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2025年中考数学压轴题专题系列：锐角三角函数综合
1．操作与思考
在中，点在上，点在上，连接，，将沿直线翻折得，交于点，点是中点，；
（1）如图，，点与点重合，求证：；
（2）如图，，，求值．
迁移与应用
如图，四边形中，，，点是中点，连接，将沿直线翻折得，连接，若，，直接用含的代数式表示的值．
2．的弦，交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，为的直径，连接交于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积．
3．在等边中，过点A作．
(1)如图1，点E在点A的左侧，点D是边上的中点，连接，过点D作交于点E，求证：．
(2)如图2，点E在点A的右侧，连接，点G是的中点，连接并延长交于点F，过点G作交于点H，求证：．
(3)若点E在点A的右侧，连接，点G是的中点，且，点P是直线上一动点，连接，将绕点G逆时针旋转得到，连接，在点P的运动过程中，当取得最小值时，请直接写出的值．
4．【问题背景】
某数学兴趣小组将矩形纸片折叠，使点与对角线上的点重合，并进行了如下研究．
【问题探究】
（1）如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点的对应点为点，折痕为，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，将矩形纸片折叠，使点与对角线的中点重合，折痕为，交于点，此时，点恰好与点重合，若对角线的长为，求折痕的长；
【问题拓展】
（3）将矩形纸片折叠，使点与对角线的三等分点重合，折痕为，此时，直线与直线相交于点，若对角线的长为，，请直接写出折痕的长．
5．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过原点，点和点三点作，再过点作的切线，为上一动点，过点作轴的垂线，交轴于点，连接，交于点．
(1)求的度数；
(2)连接，，当时，恰好为等腰三角形，求此时的值；
(3)连接，，交于点，时，记的面积为，的面积为，求．
6．在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点旋转，得到，当的顶点恰好落在的斜边上时，斜边与交于点．
①猜想：__________；
②证明：；
【问题解决】（2）在（1）的条件下，已知，，求的长；
【拓展提升】（3）如图2，在菱形中，，，将菱形绕着中点顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长．
7．定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．
(1)如图1，在对角互余四边形中，，且．若，求四边形的面积和周长．
(2)如图2，在四边形中，连接，点O是外接圆的圆心，连接，求证：四边形是“对角互余四边形”；
(3)在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求线段的长．
8．如图1，在，，，点是边上一动点，连接，把绕点顺时针旋转，得到，连接，
(1)如图1，若，在运动过程中，当时，求线段的长；
(2)如图2，点是线段的中点，连接并延长交延长线于点，连接，交于点，连接，，当点在线段上时，求证：；
(3)如图3，若，将绕点顺时针旋转得到，连接，为线段上一点，且′，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，为的中点，连接，请直接写出线段的最大值．
9．平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，点在第一象限内，射线轴，且；
(1)如图1，求的正切值；
(2)如图2，点在线段上运动，过点作交线段于点，作直线交轴于点D，当为线段的中点时，求直线的解析式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在第四象限内，，点、分别在线段、上，将绕点逆时针旋转得，若点在直线上，求点的坐标．
10．如图，在中，，，，点P、Q分别是边、上的两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，作点关于直线的对称点，设．
(1)当的面积为8时，求的值．
(2)当时，求线段的长．
(3)当点落在四边形的边上时，求的值．
(4)直线与四边形的一条边交于点，若的面积是四边形面积的时，直接写出的值．
11．已知，为的直径，内接于，交于点E，．
(1)设：为x，为y，求：y关于x的函数解析式及其定义域；
(2)如图2，点F在弧上，连接，，，，点G在上，连接，若，求：的值；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在弧上，连接，，分别交，于K，Q两点，，若，，若为和m的比例中项，求m的值．
12．已知：中，．
操作发现：
如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，设旋转角为，的面积为，的面积为，当 °时，与全等，此时与的数量关系是 ．
猜想论证：
当绕点顺时针旋转得到如图1所示的位置时，试猜想上述与的数量关系是否成立，若成立，请为加以证明；若不成立，请说明理由．
类比探究：
如图2，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，设的面积为，的面积为，试求与比值．
拓展提升：
如图3，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，，则的最大值为 ．
13．阅读、理解、应用
研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关．
比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．
(1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ．
(2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ．
．
．
．α
．α
(3)若角α的终边与直线重合，则αα ．
(4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值．
14．如图，在中，，，．点D是中点．点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，连结，取的中点E，连结，P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t秒．（）
(1)求线段的长．
(2)当点Q在上运动时，求的值；
(3)当DE与的直角边平行时，求的长．
(4)若点P从点C沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其它条件不变，当点Q在上运动，与一边垂直时，直接写出t的值．
《2025年中考数学压轴题专题系列：锐角三角函数综合》参考答案
1．（1）见解析；（2）；迁移与应用：
【分析】由翻折可知：，根据全等三角形的性质可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立；
过作于，交于，由（1）可知：，，根据全等三角形的性质可证，，根据平行线的性质可得，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据可证，根据相似三角形的性质可得；
迁移与应用：连接，，延长交于，过作于，设，，根据，可知点、、、在以为直径的圆上，从而可得，可证，根据相似三角形的性质可得，可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，利用相似可得，从而可求．
【详解】证明：由翻折可知：，
，
是中点，
，
，
，
点是中点，
在和中，
，
，
；
解：如图所示，过作于，交于，
由（1）可知：，，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
迁移与应用：，
理由如下：
如图所示，连接，，延长交于，过作于，
，
，
，
又，
，
，
四边形是矩形，
设，，
根据折叠的性质可得：，
又点是中点，
，
点、、、在以为直径的圆上，
，
，，
，
，
，
，
，，
根据折叠的性质可知，
在和中，
，
，
于，
，
∴
∴
，
．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、锐角三角函数，本题的综合性较强，难度较大，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和相似三角形．
2．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用圆中弧，弦的关系，等腰三角形的判定证明即可；
（2）连接，根据为的直径，得到，继而得到，，结合，证明即可；
（3）连接交于点，连接正确证得，正确得到设，，正确得出，正确得出的面积为．
【详解】（1）证明：连接
，
是与的公共部分，
，
，
．
（2）解：连接，
为的直径
，
，
，
．
（3）解：连接交于点，
连接，
∵ ，，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
解得或，
∴舍去或，
∵，
∴，
∴，
∴舍去，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的弦，弧的关系，三角函数的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角函数的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行线的性质，含角直角三角形的性质，解答证明即可．
（2）过点F作于点M，根据等边三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质解答即可．
（3）以边为边，在其右侧构造等边三角形，作直线，交于点K，交于点S， 证明，判定点Q的运动轨迹是直线，过点A作于点M，当点Q与点M重合时，取得最小值，过点G作于点O，并延长交于点S，过点B作交的延长线于点N， 过点A作于点T，连接，利用勾股定理，三角函数，等腰三角形的性质，垂线段最短解答即可．
【详解】（1）证明：∵等边三角形，
∴，，
∵，点D是边上的中点，
∴， ，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点F作于点M，
∵等边三角形，
∴，，
∵，点G是的中点，，
∴， ，
∵，
∴，
∴，；
∵，，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：以边为边，在其右侧构造等边三角形，
则，，
作直线，交于点K，交于点S，
∵绕点G逆时针旋转得到，
∴， ，
∴ ，
∵，
∴，
∴
∵；
∴
∵，
∴，
∴点Q的运动轨迹是直线，
过点A作于点M，
∴当点Q与点M重合时，取得最小值，
过点G作于点O，并延长交于点S，
∵，
∴，
∴，
过点B作交的延长线于点N，
∵，
∴，
设，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点A作于点T，
∴，
连接，
∵，，
∴
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角函数的应用，勾股定理，垂线段最短是解题的关键．
4．（1）菱形，见解析；（2）；（3）折痕的长为或或 或
【分析】（1）由折叠可得：垂直平分，即，，证明，得到，即可判定；
（2）根据直角三角形的斜边中线定理可得：，由折叠可得：，，推出是等边三角形，得到，最后根据即可求解；
（3）将矩形纸片折叠，使点与对角线的三等分点重合，折痕为，
设点的对应点为，折痕交 于 点 ，则 垂 直 平 分，，，设，分四种情况讨论：①若，且点在线段上时，②若，且点在线段的延长线上时，③若，且点在线段上时，，点与点重合，④若，且点在线段的延长线上时，根据三角函数和勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）四边形的形状是菱形，理由如下：
由折叠可得：垂直平分，
，，
在矩形中，，
，，
，
，
，，
、互相垂直平分，
四边形的形状是菱形；
（2）将矩形纸片折叠，使点与对角线的中点重合，
，
由折叠可得：，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
（3）将矩形纸片折叠，使点与对角线的三等分点重合，折痕为，
设点的对应点为，折痕交 于 点 ，则 垂 直 平 分，
，，设，
①若，且点在线段上时，，点与点重合，
，
，
，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，
；
②若，且点在线段的延长线上时，，
，
，
，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，
，
，
，
；
③若，且点在线段上时，，点与点重合，
，
，
，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，
；
④若，且点在线段的延长线上时，，
，
，
，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，
，，
；
综上所述，折痕的长为或或 或．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形中的折叠问题，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
5．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，得到，，得到，，根据判定四点共圆，得到；
（2）利用分类思想，分三种情况，利用圆的知识，三角函数等解答即可；
（3）过点P作于点H，过点A作于点G，则四边形是矩形，设，，利用三角函数的定义，勾股定理，平行线分线段成比例定理，中位线定理，解答即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，，
∴，，
∵轴于点C，
∴，
∵过点作的切线，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴．
（2）解：当时，
根据题意，得，
四边形是正方形，
∴，，
∵过点作的切线，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
根据题意，得，
根据圆周角定理，圆的内接四边形性质，得
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点A作于点N，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当时，根据题意，得，
，
∴，
∴，
过点A作于点N，
则四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得舍去，
综上所述，或．
（3）解：过点P作于点H，过点A作于点G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
解得，负的舍去，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆的内接四边形对角互补性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．（1）①，②证明见解析；（2）；（3）的长为或．
【分析】（1）①依据题意，可得从而在以G为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得到的度数；
②依据题意，由旋转的性质可知，，又，进而可以得解；
（2）依据题意可求出的长，又的锐角顶点恰好落在的斜边上，从而可得在以为圆心，为半径的圆上，则，进而求出，再结合，可得设，则，，进而建立方程计算可以得解；
（3）依据题意，分两种情形进行讨论：①当落在上时，②当落在上时，分别求解即可．
【详解】解：①由题意可知，，
∴、、在以为圆心，为半径的圆上，
，
故答案为：；
②证明：由旋转的性质可知，
，
；
（2）∵，，，
∴，，
的锐角顶点恰好落在的斜边上，
，
∴在以为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
∵，
，
设，则，，
，
∴解得：，
经检验，是方程的解，
∴，
，
（3）①当E落在上时，如图所示，连接，
由是中点和旋转可知，，
又∵，
，
，
，
又∵四边形是菱形，
，
∴和在同一直线，在的延长线上，由（1）①可知，(已证)，
，
，
∵菱形中，，，如图所示，
，，
，
，
又∵，
，
在中，，，
，
和菱形等底等高，
，
，
，
；
②当落在上时，如图所示，作交于点，如图：
由旋转可知，，
，
∵四边形是菱形，
，，
∴在对角线的中点上，即在和的交点上，
∵是的中点，是的中点，
，，，，
由旋转可知，，
，
，
，
∴四点共圆，
如图所示，连接和，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
∴的长为或．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键．
7．(1)四边形的面积为，周长为；
(2)见解析；
(3)线段的长是．
【分析】（1）由四边形是对角互余四边形，，得，则，可求得， ，于是可求得，；
（2）延长交于点E，连接，由是的直径，得，而，则，即可证明四边形是“对角互余四边形”；
（3）作于点F，使点F与点A在直线的异侧，由，根据勾股定理得，可证明，得，，所以，由，得，而，则，因为，所以，连接，证明，可求得．
【详解】（1）解：如图1，
∵四边形是对角互余四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为，周长为；
（2）证明：如图2，延长交于点E，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是“对角互余四边形”；
（3）解：如图3，作于点F，使点F与点A在直线的异侧，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长是．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，证明，得到，，推出，然后根据，设，，求出，即可求解；
（2）连接，过点作交于点，证明，再同理证明，得到，即可证明；
（3）在上取点，使，即构造，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，为的中点，根据旋转和等边三角形的性质证明和，得出边的比例关系，即可求解．
【详解】（1）解：连接，
绕点顺时针旋转得到，
，，
在中，，，
，
（同角的补角相等），
在和中，
，
,
，，
在中，，
，
，
，
，
设，，
，
，
解得：，
；
（2）证明：连接，过点作交于点，
由（1）得，
是的中点，
，
同理，
，
，
，点在的延长线上，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
同理，
，，，
，
，
，
即；
（3）在上取点，使，即构造，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，为的中点．
，，
，，
过作于，
由旋转得是等边三角形，
，
，
，，，即，
即为等腰直角三角形，
，
，，
，
由旋转知和都是等边三角形，和分别是它们一条边上的中点，
，，
即，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最大，
此时．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些知识．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作于点，先求出点、的坐标，得到，，证明四边形为矩形，可求出、的长，即可求解；
（2）过点作于点，过点作于点，在、、、中利用锐角三角函数得出边的关系，求出的长，即可求解；
（3）过点作于点，交轴于点，过点作于点，过点作于点，连接交轴于点，先证明，得出，，利用边角关系求出点、的坐标，可求出直线的解析式，再求出直线的解析式，则两条直线的交点即为点．
【详解】（1）过点作于点，
在中，当时，，当时，，解得：
，
，，
轴，
，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
，
在中，；
（2）在图1中，在中，，
在图2中，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
（3）过点作于点，交轴于点，过点作于点，过点作于点，连接交轴于点．
，
在中，，
，
，
，
，
，
由（2）知，在中，，
由勾股定理可得：，即，
解得：，，
由（2）知，，
在中，，，
，
在中，由勾股定理可得：，即，
解得：，，
，
，
，
，
，
，
，
线段绕着点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
在中,，
，，
，
设直线的解析式为 ，
，
，
直线的解析式为， ，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：
点的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数，三角函数，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，并正确作出辅助线．
10．(1)或
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据题意得到，，，再根据“的面积为8”建立等式求解，即可解题；
（2）记延长线交于点，由对称的性质可知，，，，推出，得到，进而可得，根据建立分式方程求解，即可求出，利用勾股定理得到，再利用，得到，即可求得，进而求得；
（3）根据点落在四边形的边上，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合平行四边形性质，对称的性质，勾股定理以及三角函数求解，即可解题；
（4）根据直线与四边形的一条边交于点，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合的面积是四边形面积的，理由平行四边形性质，得到的面积是面积的，得到为的中点或为的中点，结合（3）中①的情况，勾股定理，以及相似三角形的性质和判定，即可解题．
【详解】（1）解：，
，
，
，
的面积为8，
，
整理得，
解得或；
（2）解：记延长线交于点，
由对称性质可知，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，经检验是该方程的解，
，，
，
，
，
解得，
；
（3）解：①当在上时，
四边形为平行四边形，
，，
，
由对称性质可知，，，
，
，
，
，
解得，
，，
；
②当在上时，
四边形为平行四边形，
，
∴，
由对称性质可知，，，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，解得：，
，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，或；
（4）解：或，理由如下：
的面积是四边形面积的，
四边形为平行四边形，
的面积是面积的，
直线与四边形的一条边交于点，
①当在上时，为的中点，为的中线，
四边形为平行四边形，
，
，
与（3）中①的情况一致，
故；
②当在上时，为的中点，为的中线，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，即或（舍去），
综上所述，或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对称的性质，锐角三角函数，解分式方程，勾股定理，平行四边形性质，三角形中位线性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．
11．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）连接，由题意易得，设，然后可得，进而问题可求解；
（2）连接，令交于点I，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；
（3）延长交延长线于点M，由题意易证，，过点F作于T，则，设，，过点A作于N，得等腰，，过点B作于S，得等腰，过点D作，然后根据相似三角形的性质及勾股定理可进行求解．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵为的直径，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵为x，为y，，，
∴；
（2）解：连接，
∵为的直径，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，等腰，
∵，
∴，
∴，
∴，
令交于点I，
∵，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长交延长线于点M，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，
∴，，
在四边形中，，，
∴平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，等腰，
过点F作于T，则，
∵，设，，
则，在等腰中，，
设，则，
在中，勾股得
，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在等腰中，，
∴，，
∴，
，
∴，
在中，
解，可得，
过点A作于N，得等腰，，
∵，设，，
则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
在中，勾股得，
过点B作于S，得等腰，
∴，
∴，
在和中，，，
∴，
∴，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
，，
∴，
∵，
∴，
过点D作，
∴，，
在中，，
在中，，
设，，，勾股得，
∴，
解得，（舍），
∴，，
，，
解得，
∴，，
∴．
∵为和m的比例中项，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的综合问题，三角函数的定义，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
12．操作发现：，；猜想论证：成立，证明见解析；类比探究：；拓展提升：的最大值为．
【分析】操作发现：根据旋转的性质和三角形的判定与性质可得当时，，进而得到，，即可得到与的数量关系；
猜想论证：过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，得到，可得，即可证明；
类比探究：过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，得到，进而得到，最后根据三角函数求出的值即可；
拓展提升：在旋转过程中，当时，，，此时的值最大，，根据三角函数求出即可．
【详解】操作发现：如图，当时，又旋转可得：，，，
，
，
此时，，
，
即，
故答案为：，；
猜想论证：成立，证明如下：
如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
，
，
，
又，
，
，
，
；
类比探究：
如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
由论证猜想得，
又，，
，
，
，，
，
在中，，
；
拓展提升：在旋转过程中，当时，，，此时的值最大，
，
，
，，
，
的最大值为．
【点睛】本题考查了三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线．
13．(1)α
(2)A
(3)或
(4)的值为；α的值为
【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断；
（2）根据三角函数的定义分析求解即可；
（3）分两种情形讨论即可解决问题；
（4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴点在第四象限，
∴，
∵，
∴，
∴取取正值的是，
故答案为：；
（2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限，
∴，，
而，
∴，故正确；
∵，，
∴，故不正确；
∵，，，
∴，故不正确；
，故不正确；
故答案为：；
（3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为，
∴，
当时，，，，
∴；
当时，，，，
∴；
故答案为：或；
（4）解：∵角α是锐角，
∴终边上一点在第一象限，，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
经检验，是原方程的解，
∴的值为；
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．
14．(1)；
(2)；
(3)的长为或5；
(4)当与一边垂直时t的值为或．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接用勾股定理即可求解；
（2）先求出，再求出，即可求；
（3）分情况讨论：当时，①过P作于点F，过E作于点G，②当时，点Q与B重合，求解即可；
（4）分两种情况，当时， ，当时， ，分别求解即可．
【详解】（1）解：中，，，，
；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：分情况讨论：
①如图1，当时，过P作于点F，过E作于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E为中点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴；
②当时，如图2，点Q与B重合，
∴；
综上所述，的长为或5；
（4）解：当与一边垂直时t的值为或，
当时，如下图，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
解得；
当时，如图，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
解得；
∵，
∴与边不垂直，
综上所述，当与一边垂直时t的值为或．
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