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(共41张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.3 实际问题与二元一次方程组
课时3 行程问题、销售问题与方案问题
目
录
1. 学习目标
3. 知识点1 列方程组解决行程问题
6. 课堂小结
7. 当堂小练
CONTENTS
4. 知识点2 列方程组解决销售问题
9. 拓展与延伸
8. 对接中考
2. 知识回顾
5. 知识点3 列方程组解决方案问题
1. 能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决稍复杂的实际问题.
2. 学会利用二元一次方程组解决行程问题、销售问题与方案问题.
3. 通过探究实际问题，进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型，发展模型观念.
学习目标
知识回顾
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的__________；
(2)设元：用______表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
新课讲解
知识点1 列方程组解决行程问题
【探究】小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.
平路：60 m/min
下坡路：80 m/min
上坡路：40 m/min
走平路的时间+走下坡路的时间=_____，
走上坡路的时间+走平路的时间= ____ ．
路程=平均速度×时间
10
15
新课讲解
方法一（直接设元法）
平路时间 坡路时间 总时间
上学
放学
解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
答：小明家到学校的距离为700m.
新课讲解
方法二（间接设元法）
平路 距离 坡路距离
上学
放学
解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
答：小明家到学校的距离为700m.
故平路距离：60×（10-5）=300（m）
坡路距离：80×5=400（m）
新课讲解
例
1. 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇.试问两人的速度各是多少？
分析：1.同时出发，同向而行.
甲出发点
乙出发点
4 km
甲追上乙
乙 2 h 行程
甲 2 h 行程
甲 2 h 行程=4 km+乙 2 h 行程
2.同时出发，相向而行.
甲出发点
乙出发点
4 km
相遇地
甲 0.5 h 行程
乙 0.5 h 行程
甲 0.5 h 行程+乙 0.5 h 行程=4km
解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h.
新课讲解
例
2. 某中学新建的塑胶操场跑道的一圈长为 400 m. 甲、乙两名运动员若从同一起点同时出发，相背而跑，则40 s 后首次相遇；若从同一起点同时出发，同向而跑，则 200 s 后甲首次追上乙 . 求甲、乙两名运动员的速度 .
新课讲解
路程、速度、时间三者中，若其中一个为已知数，另一个设为未知数，则用第三个的等量关系来列方程.如本题中，时间为已知数，速度设为未知数，则利用路程之间的等量关系来列方程.
技巧点拨
相遇及追及问题中常用的等量关系
基本关系：路程=速度×时间.
相向相遇问题：两者的路程和=初始时两者间的距离.
同向追及问题：两者的路程差=初始时两者间的距离.
新课讲解
练一练
1. 小魏和小梁从 A， B 两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行 . 出发 2 h 两人相遇，相遇时小魏比小梁多行 24 km，相遇后 0.5 h 小魏到达 B 地，求两人的速度分别是多少 .
方法提示：根据相遇前和相遇后路程之间的关系列方程组求解 .
解：设小魏的速度为 x km/h，小梁的速度为 y km/h.
根据题意，得解得
答：小魏的速度为 16 km/h，小梁的速度为 4 km/h.
新课讲解
练一练
2. 我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9小时就能到达南京；返回时则用多了1小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时.
即
解得
答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时.
新课讲解
知识点2 列方程组解决销售问题
解：设该商品每件的定价为元，进价为 元，
根据题意得
解得
答：该商品每件的进价是155元，定价是200元.
3. 某商场按定价销售某种商品时，每件可获利 45 元；按定价的 8.5 折销售该商品 8 件与将定价降低 35 元销售该商品 12 件所获利润相等.求该商品每件的进价和定价分别是多少元.
例
新课讲解
例
4. 某超市有线下和线上两种销售方式， 去年计划实现总销售利润 200 万元，经过努力，实际总销售利润为 225万元，其中线下销售利润比原计划增长 5%，线上销售利润比原计划增长 15%，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？
新课讲解
常用的与销售相关的公式
利润 = 售价 - 进价
利润率 = ×100%= ×100%
进价 = 售价 ÷(1+ 利润率)
归纳
新课讲解
练一练
1. 李三水果店在批发市场用2220元购进甲、乙两种水果共100千克进行零售．已知甲种水果购进价为15元/千克，零售价为20元/千克，乙种水果购进价为24元/千克，零售价为33元/千克．该水果店销售这两种水果获得的毛利润是多少元？(毛利润销售金额进货金额)
解：设该水果店购进 x 千克甲种水果，y 千克乙种水果，
依题意，得
解这个方程组，得
所以 20x+33y-2 220=20×20+33×80-2 220=820.
答：该水果店销售这两种水果获得的毛利润是 820 元.
新课讲解
练一练
2. 2024 年 4 月 13 日，第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物
“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢 . 某商家购进一批吉祥物，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多 20 元，并且购买 4 个“元元”的价格是购买 3 个“宵宵”价格的 2 倍 . 商家购进每个“元元”和“宵宵” 的进价分别是多少元？
解题秘方：“元元”的进价 –“宵宵”的进价 =20 元； “元元”的进价 × 4=“宵宵”的进价 × 3× 2.
解： 设商家购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是 x 元，y 元，
由题意得解得
答：商家购进每个“元元”和每个“宵宵”的进价分别是60 元，40 元 .
新课讲解
知识点3 列方程组解决方案问题
例
5. 某商场计划用40 000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求.已知该厂家生产三种型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1 200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元.
(1)若全部资金只用来购进其中两种型号的手机，共40部，则商场共有哪几种进货方案？
分三种
情况考虑
购进乙、丙两种型号的手机
由购进手机的总数量和总费用列方程组
求解
购进甲、乙两种型号的手机
购进甲、丙两种型号的手机
新课讲解
解：(1)①若购进甲、乙两种型号的手机，
设购进甲型号手机x1部，乙型号手机y1部.
根据题意，得 解得
甲型号 乙型号 丙型号
1 200 400 800
②若购进甲、丙两种型号的手机，
设购进甲型号手机x2部，丙型号手机y2部.
根据题意，得 解得
③若购进乙、丙两种型号的手机，
设购进乙型号手机x3部，丙型号手机y3部.
根据题意，得 解得
因为x3表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况应舍去.
综上所述，商场共有两种进货方案.
方案一：购进甲型号手机30部，
乙型号手机10部.
方案二：购进甲型号手机20部，
丙型号手机20部.
新课讲解
5. (2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，在(1)的条件下，为使销售时获利最大，商场应选择哪种进货方案？
(2)方案一获利：120×30+80×10=4 400（元）.
方案二获利：120×20+120×20=4 800（元）.
所以方案二获利较多，所以商场应购进甲型号手机20部，丙型号手机20部.
综上所述，商场共有两种进货方案.
方案一：购进甲型号手机30部，乙型号手机10部.
方案二：购进甲型号手机20部，丙型号手机20部.
例
新课讲解
求解方案设计问题的思路
利用分类讨论思想列举出所有可能的方案，分情况讨论、求解，再根据题目要求确定最终方案.
方法总结
新课讲解
例
6. 根据以下素材，尝试解决问题：
购买洗手液
素材一 某卫生院实践“改善就医环境，提高服务质量”，在公共场所配置洗手液：计划第一批花 5 000 元用于购买规格分别为 300 mL 和 500 mL 的甲、乙两种洗手液 .
素材二 购买 2 瓶甲种洗手液和 1 瓶乙种洗手液需要 55 元，购买 3 瓶甲种洗手液和 4 瓶乙种洗手液需要 145 元 .
素材三 该卫生院第二批计划购买时，购买大瓶洗手液进行分装 . 已知购买 9.6 L 的大瓶洗手液，每瓶 350 元，免费赠送规格为 300 mL，500 mL 的空瓶，但赠送的空瓶总容积不超过 9.6 L.
解决问题
任务一 计算单价 甲、乙两种洗手液的单价各为多少元？
任务二 确定使用天数 若该卫生院的公共场所平均每天约有 1 000人使用洗手液，每人每天使用洗手液的量为 5 mL；试求出该卫生院第一批购买的洗手液使用的天数；
任务三 选择购买方案 已知分装洗手液时，每小瓶平均损耗 20 mL；在分装时每瓶均装满、总损耗最小的情况下，选择购买 9.6 L 的大瓶洗手液进行分装是否能省钱？若能省钱，试求出它与直接购买甲、乙两种洗手液的差额；若不能省钱，请说明理由 .
新课讲解
解：任务一：设甲种洗手液的单价为 x 元，乙种洗手液的单价为 y 元，
则解得
答：甲种洗手液的单价为 15元，乙种洗手液的单价为 25元.
任务二：设第一批购买甲种洗手液 a 瓶，乙种洗手液 b 瓶，依题意，得 15a+25b=5 000，
∴= = =20.
答：第一批购买的洗手液使用的天数为 20 天 .
任务三：能省钱 .9.6 L=9 600 mL. 设分装甲种（300 mL）
洗手液 m 瓶，乙种（500 mL）洗手液 n 瓶，依题意，得 300m+500n+20（m+n） =9 600，
∴ m=30- n. ∵ m， n 均为正整数， ∴或
∵ 17+8 ＞ 4+16，∴ 当时，每瓶均装满、总损耗最小 .
购买 4 瓶甲种洗手液和 16 瓶乙种洗手液需 4× 15+16×25=460（元），
460 元＞ 350 元，460-350=110（元） .
答：选择购买 9.6 L 的大瓶洗手液能省钱，差额为 110 元 .
新课讲解
练一练
1.小丽购买学习用品的收据如下表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：
商品名 单价/元 数量/个 金额/元
签字笔 3 2 6
自动铅笔 1.5
记号笔 4
软皮笔记本 2 9
圆规 3.5 1 3.5
合计 8 28
(1)小丽购买自动铅笔、记号笔各几支？
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费 15 元，则有哪几种不同的购买方案？
解：(1)设小丽购买自动铅笔 x 支、记号笔 y 支.根据题意，
得
解这个方程组，得
答：小丽购买自动铅笔 1 支、记号笔 2 支.
∴ 或 或
∴ 共有三种方案.
方案一：1 本软皮笔记本与 7 支自动铅笔.
方案二：2 本软皮笔记本与 4 支自动铅笔.
方案三：3 本软皮笔记本与 1 支自动铅笔.
(2)设小丽购买软皮笔记本 m 本、自动铅笔 n 支.
根据题意，得 .
∵ m，n 为正整数，
新课讲解
练一练
2. 亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作·某大学计划组织本校全体志愿者共480人统一乘车去会场.学校向租车公司租赁A,B两种车型接送志愿者往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没座位.
(1)求A，B两种车型各有多少个座位.
解：(1)设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位.
依题意，得
答：每辆A型车有45个座位，每辆B型车有60个座位.
解得
新课讲解
练一练
2. 亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作·某大学计划组织本校全体志愿者共480人统一乘车去会场.学校向租车公司租赁A,B两种车型接送志愿者往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没座位.
(2)若A型车日租金为350元，B型车日租金为400元，租车公司最多能提供7辆B型车，应怎样租车能使座位恰好坐满且租金最少，并求出最少租金.
解：(2)设租m辆A型车，n辆B型车，依题意，得45m+60n=480，解得n=8-m.
∵m，n为正整数，且n≤7，∴(舍去)
∴有两种租车方案，
方案1：租4辆A型车、5辆B型车. 所需费用为350×4+400×5=3 400(元) .
方案2：租8辆A型车、2辆B型车. 所需费用为350×8+400×2=3 600(元).
∵3 400<3 600, ∴租4辆A型车、5辆B型车所需租金最少，最少租金为3 400元.
课堂小结
行程问题
路程(s)= 速度(v)× 时间(t).
(1)相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总距离 .
(2)追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程 + 两地距离 = 追者走的路程 .
(3)航行问题：①顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；
②逆水速度 = 静水速度 - 水流速度
方案问题
利用分类讨论思想列举出所有可能的方案，分情况讨论、求解，再根据题目要求确定最终方案.
列二元一次方程组解决实际问题
销售问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = ×100%= ×100%
进价 = 售价 ÷(1+ 利润率)
当堂小练
1. 甲、 乙两地相距 100 km，一艘轮船往返于甲、乙两地之间，顺流用 4 h，逆流用 5 h，则这艘轮船在静水中的航速与水速分别是（ ）
A. 24 km/h，8 km/h
B. 22.5 km/h，2.5 km/h
C. 18 km/h，24 km/h
D. 12.5 km/h，1.5 km/h
B
当堂小练
A. B.
C. D.
2. 某出租车起步价所包含的路程为 0~2 km，超过 2 km 的部分按每千米另收费.津津乘坐这种出租车走了 7 km，付了 16 元；盼盼乘坐这种出租车走了 13 km，付了 28 元.设这种出租车的起步价为 x 元，超过 2 km 后每千米收费 y 元，则下列方程组正确的是( )
D
x+(7-2)y=16
x+(13-2)y=28
当堂小练
3. A，B 两码头相距 140 km，一艘轮船在两码头之间航行，顺水航行用了 7 h，逆水航行用了 10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
路程 速度 时间
顺流 140 km
逆流 140 km
(x+y) km/h
(x-y) km/h
7 h
10 h
x
y
解：设这艘轮船在静水中的速度为 x km/h，水流速度为 y km/h.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：这艘轮船在静水中的速度为 17 km/h，水流速度为3km/h.
当堂小练
4. A，B 两地相距 20 km，甲从 A 地向 B 地匀速行进，同时乙从 B 地向 A 地匀速行进，2 h 后两人在途中相遇，相遇后甲立即以原速返回 A 地，乙继续以原速向 A 地行进，甲回到 A 地时乙离 A 地还有 4 km，求甲，乙两人的速度.
行驶4 h
解：设甲的速度为 x km/h，乙的速度为 y km/h.
由题意，得
解这个方程组，得
答：甲的速度为 6 km/h，乙的速度为 4 km/h.
当堂小练
5. 一架客机从甲地顺风飞行到乙地，需要 4 小时，这架客机从乙地沿相同的航线逆风飞行到甲地，需要 4.2 小时，若甲地和 乙 地 的 航 线 距 离 是4 200 千米，求这架飞机在无风时的平均速度和风速 .
当堂小练
A. B.
C. D.
6. 为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共为880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的现单价共为684元，设甲、乙两种服装的原单价分别是 x 元、y 元，则下列方程组正确的是( )
B
当堂小练
7. 某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1 560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
解：（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，
依题意，得
解得
答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元.
（2）180×8+60×24＝2 880（元）．
答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2 880元．
当堂小练
8. 今年洛阳牡丹文化节期间龙门石窟旅游景点共接待游客 92.4 万人，和去年同时期相比，游客总数增加了 10%，其中省外游客增加了 14%，省内游客增加了8%.若省外游客每位门票均价约为 100 元，省内游客每位门票均价约为 80 元，则今年文化节期间该景点的门票收入大约是多少万元？
解：设该景点去年牡丹文化节期间接待的省外游客为 x 万人，省内游客为 y 万人，
根据题意，得
解得
今年文化节期间该景点的门票收入大约是
28×(1+14%)×100+56×(1+8%)×80=8 030.4(万元).
答：今年文化节期间该景点的门票收入大约是 8 030.4万元.
当堂小练
9. 某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱. 经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为_____元．
解：由题意知，B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（个），
所以B盒中有多接口优盘10× ＝5（个），
蓝牙耳机有5× ＝3（个）,
迷你音箱有10﹣5﹣3＝2（个）.
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元.
由题知：
由①×2﹣②，得a+b＝45.
由②×2﹣①×3，得b+c＝55.
所以C盒的成本为a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元）.
155
当堂小练
10. A，B 两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
方法点拨：本题关键是找到各速度之间的关系：顺速= 静速＋水速，逆速= 静速－水速，再结合公式“路程= 速度×时间”列方程组求解.
解：设轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.
由题意，得 解得
答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h.
对接中考
1. 根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5 元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10 元，调整后甲地比乙地少1 元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
对接中考
2. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用 45 座客车若干辆，但有 15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满 . 现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲种客车 乙种客车
载客量（人 / 辆） 45 60
租金（元 / 辆） 200 300
(1) 参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2) 若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租车才合算？
(2) 要使每位师生都有座位，则需租45座客车600÷45≈14(辆)，或租60座客车600÷60＝10(辆)，
14×200＝2 800(元)，10×300＝3 000(元)．∵2 800元＜3 000元，∴租14辆45座客车较合算．
拓展与延伸
1. 甲、乙两地相距 74千米，途中有上坡、平路和下坡 . 一汽车从甲地下午 1 点出发到乙地是 下 午 3 点 30 分， 停留 30 分后从乙地出发，6 点 48 分返回甲地 . 已知汽车在上坡路每小时行 驶 20 千 米， 平路每小时行驶 30 千米， 下坡每小时行驶 40 千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米 .
拓展与延伸
2. 甲、乙两个公交车站相向发车，一人在街上匀速行走，他发现每隔 4 分钟就迎面开来一辆公交车，每隔 12 分钟从背后开来一辆公交车 . 如果两车站发车的时间间隔相同，各车的速度相同，求两车站发车的时间间隔 .
解题秘方： 相遇时：车走的路程 + 人走的路程 = 间隔距离；追及时：车走的路程 - 人走的路程 = 间隔距离 .
解：设两车站发车的时间间隔为 x 分钟，公交车的速度为 a 米 / 分钟，人步行的速度为 b 米 / 分钟，相邻两车相距 p 米 .
依题意，得整理得 =6.
因为 ax=p，所以 x= =6.
答：两车站发车的时间间隔为 6 分钟 .
有一类问题，若按常规的方法设未知数，则很难找到其中的等量关系 . 此时，可 以 根 据 题 目 的 特点，恰当地增设一个或几个辅助元，设而不求，将问题适当地转化 .
方法点拨

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