资源简介

/ 让教学更有效 高效备考 | 英语学科
2025年中考数学压轴题专题系列：平移综合
1．如图，将正方形沿方向平移得到正方形，其中点的对应点在线段上运动，连接，交于点，交于点，交于点，连接，．
(1)直接写出和的数量关系；
(2)判断和的数量关系，并说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，的面积为．
①若正方形的边长为，当点运动到何处时，取得最大值？求出的最大值；
②求证：．
2．如图，直线，线段的端点在上，端点在上．
(1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程．
(2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为．
①若，，求的度数．
②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
3．如图1，点、点在直线上，反比例函数的图象经过点A．

(1)求a和k的值；
(2)将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接、．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段的长度；
②在线段运动过程中，连接，若是直角三角形，求所有满足条件的m值．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且．
(1)直接写出点的坐标；
(2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
(3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
6．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标．
7．我们知道，点动成线，就是一条直线由无数个点组成的．在平面直角坐标系中，一条直线上的所有的点的横、纵坐标都满足一个固定的关系式，反过来，如果一个点的横、纵坐标满足这个关系式，那么这个点就在这条直线上．如果一个点在一条直线上，我们称这个点是这条直线的“在线点”．
如图，在平面直角坐标系中，直线上任意一点的横、纵坐标都满足．例如：点的横、纵坐标满足，所以点是直线的“在线点”．
(1)请写出一个不同于点的直线的“在线点”的坐标为 ；
(2)判断点是否是直线的“在线点”，并说明理由；
(3)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点、、的对应点分别是点、、，它们的坐标如下表：
三角形三个顶点
三角形三个顶点
其中，点在第一象限，且是直线的“在线点”，．
①若点是直线的“在线点”，且三角形的面积为，求的值；
②若点在轴上，判断点是否是直线的“在线点”，并说明理由．
8．数学实验活动：两个正方形纸片的摆放．
将两个边长为的正方形纸片、按图①方式进行摆放后，得到了8个阴影三角形，这些三角形的周长会有怎样的特点呢？数学实验小组经过探究，有了如下3个发现：
发现1：图①中的8个阴影三角形的周长之和是一个定值，这个定值为_______；
发现2：将两个正方形按图②方式进行摆放，其中经过点，且与、都相交，交点分别为、，则图中的阴影三角形（）的周长是一个定值，请你求出这个值；
发现3：在图②的情形下，按图③方式平移正方形纸片，使得分别与、相交于点、，分别与、相交于点、，则图中的2个阴影三角形（与）的周长之和也是一个定值，请你求出这个值．
9．在平面直角坐标系中，点满足．
(1)直接写出点A的坐标；
(2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值；
(3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．问题呈现：在平面直角坐标系中，，，，点与原点重合．连，．点为线段上一动点（不与点，重合），点横坐标为．四边形沿方向平移，使点与点重合，得对应四边形，交轴于点，如图．
（1）求四边形的面积；
数学思考：（2）若，按要求完成以下问题：
①直接写出点，，的坐标；
②求阴影部分（六边形）的面积．
拓展延伸：四边形内有任一点，当四边形沿方向自点向点运动．直接写出四边形的面积（用的式子表示）．
11．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．
(1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______；
(2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且．
(1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______
(2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论．
13．在中，，，，点在直线上，在边上，且，．
(1)如图1，求证：；

(2)如图2，将沿方向平移，使点落在上，得到，求平移的距离；

(3)如图3，将绕点逆时针旋转，使点落在上，得到，求旋转角的度数．

14．如图在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，已知A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)如图1，将以点C为位似中心缩小，使缩小前、后对应边长的比为，得到，画出；
(2)如图2，点D也是格点，连接，在上画出点E，使；
(3)如图3，在边上分别画出点F，G，H，使的周长最小．
15．如图1，在矩形中，，．在中，，，，点在的延长线上，点与点重合．现将绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，与边交于点（如图2所示），当点到达点时，停止旋转，立即改为沿边以每秒个单位长度的速度向点平移，当点到达点时，停止运动．

(1)当点到达点时，求的运动时间；
(2)从旋转开始，到平移结束，求点经过的路径长度；
(3)如图2，是的中点，在运动的过程中，求点在区域（含边界）内的时长；
(4)如图3，在平移的过程中，当位于矩形外的左右两边图形（阴影部分）的面积相等时，直接写出的平移距离．
《2025年中考数学压轴题专题系列：平移综合》参考答案
1．(1)
(2)，理由见解析
(3)①为中点时，有最大值；②证明见解析．
【分析】（1）根据正方形的性质及平移的性质证明四边形是矩形，由等角对等边推出，即可得出结论；
（2）如图，连接，根据正方形的性质得，再推出， 证明，由相似三角形的性质可得结论；
（3）①过点作垂足为，设，则，根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，进一步得到，再根据二次函数的最值可得结论；
②如图，设点到的距离为，点到的距离为，得，推出，，即可得证．
【详解】（1）解：∵是正方形的对角线，
∴，，，
∵将正方形沿方向平移得到正方形，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴和的数量关系为：；
（2）．
理由：如图，连接，
∵、是正方形的对角线，
∴，，，，
∴，
∵将正方形沿方向平移得到正方形，是正方形的对角线，
∴，，
∴，
，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）①过点作垂足为，
设，
∵正方形的边长为，
∴，
∵，，
∴是边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴当时（此时为中点），取得最大值，此时，
∴为中点时，有最大值；
②证明：如图，设点到的距离为，点到的距离为，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
即．
【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识点．掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值是解题的关键．
2．(1)，理由见解析
(2)①；②存在，当时，直线，同时把三等分．理由见解析
【分析】（1）过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，根据平移的性质表示出，，，即可解答；
（2）①根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质表示出相关角度的和差倍分即可解答；
②根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质求出相关角度即可解答．
【详解】（1）解：，
理由如下：
由平移性质可得，，
过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，如图所示：
，，
的面积为，的面积为，的面积为，
，，，
，
，
，
（2）解：①如图，由平移性质可得，
，
直线，
，
，
三角形沿着直线翻折，
，
，
，
；
②存在时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分，
理由如下：
由平移性质可得，
，
，
直线，
，
，
，
三角形沿着直线翻折，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
、把三等分，
时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分．
【点睛】本题是几何变换的综合应用，主要考查折叠的性质，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，掌握折叠的性质，平移的性质是解题的关键．
3．(1)，
(2)①；②1或5
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，平移的性质，两点间的距离公式，勾股定理，、等，根据两点间的距离公式求出、的值，运用勾股定理进行分类讨论是解题的关键．
（1）先根据待定系数法求出一次函数的解析式，在将点代入求出a值，待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）①根据平移的性质可得点D的纵坐标为1，代入求出点D的坐标，得出平移的距离，求出点C和点和点E的坐标，即可求解；
②根据平移的性质可得，，根据两点间的距离公式求出、的值，结合题意，根据勾股定理进行分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，得=1，
∴一次函数解析式为，
将点代入得：，
∴ ，
将点代入，可得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解∶ ①∵点恰好落在反比例函数图象上，点D是点B平移后的对应点，
∴点D的纵坐标为1，
当时，，解得，
∴，，
∴，
∵点C作轴，交反比例函数图象于点E，
∴，
∴ ，
②若，如图1所示，则，；
若，与题意不符，舍去；
若，如图2所示，设，，
则，
，
，
∵为直角三角形
∴
∴
解得
综上，的值为1或5．

4．(1)
(2)存在点满足，点的坐标为或
(3)点在运动过程中，或．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，平行线的判定和性质等知识是解题的关键．
（1）根据平移的性质可得点向左边平移了6个单位，由此即可求解；
（2）根据题意，设点，则，用含的式子表示，根据绝对值的性质即可求解；
（3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点在上时；当点在点的右边时；根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：已知点，点，将线段平移至，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴；
（2）解：存在，理由如下，
设点，则，且，，
∴，，
∵，
∴，整理得，，
当时，，
解得，，则；
当时，，
解得，，则；
综上所述，存在点满足，点的坐标为或；
（3）解：已知点在轴的正半轴上移动（不与点重合），
第一种情况，当点在上时，如图所示，作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
第二种情况，当点在点的右边时，如图所示，作，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，点在运动过程中，或．
5．(1)； ；
(2)点在上运动时，，点P在上运动时，
(3)存在，或.
【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标；
（2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答；
（3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可．
【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为，
由平移的性质得，
点的坐标，
；
由题意得，，，
点的运动速度为每秒2个单位长度，
出发5秒时，运动的距离为10个单位长度，
此时点在上，且，
点的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：当点在上运动时，
，
点的坐标为；
当点在上运动时，
，
点的坐标为，
点的坐标为；
（3）解：四边形的面积为，
，
当点在上运动时，边上的高为4，
即，
解得，
点的坐标为或，
6．(1)
(2)点的坐标为或
【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）分两种情况，分别根据等腰三角形的判定和性质、平移和矩形的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵，，
∴，，
①如图，当为矩形一边，且点在轴的下方，过作轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在的对称轴直线上，，
∴，，
∴，
∴，
∴点，
∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到点，
∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到；
②当为矩形一边，且点在轴的上方，的对称轴直线与轴交于点，
∴，，
∵在的对称轴直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点，
∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点；
综上所述，点的坐标为或时，以，为顶点，且以为边的四边形是矩形．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质及图像的平移，平移的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间距离等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解题的关键．
7．(1)
(2)点是直线的“在线点”，见详解
(3)①3；②点是直线的“在线点”，见详解
【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系中点的平移，二元一次方程，解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据“在线点”的定义求解即可；
（2）根据“在线点”的定义求解即可；
（3）①根据“在线点”的定义以及点的平移得到，，，过点A作于点K，则，得到，则，求解即可；② 确定将三角形向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点，则可得，由点向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点，则，，将分别代入得，即可证明．
【详解】（1）解：当时，代入得，解得：，
∴是“在线点”，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：点是直线的“在线点”，
∵当时，，
∴点满足的关系式，
∴点是直线的“在线点”；
（3）解：①∵点在第一象限，
∴，
又∵点是直线的“在线点”，
∴，
∴，
∴，
∵点是直线的“在线点”，
∴，
解得，
∴，
将三角形平移得到三角形，点的对应点分别是点，∵，，
∴是将三角形向右平移m个单位，
∴点A向右平移m个单位得到点D，
∴点，
∵，
∴轴，，
如图，过点A作于点K，则，
∵三角形的面积为，
∴，
则，由得；
②∵点F是直线直线的“在线点”，点E在x轴上，
∴，点平移得到点，
∵，
∴是将三角形向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点，
∴，
∴，
∵点向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点，
∴，，
将，代入得，
∴点满足，即点是否是直线的“在线点”．
8．发现1：80；发现2：；发现3：
【分析】发现1：8个阴影三角形的周长之和是两个正方形的周长之和；
发现2：连接，，作于，可证得，，从而得出，，进一步得出结果；
发现3：作于，作于，作于，可证得，从而，，同理可得，从而，，进一步得出结果．
【详解】解：发现1：8个阴影三角形的周长之和等于
，
故答案为：80；
发现2：如图1，连接，，作于，
，
四边形和四边形是全等的正方形，
，，，
∴，
四边形是矩形，
，
又，
，
，
同理可得，，
，
；
发现3：如图2，作于，作于，作于，
∴，
∵四边形是正方形，
∴
由平移的性质可知：，
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∵一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，理由如下：
如图，，
∴，
∴，互补同理可证，
∴由，，
，
又，，
，
，，
同理可得，
，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，平移的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
9．(1)；
(2)或；
(3)存在，点Q坐标为或．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了二次根式和绝对值的非负性，平移变换，四边形的面积等知识，掌握面积切割法，分类讨论，利用参数构建方程是解决的关键．
（1）根据二次根式和绝对值的非负性即可求得的值；
（2）根据平移的性质，得到，，，结合，用坐标表示距离，分情况讨论即可求解；
（3）连接，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，由三角形的面积得出方程求解即可．
【详解】（1） 点满足，
，，
，，
．
（2）将线段向下平移a个单位后得到线段，，
点O与点B对应，点与点对应，轴于点D，
，，，
，，
，
①当点D位于x轴上方时，即，
，
，解得；
②当点D位于x轴下方时，即
，
，解得；
综上所述或；
（3）连接，过点P作x轴的平行线，交于M，交y轴于N，
依题意得，，
将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段,
四边形为平行四边形，
，
又 ，
，，
，
，解得，
设，则，
即，
解得，即，
解得或，
综上所述，点Q坐标为或．
10．问题呈现：（1）；
数学思考：（2）①，，；②；
拓展延伸：
【分析】问题呈现：（1）根据题意确定，，的值，然后根据梯形面积公式求解即可；
数学思考：（2）①首先根据点的坐标确定平移方式，然后根据平移的性质确定点，，的坐标；②结合点，，的坐标，易得，，，进而求得四边形的面积，然后计算阴影部分面积即可；
拓展延伸：分别过作轴的垂线，垂足为，首先证明，结合点横坐标为及平移的性质，可得，，，，然后根据梯形面积公式求解即可．
【详解】解：问题呈现：
（1）由题意可得，，，，
∴，，，且，
∴四边形的面积；
数学思考：
（2）①∵，，
∴根据平移的性质，可得，，；
②∵，，
∴，，，
∴，
∴；
拓展延伸：
如下图，分别过作轴的垂线，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根据题意，点横坐标为，
根据平移的性质，，
则，，，
．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、平行的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
11．(1)
(2)，
(3)存在点，其坐标为或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键．
（1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解；
（2）根据点可得平移规律，连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标；
（3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解．
【详解】（1）解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为，若点的坐标为，
平移后的对应点，
设，，
，，
即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，
∴，，
点平移后的对应点；
（2）解：点在轴上，点在第二象限，，，
∴点向左平移个单位，
∴点向左平移个单位，横坐标为：，即点的横坐标为，
∵对应点在第二象限，
∴设点向上平移了个单位，
线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意，
，，
∴，，
如图所示，连接，
∴，
∴，
，
，
，；
（3）解：由（2）得，
∵，，
∴，
①当P在x轴上方时，如图1，
，
，
∴；
②当在轴下方时，如图2，
，
，
∴，
存在点，其坐标为或．
12．(1)，
(2)或
(3)或或，理由见解析
【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移变换的性质，平行线的判定和性质，二次根式有意义的条件等知识；
（1）由非负数的性质求a，b的值，求出线段的长即可；
（2）设出P点坐标，可分两种情况，根据面积关系，构建方程即可解决问题；
（3）分三种情形：①当点M在点H的上方且在直线下方时；②如图，点M在H上方且在直线上方时；③当点M在线段上(不与C，H重合)时，由平行线的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
点C在x轴的负半轴，
，
故答案为：，；
（2）点P在x轴上，设，
，
由题意得：，
解得：或，
或；
（3）①当点M在点H的上方且在直线下方时，，
证明：设交于J，
，
，
，
；
②如图，点M在H上方且在直线上方时，
同理可得．
③当点M在线段上(不与C，H重合)时，，

作，
，
，
，
．
13．(1)见解析
(2)平移距离为
(3)
【分析】（1）在直角三角形中，根据“斜边直角边”可证，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）在在中，，，根据含角的直角三角形的性质可得的值，从而求出的值，根据平移的性质可得的长，在中，，可得，根据勾股定理即可求解；
（3）由（1）和旋转的性质可知，且可证是等边三角形，可得的度数，根据，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵在中，，，
∴，且，
∴，
由平移知，，，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，即平移距离为．
（3）解：旋转角的度数是△ECD绕点旋转的度数，即的度数，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的平移，图形的旋转的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）延长分别交格点、格线于点，再连接，则即为所作；
（2）如图2，取格点M，连接交于E，根据边边边可证，可得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，则点E即为所求；
（3）平移线段到，在上取格点F，取格点L，连接，交于点R，则是的垂直平分线，平移线段到，取格点，连接并延长交于点N，则是的垂直平分线，连接，分别交于点G，H，连接，则此时的周长最小．
【详解】（1）如图1， 即为所作；

（2）如图2，取格点M，连接交于E，则点E即为所求；

（3）如图3，平移线段到，在上取格点F，取格点L，连接，交于点R，则是的垂直平分线，平移线段到，取格点，连接并延长交于点N，则是的垂直平分线，连接，分别交于点G，H，连接，则此时的周长最小．点F，G，H即为所求．

【点睛】本题是网格作图题，主要考查了作位似图形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平移的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称的性质等知识，综合性较强，正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
15．(1)（秒）
(2)
(3)（秒）
(4)
【分析】（1）根据题意可知，如图所示，连接，运用三角函数算出，再根据旋转的速度即可求解；
（2）根据旋转，平移的性质，即可求解；
（3）设在旋转过程中，如图所示，与交于点，可求出的值，当平移到点在上时，可求出的值，由此即可求解；
（4）如图所示，由（3）的平移可知，是等边三角形，设，根据位于矩形外的左右两边图形（阴影部分）的面积相等即可求解．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，
∴矩形的对角线，
在中，，，，
∴，
∴，
∴如图所示，连接，

∵，，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴当点到达点时，旋转的角度为，
∴的运动时间为（秒）．
（2）解：∵，，，
∴，
∴点F经过的路径长度为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，即旋转结束时，点与点重合，
设在旋转过程中，如图所示，与交于点，

当点F与点D重合时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点H在线段BQ上，
当平移到点在上时，如图所示，

∴，
∴，
∴平移的时间为（秒），
∴点在区域（含边界）内的时长为（秒）．
（4）解：的平移距离为，
如图所示，由（3）的平移可知，是等边三角形，

设，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得．
【点睛】本题主要考查矩形，直角三角形与旋转，平移的综合，掌握矩形的性质，旋转的性质，平移的性质，三角形函数的计算，勾股定理等知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

展开更多......

收起↑