比我们现在的十进制满十进一，各个数位上的和不小于46，列不等式求解即可．
【详解】解：设在第2根绳子上的打结数至少是个．
根据题意可知，从右到左的数分别为3，，，所以有
解得：
因为打结数为整数，所以最少为4个．
故选：C
3.（1）解：设绳长尺，井深尺，
根据题意，得： 解得：，
答：绳长48尺，井深11尺；
（2）解：因为要求的是的最小值，
所以可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口（若已爬出井口，则的值会更大）．
把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为尺，因而，离井口的距离为尺，
根据题意，得： ，
解得：≥．
答：的最小值为尺．
4.（1）解：（1）设笼中鸡有x只，兔有y只，
依题意得：，
解得：.
答：笼中鸡有23只，兔有12只；
（2）设笼中鸡有只，则兔有只，
依题意得：，
解得：13≤≤17.
∵为整数
∴=13、14、15、16、17
①当=13时，
这笼鸡兔共值80×13+60×17=2060（元）
②当=14时，
此种情况不符合题意
③当=15时，
这笼鸡兔共值80×15+60×16=2160（元）
④当=16时，
此种情况不符合题意
⑤当=17时，
这笼鸡兔共值80×17+60×15=2260（元）
综上所述，当=13，=15，=17，符合实际意义
答：这笼鸡兔最多值2260元，最少值2060元.
【题型8 数字问题】
1. 41或63或85 104
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和一元一次方程的应用．设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是，根据，
得到，结合是奇数，确定，计算即可；设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是，根据题意，，根据所得的结果能被4整除，分类计算即可．
【详解】设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是，
根据题意，得，
∴，
∵是奇数，
∴，
∴既是奇数又是“大3数”的两位数有41或63或85；
故答案为：41或63或85．
设两位的“大3数”的个位数字是x，则十位数字是，
根据题意，得，
∵所得的结果能被4整除，
∴是整数即可，且，
故或，
∴所有“大3数”是30或74，
∴，
故答案为：．
2.53或64
【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为：x+2， 可得50＜10(x+2)+x＜70，再解不等式组可得答案．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为：x+2，
由题意得，50＜10(x+2)+x＜70，
∴ 50＜11x+20＜70，
∴ 30＜11x＜50，
∴ ＜x＜，
∵x为非负整数，
∴x=3或x=4，
∴这个两位数为：53或64．
故答案为：53或64．
3.（1）解：根据题意得：；
（2）解：设小明抽出两张牌的牌面数字依次为x，y，，根据题意得：
，
整理得：，
∴，
∴，
解得：，
∵x取正整数，
∴，
∴，
∴小明抽出两张牌的牌面数字为6，7．
（3）解：赞成；理由如下：
设小明抽出两张牌的牌面数字依次为x，y，，根据题意得：
，
整理得：，
∴，
∴，
解得：，
∵x取正整数，
∴没有适合x的值，
∴小明得到的计算结果不可能是106．
4.①当a>b时，最大数千位数字和百位数字为a，十位数字为b，个位数字为1，
即最大数是，
最小数千位数字为1，百位数字为b，十位数字和个位数字为a，
即最小数是．
∵M的“和数”是6666，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
将代入解得，
所以这个数是5511，最大数是5511，最小数是1155，所以M的“差数”是：5511-1155=4356．
②当a=b时，最大数千位数字、百位数字和十位数字为a，个位数字为1，此时
即最大数是，
最小数千位数字为1，百位数字、十位数字和个位数字为a，
即最小数是．
∵M的“和数”是6666，
∴，
∴（不是整数舍去），
即此时无解．
③当a即最大数是，
最小数千位数字为1，百位数字和十位数字为a，个位数字为b，
即最小数是．
∵M的“和数”是6666，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
将代入解得(不是整数，舍去)，
将代入解得，
∴这个数是3315，最大数是5331，最小数是1335，所以M的“差数”是：5331-1335=3996．
综上所述，M的“差数”为4356或3996．
【题型9 几何问题】
1.解：任务一：
由①得：，
把代入②，得：，
原方程组的解是；
任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得：
，
解得：，
则图2中阴影部分的面积；
任务三：由题意得：，
解得：，
且a、b、c均为正整数，
，
解得：，
或2，
当时，，，
分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：，
故此时不能放置；
当时，，，
分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：，
故此时能放置，放置方式如下图：
2.解：长方形足球场的长为，根据题意，得
，
解这个不等式组，得，
已知用于国际比赛的足球场的长在之间，而这个足球场的长在之间，宽符合标准，因此这个足球场可以用于国际足球比赛．
3.（1）当时， =1平方厘米；
当时， =平方厘米；
故答案为；；
（2）解：根据题意，得
解得，
故的取值范围为；
（3）当Q点在AB上时，依题意可得
解得；
当Q点在BC上时，依题意可得
解得＞6，不符合题意；
当Q点在AB上时，依题意可得或
解得或；
∴值为．
4.解：（1）矩形包书纸的长为：（2b+c+6）cm，矩形包书纸的宽为：（a+6）cm．
（2）设折叠进去的宽度为xcm．
分两种情况：
①字典的长与矩形纸的宽方向一致时，根据题意，得
，
解得x≤2.5．
所以不能包好这本字典．
②当字典的长与矩形纸的长方向一致时．
根据题意，得
解得x≤-6．
所以不能包好这本字典．
综上，所给矩形纸不能包好这本字典．
【题型10 方案问题】
1.（1）解：设做竖式纸盒个，则需要做横式纸盒个，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
解得：，
为正整数，
可取36、37、38，
三种生产方案：①生产36个竖式纸盒，64个横式纸盒；②生产37个竖式纸盒，63个横式纸盒；③生产38个竖式纸盒，62个横式纸盒．
2.（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，
由题意得：，
解得：，
经检验得出：是原方程的根．
则，
答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元．
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，
根据题意得：，
解得：，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴共有3种方案．
3.（1）解：设购买暖脚宝每组需x元，购买暖手宝每组需y元，由题意得：
，
解得：，
答：购买暖脚宝每组需80元，购买暖手宝每组需50元；
（2）解：设购买暖脚宝m组，则购买暖手宝组，由题意得：
，
解得：，
∴，
∵m为整数，
∴m为21或22或23，
∴共有3种购买方案，①购买暖脚宝21组，暖手宝29组；②购买暖脚宝22组，暖手宝28组；③购买暖脚宝23组，暖手宝27组．
4.（1）解：设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元；
（2）解；设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个，
∵该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，
∴
解得，
∵是非负整数，
∴m必须是5的倍数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
答：该商店3月份有8种销售方案；
（3）解：由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元，
∴儿童头盔最多时，利润最多，
∴该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元．

展开更多......

收起↑