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2.6 一元一次不等式组
【题型1 一元一次不等式组的定义】
1.下列是一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
2.如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
3.是不小于的负数，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4.有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质：
甲：它的所有的解为非负数；
乙：其中一个不等式的解集为；
丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向．
请试着写出符合上述条件的一个不等式组 ．
【题型2 求不等式组的解集】
1.计算下列不等式：
2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3.若，，且，则a的取值范围是 ．
4.已知的解集是，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 求一元一次不等式组的整数解】
1.阅读下列计算过程，回答问题：
解不等式组并写出其中的正整数解．
解：解不等式①，得． 第一步
解不等式②，得． 第二步
∴不等式组的解集为． 第三步
∴不等式组的正整数解是2和3． 第四步
(1)以上过程中是从第________步开始出错的；
(2)写出这个不等式组的正确解答过程．
2.不等式组的最大整数解为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．-2
3.若有理数满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和为 ．
4.解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出所有的负整数解．
【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】
1.已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
3.若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为 ．
4.不等式组的解集中任何x的值均在2≤≤5的范围内，则a的取值范围是（ ）
A．≥2 B．2≤≤4 C．≤4 D．≥2且≠4
【题型5 由一元一次不等式组的整数解求参数取值范围】
1.已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
2.若关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的和为，则满足条件的整数m的和为 ．
3.已知关于x的不等式组 ．
（1）若，则该不等式组的最大整数解为 ；
（2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是 ．
4.若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 由一元一次不等式组的有解无解情况求参数取值范围】
1.关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
3.已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 ．
4.若不等式组无解，则正整数的值为 ．
【题型7 方程与一元一次不等式组则综合运用】
1.已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数．
(1)求的取值范围；
(2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？
2.已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ．
3.已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ．
4.若，且，，设，则m的取值范围为 ．
【题型8 根据程序框图列不等式组求参数的取值范围】
1.某按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值X”到“结果是否”为一次操作．如果操作进行4次才能得到输出值，则输入值x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.对于一个实数x，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于89？”为一次操作，如果只进行一次就停止，则x的取值范围是 ．
3.如下图所示，运行程序从“输入整数x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了2次就停止，则x的值是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．11
4.如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 ．

【题型9 与不等式组有关的新定义问题】
1.阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
(1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①，
②，
③；
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围；
(3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围．
2.定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集．
(1)若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填A或B）；
(2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________；
(3)已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________．
(4)已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________．
3.定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ．
4.定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号）
【题型10 解特殊不等式组】
1.已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ．
3.设，是正整数，且满足，，则 ．
4.已知，则的取值范围是 ．
参考答案
【题型1 一元一次不等式组的定义】
1.B
【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：是一元一次不等式组．
故选：B．
2.D
【分析】本题考查了不等式的定义．根据气温为，可得的范围是．
【详解】解：图中温度为：，则，
故选：D．
3.D
【详解】【分析】直接用不等式表示题意,即可.
【详解】是不小于的负数，则可表示为.
故选D
4.（答案不唯一）
【分析】由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中x的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可．
【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数，
∴其中一个不等式的解集必为，
∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，
∴其中一个不等式中x的系数为负数，
∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【题型2 求不等式组的解集】
1.去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
2.B
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【详解】
解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＞2，在数轴上表示为：
则不等式组的为空集．
故选B．
3.
【分析】本题考查了如何求一元一次不等式组的解集．求解规律是：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解．把，用含的代数式表示，列出不等式组，再解出的取值范围．
【详解】解：由题意可得：，
解得：；
解得：；
的取值范围，
故答案为：．
4.D
【分析】本题主要考查了不等式组与方程组综合．熟练掌握解不等式组，不等式组解集定义，解方程组，是解决问题的关键．
根据的解集是，求出a，b的值，把a的值代入，解不等式，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵的解集是，
∴，
∴，
解得，，
∴，
解得，．
故选：D．
【题型3 求一元一次不等式组的整数解】
1.（1）解：从第一步开始出错的；
故答案为：一；
（2）解：解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴不等式组的解集为．
∴不等式组的正整数解是1和2．
2.B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得最大整数解．
【详解】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
∴最大整数解为，
故选：B．
3.或
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴不等式组的整数解有：，，，，或，，，
∴或．
故答案为：或．
4.解：
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
数轴表示如下

∴x的所有负整数解为
【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】
1.D
【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案．
【详解】解： ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故选：D
2.
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是，
．
故答案为：．
3.或2
【分析】由不等式组的解集中的整数和为-5，可确定整数解为：或，即可得出整数的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵不等式组的解集中的整数和为-5，
∴或，
∴或，
则整数的值为：或，
故答案为：或．
4.B
【分析】由x-a≥0，得x≥a；由x-a≤1，得x≤a+1．再根据“小大大小中间找”可知不等式组的解集为： a≤x≤a+1；然后根据x的值均在2≤x≤5的范围内，可得出a的取值范围．
【详解】试题解析：，
由①得：x≥a，
由②得：x≤1+a，
∴不等式的解集是a≤x≤1+a，
∵不等式组的解集中x的值均在2≤x≤5的范围内，
∴
解得：2≤≤4．
所以a的取值范围是：2≤≤4．
故选B．
【题型5 由一元一次不等式组的整数解求参数取值范围】
1.D
【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案．
【详解】解：解方程组得：，
∵方程组的解为整数，
∴、、，
解得：或0或1或或3或，
解不等式组，得：，
∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：，
∴，
解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4，
综上所述：满足条件的整数a的值是1、3，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故选：D．
2.27
【分析】依据题意，解出不等式组的解集，然后再由最大整数解与最小整数解的和为，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意，，
由①得，；由②得，．
原不等式组的解集为．
这个不等式组的最大整数解为2．
又最大整数解与最小整数解的和为，
这个不等式组的最小整数解为．
．
．
满足题意的整数有13，14．
满足题意的整数的和为27．
故答案为：27．
3. 1 或
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题；
（1）根据，再确定最大整数解即可．
（2）根据题意可得不等式组的解集为，再由该不等式组的所有整数解的和为，即可求解．
【详解】解：（1）当时，不等式组为，
∴，
∵不等式组的最大整数解为，
故答案为：1；
（2）∵，
∴，
∵该不等式组的所有整数解的和为，
而或；
∴或，
故答案为：或．
4.C
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、一元一次方程的解．
先出分式方程的解，由分式方程有非负数解确定出a的值，求出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的值即可．
【详解】解：解方程，得
∵关于x的方程有非负数解，
∴，
∴；
解不等式组，得，
∵不等式组有解且恰好有两个偶数解，
∴该偶数解为，0；
∴，可得，
∴，
则满足题意a的值有，
则符合条件的所有整数a的和是．
故选：C
【题型6 由一元一次不等式组的有解无解情况求参数取值范围】
1.D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据其解都是不等式的解，得出关于a的不等式组，从而求解．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组有解
∴，解得，不等式组的解集为，
∵不等式组的解都是不等式的解，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2.C
【分析】根据不等式组无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组的解集．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴a＞b，
∴-a＜-b，
∴3-a＜3-b，
∴不等式组的解集是．
故选：C
3.
【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解的情况求参数，正确求出每一个不等式的解集并能正确表示不等式组的解集是解题关键．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据不等式组有解即可得出的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于x的不等式组有解，
，
解得：．
故答案为：．
4.或
【分析】本题考查了根据一元一次不等式组无解求参数，先把每个不等式的解集求出来，再根据不等式组无解求出的取值范围，进而求出的正整数值，理解不等式组无解即组成不等式组的两个不等式的解集无公共部分是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
不等式组无解，
∴，
∴正整数的值为或．
【题型7 方程与一元一次不等式组则综合运用】
1.（1）解：解方程组，得，
根据题意，得，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
而的解为知：，
解得.
结合（1）得，的取值范围是，
不等式的解为时，可以取整数值和0.
2.
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
∴，
∵，
∴，
∴a的取值范围是.
故答案为：.
3.
【分析】设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解．
【详解】解：由①与②进行如下运算：
①×3+②得到：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴，
∵，，
∴，
故，
∵x只能取两个整数，
故令整数的值为n，n+1，
则，，
故，
∴，且，
∴，
∴，
∴
∴
4.
【分析】先求出，再由，求出，求出，进而求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型8 根据程序框图列不等式组求参数的取值范围】
1.C
【分析】根据运算程序，列出算式：3x-1，由于运行了四次，所以将每次运算的结果再代入算式，然后再解不等式即可．
【详解】前四次操作的结果分别为
3x-1；
3（3x-1）-1=9x-4；
3（9x-4）-1=27x-13；
3（27x-13）-1=81x-40；
∵操作进行4次才能得到输出值，
∴，
解得：5≤x＜14．
故选：C
2.
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意得，，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
3.B
【分析】本题考查流程图与不等式，根据流程图列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
∴x的值可能是6；
故选：B．
4.
【分析】根据第二次运算结果不大于35，且第三次运算结果要大于35，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
【题型9 与不等式组有关的新定义问题】
1.（1）解：3x-5=4，
解得：x=3，
当x=3时，
①，
解得：，故①不符合题意；
②，
解得：x≤3，故②符合题意；
③，
解得，
故不等式组的解集是：，故③符合题意；
故答案为：②③；
（2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”
∴，
解得，
∴，
解得；
（3）解：∵当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，
∴，
解得，
由解得．
当时，
∴，
即.
∵方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，
∴，
∴．
∵满足条件的整数n有且只有一个，
∴
∴
解得
∴，
，
∴此时n恰好有一个整数解-2，
∴，
∴．
2.（1）解：A：的解集为，B：的解集为，M：的解集为，
∴不等式组A是不等式组M的子集，不等式组B不是不等式组M的子集，
故答案为：A；
（2）解：不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中，
∵A：，B：，C：满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）解：解不等式组M：得：，
∵不等式组M有解，
∴，
∵N：是不等式组的“子集”，
∴，，
∴，
故答案为：．
3.
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，结合题意得出，求出的值即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，
∴，
解得：，
∴不等式组的解集为：，
∴该不等式组的整数解为：、、、，
∴该不等式组的整数解之和为，
故答案为：．
4.①②③
【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，解一元一次不等式组的应用．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．当时，，可判断①的正误；设，则，，，可得，可判断②的正误；由题意知，的整数部分为，则小数部分为， 由，可求，可判断③的正误；由，可得，的整数部分为，则小数部分为，且，可求，然后分情况求解，进而可判断④的正误．
【详解】解：当时，，①正确，故符合要求；
设，则，
∴，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
由题意知，的整数部分为，则小数部分为，
∴，
解得，，③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴的整数部分为，则小数部分为，且，
解得，，
当时，，
∴，
解得，；
当时，，
∴，
解得，；
当时，，
∴，
解得，；
综上所述，或或是的解，④错误，故不符合要求；
故答案为：①②③．
【题型10 解特殊不等式组】
1.A
【分析】把当作常数解方程组，再代入，根据、、都为正数，求出的取值范围，从而求解．
【详解】解：，，
，，
，
、、都为正数，
∴，
，
，
．
故选：A．
2.
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：．
3.
【分析】本题可先根据两个不等式解出，的取值范围，根据，是正整数得出，的可能取值，然后将，的值代入中计算即可．
【详解】解：∵，，是正整数，
∴，
∴0.9b+b又∵，
∴，，
，，
∴，
∵，是正整数，
∴或，
①当时，由，得：，这样的正整数不存在，
②当时，由，得：，
∴，
∴．
故答案为：．
4.
【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，且，，
∵，
∴，即，
解得：，
将代入，得，即，
解得，
的取值范围为：．
故答案为：．

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